 Material Sciences 材料科学, 2012, 2, 68-71 http://dx.doi.org/10.12677/ms.2012.22012 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/ms) Calculation of Interplanar Spacing in Hexagonal Close-Packed Crystal Quncheng Fan State Key Laboratory for Mechanical Behavior of Materials, Xi’an Jiaotong University, Xi’an Email: qcfan@mail.xjtu.edu.cn Received: Feb. 19th, 2012; revised: Feb. 24th, 2012; accepted: Mar. 2nd, 2012 Abstract: Based on a principle of analytic geometry, a “site-factor S” of an addition atom was suggested to take as a tool for calculating interplanar spacing. With the “site factor S”, the interplanar spacing of hexagonal close-packed crystal was calculated and confirmed by some examples, and the result showed that it has 6 kinds of possible interplanar spacing. The correlativity between the interplanar spacing and the structure-factor were analysed, and relation between the additional plane and the missing reflection plane was discussed. Keywords: Interplanar Spacing; Calculation Principle; Calculation Method; Site-Factor S; Hexagonal Close-Packed Crystal 密排六方晶体面间距的计算 范群成 西安交通大学材料强度国家重点实验室，西安 Email: qcfan@mail.xjtu.edu.cn 收稿日期：2012 年2月19 日；修回日期：2012年2月24 日；录用日期：2012 年3月2日 摘 要：基于解析几何基本原理，提议用添加原子的“位置因子 S”作为计算晶面间距的工具。使用“位置因 子S”，算得密排六方晶体六种可能的面间距，并得到实例验证。分析了晶面间距与结构因子的相关性，并讨论 了附加面与消光面的关系。 关键词：晶面间距；计算原理；计算方法；位置因子 S；密排六方晶体 1. 引言 面间距是晶体的重要参数，是晶体衍射测量的结 果数据。计算 7种初级晶胞晶面间距的公式已很完备。 而对多原子晶胞晶面间距的计算，就是要根据具体情 况，对相应的初级晶胞晶面间距的公式进行修正，即 乘以修正系数。 钛、镁、锌等密排六方晶体是一类重要的材料， 但对其面间距的计算，国内外诸多专著及教科书[1-7] 中却很少介绍。即使介绍，也是将衍射的消光条件错 误地当做晶面间距的修正条件。本文依据解析几何的 基本原理，阐明了晶面间距的计算原理，并提议用添 加原子的“位置因子 S”作为计算面间距的工具。使 用“位置因子 S”得出了密排六方晶体面间距的计算 方法，并应用实例进行了验证。分析了晶面间距与结 构因子的相关性，并讨论了附加面与消光面的关系。 2. 晶面间距的计算原理 密排六方晶体的布拉菲点阵是简单六方，简单六 方点阵的面间距 hkl d 可用下式计算： 2 22 2 1 4 3 hkl dhhkk l c a (1) Copyright © 2012 Hanspub 68  密排六方晶体面间距的计算 式中，h、k、l为互质的整数，a和c为点阵常数。 密排六方晶体的一个晶胞含有两个同种原子。相 对于简单晶胞，添加原子的加入会使某些方位的 hkl 晶面中出现附加面，其面间距必须修正。其晶面间距 的计算，就是要确定出现附加面的条件，并确定相应 的修正系数。 晶面指数是由原子面的截距确定的。如图 1所示， 简单晶胞的 晶面组包含无数个相互平行间距相 等的原子面(图中实线面)，它们虽具有同一面指数， 但截距不同。距坐标原点最近的原子面在坐标轴上的 截距分别为 hkl 1h、1k和1l。由于点阵的周期性重复， 其他原子面的截距整数倍于1h、1k和1l，可表示 为ph、pk和pl，其中 p为整数。添加原子产生 附加面(图中虚线面)后，附加面的截距不再整数倍于 1h、1k和1l，可表示为 pmqh、 pmqk、 pmql，其中 m和q为互质的整数，且mq 。 综合这两类原子面(附加面、非附加面)，可将原子面 的截距统一表示为 pmqh、 pmqk、 pmql。显然， 的面不是附加面，其面间 距不须修正，，而 的面是附加面，其 面间距应当修正为 0m hkl d hkl d0m hkl qd hkl dm。 