双曲空间型中圆锥截线的度量几何分类 Metrical Geometry Classification of Conic Section in Hyperbolic Space Form

doi:10.12677/pm.2012.22016

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Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 97-102

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22016 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)

Metrical Geometry Classification of Conic Section in

Hyperbolic Space Form*

Youning Wang

Laboratory of Mathematics and Complex Systems of Ministry of Education, School of Mathematical Science,

Beijing Normal University, Beijing

Email: wangyouning@163.com

Received: Dec. 29th, 2011; revised: Jan. 12th, 2011; accepted: Jan. 23rd, 2012

Abstract: The paper defines a metric invariant system of parabola in hyperbolic plane. The equation and the

figures of parabola are discussed in Beltrami-Klein coordinates. Limit ellipse and limit hyperbola are limiting

case of parabola in this way. The classification of conic section in hyperbolic space will be given, which is

different with that immersed in Euclid space.

Keywords: Conic Section; Hyperbolic Space; Type (a, b) Parabola; Beltrami-Klein Coordinates

双曲空间型中圆锥截线的度量几何分类*

王幼宁

北京师范大学数学科学学院，数学与复杂系统教育部重点实验室，北京

Email: wangyouning@163.com

收稿日期：2011 年12 月29 日；修回日期：2012 年1月12 日；录用日期：2012 年1月23 日

摘要：本文定义了双曲平面中的抛物线的一个度量不变量系统。在Beltrami-Klein 坐标系下讨论了抛

物线的方程和直观，并引入极限椭圆和极限双曲线作为抛物线的极限情形。给出了双曲空间中的圆锥

截线的分类，该分类不同于欧氏空间中的相应情形。

关键词：圆锥截线；双曲空间；(a, b)型抛物线；Beltrami-Klein 坐标系

1. 引言

作为自然科学和数学理解空间形式及其子体的途径之一，在不同的空间型[1]中讨论圆锥截线的几何分类是

有趣的，但不是平凡的——其计算方式的选取和繁杂程度制约着几何不变量系统的发现和相应的几何分类的实

现。欧氏空间圆锥截线的几何分类是熟知的，其各子类实体可分为非蜕化的椭圆、双曲线、抛物线以及蜕化的

直线、相交直线和点(不考虑作为经典二次曲线分类时的平行直线、虚椭圆和虚平行直线)，其中各子类的完全几

何不变量系统所具有的不变量个数不尽相同。双曲平面上的椭圆[2,3]和双曲线[4]的几何定义方式、方程形态和几

何性质曾被详细考察过，作为双曲几何[5,6]子流形的具体实例。本文所关心的中心目标是实现双曲空间圆锥截线

实体的度量几何分类。为此，本文将通过以合理的方式定义双曲平面上的抛物线并考虑其双曲运动不变量，讨

论所衍生的极限情形——双曲平面上的极限椭圆、极限双曲线，揭示圆锥截线在 Beltrami-Klein 坐标系[7](以下简

称B-K 坐标系)下的良好外在直观，最终证明下列定理。

定理 1.1 双曲空间中的圆锥面若与双曲平面相交，则截面不过锥顶时的截线按不变量及其几何意义分类为

椭圆、极限椭圆、抛物线、极限双曲线和双曲线，截面过锥顶时的截线实体分类为相交测地线、测地线和点。

*资助信息：受国家自然科学基金(11171025)资助。

王幼宁  双曲空间型中圆锥截线的度量几何分类

注记 1.2 不仅与欧氏情形分类数不同，而且下文可见，双曲平面上的抛物线有两个不变量决定其内在几何

形态，这与欧氏平面上的抛物线由焦距确定内在几何形态的情形也不同。

为简便起见，以下不妨在截面曲率为1的双曲平面







H或双曲空间







H之中讨论。

2. 上的抛物线及其在 B-K 坐标系下的方程







在实平面





2,,xy xyRRR 2

上，取欧氏度量 22

ddd

，则







R是以(x, y)为Descartes 直角

坐标系的 E2；记 2

rxy

，在





1R

,xy rB上取 Cayley-Klein-Hilbert 度量[7]









22 22

1d2dd1d

yx xyxyxy

 

,



(1)

则



B,是以(x, y)为B-K 坐标系的。熟知[8]从点



21H





111

,pxy到点





222

,pxy的双曲距离

  

1212 1221

12 12 12

,Arcth1

xxyy xyxy

dpp xx yy

 



, (2)

满足





12 12

12 22 22

11 22

cosh ,.

xx yy

dpp

yxy



 

H (3)

2.1.







