Advances in Applied Mathematics
Vol. 08  No. 12 ( 2019 ), Article ID: 33353 , 10 pages
10.12677/AAM.2019.812223

High Energy solutions of Forth-Order Elliptic Systems Involving Nonlocal Term and Sign-Changing Potential

Yawen Qian, Gao Jia

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Nov. 12th, 2019; accepted: Dec. 2nd, 2019; published: Dec. 9th, 2019

ABSTRACT

This paper focus on the following forth-order elliptic equations involving non-local terms and sign-changing potential { Δ 2 u Δ u 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x ( Δ u + u Δ ( u 2 ) ) + V ( x ) u = F u ( x , u , v ) , x 3 Δ 2 v Δ v 3 ( 1 + 2 v 2 ) | v | 2 d x ( Δ v + v Δ ( v 2 ) ) + V ( x ) v = F v ( x , u , v ) , x 3 u ( x ) 0 , v ( x ) 0 , | x | Where Δ 2 = Δ ( Δ ) is the biharmonic operator, , F ( x , u , v ) C 1 ( 3 × × , ) . V ( x ) is sign-changing function, F u = F u , F v = F v . Under certain conditions, it’s proved that there are infinitely many high-energy solutions to the problem using Fountain Theorem.

Keywords:Biharmonic, Non-Local Term, Sign-Changing Potential, High-Energy Solution

带有非局部项的四阶椭圆型方程组的 无穷多高能量解的存在性

钱雅雯,贾 高

上海理工大学理学院,上海

收稿日期:2019年11月12日;录用日期:2019年12月2日;发布日期:2019年12月9日

摘 要

该文主要研究如下含变号位势和非局部项的四阶椭圆方程组 { Δ 2 u Δ u 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x ( Δ u + u Δ ( u 2 ) ) + V ( x ) u = F u ( x , u , v ) , x 3 Δ 2 v Δ v 3 ( 1 + 2 v 2 ) | v | 2 d x ( Δ v + v Δ ( v 2 ) ) + V ( x ) v = F v ( x , u , v ) , x 3 u ( x ) 0 , v ( x ) 0 , | x | 其中 Δ 2 = Δ ( Δ ) 是重调和算子, V ( x ) C ( 3 , ) F ( x , u , v ) C 1 ( 3 × × , ) V ( x ) 为变号函数, F u = F u , F v = F v 。在满足一定条件下,利用Fountain定理证明了该问题存在无穷多高能量解。

关键词 :重调和,非局部项,变号位势,高能量解

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文将研究如下带有非局部项的四阶椭圆型方程组

{ Δ 2 u Δ u 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x ( Δ u + u Δ ( u 2 ) ) + V ( x ) u = F u ( x , u , v ) , x 3 Δ 2 v Δ v 3 ( 1 + 2 v 2 ) | v | 2 d x ( Δ v + v Δ ( v 2 ) ) + V ( x ) v = F v ( x , u , v ) , x 3 u ( x ) 0 , v ( x ) 0 , | x | (1.1)

其中 Δ 2 = Δ ( Δ ) 是重调和算子, V ( x ) : 3 , F ( x , u , v ) : 3 × 2 F u = F u , F v = F v

本文假设 V ( x ) F ( x , s , t ) 满足如下条件:

(V) V ( x ) C ( 3 , ) , inf 3 V > 且对任意 M > 0 存在常数 r > 0 ,使得

lim | y | meas { x : | x y | r , V ( x ) M } = 0 ;

(F1) F ( x , u , v ) C 1 ( 3 × × , ) 且存在 C 1 , C 2 > 0 , p , q ( 8 , + ) 使得

| F u ( x , u , v ) | C 1 ( | ( u , v ) | + | ( u , v ) | p 1 ) , | F v ( x , u , v ) | C 2 ( | ( u , v ) | + | ( u , v ) | q 1 )

其中 | ( u , v ) | = ( u 2 + v 2 ) 1 2

(F2) lim | ( u , v ) | F ( x , u , v ) | ( u , v ) | 8 = 对任意 x 3 一致成立,并且当 ( u , v ) + × + 时, F ( x , u , v ) 0

