Advances in Applied Mathematics
Vol.
10
No.
06
(
2021
), Article ID:
43070
,
5
pages
10.12677/AAM.2021.106201
n-赋范空间中欧拉差分序列空间的几个性质
赵顺心
天津财经大学珠江学院,天津
![](//html.hanspub.org/file/6-2621660x1_hanspub.png)
收稿日期:2021年5月10日;录用日期:2021年5月29日;发布日期:2021年6月11日
![](//html.hanspub.org/file/6-2621660x2_hanspub.png)
摘要
在这篇文章中,我们主要研究定义在实线性n-赋范空间下欧拉序列空间在适当n-范数下的完备性,同时得到某些序列空间之间的相互包含关系。
关键词
欧拉矩阵,序列空间,完备性
Some Properties of Euler Difference Sequence Spaces in n-Normed Spaces
Shunxin Zhao
Tianjin University of Finance and Economics Pearl River College, Tianjin
![](//html.hanspub.org/file/6-2621660x4_hanspub.png)
Received: May 10th, 2021; accepted: May 29th, 2021; published: Jun. 11th, 2021
![](//html.hanspub.org/file/6-2621660x5_hanspub.png)
ABSTRACT
In this paper, we mainly study the completeness of Eulerian sequence spaces defined in real linear n-normed spaces under appropriate n-norms, and obtain the mutual inclusion relations between some sequence spaces.
Keywords:Euler Matrix, Sequence Space, Completeness
![](//html.hanspub.org/file/6-2621660x6_hanspub.png)
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
![](//html.hanspub.org/file/6-2621660x8_hanspub.png)
1. 引言
在本篇文章中,
分别代表任意数列,有界数列,p-绝对可和数列,收敛数列和收敛到零的数列。这些空间中的元素用
来表示,
表示零序列。Kizmaz在文献 [1] 中定义了序列空间
,, :
其中
,。Kizmaz证明得到上面这些差分序列空间是赋范空间,其中范数的定义为
。
Et和Colak在文献 [2] 中推广了序列空间的定义,也就是
,,。通过计算它等价于
。Tripathy和Esi在文献 [3] 中推广了序列空间的另一种定义形式,即
,,。Dutta在文献 [4] 中定义了差分序列空间
,, 的相关形式。
在文献 [5] 中,令
,X为维数为d的实向量空间,且
。定义在
上的范数形式如果满足下面四条:
1)
当且仅当
是线性相关的;
2) 对于每个
的排列
有
;
3)
;
4)
.
则称
为n-赋范空间,函数
为n-范数。
如果对于X中某个序列
来说,对任意的
有式子
成立,其中
,那么称
收敛于
。
如果对于X中某个序列
来说,对任意的
有式子
成立,那么称
为X中的柯西列。如果对于X中任意柯西列都收敛,那么X称作完备的n-赋范空间,任意的一个完备的n-赋范空间称作n-巴拿赫空间。
2. 预备工作
在文献 [6] 中,Zeller介绍了BK空间为复数序列下的巴拿赫空间,并验证得到该范数是连续的,即当
时,若有
时,有
。在1972年,Powell和Shah在文献 [7] 中定义了参数为r的欧拉矩阵,其中
,。
在2006年,Altay,Basar和Mursaleen在文献 [8] [9] 中定义了欧拉序列空间
,, :
2006年,Altay和Polat在文献 [10] 中定义了差分序列空间
,, :
其中
,。在2007年,Polat和Basar在文献 [10] 中定义了矩阵
,也就是
因此,Polat和Basar进一步给出了相关序列空间的定义:
令
为n-赋范实线性空间,
为实值序列,m为非负整数且
,对于任意的
定义了下面的欧拉序列空间:
3. 结论
定理3.1 令X是n-巴拿赫空间,那么可以推得
也是n-巴拿赫空间。对于任意的
, 线性无关,其范数定义形式为
,如果
线性相关,那么
。
证明:首先容易证得
是一个度量空间,所以我们可以在空间
中选柯西列
,对于任意的
,都有
。对于任意给定的
,存在
使得当
时
,对于任意的
,可得
,那么也就有
成立。因此,对于所有的k,由
可得
是X中的柯西列,又因为X是n-巴拿赫空间,所以
在X中收敛,即
。
接下来,由
可知
是E中柯西列,且是完备的,对于所有的
,有
,特别地,当
时,
,,其中
,
最后,有
,也就等价于
其中
,。因此,
。根据
是线性空间,可以得出
。最终证得
是完备的n-赋范空间。
推论3.2 如果X是n-巴拿赫空间,那
,,, 是n-BK空间。
定理3.3 空间
,或者
,。其中
。
证明:下面以
为例进行推导,令
对于非零的
可以得到
,接下来,进一步可以推得
根据不等关系式
,其中
,上面不等式化简:
那么,对于任意得正整数r,可以得到
最后,令
,得到结果
。也就是说
。
文章引用
赵顺心. n-赋范空间中欧拉差分序列空间的几个性质
Some Properties of Euler Difference Sequence Spaces in n-Normed Spaces[J]. 应用数学进展, 2021, 10(06): 1919-1923. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.106201
参考文献
- 1. Kizmaz, H. (1981) On Certain Sequence Spaces. Canadian Mathematical Bulletin, 24, 169-176.
https://doi.org/10.4153/CMB-1981-027-5
- 2. Et, M. and Colak, R. (1995) On Some Generalized Difference Sequence Spaces. Soochow Journal Mathematics, 21, 377-386.
- 3. Tripathy, B.C. and Esi, A. (2006) A New Type of Difference Sequence Spaces. International Journal of Environmental Science and Technology, 1, 11-14.
- 4. Dutta, H. (2009) Characterization of Certain Matrix Classes Involving Generalized Difference Spaces. Applied Sciences, 11, 60-67.
- 5. Misiak, A. (1989) Orthogonality and Orthonormality in n-Inner Product Spaces. Mathematische Nachrichten, 143, 249- 261. https://doi.org/10.1002/mana.19891430119
- 6. Zeller, K. (1958) Theorie der Limitierungsverfahren. Springer, Berlin. https://doi.org/10.1007/978-3-642-52767-8
- 7. Powell, R.E. and Shah, S.M. (1972) Summability Theory and Its Applications. Van Nostrand-Reinhold Company, London.
- 8. Altay, B., Basar, F. and Mursaleen, M. (2006) On the Euler Sequence Spaces Which Include the Spaces lp and l∞ I. Information Sciences, 176, 1450-1462. https://doi.org/10.1016/j.ins.2005.05.008
- 9. Mursaleen, M., Basar, F. and Altay, B. (2006) On the Euler Sequence Spaces Which Include the Spaces lp and l∞ II. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 65, 707-717. https://doi.org/10.1016/j.na.2005.09.038
- 10. Altay, B. and Polat, H. (2006) On Some New Euler Difference Sequence Spaces. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 30, 209-220.