H1上抛物线的定义

在该双曲平面上，对于具有正法向的定直线 L0，给定距其有向距离为 a的定点 A以及有向距离为b

的等距线 Cb，其中常数，称到 A的距离与到Cb的距离保持相等的动点 p的轨迹 Ca, b为上的一条

由定点 A以及定直线L0所确定的(a, b)型抛物线，并称定点A、定直线 L0、常数 a、常数b和定曲线 Cb分别对

应为 Ca, b的焦点、基线、有向基焦距、有向基准距和准线。



21H

ba



21H

显然，Ca, b与Ca, b合同。

上述定义是欧氏情形的自然推广。事实上，如果类似考虑该欧氏平面 E2上的动点的轨迹



,pxy





,ab



的方

程，其中点到定点

p





的距离等于点 p



到定直线 0:Lx

0



的等距平行线的距离，则当 b  a时， :

b

轨迹蜕化为 E2上的直线；当 b时，轨迹

,ab

C0ya,ab



是E2上的抛物线； ,ab



与,ba



关于定直线

ab ab







是反射对称的。a  b决定了欧氏平面上抛物线 ,ab



确定几何形态的唯一不变量——焦距；而由下文(15)式可知，

双曲平面上抛物线 Ca, b确定几何形态的不变量是两个——有向基焦距、有向基准距。

2.2. 上抛物线在 B-K 坐标系下的典型方程





现给定该双曲平面





H上的定点 A(tanha, 0)和具有以 x轴正向为法向的定直线 L0 : x  0及其等距线 Cb : x

 2

1ytanhb，考虑以 A为焦点、以L0为基线并以Cb为准线的(a, b)型抛物线 Ca, b的方程及其性质，其中常

数b  a。现在由 (3)和(2)式以及测地线夹角性质[8]可知，Ca, b上的点 p(x, y)到焦点的距离dH(p, A)以及到基线的距

离dH(p, L0)分别满足





22 2

1tanhcosh sinh

cosh ,,

11tanh

aax

dpA xy

xya







 

a

(4)



,,0,Arcth

dpLdp yy





HH , (5)

王幼宁  双曲空间型中圆锥截线的度量几何分类



022

cosh ,cosh ,0,1

dpLdp y





此时点 p到L0的沿 x轴正向的有向距离为

 (6)



,sgnArcth

dpL xy

.

(7)

注意到点 p到Cb的距离 dH(p, Cb)满足









,sgn,

,,sgn,

dpL xbba

dpC bdpLxba

,

















H (8)

于是两端取双曲余弦并注意到 dH(p, A)  dH(p, Cb)，利用式(4)~(7)整理，得知 Ca, b的方程为



coshsinhsinh1cosh .ax abyb (9)

可等价形变为

222

cosh

sinh sinh1, 1.

cosh

(sinhsinh)

xab

yxy

















(10)

特别当 b  0  a时，抛物线 Ca, 0的方程为

 (11)

另一个值得注情形是当 a  0  b C0, b的方程为



22222

coth sinh1,1.xa ayxy

意的特殊时，

222 22

1tanh 1, 1.

sinh

xby





 xy

 

(12)