(F3) 存在 α > 0 ,使得对任意 ( x , u , v ) 3 × × ,都有

u F u ( x , u , v ) + v F v ( x , u , v ) 8 F ( x , u , v ) α | ( u , v ) | 2

(F4) 对任意 ( x , u , v ) 3 × × ,有 F ( x , u , v ) = F ( x , u , v )

Lazer-McKenna在 [1] 中指出,四阶椭圆问题与悬索桥中的周期振动和行波等问题密切相关。近年来,许多学者广泛研究了四阶椭圆方程非平凡解的存在性和多重性,见文献 [2] [3] [4]。Kirchhoff模型考虑了由于弹性弦横向振动引起弦长度变化的因素。最近十年,Kirchhoff类型的问题更是受到许多学者的重视,并得到了大量重要的结论,见文献 [5] [6] [7]。特别地,Wu在 [8] 和 [9] 中研究了一个带有非局部项的方程组问题,并得到了该问题具有无穷多高能量解。受到以上文献的启发,在本文中我们将研究问题(1.1)并得到其存在无穷多高能量解。

本文主要结论如下:

定理1.1:假设条件(V)、(F1)~(F4)成立,则问题(1.1)存在无穷多高能量解。

符号:在本文中,我们用↪和↪↪分别表示连续嵌入和紧嵌入,用→和⇀分别表示强收敛和弱收敛, C i ( i = 1 , 2 , ) 表示合适的正常数。

2. 变分框架与预备引理

定义Hilbert空间及该空间的内积为

H m ( N ) = { u L 2 ( N ) | D α u L 2 ( N ) , | α | m }

u , v H m = | α | m 3 D α u D α v d x ,

并赋予范数

u H m = u , v H m 1 2 = ( | α | m N | D α u | 2 d x ) 1 2 .

由条件(V)知,存在常数 V 0 0 ,使得对任意 x 3 ,都有 V ˜ ( x ) = V ( x ) + V 0 1

下面定义空间

E = { u H 2 ( 3 ) : 3 V ˜ ( x ) u 2 d x < } ,

其范数定义为

u = ( 3 ( | Δ u | 2 + | u | 2 + V ˜ ( x ) u 2 ) d x ) 1 2 .

对任意的 ( u , v ) , ( φ , ψ ) E × E ,在 E × E 上内积和范数分别定义为

( u , v ) , ( φ , ψ ) = u , φ + v , ψ

( u , v ) = ( u 2 + v 2 ) 1 2 .

X = E × E ,则对任意 s ( 2 , ) ,有 。令

Φ ( u , v ) = 1 2 3 ( | Δ u | 2 + | u | 2 + V ( x ) u 2 ) d x + 1 4 ( 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x ) 2 + 1 2 3 ( | Δ v | 2 + | v | 2 + V ( x ) v 2 ) d x + 1 4 ( K 3 ( 1 + 2 v 2 ) | v | 2 d x ) 2 3 F ( x , u , v ) d x (2.1)

根据文献 [10] 中引理2.2知 3 u 2 | u | 2 d x ,结合假设(V)和(F1)知泛函 Φ ( u , v ) C 1 ( X , )

对任意 ( φ , ψ ) X ,有

Φ ( u , v ) , ( φ , ψ ) = 3 ( Δ u Δ φ + u φ + V ( x ) u φ ) d x + 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x 3 ( u φ + 2 u φ | u | 2 + 2 u 2 u φ ) d x + 3 ( Δ v Δ ψ + v ψ + V ( x ) v ψ ) d x + 3 ( 1 + 2 v 2 ) | v | 2 d x 3 ( v ψ + 2 v ψ | v | 2 + 2 v 2 v ψ ) d x 3 φ F u ( x , u , v ) + ψ F v ( x , u , v ) d x (2.2)

由变分理论知,泛函 Φ ( u , v ) 的临界点即为问题(1.1)的弱解。

定义2.1:序列 { ( u n , v n ) } X 被称为 ( C ) c 序列当且仅当 { ( u n , v n ) } 满足:当 n 时,有 Φ ( u n , v n ) c 。若泛函 Φ ( u n , v n ) 对应的任意 ( C ) c 序列都有X中的强收敛子列,则称泛函 Φ ( u n , v n ) 满足 ( C ) c 条件。

