广西民族大学数学与物理学院，广西 南宁

收稿日期：2020年8月16日；录用日期：2020年9月2日；发布日期：2020年9月9日

摘要

本文主要研究了紧致光滑流形上的向量丛E值p形式的Weitzenböck公式、复流形上的 $\bar{\partial }$ -Laplace算子的Weitzenböck恒等式及其应用。先证明Gårding不等式，然后证明了整体理论的Hodge定理。

关键词

Weitzenböck公式，Bochner公式，Gårding不等式，Hodge定理

The Weitzenböck Formula and Gårding Inequality on Complex Manifolds

Qing Huang, Qiuhua Yang, Weijun Lu

College of Mathematics and Physics, Guangxi University for Nationalities, Nanning Guangxi

Received: Aug. 16^th, 2020; accepted: Sep. 2^nd, 2020; published: Sep. 9^th, 2020

ABSTRACT

This paper mainly investigates the Weitzenböck formula for vector bundle E-valued on compact smooth manifolds and Weitzenböck identity of $\bar{\partial }$ -Laplace operator and its applications on complex manifolds. After proving Gårding inequality, we prove the Hodge theorem with global theory.

Keywords:Weitzenböck Formula, Bochner Formula, Gårding Inequality, Hodge Theorem

Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

Weitzenböck公式在研究黎曼流形上曲率对调和形式的影响起了很大的作用，本文主要研究它在Bochner公式以及Gårding不等式证明上的应用。Gårding不等式说明了Dirichlet范数等价于 $H_1^{p,q}\left(M\right)$ 上的Sobolev 1-范数，它可以证明Hodge定理。本文首先证明了紧致光滑流形上的向量丛E值p形式的Weitzenböck公式、复流形上的 $\bar{\partial }$ -Laplace算子的Weitzenböck恒等式，在实现了它们在Gårding不等式上的应用后，证明了整体理论的Hodge定理。

2. 相关知识

定义2.1 [1] (外微分算子)定义向量丛值微分形式上的外微分算子 $d:\Gamma \left({\Lambda }^p{T}^{\ast }M\otimes E\right)\to \Gamma \left({\Lambda }^{p+1}{T}^{\ast }M\otimes E\right)$ 如下：对任意 $\omega \in \Gamma \left({\Lambda }^p{T}^{\ast }M\otimes E\right)$ 以及 $X_0,\cdots ,X_p\in \Gamma \left(TM\right)$，

$d\omega \left(X_0,\cdots ,X_p\right)={\left(-1\right)}^k\left({\nabla }_{X_k}\omega \right)\left(X_0,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right),\left(0\le k\le p\right).$ (2.1)

注记：对普通外微分形式的外微分算子有 $d^2=0$。但是，对向量丛值微分形式所定义的外微分算子，不具有这个性质。从(2.1)式，可以推出

$d^2:\Gamma \left({\Lambda }^p{T}^{\ast }M\otimes E\right)\to \Gamma \left({\Lambda }^{p+2}{T}^{\ast }M\otimes E\right),$

$d^2\omega \left(X_0,\cdots ,X_{p+1}\right)={\displaystyle \underset{l<k}{\sum }{\left(-1\right)}^{l+k}\left(R\left(X_l,X_k\right)\omega \right)}\left(X_0,\cdots ,{\hat{X}}_l,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_{p+1}\right).$ (2.2)

定义2.2 [1] (余微分算子)定义向量丛值微分形式上的余微分算子 $\delta :\Gamma \left({\Lambda }^p{T}^{\ast }M\otimes E\right)\to \Gamma \left({\Lambda }^{p-1}{T}^{\ast }M\otimes E\right)$ 如下：对任意 $\omega \in \Gamma \left({\Lambda }^p{T}^{\ast }M\otimes E\right)$ 以及 $X_1,\cdots ,X_{p-1}\in \Gamma \left(TM\right)$，

$\delta \omega \left(X_1,\cdots ,X_{p-1}\right)=-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\left({\nabla }_{e_i}\omega \right)\left(e_i,X_1,\cdots ,X_{p-1}\right)},$ (2.3)

其中 $\left\{e_i\right\}$ 是M上的局部幺正标架场。规定 ${\delta }^0:\Gamma \left({\Lambda }^0{T}^{\ast }M\otimes E\right)\to \Gamma \left({\Lambda }^{0-1}{T}^{\ast }M\otimes E\right)$，即 ${\delta }^0=0$。

定义2.3 [1] Hodge-Laplace算子为

$\Delta =d\delta +\delta d.$ (2.4)

它将任何一个E值p形式映照成E值p形式。

3. Weitzenböck公式

3.1. 向量丛E值p形式的Weitzenböck公式

命题3.1 [1] (Weitzenböck公式)对任意一个向量丛值p形式 $\omega$ 有

$\Delta \omega =-{\nabla }^2\omega +S,$ (3.1.1)

其中 ${\nabla }^2=T{r}_g{\nabla }_{·,·}={\nabla }_{·}{\nabla }_{·}-{\nabla }_{{\nabla }_{·}·}$ 表示Laplace算子的迹，即迹-Laplace算子，且对任意的 $X_1,\cdots ,X_p\in \Gamma \left(TM\right)$，