当



0时，易知 Ca, b的极限落在



,0,ab 







H上的直线 y  0之上。

由(10)式和度量的对称性可知，此时的 Ca, b以x轴为对称轴，与x轴的交点具有坐标



,tanh,

xy 







。

对应的欧面 E2上的具有同样方程(10)式的椭圆弧段(下文类似地位的欧氏曲线简称为 H2上B-K 坐标系下

相应曲线

氏平

的欧氏外观)与x轴的另外一个交点是 B2闭包的外点，具有坐标







2,0

b。此时，Ca, b的欧,coth

xy 



氏外观即为欧氏椭圆限制在参数区域 B2中的对应；其中的欧氏椭圆中心为部分cosh ,0



、半轴长分别

sinh sinhab







为cosh

sinh sinhab和1，另外两个顶点是 B闭包的外点。

变属性，事实上已经得到下列性质。

注意到几何不

性质 2.2.1 双曲空间中的(a, b)型抛物线 Ca, b具有对称轴，并且对称轴是过焦点、垂直于基线和准线的测地

线。

上抛物线在 B-K 坐标系下的标准方程及其欧氏外观

抛物线在以顶点为原点、以对称轴为坐标轴之一的 B-K 坐标系下的方程具有讨论的便利，称之为抛物线的

程。熟知形成的点 p的B-K 坐标变换[8]p(x, y) 

p(u, v)的逆变换即为

仿照欧氏情形，以下称抛物线 Ca, b与其对称轴的交点为抛物线 Ca, b的顶点。

2.3.





标准方沿直线 y  0的从点(x, y)  (0, 0)到点(x, y)  (x0, 0)作平移而

王幼宁  双曲空间型中圆锥截线的度量几何分类

uxu







 (13)

为得到由(10)式给定的

Ca, b的标准方程，考虑所对应的 B-K 坐标变换，使 Ca, b的顶点



,tanh,

xy 







沿直

线y  0平移到与原点(x, y)  (0, 0)重合，此时(13)式即为平移变换

cosh sinh

cosh sinhcosh

22 22

ab abab





(14)

sinh

ab ab





 



代入(10)式并整理，可知 Ca, b具有标准方程









cosh2 tanh1sinhsinh,1.vbuub abuv

 (15)

(1 标准方程

对于 b  0 的情形，由 5)式可知 Ca, 0的

2sinh, 1.vuauv





即：当取顶取顶线为坐标轴之一时，抛物线 Ca, 0的在 B-K 坐标系下的欧氏外观即为欧氏抛

物线限制在参 B中的对应部分。

对于 b  0的情形，等价变形改写(15)式，可知 Ca, b的标准方程

(16)

点为原点、点处的切

数区域 2

.1,0,1

sinh2

)1tanh2( 2222  vubv

bu sinhsinhba (17)

此时时)或欧氏椭圆(当(a  b)b  0时)限制在参

数区域 B2中的对应部分；其欧氏中心为R2之上的点(coth

Ca, b在B-K 坐标系下的欧氏外观即为：欧氏双曲线(当(a  b)b  0

, 0)，其欧氏半轴长分别为coth

b和

sinh sinhab

；对称轴 u轴上的两个欧氏顶点的 u坐标分别为 0和cothb。数组(a, b)的容许取值将对应着欧

2sinhb



轴

2.4.

氏中心、半长的容许取值。







上

化为

欧氏对应部分，对应的欧氏中心为(coth

的极限椭圆和极限双曲线在 B-K 坐标系下的标准方程及其欧氏外观

特别地，C0, b的标准方程简

.1,0,12)1tanh2(  vubvbu

2222

, 0)，欧氏半轴长分别为coth 2

外观即为欧氏椭圆限制在B2中的和

2。因此，当 b  时，C0, b的欧氏外观以极限圆 1



21 2uv



的欧外观为极限。容易看出，在(17)式氏

中对任意指定的 a，当 b  时Ca, b的欧氏外观都以极限圆的欧氏外观为极限。

在(17)式中取定 2

sinh 2

12 ,const.0,

sinh 2



  