引理2.2:若假设(V)、(F1)成立,则泛函 Φ ( u n , v n ) 对应的任意有界 ( C ) c 序列都有强收敛子列。

证明:令 { ( u n , v n ) } X 为泛函 Φ ( u n , v n ) 的任一有界 ( C ) c 序列,则有

Φ ( u n , v n ) c Φ ( u n , v n ) ( 1 + ( u n , v n ) ) 0 (2.3)

由于 ( u n , v n ) < ,则在X中存在弱收敛子列,不妨仍记为 { ( u n , v n ) } 。因此存在 ( u , v ) X ,使得

( u n , v n ) ( u , v ) X , ( u n , v n ) ( u , v ) L s ( 3 ) ( 2 s < + ) , ( u n , v n ) ( u , v ) a . e . 3 (2.4)

通过计算可得

Φ ( u n , v n ) Φ ( u , v ) , ( u n u , 0 ) = u n u 2 V 0 3 | u n u | 2 d x + 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 ( u n ( u n u ) + 2 u n ( u n u ) | u n | 2 + 2 u n 2 u n ( u n u ) ) d x 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x 3 ( u ( u n u ) + 2 u ( u n u ) | u | 2 + 2 u 2 u ( u n u ) ) d x 3 ( F u ( x , u n , v n ) F u ( x , u , v ) ) ( u n u ) d x

= u n u 2 V 0 3 | u n u | 2 d x + 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 ( u n ( u n u ) + 2 u n ( u n u ) | u n | 2 + 2 u n 2 u n ( u n u ) ) d x 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 ( u ( u n u ) + 2 u ( u n u ) | u n | 2 + 2 u n 2 u ( u n u ) ) d x + 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 ( u ( u n u ) + 2 u ( u n u ) | u n | 2 + 2 u n 2 u ( u n u ) ) d x 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x 3 ( u ( u n u ) + 2 u ( u n u ) | u | 2 + 2 u 2 u ( u n u ) ) d x 3 ( F u ( x , u n , v n ) F u ( x , u , v ) ) ( u n u ) d x

= u n u 2 V 0 3 | u n u | 2 d x + 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 ( | ( u n u ) | 2 + 2 | ( u n u ) | 2 | u n | 2 + 2 u n 2 | ( u n u ) | 2 ) d x + ( 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x ) 3 u ( u n u ) d x + 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 2 u ( u n u ) | u n | 2 d x 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x 3 2 u ( u n u ) | u | 2 d x + 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 2 u n 2 u ( u n u ) d x 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x 3 2 u 2 u ( u n u ) d x 3 ( F u ( x , u n , v n ) F u ( x , u , v ) ) ( u n u ) d x

u n u 2 V 0 3 | u n u | 2 d x + ( 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x ) 3 u ( u n u ) d x + 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 2 u ( u n u ) | u n | 2 d x 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x 3 2 u ( u n u ) | u | 2 d x + 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 2 u n 2 u ( u n u ) d x 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x 3 2 u 2 u ( u n u ) d x 3 ( F u ( x , u n , v n ) F u ( x , u , v ) ) ( u n u ) d x

(2.5)

由(2.3)和(2.4)知

3 | u n u | 2 d x 0 Φ ( u n , v n ) Φ ( u , v ) , ( u n u , 0 ) 0

( u n , v n ) < 知,当 n 时,有

| ( 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x ) 3 u ( u n u ) d x | 0. (2.6)

注意到,对于任意的 s [ 2 , 6 ] ,有 ,因此

3 | u n | 3 d x 3 ( | u n | 2 + i = 1 3 | u n x i | 2 ) 3 2 d x 4 1 2 3 ( | u n | 3 + i = 1 3 | u n x i | 3 ) d x = 2 u n W 1 , 3 ( 3 ) 3 C u n 3 (2.7)