$S\left(X_1,\cdots ,X_p\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p}{\sum }}{\left(-1\right)}^k\left(R\left(e_i,X_k\right)\omega \right)\left(e_i,X_1,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right)}}.$ (3.1.2)

证明：在M上的任何一点q附近取局部幺正标架场 $\left\{e_i\right\}$，并且 ${{\nabla }_{e_i}{e}_j|}_q=0$。那么，对 $\forall X_1,\cdots ,X_p\in \Gamma \left(TM\right)$，

$\begin{array}{l}{\nabla }_{X_k}\delta \omega \left(X_1,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right)\\ =\left({\nabla }_{X_k}\delta \omega \right)\left(X_1,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right)+{\displaystyle {\sum }_l\delta \omega \left(X_1,\cdots ,X_{l-1},{\nabla }_{X_k}{X}_l,X_{l+1},\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right)}\end{array}$ (3.1.3)

因为 ${{\nabla }_{e_i}{e}_j|}_q=0$，所以

${\displaystyle {\sum }_l\delta \omega \left(X_1,\cdots ,X_{l-1},{\nabla }_{X_k}{X}_l,X_{l+1},\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right)}=0.$ (3.1.4)

由余微分算子的定义得

${\nabla }_{X_k}\delta \omega \left(X_1,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right)=-{\nabla }_{X_k}{\nabla }_{e_i}\omega \left(e_i,X_1,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right).$ (3.1.5)

其中由 ${{\nabla }_{e_i}{e}_j|}_q=0$ 知，

${\nabla }_{e_i}\omega \left({\nabla }_{X_k}{e}_i,X_1,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right)=0,{\displaystyle \underset{l}{\sum }{\nabla }_{e_i}\omega \left(e_i,X_1,\cdots ,{\nabla }_{X_k}{X}_l,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right)}=0.$ (3.1.6)

由此

$\begin{array}{c}d\delta \omega \left(X_1,\cdot \cdot \cdot ,X_p\right)={\left(-1\right)}^{k-1}{\nabla }_{X_k}\delta \omega \left(X_1,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right)-{\displaystyle \underset{l}{\sum }{\left(-1\right)}^{k-1}\delta \omega \left(X_1,\cdots ,{\nabla }_{X_k}{X}_l,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right)}\\ ={\left(-1\right)}^k\left({\nabla }_{X_k}{\nabla }_{e{}_i}\omega \right)\left(e_i,X_1,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right)\end{array}$ (3.1.7)

另一方面，

$\begin{array}{c}\delta d\omega \left(X_1,\cdots ,X_p\right)=-\left({\nabla }_{e_i}{\nabla }_{e{}_i}\omega \right)\left(X_1,\cdots ,X_p\right)-{\left(-1\right)}^k\left({\nabla }_{e_i}{\nabla }_{X_k}\omega \right)\left(e_i,X_1,\cdots ,{\hat{X}}_k,\cdots ,X_p\right)\\ +{\left(-1\right)}^l\left({\nabla }_{{\nabla }_{e_i}{X}_l}\omega \right)\left(e_i,X_1,\cdots ,{\hat{X}}_l,\cdots ,X_p\right)\end{array}$ (3.1.8)

从而

$\Delta \omega \left(X_1,\cdots ,X_p\right)=-\left({\nabla }^2\omega \right)\left(X_1,\cdots ,X_p\right)+S\left(X_1,\cdots ,X_p\right)=\left(-{\nabla }^2\omega +S\right)\left(X_1,\cdots ,X_p\right).$ (3.1.9)

即

$\Delta \omega =-{\nabla }^2\omega +S.$ □

3.2. 向量丛E值p形式的Weitzenböck公式的应用

由Weitzenböck公式可推导出调和映照的能量密度的Bochner公式 [1]。

对光滑映照 $f:M\to N$，取 $\omega =df\in \Gamma \left(T^{\ast }M\otimes f^{-1}TN\right)$，对 $\forall X\in \Gamma \left(TM\right)$，

$S\left(X\right)=-R^N\left(f_{\ast }{e}_i,f_{\ast }X\right)f_{\ast }{e}_i+f_{\ast }Ri{c}^{M}X.$ (3.2.1)

命题3.2：设 $f:M\to N$ 是调和映照，那么证明下式成立，

$\Delta e\left(f\right)={\left|B\left(f\right)\right|}^2-\langle R^N\left(f_{\ast }{e}_i,f_{\ast }{e}_j\right)f_{\ast }{e}_i,f_{\ast }{e}_j\rangle +\langle f_{\ast }Ri{c}^M{e}_i,f_{\ast }{e}_i\rangle .$ (3.2.2)

证明：取M上的任何一点q附近局部幺正标架场 $\left\{e_i\right\}$，并且 ${{\nabla }_{e_i}{e}_j|}_q=0$，因为

$e\left(f\right)=\left(1/2\right){\left|df\right|}^2=\left(1/2\right)\langle df,df\rangle ,{\left|B\left(f\right)\right|}^2=\langle \nabla df,\nabla df\rangle .$

