Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 53-61 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22010 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) The Recognition of Degenerate Critical Points of Smooth Functions* Wei Wang1, Yangcheng Li2 1College of Information Engineering, Tarim University, Alar 2School of Mathematical Science and Computing Technology, Central South University, Changsha Email: wangwei.math@gmail.com, liyangcheng@sohu.com Received: Feb. 12th, 2012; revised: Feb. 24th, 2012; accepted: Mar. 6th, 2012 Abstract: By some methods and techniques developed from bifurcation theory, this paper investigates the recognition problem of degenerate critical p oints of smooth functions. Each one of such critical poin ts lies on a sub-manifold includ ed in domain of function. The so-called H -equivalence theory is established, includ- ing a theorem to insure H -equivalence between two function-germs, an exact formula for higher-order terms, a characterization of low-order terms, and so on. Keywords: Recognition Problems; Intrinsic Ideals; Higher-Order Terms 光滑函数的退化临界点的识别* 王 伟1,李养成 2 1塔里木大学信息工程学院,阿拉尔 2中南大学数学科学与计算技术学院,长沙 Email: wangwei.math@gmail.com, liyangcheng@sohu.com 收稿日期:2012 年2月12 日;修回日期:2012 年2月24 日;录用日期:2012 年3月6日 摘 要:本文应用分歧理论所发展的一些方法与技巧,研究位于子流形上的光滑函数的退化临界点的 识别问题,建立了 H -等价理论,包括两函数芽 H -等价的判别定理,识别问题高阶项的精确表达形 式及低阶项的刻画等。 关键词:识别问题;内蕴理想;高阶项 1. 引言 V. I. Arnold在文献[1]中利用单李群为研究工具,对位于子流形上的光滑函数的退化临界点进行了深入探讨, 得到了称之为简单临界点的分类,它就是文中定理 1。而文中定理 7则给出了函数在子流形上的退化临界点的 更一般的分类结果。我们感兴趣的一个问题是所谓识别问题,即光滑函数位于子流形上的退化临界点附近在什 么条件下等价于给定的标准形式?为解上述识别问题,本文将利用奇点理论与分歧理论之间的密切联系。M. Golubitsky 和D. G. Schaeffer在文献[2,3]中引入了应用奇点理论方法研究分歧问题的思想,使得分歧理论得到迅 猛发展。我们试图应用分歧理论中所发展的一些方法与技巧(见文献[4])来考虑上述识别问题的解。本文在引入 群 H 、轨道切空间以及 H -内蕴理想等概念后,建立起 H -等价理论并给出识别的例子。定理3.1 利用轨道切 空间给出两函数芽 H -等价的判别方法,定理 3.2 刻画了关于 2 f 的识别问题的低阶项并提供了关于中间项 的有用信息,定理3.5 精确描述了函数芽 f在群 H 作用下的识别问题的高阶项。 *资助信息:国家自然科学基金资助(10971060)。 Copyright © 2012 Hanspub 53 王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 参照文献[1],本文讨论的对象限制为光滑的二元函数芽。