Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 103-109 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.22017 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) Long Time Behavior of Solution for Generalized BBM Equation in * n R Jincui Yin, Jianwen Zha n g College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan Email: jincui_yin@hotmail.com, zhangjianwen@tyut.edu.cn Received: Jan. 9th, 2012; revised: Jan. 23rd, 2012; accepted: Feb. 3rd, 2012 Abstract: The article presents the long time behavior of solution for the generalized BBM equation on un- bounded domains . First, the existence and unique of the solutions on unbounded domains (n > 1) was proved by the Galerkin method and the method of the domain approximate. Secondly, operator decom- position method and the compactness of the weighted norm as well as n Rn R kuratowskii - the non-compacted measure are applied to study the smooth property of the solution. Finally, the existence of the glob al attractor for the corresponding semi-group on unbounded domains 2() n H R was proved. Keywords: Unbounded Domain; The kuratowskii - Non-Compact Measure; Operator Decomposition; Global Attractor 无界区域上推广的 B-BBM 方程的长时间行为* n R 殷金翠,张建文 太原理工大学数学学院,太原 Email: jincui_yin@hotmail.com, zhangjianwen@tyut.edu.cn 收稿日期:2012 年1月9日;修回日期:2012 年1月23 日;录用日期:2012 年2月3日 摘 要:本文研究了无界区域上推广的 B-BBM 方程的长时间动力学行为。首先,利用 Galerkin 方 法和对区域做极限的方法,验证了在无界区域 (n > 1)上解的存在唯一性;其次,通过算子分解技巧 和加权范数的紧性以及 n R wski n R kuratoi - 非紧测度,讨论了解的渐近光滑性;最后得到了该方程在无界区 域2() n H R上整体吸引子的存在性。 关键词:无界区域; kuratowskii - 非紧测度;算子分解;整体吸引子 1. 引言 BBM 方程是一类重要的非线性发展方程,它最初起源于 Benjamin、Bona、Mahony在水波研究中建立的模 型 12 0uuu u 如果考虑粘性和耗散作用(如湍流),则对应的模型方程推广为文献[1]中的Burgurs-BBM 方程, 122 20uuu uuu . *资助信息:国家自然科学基金(批准号:11172194),山西省自然科学基金(批准号:2010011008) ,山西省青年科技研究基金(批准号: 2011021002-2)资助。 Copyright © 2012 Hanspub 103 殷金翠 等 无界区域 n R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为 文献[2]中证明了如下有阻尼的 GBBM 方程的整体和指数吸引子的存在性, uubuFuuhx . 本文考虑无界区域上推广的 B-BBM 方程的初值问题 1 n Rn 2 uuuuuFuhx , , n x Rt R ; (1) 0 ,0uxu x. n x R. (2) 其中 12 ,,...T n x xx x,表示关于空间变量 x和时间变量 t的实值函数。常数 ,uxt ,, 0 ,为n维Laplace 算子。 ,h为给定函数。u表示 u关于 t的一阶导数。 0 u uF为u的实值向量函数。 1,n uuFFFu,定义 1 ni ii x F F且满足[2]: 1 A 。 00,1,2, iFin 2 A 为二阶导数连续的函数,即,1,2, iiFn 2n iCRF。 3 A ,1,2, . ii d sFsi ds n i f 满足: 00,1 m ii f fs cs 。 f 当 时,;当 时,2n0m3n2 02 mn 。 ,2 记 s nsn RHR,duv uvx ,用 , n R 12 ,uuv H 分别表示 2n LR中的内积和范数, s s s u u x 表 示 s n H R中的范数。 2. 解的存在性 定理 2.1 设 13 A A满足, , 2n hxH R 2 0n uHR,则方程(1) (2)存在唯一解 2 ;n utLR HR , 且有 。 ut L 2 ;n R HR 该定理利用 Galerkin 方法和对区域作极限的方法证明,在此不作详细陈述。 3. 有界吸收集的存在性 引理 3.1 假设 13 A A满足, 2n hxH R, 1 0n uHR,则方程(1)(2)的解 1 ;n utLR HR , 且 11 0,t 11 tt 时,有 22 1 1 uuE 。 