因此

$\Delta e\left(f\right)=\Delta \left(1/2\right)\langle df,df\rangle =\langle {\nabla }^{2}df,df\rangle +\langle \nabla df,\nabla df\rangle =\langle {\nabla }^{2}df,df\rangle +{\left|B\left(f\right)\right|}^2.$ (3.2.3)

又由Weitzenböck公式可得，

$\langle {\nabla }^{2}df,df\rangle =\langle -\Delta df+S,df\rangle =\langle -\Delta df,df\rangle -\langle R^N\left(f_{\ast }{e}_i,f_{\ast }{e}_j\right)f_{\ast }{e}_i,f_{\ast }{e}_j\rangle +\langle f_{\ast }Ri{c}^M{e}_i,f_{\ast }{e}_i\rangle .$ (3.2.4)

考虑到f是调和映照， $\Delta df=0$，因此就可得到所证公式，即

$\Delta e\left(f\right)={\left|B\left(f\right)\right|}^2-\langle R^N\left(f_{\ast }{e}_i,f_{\ast }{e}_j\right)f_{\ast }{e}_i,f_{\ast }{e}_j\rangle +\langle f_{\ast }Ri{c}^M{e}_i,f_{\ast }{e}_i\rangle .$ □

3.3. Weitzenböck恒等式

命题3.3：复流形M上 $\bar{\partial }$ -Laplace算子 ${\Delta }_{\bar{\partial }}=\bar{\partial }\circ {\bar{\partial }}^{\ast }+{\bar{\partial }}^{\ast }\circ \bar{\partial }$ 的Weitzenböck恒等式为：

${\left(\Delta \psi \right)}_{I,\bar{J}}=\left(-{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\nabla }_k{\nabla }_{\bar{k}}}{\psi }_{I,\bar{J}}\right)+A^1\left(\psi \right),$ (3.3.1)

其中 $\psi \in A^{p,q}\left(M\right)$，

$\psi =\left(1/p!q!\right){\displaystyle \underset{\begin{array}{l}\#I=p\\ \#J=q\end{array}}{\sum }{\psi }_{I,\bar{J}}{\phi }_I\wedge {\bar{\phi }}_J}=\left(1/p!q!\right){\displaystyle \underset{\begin{array}{l}1\le i_1<\cdots <i_p\le n\\ 1\le j_1<\cdots <j_q\le n\end{array}}{\sum }{\psi }_{i_1,\cdots ,i_p{\bar{j}}_1,\cdots ,{\bar{j}}_q}{\phi }_{i_1}\wedge \cdots \wedge {\phi }_{i_p}}\wedge {\bar{\phi }}_{j_1}\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_{j_q}$ (3.3.2)

其中 ${\psi }_{I,\bar{J}}$ 对指标 $i_{\alpha }$ 和 ${\bar{j}}_{\beta }$ 是反对称的，对 ${\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n$ 是Hermite度量 $d{s}^2={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\phi }_i{\bar{\phi }}_i}$ 的局部幺正余标架。

精确的Weitzenböck公式与低阶项有关。对于一个一般的厄米特度量， $A^1\left(\psi \right)$ 是在它的第一阶项中包含挠率的麻烦的算子。然而，当度量是Kähler度量时，它们消失了，并且 $A^1\left(\psi \right)$ 是一个代数算子，

$A^1{\left(\psi \right)}_{I\bar{J}}={\displaystyle \underset{k,j_{\alpha }}{\sum }{R}_{j_{\alpha }\bar{k}}}{\psi }_{I{\bar{j}}_1\cdots {\bar{j}}_{\alpha -1}\bar{k}{\bar{j}}_{\alpha +1}\cdots {\bar{j}}_q},$

其中

$R_{j\bar{k}}={\displaystyle \underset{i}{\sum }{R}_{ij\bar{k}}^i}$

是Ricci曲率。

证明：令 $v_1,\cdots ,v_n$ 是 ${\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n$ 的对偶向量标架场，记 $v_{\bar{i}}={\bar{v}}_i$。对于函数f， $\bar{\partial }f={\displaystyle {\sum }_i\left(v_i\cdot f\right){\bar{\phi }}_i}$，对于张量 $\tau =\left\{{\tau }_I\right\}$，它的 $\bar{z}$ -协变微分 ${\bar{\nabla }}_{\tau }$ 的分量为 ${\left({\bar{\nabla }}_{\tau }\right)}_I=\bar{\partial }{\tau }_I+A^0\left(\tau \right)$，为方便，使用“ $\equiv$ ”表示“模掉低价项”，则有 ${\left({\bar{\nabla }}_{\tau }\right)}_I\equiv \bar{\partial }{\tau }_I$。

设 ${\Phi }^{\prime }={\phi }_1\wedge {\phi }_2\wedge \cdots \wedge {\phi }_n$，下面只需证 $\psi =f{\phi }_I\wedge {\bar{\phi }}_J$ (不求和)时，(3.3.1)式成立。