文中出现的概念与记号如未解释,请参看文献[4] 或[5]。 2. 预备知识 设是 中包含原点的一维光滑子流形芽,不失一般性,取 ,0H2 R 2 ,0HxyRy。设 为微分同胚芽,它保持子流形芽 2 0R :, 2 ,0R ,0H不变,因而有 H H 。记 22 :,0,0 HRR H 为微分同胚芽 ,H 它是 J. Mather所引入的右等价群 (见文献[5])的正规子群。 定义 2.1 设 为两个光滑函数芽。如果存在 2 , :,0,0fg RR H 使得 g f ,我们说函数芽 f与g 是 H -等价的,记为 ~ f g。它表示存在保原点的局部微分同胚 ,,,, x yXxyYxy ,满足 ,0 0Yx , ,使得 xR ,0 ,,,, g xyfX xyY xy。 解关于 , x y f 的识别问题实际上就是刻画f在等价群 H 作用下的轨道特征。 定义 2.2 设, x y f 。在群 H 作用下于 f处的轨道切空间 H Tf定义为由所有可表示为下列形式的 组成的集合, ,pxy ,,,, xy pxyaxy fxybxyfxy,, , ,,0,00, ,00 xy abab x , 因此 是 H Tf, x y 中的一个理想,它由 , x x x fyf及 y yf 所生成,即 , ,, xy Hxxy Tfxf yf yf . , (2.1) 考虑坐标变换 ,,, x yXxyYxy ,其中 0,0 0,0。定 义 的拉回映射 ,, : x yxy 为 , , f xy f xy 。 具有下列性质: , f gf g f gf g ,即 是 一个环同态。若 是一个可逆坐标变换,则 是一个环同构。事实上,不难验证 。假 设 1 1 是, x y 的一个向量子空间,那么 , ff 也是 x y 的一个向量子空间。倘若 是 , x y 中的一个理想,那 么 也是。 参照[4]中第 2章,引理 12.2 的证明方法,可以证明:若 ~ g f,因而存在 H 使得 g f ,则 . HH Tg Tf (2.2) 定义 2.3 设 为 , x y 中的理想。若 在群 H 作用下不变,则称其为 H -内蕴理想,简说 是内蕴理想。 等价地,下面的蕴含关系成立:对于 , ,, x y fg ,f 且 。 gf g 设 是, x y 中具有有限余维的理想,我们把包含在 中的最大内蕴理想称为理想 的内蕴部分,记为 。易见, 。另外,用 Itr * H It r 表示 , x y 的一个有限维向量子空间,它是由不属于 的诸单项 式所组成。对于 , x y f Sf ,用表示含有 f的最小内蕴理想,它可视为所有含有 f的内蕴理想的交。 利用文献[4],第 2章中相关命题的证明方法与技巧,可以得到下面三个命题。 命题 2.4 设 是 , x y 中具有有限余维的内蕴理想。若 f ,则 , x x x fyf y yf 均属于 。 命题 2.5 设 是, x y 中具有有限余维的内蕴理想,则 可表示为 11 ss kl kl ky y 11 k , (2.3) 其中 为非负整数,且合于 ,, ii kk l 1 0sss llklkl . (2.4) 此时称 11 ,,, s s kl kl k x xy xy为 的内蕴生成元。 Copyright © 2012 Hanspub 54 王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 命题 2.6 设, x y f 具有有限余维,即假定 H Tf在, x y 中具有有限余维,那么 1) 在 Sf , x y 中的余维数有限,并且当 g f时, ,Sg Sf 2) 12 12 , 0,0 0Sfy Df . (2.5) 定义 2.7 设2 f 具有有限余维。把满足下列条件的 , x y p 所成之集记为 f ,该条件是 1) Itr , H pTf 2) 任取 , x y g 。若 ~ g f,则对任意 tR ,有 HH TgtpTg 。 f 的成员叫做 f关于群 H 作用而言的高阶项。读者不难证明下列 命题 2.8 设2 f 具有有限余维,则 f 是内蕴理想,并且当 g f时, g f 。 引理 2.9 设 [6] , , x y fg 且理想 , f g在, x y 中具有有限余维。假定存在 , , x y 使得 ,, ,,xy fxyxygxy 0对所有 2 ,,xy R0, 那么对任意正整数 k,存在 , , x y Qxy 使得下面二式成立: 1 1 ,,,mod ,,,mod k k xy Qxygxy xyQxyf xy , . 3. 