 Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 73-77 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22012 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) Eigenvalue Inequality for a Weighted Biharmonic Elliptic Problem* Hui Xiong Department of Mathematics, Dongguan University of Technology, Dongguan Email: 375610596@qq.com Received: Dec. 29th, 2011; revised: Jan. 9th, 2012; accepted: Jan. 17th, 2012 Abstract: In this paper, we study the relation between the first and the second eigenvalue of a weighted bi- harmonic elliptic problem with Dirichlet boundary. By some variational techniqu e we obtain the correspond- ing inequality, and some evaluations are put forward in low dimension space. Keywords: Biharmonic; Singularity; Eigenvalue Inequality 含权双调和椭圆型问题的特征值不等式* 熊 辉 东莞理工学院数学教研室，东莞 Email: 375610596@qq.com 收稿日期：2011 年12 月29 日；修回日期：2012 年1月9日；录用日期：2012 年1月17 日 摘 要：本文主要讨论了一类含权的双调和椭圆型 Dirichlet 边值问题的第一和第二特征值之间的关系， 通过一些变分技巧得到了相关的不等式，并在低维数空间给出了一些估计。 关键词：双调和；奇性；特征值不等式 1. 引言 本文讨论如下含奇性的双调和Dirichlet 问题 20, ; 0, , uaxu x u ux v (1) 其中且， 是里的一个有界区域，且边界充分光滑。空间维数。 0,ax L 0axn R2N 早在 1956 年，L. E. Payne，G. Poya和H. F. Wein b e rger[1]就分别考虑如下的三类 Dirichlet 边界问题 2 2 0, , 0, ; 0, , 0, ; 0, , 0, , uux ux u uux ux n u uvuxux n (2) 令以上问题的对应的特征值列分别为 *资助信息：国家自然科学基金资助项目(10371116)，广东省千百十工程。 Copyright © 2012 Hanspub 73  熊辉 含权双调和椭圆型问题的特征值不等式 123 123 123 0; 0 0, m m m vvv v ; (3) 文[1]在二维平面上得出 11 11 21 23, 1,2,; 89, 1,2, 3. m mm im i m mm im i m m m m vv ; (4) 其中，(4)中的第一个不等式被 G. N. Hile和M. H. Protter[2]推广到更高维的空间，即 11 . 4 mi imi mN (5) 显然，在式(5)的左边，用 n 去取代每个 i ，这样就可以得到(4)的第一式。 在文[3]中，H. C. Yang则证明了 2 1 11 4 mm mi imi ii N 1 . (6) 之后 E. M. Harrell II和J. Stubbe[4]又把不等式(6)推广到 1 11 11 1 11 11 2, 2; 4, 2, mm pp mi imi ii mm pp mi imi ii pp N p N (7) 对于双调和问题，G. N. Hile和R. Z. Yeh[5]也做了一些很好的工作，本文正是借助于他们所提供的方法来完 成的。G. N. Hile和R. Z. Yeh[5]先研究了双调和算子的共振问题 2, ; 0, . uu x u ux v 得出了前 个特征值的隐式不等式 1m 12 232 11 182 mm ii ii mi Nm N , 和显式不等式 12 123211 82 . mm mm i ii Nuu Nm i 关于低指标的特征值，他们还得出更优的估计，即对任意0 ，有 11 1 m mm i MN qm, i (8) 其中 12 312 132 2 , 2. 33 qMN N N Copyright © 2012 Hanspub 74  熊辉 含权双调和椭圆型问题的特征值不等式 并以此计算出最初三个特征值得如下关系 2 21 3 21 2 312 7.103, ; 4.792, ; 2.8974.237, , R R R 至于式(2)的第三个问题，G. N. Hile和R. Z. Yeh[5]得出 2 21 2 820 , 2 2 NN vv N N . (9) 本文主要采用文献[5]的方法，对于一般的空间维数 探讨类似于(8)的问题(1)的特征值不等式。有关特 征值的其他不等式，读者们还可参看文献[6-8]。 2N 2. 特征值不等式 众所周知，问题(1)的特征值可以如下排列 12 0 m, (10) 并假定它们对应的特征函数分别为 。根据特征值的定义可知，对任意充分光滑的函数 12 ,, ,, m uu u 都满足 2 22 d, d x ax x (11) 且 满足边界条件和正交条件 0, , 0.x n u 0 (12) 由于且，则可以假定存在两个正数 ，使得 ax L 0ax,AB min, max. xx A axBax (13) 令 为问题(1)的第一特征值 1 uu1 对应的特征函数，则标准化后可得 2d1.axux (14) 其中 ax为某些特定的函数。 引理 2.1 假定只基于 1 x 选取 1 x u ，则 1 x u 满足(10)式。 