由于 $dz$ 的作用尤如向量丛指标，我们将假定 $p=0$，根据式(3.3.1)的对称性，取 $J=\left(1,\cdots ,q\right)$，有

$\psi =f{\bar{\phi }}_1\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_q\in A^{0,q}\left(M\right).$

则

$\bar{\partial }\psi \equiv \bar{\partial }f\wedge {\bar{\phi }}_1\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_q={\displaystyle \underset{k=p+1}{\overset{n}{\sum }}{f}_{\bar{k}}}{\bar{\phi }}_k\wedge {\bar{\phi }}_1\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_q={\displaystyle \underset{k=p+1}{\overset{n}{\sum }}{f}_{\bar{k}}}{\left(-1\right)}^q{\bar{\phi }}_1\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_q\wedge {\bar{\phi }}_k\in A^{0,q+1}\left(M\right),$ (3.3.3)

$\ast \bar{\partial }\psi ={\left(-1\right)}^q\cdot 2^{q+1-n}{\displaystyle \underset{k=p+1}{\overset{n}{\sum }}{\left(-1\right)}^{\left(k-\left(q+1\right)\right)n}{\left(-1\right)}^{n\left(n-k\right)}{\bar{f}}_{\bar{k}}\cdot {\bar{\phi }}_{q+1}}\wedge \cdots \wedge \widehat{{\stackrel{¯}{\phi }}_k}\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_n\wedge {\Phi }^{\prime }\in A^{n,n-q-1}\left(M\right),$ (3.3.4)

$\begin{array}{l}\bar{\partial }\ast \bar{\partial }\psi =2^{q+1-n}({\displaystyle \underset{k=p+1}{\overset{n}{\sum }}{\left(-1\right)}^{k-1}}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{q}{\sum }}{\bar{f}}_{\bar{k},l}{\bar{\phi }}_l\wedge {\bar{\phi }}_{q+1}\wedge \cdots \wedge \widehat{{\stackrel{¯}{\phi }}_k}\cdots \wedge {\bar{\phi }}_n\wedge {\Phi }^{\prime }}\\ +{\displaystyle \underset{k=p+1}{\overset{n}{\sum }}{\bar{f}}_{\bar{k},k}{\bar{\phi }}_{q+1}}\wedge \cdots \wedge \widehat{{\stackrel{¯}{\phi }}_k}\cdots \wedge {\bar{\phi }}_n\wedge {\Phi }^{\prime })\in A^{n,n-q}\left(M\right)\end{array}$ (3.3.5)

$\ast \bar{\partial }\ast \bar{\partial }\psi =2{\displaystyle \underset{k=p+1}{\overset{n}{\sum }}{f}_{\bar{k},k}{\bar{\phi }}_1}\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_q+2{\displaystyle \underset{k=q+1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{q}{\sum }}{\left(-1\right)}^{l-1+q}{f}_{\bar{k},l}{\bar{\phi }}_1\wedge \cdots \wedge \widehat{{\stackrel{¯}{\phi }}_l}\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_q\wedge {\bar{\phi }}_k}}\in A^{0,q}\left(M\right),$ (3.3.6)

对另一项 $\bar{\partial }\ast \bar{\partial }\ast \psi$，同理得

$\ast \psi =2^{0+q-n}\bar{f}{\bar{\phi }}_{q+1}\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_n\wedge {\Phi }^{\prime }\in A^{n,n-q}\left(M\right),$ (3.3.7)

$\bar{\partial }\ast \psi =2^{q-n}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{q}{\sum }}{\bar{f}}_l}{\bar{\phi }}_l\wedge {\bar{\phi }}_{q+1}\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_n\wedge {\Phi }^{\prime }\in A^{n,n-q+1}\left(M\right),$ (3.3.8)

$\ast \bar{\partial }\ast \psi =2{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{q}{\sum }}{\left(-1\right)}^{l-1}{f}_l}{\bar{\phi }}_1\wedge \cdots \wedge \widehat{{\stackrel{¯}{\phi }}_l}\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_q\in A^{0,q-1}\left(M\right),$ (3.3.9)

$\bar{\partial }\ast \bar{\partial }\ast \psi =2{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{q}{\sum }}{f}_{l,\bar{l}}{\bar{\phi }}_1\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_q}+2{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{q}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=q+1}{\overset{n}{\sum }}{\left(-1\right)}^{q+l}}{f}_{l,\bar{k}}{\bar{\phi }}_1\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_l}\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_q\wedge {\bar{\phi }}_k\in A^{0,q}\left(M\right),$ (3.3.10)

注意到 $v_i\left(v_{\bar{j}}f\right)-v_{\bar{j}}\left(v_{i}f\right)=0$，$f_{\bar{j},i}-f_{i,\bar{j}}\equiv A^1\left(f\right)$，模掉 $A^{0,q}\left(M\right)$ 中的一阶项，便得

${\Delta }_{\bar{\partial }}\psi =\left(\bar{\partial }{\bar{\partial }}^{\ast }+{\bar{\partial }}^{\ast }\bar{\partial }\right)\psi =-\bar{\partial }\ast \bar{\partial }\ast \psi -\ast \bar{\partial }\ast \bar{\partial }\psi =-2{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_{\bar{k},k}{\bar{\phi }}_1\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_q}$