及下文中的 1 E 1, 5 i Ei 皆为常数。 证:用 u与(1)式做内积得 22 222 11 2 1,, 2d duu uuuFuuh t u . 因为 11 ,,, nn ii ii Fuuf u uu 10 s,其中 。 0d u ii ufs 则 22 2222 11 2 11 2d2 2 duu uuuhuuh t 2 。 因为 2 20u,取 12 min ,c , 22 22 1 11 1 d2 duucuu t 2 h 3 . 由Gronwall 引理得证。 引理 3.2 假设 1 A A满足, 2n hxH R, 2 0n uHR,则方程(1)(2)的解 2 ;n utLR HR , 且 22 0,t 22 tt 时,有 22 2 12 uuE 。 Copyright © 2012 Hanspub 104 殷金翠 等 无界区域 n R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为 证:用 与(1)做内积得 u 22 222 12 213 1, 2d duuuuuFuuh t 2 u . (3) 因为 2 22 11 ,dd 4 nn nn ii RR ii ii uu 2 F uuf uuxf uxucuu xx [2]. 代入(3)式得 22222 222 22 1 12 123222 1: d2442 duuu uuuhuu h t 1 K . (4) 因为 2 30u,取 2min2 ,c , 2222 2 12 12 ) d duucuu t c . 由Gronwall 引理,得证。 引理 3.3 假设 13 A A满足, 2n hxH R, 2 0n uHR,则方程(1) (2)的解 2 ;n utLR HR , 且 221tt 时,有 2 3 3 uE 。 证:用 与(1)做内积,得 2u 22 2222 23 324 1,, 2d duu uuuFuuh t 2 u. (5) 由引理 3.2 2 22 44 11 1 ,dd 4 nn nn ii RR ii ii uu 4 F uuf uuxf uxucuu xx . 代入(5)式有 22222 2 2 23 324 11 : 2d2 2 duuuuuh t 1 K . 因为 2 40u,于是取 3min ,c , 2222 3 23 23 d duucuu t 2 K . (6) 由(4)式得 222 1 123 d duuu t K 。积分上式得 1 222 2 1 123 1 11 d t t ututuss Kutut 2 2 。 由引理 3.2 知, 12 3 3d t tussK 。对(6)使用一致 Gronwall 引理,得证。 引理 3.4 若引理 3.1 成立,则 1 ;n utLR HR 且22 4 1 uu E 。 证(1)式对 t求导后,再与u做内积 22 222 11 2 1,0 2d duu uuuFuu t . 因为 2 111 1 22 11 1 11 ,,, . nnn n iii i iii i ii i nn ii ii uu u i u F uufuuufuufuufuu xx x fu u ufu u ucucuu x Copyright © 2012 Hanspub 105 殷金翠 等 无界区域 n R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为 则 22 222 112 1 1 2d duu uuucuucu t 2 。 因为 2 20u ,所以 22 22 4 11 d duucuu t . 由Gronwall 引理得证。 引理 3.5 若引理 3.2 成立,则 2 ;n utLR HR 且2 5 2 uE 。 证:用 与(1)式做内积,得 u 22 2 5 24 2 , . uhuuuuFuu huuuuFuu cu 2 故得 2 5 2 uE 。 综上所述,若 13 A A满足, 2n hxH R, 2 0n uHR,则方程(1) (2)存在唯一解 ,且有 2 ;utLRH n R 2 ;n LR HR ut 。定义解算子 St: 0 uut。由以上引理,可得。 2n 3n 定理 3.1 解算子 在 St H R上是连续的并且存在有界吸收集 BHR。 4. 解的光滑性 设 , 2n hhx LR 0n L x CR ,01 L 满足 1, ; 0,1 , L if xL xif xL 则对 ,使得 0,1 ,0L 2,L hhh h ; 2,L FFF F ; 设u 是下列方程的解 2 uuuuuhh FF ; (7) 0 ,0uxu . (8) 记 1020 01 ,Stu uvStu StuStu 0 ,且 v 是如下方程的解 2 vvvvvhF ; (9) ,0 0vx . (10) 定义 4.1 Banach空间中集合 A的kuratowskii - 非紧测度定义为 inf A dd Ad . 其中为A的有限覆盖的小球的直径。且 dA A BA B成立。若是 A紧集,则 (参见文 献[3])。 0A 引理 4.1 设 13 A A满足, , 2n hxL R 2 0n uHR,则 0, 0,1c ,使得 22 22 22 11223 , , uucuucuu c. 并且 有 ** 0,1 ,0,0ttt 22 22 22 11223 , , uucuucuu c . Copyright © 2012 Hanspub 106 殷金翠 等 无界区域 n R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为 证:用 u 与(7)式做内积,得 22 2222 11 2 1 2d 22 d c uu uuuhhFFucuu t . 22 22 1 11 d duucuu t c . 由Gronwall 引理,有 22 22 001 1 11 expt c uuuu c c . (11) 故 ,使得 0c 22 1,0uu c ,1. 31 0t ,当 31 tt 时,使得 22 001 1exp tuu c . 所以 *31 tt ,22 1 uu c 。 