主要结果 定理 3.1 设, x y f 。若 ,且 H pT f HH TftpTf 对所有 0, 1t皆成立,则 f tp与f是 H - 等价的。 证明 我们将证明分成以下几步来作。 1) 若 ,并且 H pT f H TftpTf H , (3.1) 对充分接近于0的所有t值成立,则存在 ,, , x yt ab 使得 ,,,,,,,, x pxyaxytFxytbxytF xyt, y , (3.2) 其中 ,, ,, F xytf xytpxy,并且 0,0, 0,,0, 0atbxt 。 事实上,由 知,存在 H pT f 111 , ,, x y ABC 使得 111 x x pA xfByfCyf y . (3.3) 又据假设条件,存在足够小的使得(3.1)式成立,因而 00t p 的生成元可写成 f 的生成元的 线性组合,于是存在 4,使得 0H Tft H T ,, 2,3, ii ABC i ,i xy 0222 0333 0444 , , . x xxxy x xxx yyx x y y x ftxpA xfByfCyf y f typAxfByf Cyf y ftypA xfByfCyf (3.4) 引入记号:对任意 , x y h vf ,令 ,其中“T”表转置,则(3.3)式与(3.4)式可以用矩 阵方程表示为 ,其中 Q是矩阵,其元素均为 T xxy vhhxhyhyh 44 vpQ, x y 中的光滑函数芽,并且 的第一列元素全为 零。因 Q F ftp,故 ,从而有 vf v F tvp vFQtvIQ p,其中I是单位矩阵。当 t充分 小时, 44 I tQ是一个可逆 4矩阵,其元素为4,, x yt 中的芽,于是有。注意到 的第一列 的元素全为零,所以 vp 1 t IQ vFQ Q ,, ,,, x xyx pxF yFyFyt . Copyright © 2012 Hanspub 55 王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 令,axyby ,这样便得到(3.2)式。 2) 同样在 1)的假设条件下,即 H pT f ,且 (3.1)式对接近于 0的t值成立,则对充分接近于 0的所有t, f tp必 H -等价于 f。理由如下: 因为(3.2)式对函数芽成立,因此这一关系式对于点 0,0,0 在 x yt 空间中的某一邻域内成立。选取区间 ,, K LM使得(3.2)式在上成立,我们需证对充分接近于 0的每一 t, KLM ,, F t 是 H -等价于 f,因而需构 作光滑映射 ,, , ,, X xytY xyt 使得 1,,,,,,, 20,0,0,, ,0, 3,0,0,,,0. , F XxytYxyttfxy XtXxyx Yx tYxyy (3.5) 而 d(, ,),, ,,(, ,),, ,,, , d ,, ,,, ,,, ,,, ,,,, xt yt t F Xxyt YxyttFXxyt YxyttXxyt t F XxytYxyttYxyt FXxytY xytt (3.6) 现考虑下列常微分方程组 d,,,, ,,,, , d d,,,, ,,,, , d ,,0 ,,,0. X x yta XxytYxytt t Y x ytb XxytYxytt t Xxyx Yxyy (3.7) 根据常微分方程组的基本定理(见文献[7]),存在区间00 , K L及正实数 ,使得 00 0,0 K LKL, , M ,并且在 00 ,KL 上,方程组(3.7)有唯一光滑解 ,,, ,, X xyYxytt 0,0, 0Xt 。特别, , 是方程组(3.7)的解, 满足方程组(3.7)中的第 2个方程。 0,0, 0Yt Yx ,0, 0t 将方程组(3.7)的解 , X Y代入(3.6)式并利用 F ftp ,我们得到 d,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, , d ,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,,. x y F XxytYxyttaXxytY xyttFX xytYxytt t bXxytY xyttFX xytY xyttpXxytY xyt 由(3.2)式立 即有 d,, ,,,,0 dF X xytY xytt t ,于是有 ,, ,,, ,,,0,,,0,0,, F XxytYxytt FXxyYxyfxy 从而(3.5)式成立。 3) 由2)知,本定理的局部形式已成立。