这就证明了Weitzenböck公式。 □

3.4. Gårding不等式的证明

已证得的Weitzenböck公式形如：

${\left(\Delta \psi \right)}_{I,\bar{J}}=\left(-2{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\psi }_{I,\bar{J},\bar{k},k}}\right)+A^1\left(\psi \right),\forall \psi \in A^{p,q}\left(M\right).$ (3.4.1)

记 $\Phi =C_n{\Phi }^{\prime }\wedge {\bar{\Phi }}^{\prime }$ 为体积形式，其中 $C_n={\left(\sqrt{-1}/2\right)}^n{\left(-1\right)}^{C_n^2}$，${\Phi }^{\prime }={\phi }_1\wedge \cdots \wedge {\phi }_n$，设

$\eta =C_n\left(-{\displaystyle \underset{I,J,k}{\sum }{\left(-1\right)}^{k-1}}{\psi }_{I\bar{J},\bar{k}}\overline{{\psi }_{I\stackrel{¯}{J}}}{\phi }_1\wedge \cdots \wedge {\hat{\phi }}_k\wedge \cdots \wedge {\phi }_n\right)\wedge {\Phi }^{\prime }={C^{\prime }}_n\left(\bar{\nabla }\psi ,\psi \right)\wedge {\omega }^{n-1},$ (3.4.2)

这表明 $\eta$ 是整体定义的，并且因为它有 $\left(n-1,n\right)$ 型， ${\bar{\partial }|}_{A^{n-1,n}\left(M\right)}=0$，$\eta \in A^{n-1,n}\left(M\right)$，所以 $d\eta =\left(\partial +\bar{\partial }\right)\eta =\partial \eta$，由Stokes定理有

${\displaystyle {\int }_M\partial \eta }={\displaystyle {\int }_M\text{d}\eta }={\displaystyle {\int }_{\partial M}\eta }=0\left(\partial M=\varnothing \right),$

又

$\partial \eta =\left(-2{\displaystyle \underset{I,J,k}{\sum }{\psi }_{I\bar{J},\bar{k},k}{\bar{\psi }}_{IJ}}\right)\Phi -\left(2{\displaystyle \underset{I,J,k}{\sum }{\psi }_{I\bar{J},\bar{k}}\overline{{\psi }_{I\stackrel{¯}{J},\stackrel{¯}{k}}}}\right)\Phi +\left(A^1\psi ,\psi \right)\Phi ,$

所以，由Weitzenböck公式，

$\left(\Delta \psi ,\psi \right)={\Vert \bar{\nabla }\psi \Vert }^2+\left(A^1\psi ,\psi \right),$ (3.4.3)

其中， ${\Vert \bar{\nabla }\psi \Vert }^2={\displaystyle {\int }_M\left(\bar{\nabla }\psi ,\bar{\nabla }\psi \right)\Phi }$ 是张量 $\psi$ 的 $\bar{z}$ 协变微分的 $L^2$ -范数， $A^1\left(\psi \right)$ 是包括 $\psi$ 的 $\bar{z}$ 微分的第一阶算子，利用不等式 $2\alpha \beta \le \epsilon {\alpha }^2+\left(1/\epsilon \right){\beta }^2$，有

$2\left|\left(A^1\psi ,\psi \right)\right|\le \epsilon {\Vert \bar{\nabla }\psi \Vert }^2+\left(1/\epsilon \right){\Vert \psi \Vert }^2,$ (3.4.4)

即

${\Vert \bar{\nabla }\psi \Vert }^2\le C^{\prime }\left\{\left(\Delta \psi ,\psi \right)+{\Vert \psi \Vert }^2\right\},C^{\prime }>0.$ (3.4.5)

将上面的讨论重复到

$\gamma =C_n\left(-{\displaystyle \underset{I,J,k}{\sum }{\left(-1\right)}^{k-1}{\psi }_{I\bar{J},k}\overline{{\psi }_{I\stackrel{¯}{J}}}{\bar{\phi }}_1\wedge \cdots \wedge \widehat{{\stackrel{¯}{\phi }}_k}\wedge \cdots \wedge {\bar{\phi }}_n}\right)\wedge {\Phi }^{\prime },$

通过Dirichlet范数，由 $f_{k,\bar{k}}=f_{\bar{k},k}+A^1\left(f\right)$ 去估计z微分的 $L^2$ -范数 ${\Vert \nabla \psi \Vert }^2$。那么，

${\Vert \nabla \psi \Vert }^2+{\Vert \bar{\nabla }\psi \Vert }^2+{\Vert \psi \Vert }^2\ge C^{″}\left(\left(\Delta \psi ,\psi \right)+{\Vert \psi \Vert }^2\right)=C^{″}D\left(\psi \right).$ (3.4.6)

这就是Gårding不等式。

注：在Kähler情形，可以利用精确的Weitzenböck公式和分部积分运算来证明Kodaira恒等式

$\left(\Delta \psi ,\psi \right)={\Vert \bar{\nabla }\psi \Vert }^2+\left(R\psi ,\psi \right),$ (3.4.7)