观当 b  时分别以



a





，Ca, b的欧氏外

21 1



 为

另一方面，当 a  b  时或当 a  b  时，C即为欧氏线限制在 B2中的对应部分，

对应的欧氏半轴长分别为 coth

极限，该极限在 B2中的对应部分可定义为 H2中的极限椭圆。

a, b的欧氏外观双曲

b和sinh 12 2

sinhb

a，欧氏中心为(coth , 0)。在(17)式中取定 2

sinh 12,

sinh





const. 0



时欧氏外观有极限



21 1

u ，该极限在 B2中的对应部分可定义为 H2中的极限双曲线。



100

王幼宁  双曲空间型中圆锥截线的度量几何分类

在H中，极限椭圆不是椭，是双曲线，它们态不同。



2圆[3] 极限双曲线也不 [4]的拓扑形

3. 上的圆锥截线及其在 B-K 坐标系下的外观

类似地，在实空间









32222

,,, ,xyz xyzRRRR之中取欧氏度量 dddd

xyz





32

R,d

，则是以

(x, y, Ez)为Descartes 直角坐标系的 3；记222

rxyz

，在







,, 1xyz r



BR Cayley-Klein-Hil之中取 bert

度量 ]2

，则



B是以(x, y, z)为B-K 坐标系的







H。

间B-K 坐标系下的欧氏外观形注意到圆周在双曲空态，取







H上为B- 的原

点，则应欧氏外E

的圆锥面S的锥顶 K坐标系

S的相观即为 3之中以原点为锥顶的欧氏圆锥制在 B3之中的部分。S面限







3.1. H1

中的圆锥截线在特定 B-K 坐标系下的欧氏外观



上述圆锥面 S若与双曲平面 P0相交，则相应的欧氏外观即为与欧氏平面 0



相交。

此时，相应截线SP欧氏外观 0



都是轴对称的，具有明显的欧氏几何分类。当截面的不过

PS



0的

，截线个连通闭弧段的椭圆开弧段；抛

一个连通弧段；5) 的一个连通分 B之上的连通弧段，另一个连通分支落在 B36)

线的 3B3；7) 曲线的

B3之

锥顶时分类为：1) 椭圆；2) 去掉一个顶点的椭圆；3) 去掉一

闭包之外；

双

物线的

双曲

落在

双曲线

段，分

支落在

线的两个

一个连通分支落在 B3之上的连通弧段，另一个连通分支落在 B之外并切在边界之上

上的两个连通弧别位于双曲连通分支上。当截面 0



过S



的锥顶时，截线分类；8) 交

直线段；9) 直线段；10) 点。

注意到双曲空间中的 B-K 坐标系自然诱导出截面 P0上的 B-K 坐标系，于是在 P0上可取新的 B-K 坐标系使

截线的对称轴为坐标轴之一，并使新的原点成为截线落于该轴上的一个顶点。由于 B-K 坐标变换不改变 B-K 坐

标系下二次曲线的拓扑[3,4]，同时将边界点对应为边界点，故新的 B-K ，相应截线0

SP的新的欧氏外

观仍然都是轴对称的，上述的欧

为相

坐标系下

氏几何分类类型仍然具备。







3.2. 中的圆锥截线的几何分类

已知双曲平面上的椭圆和双曲线的欧氏外观在 B-K 坐标变换下具有对应相同的欧氏几何 [3,4]，于是当截

线欧氏外观为上述类型 1)或7)时，截线 0

SP具有对应的双曲

分类

几何分类——椭圆和双曲线。类似地，由本文 2.4

当截线可知，欧氏外观为 2)，或是 6)时，截线 0



对应分类为极限椭圆或是极限双曲线。同理，由本文 2.3

可知，当截线欧氏外观为 3)、4)或5)时，截线 0



对应分类为抛物线。当截面 P0过S的锥顶时，易见欧氏外

观为

类不

面的具

确定

4. 致谢

(References)

[1]

[2]

[3] 王幼宁, 吴英丽. 双曲空间中椭圆的凸性和运动[J]. 北京师范大学学报(自然科学版), 2008, 44(5): 469-471.

[4] 王幼宁, 连永欣. 关于双曲平面中的双曲线[J]. 北京师范大学学报(自然科学版), 2011, 47(2): 115-121.

8)、9)、10)的截线实体分类为相交测地线、测地线和点。

由所讨论对象的几何不变性，这些分依赖于B-K 坐标系的选取，至此定理 1.1 得证。

在欧氏空间中，椭圆锥面的平面截线与圆锥有同样的几何分类。而在双曲空间中，椭圆锥面的双曲

平面截线具有更多的几何类型，比如等距线等。双曲空间中的椭圆锥面截线的几何分类，找到相应截线合

理的几何定义方式，是有趣的。

感谢国家自然科学基金的资助！感谢长期以来同事和学生们的理解和帮助！

参考文献

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