结合(2.3)、(2.4)和(2.7)知,当 n 时,有

| 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 2 u ( u n u ) | u n | 2 d x 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x 3 2 u ( u n u ) | u | 2 d x | | 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 2 u ( u n u ) | u n | 2 d x | + | 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x 3 2 u ( u n u ) | u | 2 d x | C ( 3 | u | 6 d x ) 1 6 ( 3 | u n | 3 d x ) 2 3 ( 3 | u n u | 6 d x ) 1 6 + C ( 3 | u | 6 d x ) 1 6 ( 3 | u | 3 d x ) 2 3 ( 3 | u n u | 6 d x ) 1 6 C u n u 6 0 (2.8)

根据(2.4)以及Hölder不等式知,当 n 时,有

| 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 2 u n 2 u ( u n u ) d x 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x 3 2 u 2 u ( u n u ) d x | | 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 2 u n 2 u ( u n u ) d x | + | 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x 3 2 u 2 u ( u n u ) d x | C u n 2 3 | u ( u n u ) | d x + C u 2 3 | u ( u n u ) | d x C u n 2 3 | u ( u n u ) | d x + C u 2 3 | u ( u n u ) | d x C 3 | u ( u n u ) | d x 0 (2.9)

由(F1)、(2.4)和Hölder不等式得

| 3 ( F u ( x , u n , v n ) F u ( x , u , v ) ) ( u n u ) d x | C 3 ( | ( u n , v n ) | + | ( u n , v n ) | p 1 + | ( u , v ) | + | ( u , v ) | p 1 ) | u n u | d x C ( ( ( u n , v n ) 2 + ( u , v ) 2 ) u n u L 2 + ( ( u n , v n ) p p 1 + ( u , v ) p p 1 ) u n u p ) 0 (2.10)

综合上述讨论可以得到,在E中有 u n u ( n ) 。类似可以得到,在E中有 v n v ( n ) 。证毕。

引理2.3:假设条件(V)、(F1)、(F3)~(F5)成立,则泛函 Φ 的任意 ( C ) c 序列都有界。

证明:令 { ( u n , v n ) } X 并且满足

Φ ( u n , v n ) c Φ ( u n , v n ) ( 1 + ( u n , v n ) ) 0. (2.11)

用反证法。若当 n 时, ( u n , v n ) ,则令 ( w n , z n ) = ( u n ( u n , v n ) , v n ( u n , v n ) ) ,显然 ( w n , z n ) = 1

则在X中存在弱收敛子列(不妨仍记为 { ( w n , z n ) } )和 ( w , z ) X ,使得

( w n , z n ) ( w , z ) X , ( w n , z n ) ( w , z ) L s ( 3 ) ( 2 s < + ) , ( w n , z n ) ( w , z ) a . e . 3

利用(F3)、(2.1)、(2.2)及(2.11),有

c + o ( 1 ) = Φ ( u n , v n ) 1 8 Φ ( u n , v n ) , ( u n , v n ) = 3 8 ( u n , v n ) 2 3 8 V 0 3 | ( u n , v n ) | 2 d x + 1 8 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x 3 | u n | 2 d x + 1 8 3 ( 1 + 2 v n 2 ) | v n | 2 d x 3 | v n | 2 d x + 3 ( 1 8 ( u n F u ( x , u n , v n ) v n F v ( x , u n , v n ) ) F ( x , u n , v n ) ) d x 3 8 ( u n , v n ) 2 α + 3 V 0 8 3 | ( u n , v n ) | 2 d x . (2.12)

显然,从上式可得 ( w n , z n ) 2 0 。设 Θ : = { x 3 : ( w , z ) 0 } ,故 meas ( Θ ) > 0 。对 x Θ ,当 n 时,有 | ( u n , v n ) | 。由(F2)知,对于 x Θ ,有

F ( x , u n , v n ) | ( u n , v n ) | 8 | ( w n , z n ) | 8 + , n

由Fatou引理知

Θ F ( x , u n , v n ) | ( u n , v n ) | 8 | ( w n , z n ) | 8 d x + , n (2.13)