其中，对 $\psi \in A^{0,q}\left(M\right)$ 和重复指标求和，得

$\left(R\psi ,\psi \right)=q{\displaystyle {\int }_M\left(R_{ij}{\psi }_{{\bar{i}}_1\cdots {\bar{i}}_{q-1}\bar{i}}{\bar{\psi }}_{{\bar{i}}_1\cdots {\bar{i}}_{q-1}\bar{j}}\right)\Phi },$

如果 $\psi$ 是调和的，并且Hermite形式 $R_{i\bar{j}}{\xi }^i{\bar{\xi }}^j$ 是正定的，那么我们推到出 $\psi =0$。由Hodge定理，

$0=H^{0,q}\left(M\right)\cong H_{\bar{\partial }}^{0,q}\left(M\right),q>0.$ (3.4.8)

这是著名的Kodaira消没定理的特殊情形。

4. 正则性引理

引理4.1 [2] (正则性引理)假设 $\phi \in H_s^{p,q}\left(M\right)$，并且对所有 $\eta \in A^{p,q}\left(M\right)$，在

$\left(\psi ,\Delta \eta \right)=\left(\phi ,\eta \right)$

的意义上， $\psi \in H_0^{p,q}\left(M\right)$ 是方程

$\Delta \psi =\phi$ (4.1)

的弱解。那么 $\psi \in H_{s+2}^{p,q}\left(M\right)$。

5. Hodge定理的证明：整体理论

在环面 $T^n={\left(ℝ/2\pi \mathbb{Z}\right)}^n$ 上，Sobolev s-范数由加权Fourier级数或由 $L^2$ -范数

${\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|\le s}{\sum }{\displaystyle {\int }_T{\left|D^{\alpha }\phi \right|}^2\text{d}x}}$

给出。设 $U\subset V\subset {ℝ}^n$，并且U相对于V是紧致的。U上具有紧致支集的函数可以看作 $T^n={\left(ℝ/2\pi \mathbb{Z}\right)}^n$ 上的函数。假设 $v_1\left(x\right),\cdots ,v_n\left(x\right)$ 是V上处处线性无关的 $C^{\infty }$ 矢量场， $\rho \left(x\right)$ 是V上的正定函数。对 $\phi \in C_c^{\infty }\left(U\right)$，Sobolev 0-范数和1-范数分别等价于

${\displaystyle {\int }_V\rho \left(x\right){\left|\phi \left(x\right)\right|}^2\text{d}x}$，${\displaystyle {\int }_V\rho \left(x\right)\left\{{\left|\phi \left(x\right)\right|}^2+{\displaystyle \underset{i}{\sum }{\left|v_i\left(x\right)\cdot \phi \left(x\right)\right|}^2}\right\}\text{d}x}.$ (5.1)

注意到交换子

$\left[v_i,v_j\right]\phi =v_i\left(v_j\phi \right)-v_j\left(v_i\phi \right)$

是一个阶为1的算子，其中一个阶为s的算子最多包含s次微分。表达式

$v^{\alpha }\phi =v_1^{{\alpha }_1}\left(v_1^{{\alpha }_2}\cdots \left(v_n^{{\alpha }_n}\phi \right)\cdots \right)$

和模阶 $<\left[\alpha \right]$ 的算子的顺序无关。所以 $\phi \in C_c^{\infty }\left(U\right)$ 的Sobolev s-范数等价于 ${\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|\le s}{\sum }{\displaystyle \int {\left|v^{\alpha }\phi \left(x\right)\right|}^2\text{d}x}}$。

假设 $E\to M$ 是紧致流形M上的矢量丛。若 $\nabla$ 是E和M的切丛TM上的联络， $\left\{e_{\alpha }\right\}$ 是E的局部标架， $\left\{v_i\right\}$ 是TM的局部标架， $\left\{{\phi }_i\right\}$ 是TM的余标架，则 $E\to M$ 的截面 $f={\displaystyle {\sum }_{\alpha }{f}_{\alpha }{e}_{\alpha }}$ 的协变微分 ${\nabla }_i{f}_{\alpha }=f_{\alpha ,i}$ 定义为

$\nabla f={\displaystyle \underset{\alpha ,i}{\sum }{f}_{\alpha ,i}}{e}_{\alpha }\otimes {\phi }_i.$

我们得到

$f_{\alpha ,i}=v_i{f}_{\alpha }+A^0\left(f\right),$ (5.2)

其中， $A^0$ 是包括联络矩阵阶为0的算子。

把这些讨论应用到 $E\otimes T^{\ast }\left(M\right)$，定义 $f_{\alpha ,i,j}={\nabla }_j\left({\nabla }_i{f}_{\alpha }\right)$，则有

$\left[{\nabla }_i,{\nabla }_j\right]f_{\alpha }=A^1\left(f\right).$

假设E和 $T\left(M\right)$ 有度量，并且 $\left\{e_{\alpha }\right\},\left\{v_i\right\}$ 是正交标架。截面 $f\in C^{\infty }\left(M,E\right)$ 的整体Sobolev s-范数定义为