解析几何中，一个平面在三个坐标轴上的截距 a、 b、c与该平面内任意一点(,, x yz)满足如下关系： 1 xyz abc (2) 将原子面的截距代入(2)式，可得 1 xyz pmqh pmqkpmql m pq k O m pq h 2m q h 1m q h m q h 2 h 1 h p h 2l pl 1l pmql 2mql mql 1mq l Z Y X Figure 1. Schematic diagram showing the intercepts of atom planes () for a primary crystal cell and the intercepts of its additional atom planes () 图1. 简单晶胞原子面()的截距及其附加原子面()的 截距示意图 即 m hx ky lzpq (3) 为方便起见，引入“位置因子 S”——晶胞中添 加原子的位置(,, x yz)与晶面指数(hkl )的点积，将(3) 式表达为 m Shxkylzpq (4) 位置因子表征了添加原子(,, x yz)所在的 原子面 hkl 的特征：是(0m )不是(m附加面、附加面间距 的修正系数( 0) mq)、以及该 面到坐标原点的距离 ( 原子 pmqd hkl 为计算面间距的工具。 ，即 0m )，可以作 当S = 整数 、Sp时，添加原子所在 的 l原子面不是附加面； 间距不须修正， 即d hk hkl d hkl 晶面 hkl ；该原子面到坐标点的距离为 pd原hkl 。 整数，即 0m当S ≠ 、Spmq 时，原添加 子所在的 hkl 原子面是附加面； 修 正系数为 hkl 晶面间距的 mq，即 dmqd 坐标 原点的距离为 hklh ；该附加面到 kl hkl qdpm 简言之，当 面 。 S = 整数时，间距不须修正；当 S = 分数时，修正系数为其分数mq。 3. 密排六方晶体面间距的计算方法 将添加原子的位置坐标(23，13，12)代入(4) 式， 得 2 332 6 hklm m Sp qp (5) 当 时， hkl0m 面中无附加面，面间距不须修 正， hkl hkl dd ，添 子所在的原子面到坐标原点的 距离为 加原 hkl pd 。 当 时， hkl 0m 面中有附加面，面间距的修正 系数为 6m， 6dmd ，该附加面到坐标原点 的距离为 hkl hkl 6hkl dpm 由上可见 。 ，密排六方晶体中只可能有 6种面间距： hkl d ，6dhkl ，3dhkl ，2d， hkl 23d， hkl 56dhkl 。 于 简胞两近 平 位 置的附加面，会同时形成两个不等但互补的面间距： 不位 其相应 单晶个最 邻原子 面中央 3dhkl 和23dhkl ，或 6dhkl 和56d。计算所得密排 。 hkl 六方晶体的面间距列于表 1 Copyright © 2012 Hanspub 69  密排六方晶体面间距的计算 Table 1. Interplanar spacing of 表1. 密排六方晶体 HCP crystal 的面间距 2hk l hkl d 3n(n为整数) 奇数 2 hkl d 3n 偶数 hkl d 3 n ± 1奇数 6 hkl d，56 hkl d 3n ± 1 偶数 3 hkl d，23 hkl d 4. 计算方法应用举例及验证 计算及验证。 例1. 密排六方晶体(100)晶面间距的 21 12 0 10 33 23 S ，100 100 23dd 和 100100 3dd . 图2显示了添 在的(100)附加面(虚线)及 其晶 方晶体(110)晶面间距的计算及验证。 加原子所 面间距。 例2. 密排六 211 0S11 1 332 ， 图3显示了添加原子所在的(110)原子面及其晶面 间距 110 110 dd . 。 a 1 O c a 2 (a) (b) 100 3d a 1 a 2 100 2 3d 100 d O Figure 2. Schematic diagrams showing the (100) interplanar spacing in a HCP cell: (a) Perspective view; (b) Vertical view 图2. 密排六方晶胞(100)面间距：(a) 立体图；(b) 俯视图 (b) a 1 a 2 O 110 d (a) O c a 2 a 1 Figure 3. Schematic diagrams showing the (110) interplanar 。 spacing in a HCP cell: (a) Perspective view; (b) Vertical view 图3. 密排六方晶体(100)面间距：(a) 立体图；(b) 俯视图 例3. 密排六方晶体( 111)晶面间距的计 及验证算 211 1 1111S332 2 ，111111 2dd . 图4显示了添加原子所在的(111)附加面(虚线)及 其晶 方晶体(101)晶面间距的计算及验证。 面间距。 例4. 密排六 21 11 1011S33 26 ，101101 6dd ， 101 101 56dd . 图5显示了添 原子所在的(101)附加面(虚线)及 其晶 间距与结构因子的相关性 衍射强度的 重要 加 面间距。 5. 讨论 5.1. 晶面 根据晶体衍射理论[5]，决 定 hkl 晶面 因素结构因子hkl F 为 1 j n hkl j j i F fe (6) (b) (a) [110] O c [110] 111 2 d 111 d a1 [110] a2 c O Figure 4. Schematic diagrams showing the (111) interplanar spacin in a HCP cell: (a) Perspective view; (b) g []110 projective view 图4. 