因此,利用(2.11)和(2.13)式,条件(F1)、(F4)及 ( w n , z n ) = 1 可得

c + o ( 1 ) ( u n , v n ) 8 = Φ ( u n , v ) ( u n , v n ) 8 = 1 ( u n , v n ) 8 ( 1 2 ( u n , v n ) 2 + 1 4 ( 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | u n | 2 d x ) 2 + 1 4 ( 3 ( 1 + 2 v n 2 ) | v n | 2 d x ) 2 3 F ( x , u n , v n ) d x V 0 2 3 | ( u n , v n ) | 2 d x ) 1 2 ( u n , v n ) 6 + 1 4 ( 3 ( 1 ( u n , v n ) 2 + 2 u n 2 ( u n , v n ) 2 ) | u n | 2 ( u n , v n ) 2 d x ) 2 + 1 4 ( 3 ( 1 ( u n , v n ) 2 + 2 v n 2 ( u n , v n ) 2 ) | v n | 2 ( u n , v n ) 2 d x ) 2 Θ F ( x , u n , v n ) | ( u n , v n ) | 8 | ( w n , z n ) | 8 d x

1 2 ( u n , v n ) 6 + 1 4 ( 3 ( 1 ( u n , v n ) 2 + 2 w n 2 ) | w n | 2 d x ) 2 + 1 4 ( 3 ( 1 ( u n , v n ) 2 + 2 z n 2 ) | z n | 2 d x ) 2 Θ F ( x , u n , v n ) | ( u n , v n ) | 8 | ( w n , z n ) | 8 d x ( n )

(2.14)

显然上式是矛盾的。因此 { ( u n , v n ) } 在X中有界。证毕。

下面引理是证明定理1.1的主要依据。

引理2.4 (Fountain定理):设H是一个实Banach空间,并且 H = j N H j ¯ ,对任意的 j ,有 dim ( H j ) < 。令

Y k = j = 1 k H j , Z k = j = k H j ¯ , k .

ϕ C 1 ( H , ) 是一个偶泛函。若对任意的 k ,都存在 ρ k > r k > 0 ,使得

( ϕ 1 ) a k : = max u Y k , u = ρ k ϕ ( u ) 0

( ϕ 2 ) b k : = inf u Z k , u = r k ϕ ( u ) , k

( ϕ 3 ) 对任意 ϕ 满足条件;

ϕ 存在无界临界值序列。

3. 定理1.1的证明

{ e j } 是E的一组正交基,定义,则 E = H = Y k z k , X = ( Y k × Y k ) ( Z k × Z k )

那么我们有下面的引理:

引理3.1:若条件(V)成立,则对 2 s < ,当 k 时,有

β k ( s ) = sup ( u , v ) Z k × Z k , ( u , v ) = 1 ( u , v ) s 0. (3.1)

证明:由 Z k + 1 Z k 知, 0 < β k + 1 < β k 。因此,存在 β 0 ,使得当 k 时,有 β k β 。对每一个 k 0 ,都存在 ( u k , v k ) Z k × Z k ,使得 ( u k , v k ) = 1 。由 Z k 的定义知,在E中 u k 0 。再由Sobolev嵌入定理知,对 2 s < ,有 u k 0 L s ( 3 ) 。同理可得对 2 s < ,有 v k 0 L s ( 3 ) 。因此,当 k 时,有 β k ( s ) 0 。证毕。

引理3.2:假设条件(V)、(F1)成立,则存在 r k > 0 ,使得当 k 时,有 inf ( u , v ) Z k × Z k , ( u , v ) = r k Φ ( u , v )

证明:由(2.1)和(F1)知,对任意 ( u , v ) X ,有

Φ ( u , v ) = 1 2 ( u , v ) 2 + 1 4 ( 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x ) 2 + 1 4 ( 3 ( 1 + 2 v 2 ) | v | 2 d x ) 2 V 0 2 ( u , v ) 2 2 3 F ( x , u , v ) d x 1 2 ( u , v ) 2 V 0 2 ( u , v ) 2 2 3 C ( | ( u , v ) | 2 + | ( u , v ) | p + | ( u , v ) | q ) d x = 1 2 ( u , v ) 2 V 0 + C 2 ( u , v ) 2 2 C ( ( u , v ) p p + ( u , v ) p p ) (3.2)

根据引理3.1知

( u , v ) 2 2 β k 2 ( 2 ) ( u , v ) 2 , ( u , v ) p p β k p ( p ) ( u , v ) p , ( u , v ) q q β k q ( q ) ( u , v ) q

因此

Φ ( u , v ) ( 1 2 V 0 + C 2 β k 2 ( 2 ) ) ( u , v ) 2 C β k p ( p ) ( u , v ) p C β k q ( q ) ( u , v ) q .