利用区间[0,1]的连通性或紧致性容易导出本定理,细节留给读者或 参看文献[4],p. 98。 由命题 2.6 立即可证明下列。 定理 3.2 设2 f 具有有限余维,且 g f,则 1) 对每一个单项式 12 x ySf ,有 0,0 0,Dg 12 , , 2) 对于 的每一个内蕴生成元 Sf 12 x y ,有 0,0 0,Dg 12 , 。 Copyright © 2012 Hanspub 56 王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 该定理刻画了关于 2 f 的识别问题的低阶项并提供了关于中间项的有用信息。下面讨论高阶项,为此需 作如下准备。 引理 3.3 设2 f 具有有限余维, 是, x y 中的一个内蕴理想且 H Tf 。假定对于每一 p ,有 ,那么 Tfp HH Tf f 。 证明 因 是 , x y 中的一个内蕴理想且 H Tf ,故 Itr H Tf ,这说明 中的成员满足定义 2.7 中条件 1),以下验证条件2)。 设,且p g f因而存在 H 使得 g f ,需证对任意tR , H TgtpTg H 。事实上, * 1 HH H TgtpTf tpTf tp * 1 . (3.8) 其中最后一个等式是由于(2.2)式。 注意到 是内蕴理想,故。依假设条件, * 1tp * 1. H Tf tpTf H (3.9) 由(3.8),(3.9)两式,再利用(2.2)式便得到 HH TgtpTg ,故 pf ,从而 f 。 设, x y f ,令 , x y 中的理想 22 ,,, x xy yHx f x fyfxyfy fTfRyf . 不难证明:假若 H 满足 g f ,那么 * g f 。 2 引理 3.4 设f 具有有限余维,则 1) Itr H Tf f , 2) 由 可推得 It rpf xH y pTf 。 证明 1) 令。依引理 3.3,只需证明:对每一 Itr H Tf p ,有 H TfpTf H 即可。因 为是一个内蕴理想并且具有有限余维,据命题 2.4,若p ,则 ,, x xy x pypyp均属于 。而 H Tf , 因此 ,, x xy x pypyp H T 均属于。应用 Nakayama 引理的一个推论(见[4])可以导出 f ,, ,, Hx xxxyyxxyH Tf pxfxpyfypyfypxfyfyfTf , 因此据引理 3.3,有 。 Itr H Tf f 2) 因为 具有有限余维,易见 H Tf f 也具有有限余维,因此 It r f 是一个具有有限余维的内蕴理 想。据命题 2.4,若 It rpf ,则 22 ,Itr ,,, xxxx yy , x p ypffxfyf xyfyf 从而存在 , ,,, x y 使得 , , x xy x xy x pfyf ypf yf (3.10) 其中 0,00,00,00,0,00,00,0 0 xx 。若能证明 0,0 0 y ,则从(3.10)的第二式可 见 xH y pTf 。 将(3.10)式中的第一式乘以 y,第二式乘以x,然后相减得 0 xy yxf yxyf . 注意到理想 , xy H f yf Tf 因而在 , x y 中具有有限余维,由引理2.9 可知,存在 , , x y Qxy 使得 Copyright © 2012 Hanspub 57 王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 mod , mod , k y k x yx Qyf yxQf (3.11) 其中正整数 k可取足够大。 对(3.11)的第一式两边求关于 , x y的二阶混合偏导数并在原点取值,得 0,00,0 0,0 yx Qf y . 再对(3.11)的第二式两边求关于 y的一阶偏导数并在原点取值,注意到 0,0 0,0,0 0 x f ,得 0,00,0 0 xy Qf ,从而 0,0 0 y ,2)得证。 定理 3.5 设2 f 具有有限余维,则 Itr f f。 证明 1) 首先证明 Itr f f 。因为 Itr f 是一个具有有限余维的内蕴理想,显然有 Itr H f Tf。依引理 3.3 需证明:对于任意 Itrpf , HH TfpTf 。 据命题 2.4,当 Itrpf 时, ,, Itr xxy x pypypf f,因而存在 ,合于 , ,, 1,2,3 iii xy ABC i 111 222 333 , , , y yxx x yx x x yx ypAyfB xfCyf x x pA yfB xfCyf ypA yfB xfCyf (3.12) 其中。