证明：根据(13)式，有 2. LL A u ax ax B (15) 因此可以通过坐标平移使得 2d0, 1,2,, k. x ux kN (16) 显然， 1 x u 满足(12)式的边界条件，且根据分部积分与(14)式，有 2 11 ddd0 d0 x uxxuxuu xux . 可见 1 x u 也满足(12)式的正交条件。 通过旋转 空间的坐标，可得到 n R 2 21 dd, 1,2 xk axxa uxkN N ,,. (17) Copyright © 2012 Hanspub 75  熊辉 含权双调和椭圆型问题的特征值不等式 假定上式不成立，则取其中的两个坐标方向 p x 和q x ，并使得 2 22 1 dd xk xp axxa uxaux N d, 接着可以把 p x 和q x 旋转交换，则可知上书非严格不等式中等号会成立。这种方法可以重复使用，直到将所有的 验证完。 1, 2,,kN 引理 2.2 假定 1d, x I aux 则以下等式或不等式成立： 2 22 11 2 d 2xx N aIbIau ux N ； . 证明：1) 根据分部积分和(17)式，因为 1 x u ，则 22 2 1111 1 12 dddd 22 xxxx NN Iauxaxuuuuxa uxauxa ux NN 2 d 2 . 其中最后一个不等式是根据(14)式得到的。 2) 根据 Hlder 不等式有 ö 222 222 11 ddd xx 1 d. x I xa uxxauux 定理 2.3 对于问题(1)，对任意的 ，有 2N 2 2 2 44 1 1 2 NB N. (18) 证明：取引理 2.1 中的 1 x u ，由于 2 11 111 1 dd xx xd, x uu xxuuxuxuu x 因此 2 11 1 dd 2 x, x uuxu x 则 22 22 1111 dd2dd x 2 2 d x xuxxuux uxxu x. (19) 直接计算又可得 22 11 1 d4d d4 xx 1 d x xuuxxuxux . 则根据分部积分和式(19)，有 22 22 11111 ddd2dd xd, x uxxuxxu xxuuxxux 因此，有 2 22 1 ddd4 xd x xuxu x . (20) 根据式(11)、(20)和引理 2.2 的(a)，可得 222 2 224 dd d4 d N xx xIx N . (21) Copyright © 2012 Hanspub 76  熊辉 含权双调和椭圆型问题的特征值不等式 Copyright © 2012 Hanspub 77 再根据引理 2.2 的(a)和(b)，可得 22 22 12 2 11 2 24 d 22xx NN d. I IIIxauux NN (22) 结合式(21)和(22)，则可得 2 21 8d. 2xx Nau ux N 1 (23) 同理，取 1, 2,, k x uk N ，则可得 2 28d, 1,2,, 2xkxk Nau uxkN N . 如此，对上式两边关于下标k求和，则可得 2 2 28d 2 Nau N x . 再根据奇性项 的有界性即(13)式，有 ax 22 28d 2 NB u N x . (24) 由问题(1)本身和式(14)，有 22 1 ddux aux . (25) 由于 1 是第一特征值，则将式(25)代入式(24)，可得 22 21 1 88 1 22 NB NB NN 1 . 参考文献 (References) [1] L. E. Payne, G. Polya and H. F. Weinberger. On the ratio of consecutive eigenvalues. Journal of Math and Physics, 1956, 35: 289-298. [2] G. N. Hile, M. H. Protter. Inequalities for eigenvalues of the Laplacian. Indiana University Mathematic Journal, 1980, 29: 523-538. [3] H. C. Yang. Estimates of the difference between consecutive eigenvalues. International Centre for Theoretical Physics, 1995, (3): 47-63. [4] E. M. Harrell II, J. Stubbe. On trace identities and universal eigenvalue estimates for some partial differential operators. Transactions of the American Mathematical Society, 1997, 349(5): 1797-1809. [5] G. N. Hile, R. Z. Yeh. Ineq u a l i t i e s f o r e igenvalues of the Biharmonic operator. Pacific Journal of Mathem atics, 1984, 112(1): 115-133. [6] M. S. Ashbaugh, L. Hermi. A unified approach to universal inequalities for eigenvalues of elliptic operators. Pacific Journal of Mathematics, 2004, 217(2): 201-219. [7] P. Li. Eigenvalue estimates on homogeneous manifolds. Comment Mathematic Helvetic, 1980, 55(1): 347-363. [8] 屈长征, 崔尚斌. 复Monge-Ampere 方程的特征值问题[J]. 纯粹数学与应用数学, 1995, 11(2): 37-40. |