${\Vert f\Vert }_s^2={\displaystyle \underset{k\le s}{\sum }{\Vert {\nabla }^{k}f\Vert }_0^2\text{d}x},$ (5.3)

其中，

${\nabla }^{k}f=\underset{k次}{\underset{︸}{\nabla \left(\nabla \left(\cdots \left(\nabla f\right)\cdots \right)\right)}}$

用 $H_s\left(M,E\right)$ 表示在这个范数 $C^{\infty }\left(M,E\right)$ 的完备化。那么由单位分解，整体的Sobolev范数诱导了一个范数，这个范数与某点邻域中有紧致支集的截面上的通常Sobolev范数等价，我们可以得到：

引理5.1 [2] (整体Sobolev引理) $H_{\left[n/2\right]+1+s}\left(M,E\right)\subset C^{\infty }\left(M,E\right)$，它是M上可微类的截面，并且

${\displaystyle \underset{s}{\cap }H\left(M,E\right)}=C^{\infty }\left(M,E\right).$ (5.4)

引理5.2 [2] (整体Rellich引理)对于 $s>r$，包含映射：

$H_s\left(M,E\right)\to H_r\left(M,E\right)$

是一个紧致算子。

现在，设M是一个在切丛上有Hermite联络的紧致Hermite流形， $H_s^{p,q}\left(M\right)$ 表示 $A^{p,q}\left(M\right)$ 在Sobolev s-范数 $\Vert \cdot \Vert ={\Vert \Vert }_0$ 下的完备化，把Dirichlet内积和Dirichlet范数分别定义为

$\begin{array}{l}D\left(\phi ,\psi \right)=\left(\phi ,\psi \right)+\left(\bar{\partial }\phi ,\bar{\partial }\psi \right)+\left({\bar{\partial }}^{\ast }\phi ,{\bar{\partial }}^{\ast }\psi \right)=\left(\phi ,\left(I+\Delta \right)\psi \right)\\ D\left(\phi \right)=D\left(\phi ,\phi \right)={\Vert \phi \Vert }^2+{\Vert \bar{\partial }\phi \Vert }^2+{\Vert {\bar{\partial }}^{\ast }\phi \Vert }^2\end{array}$

理论中的基本估计来自

Gårding不等式：对 $\phi \in A^{p,q}\left(M\right)$，

${\Vert \phi \Vert }_1^2\le CD\left(\phi \right)\left(C>0\right).$ (5.5)

我们注意到，不只是Laplace算子 $\Delta$，而是算子 $I+\Delta$ 被采用，这是因为 $\Delta \ge 0$ 意味着 $I+\Delta$ 没有核，并且因此我们可以求它的逆。

Gårding不等式的一个用处就是证明定理4.1，例如，假设 $\psi \in H_0^{p,q}\left(M\right)$ 是Laplace算子的特征函数，意思就是，对常数 $\lambda$，方程

$\Delta \phi =\lambda \phi$ (5.6)

在弱解的意义上成立，那么，由正则性引理，对所有的s有 $\phi \in H_s^{p,q}\left(M\right)$，并且由整体Sobolev引理，我们得到，任意 $\Delta$ 的本征函数是光滑的。

我们注意到，任意的本征函数 $\lambda \ge 0$，并且 $\lambda =0\iff \phi$ 在弱解上的意义是调和的。由正则性和Sobolev引理，任意这样的弱解调和形式在通常意义上是和 $C^{\infty }$ 调和的。

下面我们将假定Gårding不等式和正则性引理成立，继续来完成Hodge定理的证明。

基本的Hilbert空间的工具是紧致自伴算子的谱定理，以及通过与一个固定向量取内积而表示有界线性函数的原理，形式如下：

引理5.3 [3] 给定 $\psi \in H_0^{p,q}\left(M\right)$，存在一个唯一的 $\psi \in H_1^{p,q}\left(M\right)$，使得对所有的 $\eta \in A^{p,q}\left(M\right)$，有

$\left(\phi ,\eta \right)=D\left(\psi ,\eta \right)=\left(\psi ,\left(I+\Delta \right)\eta \right).$ (5.7)

从 $H_0^{p,q}\left(M\right)$ 到 $H_1^{p,q}\left(M\right)$ 的映射

$\psi =T(\; \phi \; )$

是有界的，并且从而映射

$T:H_0^{p,q}\left(M\right)\to H_1^{p,q}(\; M\; )$

是紧致和自伴的。

证明：从Gårding不等式得到，Dirichlet范数 $D\left(\phi \right)$ 等价于 $H_1^{p,q}\left(M\right)$ 上的Sobolev 1-范数 ${\Vert \phi \Vert }_1^2$。利用

$\left|\left(\phi ,\eta \right)\right|\le {\Vert \phi \Vert }_0{\Vert \eta \Vert }_0\le {\Vert \phi \Vert }_{0}D\left(\eta \right),$ (5.8)

线性泛函

$\eta \to \left(\phi ,\eta \right),\forall \eta \in A^{p,q}(\; M\; )$

扩张到有Dirichlet范数的 $H_1^{p,q}\left(M\right)$ 上的有界线性形式。从而方程

$\left(\phi ,\eta \right)=D\left(\psi ,\eta \right)$ (5.9)