此外,由引理 3.4,2)知, 0,00,00( 1,2,3) ii AB i 30,0 0C 。我们可以将(3.12)式写成矩阵形式 ,, yy xx xx yp yf x pxyxf yp yf Q 其中 矩阵是一个上三角矩阵,其对角线上的元素全为零。进而有 33 0,0Q , yy x x x x yf pyf x fp xf yf pyf IQ 这里在点 的某一邻域内是可逆的。上式表明IQ 0,0 H Tfp 及 H Tf的生成元是由一个可逆的线性变 换相关联,因此Tf 。据引理3.3, H pTf It r f f 。 H 2) 其次证明 It r f f。任取 pf ,由高阶项的定义知 p满足定理3.1 的条件,故存在一个光 滑依赖于 t的 等价变换,使得 H ,, ,,,,, f xytpxyfX xytY xyt , (3.13) ,,0, ,,0, X xyxY xyy (3.14) 0,0, 0,,0, 0,XtYxt (3.15) 将(3.13)关于 t求导并在 处取值,借助于(3.14)得 0t ,,,,0,, xy pxyf xyXxyfxyYxy ,0, 其中 X 表示 X关于 t求导。由(3.15)式知,在环 , x y 中, ,,0, ,,,0 X xyxyY xyy 。 如果可以证得 ,那么这说明 0,0,00,0,0 0 xy XY 22 ,,0 ,,,,0 ,, X xy xyYxy xyy 从而有 2 ,,2 ,, x xy y xyfyfpx yxfyf。由p的任意性知, f f 。而 f 是内蕴理想,因此有 It r f f 。 实际上,我们将证明 Copyright © 2012 Hanspub 58 王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 0,0, 1,0,0, 1 xy XtYt . (3.16) 设包含 f的最小内蕴理想具有如下分解 11 . ss kl kl k Sf y y (3.17) 且其中的指数满足(2.4)式。定理 3.2 表明 1 ,0 mod kk fx ax , 此处 。因0ak x 是 的内蕴生成元,故 Sf P k x f,从而有 1 ,0 k px 。 现计算(3.13)式左右两端中 k x 的系数。用 分别表示左端与右端函数(为简单起见,以下省略其中 变量 t),我们有 LHS RHS, 1 ,0mod , kk LHS xax 11 ,0,0 mod0,0mod, kkkk x RHS xaXxaXx k 故得关系式 0,0 1, k x X (3.18) 即。而由(3.14)式知,当 时, 0,0, 1 k x Xt0t 0,0,0 1 x X 。由连续性知,当 t充分小时,亦有 0,0, 1 x Xt 。 为了得到(3.16)的后一等式,针对 Sf的分解式,分两种情形讨论。 情形 1: 。取0s1 11 1l 1 kl Hy ,则 H是不含11 kl x y的最大内蕴理想。由于11 kl x y是的内蕴生成 元,故 Sf 11 kl x yPf。又由 于的其它内蕴生成元都属于 H,且 Sf Pf是内蕴理想,故 。考 虑(3.13) 式,得到 HPf 11 mod kl LHSbx yH, 此处 。又 0b 111 1 11 mod0,0 0,0mod klkl kl xy RHSbX YHbXYx yH , 故得关系式 11 0,00,0 1 kl xy XY . (3.19) 由于已证得,因此 。类似于(3.18)式的讨论,可得 0,0 1 x X 10,01 l y Y 0,0, 1 y Yt 。 情形 2: 。将0sk 中的单项式按下述方式“从小到大”进行排列 111 ,,,,,,,,, kkkk kk k xxyyxxyyx 2 . (3.20) 设 g f,则 k Sg Sf 。按照上述排列,可将g按“从小到大”顺序展开成如下形式 11 kl k gax bxy . (3.21) 此处。在所有与 f等价的函数芽中,选取这样的 g,使得(3.21)式中项0, 0ab 11 kl x y在排列(3.20)的意义下“最 大”。我们将证明 Itr g g 。注意到 g f蕴含 ItrItr , g fg f ,故结论成立。 由g的构造知 11 kl x yPg。取 11 1 1kl l H 1 y ,这是不含 11 kl x y的最大内蕴理想,故 。考 虑(3.13)式(其中的 f换为 g),有 Pg H 11 mod kl k LHSaxbx yH. (3.22) 111 111 mod0,00,0mod klklkl kk xy RHSaXbXYHaXbXYxy H . (3.23) 若能证得 k X 中11 kl x y的系数为零,则比较11 kl x y的系数,可得关系式(3.19)。