u与(7)式做内积,得 用 22 2222 1221322 2 1 2d 22 d c uuuuuhhFFucu u t ; (12) 22 22 2 12 12 d duucuu t c . (13) 由Gronwall 引理,得 22 22 00 2 12 12 2 expt c uuuu c c . 故 ,使0c 22 12 uu c,当 42 tt 时,使得 22 00 2 12 exp tuu c . 故 42 tt ,22 12 uu c 。其中 12 1 2 ,,,cc 分别与引理 3.1、3.2 和3.3 中取法相同。 2u与(7)式做内积得 用 22 222 233424 4 11 2d2 2 d c uu uuuhhFFuu t ; 22 22 1 23 23 2 d duucuu t c . 又由(12),有 222 123 d duuu t c 。积分此式得 1 222 2 123 1 11d t t ututuss cutut 2 2 . 故 12 3d t tuss c 。由一致 Gronwall 引理,有 22 23 uu c 。进而存在 542 1tt , ,有 5 tt 22 23 uu c 。 为了证明空间嵌入的紧性,我们引入加权范数 x v , x v , x v 。 引理 4.2 假设 13 A A成立, 2 0n uHR,则 0c ,使得 Copyright © 2012 Hanspub 107 殷金翠 等 无界区域 n R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为 222 2 2xvx vx vc . (14) 证:用 22 2 x vxvv 与(9)式各项做内积,得 22 222 22 2 122 2d ,2vv dxvx vxxvxvvt vv; 22 22 ,2 2,2vxv xvvxvvxvxvv 2 ; 22 22 ,2 2vxv xvvxvxvv 2 ; 22 22 2 ,22,2,2vxvxvvxvvvvxvvxv 2 ; 22 ,2 2hFxvxv vxhxFxvxhxFxvhFv . 由于当 时, * tt,uu 在 3n H R中有界,从而当 时,v * tt 在 3n H R中有界,h , F 有界。由此可得 22 123 ,2hFxvxvvcxvcxvc v . 综合以上各式,整理得 2222 22 2222 122 2d 11 12 22 d2 . x vxvxvv x t xvvxvv c v 取 ,有 40c 2222222 22 2 4 222 d dxvx vxvvcxvx vxvc t . 由Gronwall 引理即得(14)式成立。 引理 4.3 设1 ,,1 s sss为整数,则 12 ;1 d s sn n H RHRxx到 1 sn H R是紧嵌入[4]。 定理 4.1 解算子 是渐进光滑的。 St 证:由引理 4.2 和引理 4.3知,方程(9)(10)所确定的 2 St 在 2n H R上紧, 有界,有 。由引理 4.1 有 2n BHR 2,0,dist StBt 0 10 *0 ,,Stuttu B . 因此 12 1 ,,,,StBS tBStBS tB 。从而 0 lim, 0 tSt B 。即 是渐近光滑的。 St 5. 整体吸引子的存在性 综上所述,可得如下结论 引理 5.1 假设 X为Banach 空间, 是X上的连续算子半群,若 0t St 0t St 是渐近光滑的且有一个有界 吸收集,则有一个整体吸引子,它是 X中的紧不变集,吸收 X中的每一个有界集[5]。 0t St 定理 5.2 0sts A BStB St 是在 2n H R中的紧吸引子,其中闭包是在 2n H R取的,是 St在 2n H R中的有界吸收集[3]。 6. 致谢 我衷心的感谢我的导师张建文教授,在论文的创作中,给予我悉心的指导和帮助。张老师严谨的治学 Copyright © 2012 Hanspub 108 殷金翠 等 无界区域 n R上推广的 B-BBM 方程的长时间行为 Copyright © 2012 Hanspub 109 态度、勤奋的工作作风、平易近人的处世风范,将会在我今后的学习和生活中时刻影响我。值此论文完稿 之际,特此向张老师致以衷心的感谢! 感谢王旦霞和李桂莲两位老师对我的指导。二位老师对我进入这个领域起到了巩固性的作用,得益于 她们的耐心讲解,使我对基本知识的理解更为深刻,为我打下了坚实的基础。王旦霞老师是我在吸引子方 面研究的启蒙者,给予了我许多具体的指导并提出了许多好的建议。 感谢姚华珍、石丹青、姜伟三位同学。在进入这个领域学习时,是她们一直陪伴着我,共同讨论,解 决了许多疑惑。 我还要特别感谢我的父母,是他们为我提供了这个学习的机会,为我的学业付出了辛勤的劳动。是他 们让我有了心灵上的慰藉,可以踏实的在学校学习。 最后,感谢国家自然科学基金(批准号:11172194),山西省自然科学基金(批准号:2010011008),山西省青 年科技研究基金(批准号:2011021002-2)的资助。 参考文献 (References) [1] H. J. Zhao, B. J. Xuan. Existence and convergence of solutions for the generalized BBM-Burgers equations with dissipative term. Nonlinear Analysis, 1997, 28(11): 1835-1850. [2] 潘杰. 无界区域上 GBBM 方程的长时间动力学行为[D]. 四川: 四川师范大学, 2004. [3] 李开泰. 马逸尘. 数学物理方程 Hilbert 空间方法[M]. 北京: 科学出版社, 2008: 226-253. [4] J. K. Hale. Asymptotic behavior of dissipative systems. Providence: Mathematical Surveys and Monographs, 1988: 113-145. [5] R. Temam. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. 北京: 世界图书出版公司, 2006: 41-171. |