密排六方晶体(111)面间距：(a) 立体图； (b) []110 方向投影图 c (b) [010] [210] O 101 5 6d 101 6 d 101 d (a) a2 c [010] a1 O Figure 5. Schematic diagrams showing the (101) interplanar spacin in a HCP cell: (a) Perspective view; (b) projective view g []010 图5. 密排六方晶体(101)面间距：(a) 立体图；(b) []010 方向投影图 Copyright © 2012 Hanspub 70  密排六方晶体面间距的计算 Copyright © 2012 Hanspub 71 式中，f为一个原子的散射因子， 为晶 标为(x y、z)与原点处原子 面上的原子(坐对 初级点阵来说，其添加原子都位于点阵 的结点点阵的重复特性，晶胞所有 子“ 7种非 。由于周期性中 原 hkl、经 晶面反射后的位向 差， (7) 表2综合了密排六方晶体的结 所列的晶面间距计算结果。 所列 的相关性：面间距较小的晶 构因子也较小。 两者之间的这种关联，源自与二者都密切相关的参量 是决定晶面间距修正系数的唯一参量：当 = 整数时，面间距不须修正；当 S = 分数时，修正系数 为其真分 周围环境完全相同”。添加原子所在的面一定位 于其相应简单点阵中两个最近邻点阵平面的中央， 2 hkl hkl dd ，使光程差减半，产生消光。 而对密排六方晶体，其添加原子的位置( 2πhx ky lz 构因子[5]以及表 123， 13，12)并 胞顶角处 原子 子 生了附加 不是点阵的结点，因为他与晶 表2结果表明，晶面间距与结构因子有很好 面，其结 并不处于“完全等同”的位置。如果添加原 产 面，这个附加面不一定都位于简单六方点阵 中两个最近邻点阵平面的中央。只有那些 2 hkl hkl dd 的附加面才会消光，其他附加面只是改变了衍射强度 而已。 6. 结论 ——添加原子的位置因子 S。 S S 加原子的位置因子 S，作为计算晶面 间距的工具。 数mq。 是决定结构因子的重要参量，而且也与 密切 相关： (8) 由此不难理解，位置因子 S是联系晶 构因子的纽带。 光面的关系 附加面，结构因子 的面为消 7种非初级 体心正交、体心四方、体心立方、面心正交、面心立 方)的附加面就是其消光面，且 S1) 提议用添 2π2πhx ky lzS 面间距与结 m Shxkylzpq 5.2. 附加面与消 晶面间距 hklhkl dd 的面为 20 hkl F光面。 众所周知， 点阵(底心单斜、底心正交、 2 hkl hkl dd 然而，密排六方晶体的情况并非如此。表2所列 果表明 。 结：附加面并非一定都消光，只有其中 2 hkl hkl 度发生变化。 差别 dd的面才消光；其他情况下，只会使衍射强 出现上述 的根本原因在于，密排六方不是点 阵。 . Structure-factor and interplanar spacing of HCP crystal 的 Table 22 hkl Fhkl d 表2. 密排六方晶体 结构因子2 hkl F及晶面间距 hkl d 2hk l 2 hkl F hk dl 3n(n为整数) 奇数 0 2 hkl d 3n 偶数 2 4 f hkl d 3n ± 1 奇数 2 3 f 6 hkl d，56 hkl d 3 n ± 1偶数 2 f 3 hkl d，23 hkl d 它表征了添加原子(,, x yz)所在的 原子面的 特征：是 hkl (0m )不是(0m )附加面、附加面间距的 修正系数(mq)、以及该面到坐标 点的距离 ( 原子 原 pmqhkl d 2) 用位置因子 S计算得到，密排六方晶体共有 6 种 距： )。 可能的面间 、6 hkl d、3 hkl d hkl d 、2 hkl d 、 23 hkl d 、56 hkl d ，并被实例所验证。 3) 密排六方晶体 结间距密切相 置因 者间的纽带。 的 构因子与其面 关，位 子是二 一种。 参考文献 [1] J. D. Vs of physical metallurgy. New 1995. raphy. New York: John Wiley . 4) 由于密排六方晶体的添加原子不位于阵点位 置，其消光面只是 5种附加面中的 (References) erhoeven. Fundamental York: John Wiley and Sons, Inc., [2] J.-J. Rousseau. Basic crystallog and Sons, Inc., 1975. [3] G. D. Arora. Crystallography and crystal structure. New Delhi: Sarup and Sons, 2000. [4] L. H. Schwartz, J. B. Cohen. Diffraction from materials. New York: Academic Press, 1977. [5] B. D. Cullity. Elements of X-ray diffraction, reading. 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