由于当 k 时,有 β k ( 2 ) 0 ,结合引理3.1知,存在 k 1 ,使得当 k k 1 时,有

V 0 + C 2 β k 2 ( 2 ) 1 4 .

故当 k k 1 时,有

Φ ( u , v ) 1 4 ( u , v ) 2 C β k p ( p ) ( u , v ) p C β k q ( q ) ( u , v ) q .

r k = ( p 8 C ( β k p ( p ) + β k q ( q ) ) ) 1 max { p , q } 2 ,由引理3.1知,当 k 时,有 r k 0 。这样,若 u = r k ,则当时 k ,有

Φ ( u , v ) 1 4 ( u , v ) 2 C β k p ( p ) ( u , v ) p C β k q ( q ) ( u , v ) q 1 8 r k 2 .

证毕。

引理3.3:假设条件(V)、(F1)、(F3)成立,则存在 ρ k > 0 ,使得 max ( u , v ) Y k × Y k , ( u , v ) = ρ k Φ ( u ) 0

证明:根据有限维空间的范数等价性知,对任意 ( u , v ) Y k × Y k ,存在 τ k > 0 ,使得

( u , v ) 2 τ k ( u , v ) 8 2 . (3.3)

由(F2)知,对任意的 μ > 0 ,都存在 R μ > 0 ,使得对任意 | ( u , v ) | R μ ,有

由(F1)知,当 x 3 且满足 | ( u ( x ) , v ( x ) ) | R μ 时,有

F ( x , u , v ) C ( | ( u , v ) | 2 + | ( u , v ) | p + | ( u , v ) | q ) C ( | ( u , v ) | 2 + R μ p 2 | ( u , v ) | 2 + R u q 2 | ( u , v ) | 2 ) μ | ( u , v ) | 2 ( | ( u , v ) | 6 R μ 6 ) C ( | ( u , v ) | 2 + R μ p 2 | ( u , v ) | 2 + R μ q 2 | ( u , v ) | 2 ) = μ | ( u , v ) | 8 C μ | ( u , v ) | 2

故对任意 ( x , u , v ) 3 × 2 ,有

F ( x , u , v ) μ | ( u , v ) | 8 C μ | ( u , v ) | 2 . (3.4)

于是,由(2.1)、(3.3)、(3.4)以及Hölder不等式知,对任意的 ( u , v ) Y k × Y k ,有

Φ ( u , v ) = 1 2 ( u , v ) 2 + 1 4 ( 3 ( 1 + 2 u 2 ) | u | 2 d x ) 2 + 1 4 ( 3 ( 1 + 2 v 2 ) | v | 2 d x ) 2 V 0 2 ( u , v ) 2 2 3 F ( x , u , v ) d x 1 2 ( u , v ) 2 + 1 4 ( u 2 + 2 u 6 2 u 3 2 ) 2 + 1 4 ( v 2 + 2 v 6 2 v 3 2 ) 2 μ ( u , v ) 8 8 + C μ ( u , v ) 2 2

1 2 ( u , v ) 2 + 1 4 ( u 2 + 2 C u 4 ) 2 + 1 4 ( v 2 + 2 C v 4 ) 2 μ τ k 4 ( u , v ) 8 + C μ ( u , v ) 2 = ( 1 2 + C μ ) ( u , v ) 2 + 1 4 ( u , v ) 4 + C ( u , v ) 6 ( μ τ k 4 C ) ( u , v ) 8

μ C τ k 4 则存在 ρ k > 0 ,使得当 ( u , v ) Y k × Y k 且满足 ( u n , v n ) = ρ k 时,都有 Φ ( u , v ) 0 。证毕。

定理1.1的证明:显然 Φ ( 0 , 0 ) = 0 ,由(F4)可得。引理2.2、2.3、3.2和3.3保证了泛函满足Fountain定理的所有条件,因此,问题(1.1)存在无穷多高能量解。

文章引用

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