若还有 ,则 10l 0,0 1 y Y 。于是 Copyright © 2012 Hanspub 59 王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 归结为证明下列 引理 3.6 在(3.23)式中,且 10lk X 中11 kl x y的系数为零。 证明 用反证法不难证明 。而 12kk 11 klk ,因此 。其次用归纳法证明:对于任意的不超过 的正整数 j,存在二元函数芽Z,使得 12l 11 2klk mo,,d j XxyxZxy 。 事实上,当 时,结论显然成立(因 1jX )。假设 112jklk 时,结论成立。如有必要,适当地修 改Z,可使 1 mod j j XxZcy , (3.24) 其中 ,从而有cR mod k kj XxZcy jk 。 另一方面,借助于二项式定理可知 12 mod kkk j jj x ZcyxZk xZcyy ,故有 12 mod kk kjj XxZk xZcyy kj . (3.25) 由于 及,可得 并且 12kk11 2jklk 1 jl 11 1kjkl 。而111 11kl l Hy 因而 1kj x yH , (3.22)式表明 中LHS 1kj x y 项的系数为零。现考虑(3.23)式 中j RHS 1k x y 项的系数。因 ,由(3.25)式可知 中 1 jlRHS 1kj x y 的系数为。比较 及中 0,0akZc kk ak 0,0 x X 11 cLHS RHS 1kj x y 项的系数,立得 。于是(3.24) 式变为 0c 1 mod j XxZ ,表明结论对 也成立。 1j 现取,则存在二元函数芽 Z,使得 11 2jklk 11 2 ,,mod klk XxyxZxy ,因而有 ,它说明 11 1 mod kl k Z kk Xxk X 中11 kl x y的系数为零。 综上所述, Itr f f 得证。 例1 关于的识别问题,这里的h属于文献[1]中的标准形式 42 ,hxyx xyy 38 K 。由(2.5)式知, 4 Sh y 2 。又 32 322 ,, 4,4,23 Hxxy Thxhyhyhxxy yx yyxyy, 22522332233 ,,,4,4,23 ,23. xx yy hxhyhxyhyhxx yxyyxyxyxyy 4 经计算,可知 5223 3 4hyxy y。由此可见, h具有有限余维,从而 也具有有限余 维,并且 H Th 522 hy 。若 g h,则 Sg Sh,并且 4233 ,,, g x yAxBxyCyDx ypx y 其中 ,,, A BCDR, ,,,并且在点0A0B pPh 0,0 处, 0 x xxxxx y xy yy xxy gg gggggg . 作变换 ,,, 4 D X xyxyY xyy A 得到 42 3 ,mod 44 DBD g xyyAxBxyC yPh AA ,因此 g h 当且仅当 42 ,4 BD 3 g x yAxBxyCy A 等价于 h。再作变换 ,,,0,XxyxYxyy 0 ,则有 442233 ,4 BD g xyAxBxyCy A 。将上式的三个系数与h的相应系数比较,我们得到 88512 0,0,40,44 A B ACBDACBDAB , 是g与h等价的充分条件。另一方面,任取局部微分同胚 2 121 ,,,,,,XxyxyxyY xyxyy2 ,, 假如 ,, ,,mod g XxyYxyhxyh,那么比较 3 x y的系数,立得30A ,故 0 。进而可以验证 Copyright © 2012 Hanspub 60 王伟 等 光滑函数的退化临界点的识别 Copyright © 2012 Hanspub 61 ,, ,,modP g XxyYxygx yh . 综上所述, 2 ,gxy 等价于423 x xy y当且仅当在点 0,0 处, 0, x xxxxx y xy yy xxy gg gggggg 81 5 8 44 4! 3!2! 3!4!2! yyyxyy xxxyxyy xxxx xxxx ggg g gg 2 , 0, 0,30. xxxxxyyxxxx yyyxyyxxxy gggggg 有兴趣的读者可进一步考虑文献[1]中其它标准形式的识别问题的解。 参考文献 (References) [1] V. 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