有唯一解 $\psi =T\left(\phi \right)$，其特征为

$\left(\phi ,\eta \right)=\left(T\phi ,\left(I+\Delta \right)\eta \right)\forall \eta \in A^{p,q}\left(M\right).$

因为I和 $\Delta$ 是自伴的，所以T是自伴的。从不等式

$2\alpha \beta \le \epsilon {\alpha }^2+\left(1/\epsilon \right){\beta }^2$

有

${\Vert T\phi \Vert }_1^2\le CD\left(T\phi ,T\phi \right)\le C{\Vert \phi \Vert }_0{\Vert T\phi \Vert }_0\le \left(\epsilon C/2\right){\Vert T\phi \Vert }_0^2+\left(2C/\epsilon \right){\Vert \phi \Vert }_0^2,$ (5.10)

则我们可以推导出

${\Vert T\phi \Vert }_1^2\le C^{\prime }{\Vert \phi \Vert }_0^2.$ (5.11)

也就是说，从 $H_0^{p,q}\left(M\right)$ 到 $H_1^{p,q}\left(M\right)$ 的映射T是有界的，并且由引理5.2 (整体Rillich引理)，T是紧致的。 □

按照紧致自伴算子的谱定理 [4]，有一个Hilbert空间分解

$H_0^{p,q}\left(M\right)=\underset{m}{{\displaystyle \oplus }}E\left({\rho }_m\right),$

其中 ${\rho }_m$ 是T的本特征值并且 $E\left({\rho }_m\right)$ 是有限维特征空间。因为T是一对一的，所以所有的 ${\rho }_m\ne 0$，而且方程

$T\phi ={\rho }_m\phi$

与

$\left(\phi ,\eta \right)=\left({\rho }_m\phi ,\left(I+\Delta \right)\eta \right)\forall \eta \in A^{p,q}(\; M\; )$

是一样的，它意味着在弱的意义上，

$\Delta \phi =\left(1-{\rho }_m/{\rho }_m\right)\phi .$ (5.12)

因此，T和 $\Delta$ 的特征空间是一样的，并且是由 $C^{\infty }$ 形式组成的有限维向量空间。 $\Delta$ 的特征值 ${\lambda }_m$ 和T的特征值 ${\rho }_m$ 有下列关系

${\lambda }_m=\left(1-{\rho }_m\right)/{\rho }_m,{\rho }_m=1/\left(1+{\lambda }_m\right),$

假设

$0={\lambda }_0<{\lambda }_1<\cdots <{\lambda }_m<\cdots ,$

其中当 $m\to \infty$ 时， ${\lambda }_m$ 趋于 $\infty$，${\rho }_m$ 趋于0。调和空间 $H^{p,q}\left(M\right)$ 对应于 ${\lambda }_0=0$，对 $\phi \in H^{p,q}{\left(M\right)}^{\perp }$，

${\Vert \phi \Vert }_0\ge {\lambda }_1{\Vert \phi \Vert }_0\left({\lambda }_1>0\right),$

并且如果我们把Green算子定义为

$\{\begin{array}{l}G=0,在H^{p,q}\left(M\right)上\\ G\phi =1/{\lambda }_m\phi ,\phi \in E\left(1/\left(1+{\lambda }_m\right)\right)\end{array}$

那么G是紧致自伴算子，并且有谱分解 $H_0^{p,q}\left(M\right)=H^{p,q}\left(M\right)\oplus \left(\underset{m}{\oplus }E\left({\rho }_m\right)\right)$，其中，

$G\phi =\left({\rho }_m/\left(1-{\rho }_m\right)\right)\phi ,\phi \in E\left({\rho }_m\right).$

至此，我们已经证明了Hodge定理。本质的想法是由Hilbert空间技巧产生Green算子，再根据基本估计来证明它是紧致光滑算子。实际上，G是形式

$\left(G\phi \right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{M}G\left(x,y\right)\phi \left(y\right)}$ (5.13)

的积分算子，其中 $G\left(x,y\right)$ 是 $M\times M$ 上的好核，沿着对角 $\Delta$ 有一定的奇异。Hilbert空间方法的缺点是没有在这种形式中给出Green算子。如果我们使用分布而不只是 $L^2$ -范数，那么，我们通过解

${\Delta }_{x}G\left(x,y\right)={\delta }_y+S_y$ (5.14)

这种类型的分布方程来得到 $G\left(x,y\right)$，其中， ${\delta }_y$ 是在y处的 $\delta$ 函数， $S_y$ 是阶为 $-\infty$ 的算子。

基金项目

课题部分受到项目2017KJQD00，2019GXNSFAA245043，gxun-chxzs2019029的资助。

文章引用

黄 晴,杨秋花,卢卫君. 复流形上的Weitzenböck公式及Gårding不等式
The Weitzenböck Formula and Gårding Inequality on Complex Manifolds[J]. 应用数学进展, 2020, 09(09): 1394-1403. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.99165

参考文献