上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2022年3月24日；录用日期：2022年4月18日；发布日期：2022年4月27日

摘要

本文研究了一类具有Φ-Laplace算子和奇异非线性项的拟线性椭圆型方程正解的存在性及相关问题。利用临界点理论、截断技巧和比较原理，证明了解的分歧性；进一步得到了最小正解的存在性及其关于参数λ的单调性和连续性。

关键词

拟线性椭圆型方程，奇异非线性项，分歧性，截断技巧

Bifurcation of Positive Solutions for Quasilinear Elliptic Equations with Φ-Laplacian Operator and Singular Nonlinearity

Jinge Ma

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Mar. 24^th, 2022; accepted: Apr. 18^th, 2022; published: Apr. 27^th, 2022

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of positive solutions and related problems for a class of quasilinear elliptic equations with Φ-Laplacian operator and singular nonlinearity. We obtain the bifurcation of solutions by using critical point theory, appropriate truncation and comparison techniques. Furthermore, we obtain the existence of the smallest positive solution and the monotonicity and continuity with respect to parameter λ.

Keywords:Quasilinear Elliptic Equation, Singular Nonlinearity, Bifurcation, Truncation Techniques

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

考虑如下具有Φ-Laplace算子的奇异拟线性椭圆型方程正解的存在性、多重性和分歧性

$\{\begin{array}{l}-{\Delta }_{\Phi }u=\lambda u^{-\eta }+f\left(x,u\right),x\in \Omega ,\\ u>0,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ ( P λ )

其中 $\Omega \subset {ℝ}^N\left(N\ge 3\right)$ 是带有 $C^2$ 边界的有界区域， ${\Delta }_{\Phi }u=\text{div}\left(\varphi \left(\left|\nabla u\right|\right)\nabla u\right)$ 是Φ-Laplace算子， $\Phi \left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t}s\varphi \left(s\right)\text{d}s$，$\lambda >0$，$0<\eta <1$。

在过去几十年里，已有一些学者研究了如下形式的拟线性椭圆型方程

$\{\begin{array}{ll}-{\Delta }_{\Phi }u=f_{\lambda }\left(u\right),\hfill & x\in \Omega ,\hfill \\ u=0,\hfill & x\in \partial \Omega ,\hfill \end{array}$ (1.1)

其中 $f_{\lambda }\left(u\right)$ 关于u是非奇异的，如文献 [1] 等。当 $\Omega \subset {ℝ}^N\left(N\ge 2\right)$ 是带有光滑边界的有界区域，

$f_{\lambda }\left(u\right)=\lambda {\left|u\right|}^{{\mathcal{l}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}-2}u+f\left(x\mathrm{,}u\right)$，${\mathcal{l}}^{*}=\frac{N\mathcal{l}}{N-\mathcal{l}}\left(1<\mathcal{l}<N\right)$，$\lambda >0$ 时，文献 [2] 利用对称山路定理和集中紧性原理

证明了方程(1.1)非平凡解的多重性。对于 $\Omega ={ℝ}^N$，Fukagai等学者在文献 [3] 中利用变分法证明了方程(1.1)正解的存在性，其中 $f_{\lambda }\left(u\right)$ 包含临界增长情形。

关于椭圆型方程解的分歧性的研究，Ambrosetti等在文献 [4] 中首先建立了半线性Dirichlet问题解的分歧性，然后学者Guo等推广到p-Laplace算子，如文献 [5]，其中 $f_{\lambda }\left(u\right)=\lambda u^s+u^r$，$0<s<p-1<r$，$\lambda >0$。

对于非线性项具有奇异的情形，研究成果也有很多，如文献 [6] [7] [8]。当 $1<q<p$，在文献 [8] 中，Papageorgiou等利用临界点理论和截断技巧证明了如下 $\left(p,q\right)$ -Laplace方程正解的存在性和分歧性

$\{\begin{array}{ll}-{\Delta }_{p}u-{\Delta }_{q}u=\lambda u^{-\eta }+f\left(x,u\right),\hfill & x\in \Omega ,\hfill \\ u>0,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\hfill & x\in \Omega ,\hfill \\ u=0,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\hfill & x\in \partial \Omega ,\hfill \end{array}$

其中 $\Omega \subset {ℝ}^N\left(N\ge 3\right)$ 是带有 $C^2$ 边界的有界区域， $\lambda >0$，$0<\eta <1$，$f\left(x\mathrm{,}u\right)$ 关于u在无穷远处呈线性增长。

现在给出函数 $\varphi$ 和函数f的基本假设。函数 $\varphi \mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\left(\mathrm{0,}+\infty \right)\to \left(\mathrm{0,}+\infty \right)$，$\varphi \in C^2\left(\Omega \right)$，且满足下列条件

( ${\varphi }_1$ ) 当 $t\to 0^{+}$ 时， $t\varphi \left(t\right)\to 0$ ；当 $t\to +\infty$ 时， $t\varphi \left(t\right)\to \infty$ ；

( ${\varphi }_2$ ) $t\varphi \left(t\right)$ 在 $\left(\mathrm{0,}+\infty \right)$ 上是严格增的；

( ${\varphi }_3$ ) 存在常数 $\mathcal{l}\mathrm{,}m\in \left(\mathrm{1,}N\right)$，使得对于任意的 $t>0$，成立

$0<\mathcal{l}-1:=\underset{t>0}{\inf }\frac{{\left(t\varphi \left(t\right)\right)}^{\prime }}{\varphi \left(t\right)}\le \underset{t>0}{\sup }\frac{{\left(t\varphi \left(t\right)\right)}^{\prime }}{\varphi \left(t\right)}=:m-1<{\mathcal{l}}^{*}-1,{\mathcal{l}}^{*}=\frac{N\mathcal{l}}{N-\mathcal{l}};$

( ${\varphi }_4$ ) 存在常数 $c_0>0$，使得 $\underset{t\to +\infty }{lim}\frac{\varphi \left(t\right)}{t^{m-2}}\ge c_0$。

进一步，假设

$H\left(f\right)$ : $f\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\Omega \times ℝ\to ℝ$ 是Carathéodory函数，当 $t\le 0$ 时， $f\left(x\mathrm{,}t\right)=0$，且

1) 存在函数 $a\left(x\right)\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$，$r\in \left(m\mathrm{,}{\mathcal{l}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right)$，使得 $f\left(x\mathrm{,}t\right)\le a\left(x\right)\left(1+t^{r-1}\right)$，$\forall \left(x\mathrm{,}t\right)\in \Omega \times {ℝ}_{+}$ ；

2) $\underset{t\to +\infty }{lim}\frac{F\left(x,t\right)}{t^m}=+\infty$ 对几乎所有的 $x\in \Omega$ 一致成立，其中 $F\left(x\mathrm{,}t\right)={\displaystyle {\int }_0^t}f\left(x\mathrm{,}s\right)\text{d}s$ ；

3) 存在 $\tau \in \left(\frac{N\left(r-\mathcal{l}\right)}{\mathcal{l}}\mathrm{,}{\mathcal{l}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right)$，$\tau >\mathcal{l}$，使得 $0<c\le \underset{t\to +\infty }{\lim \inf }\frac{f\left(x,t\right)t-mF\left(x,t\right)}{t^{\tau }}$ 对几乎所有的 $x\in \Omega$ 一致成立；

4) $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^{1-\mathcal{l}}f\left(x,t\right)=0$ 对几乎所有的 $x\in \Omega$ 一致成立，存在 $\beta \in \left(\mathcal{l}\mathrm{,}m\right)$，$\beta <\tau$，使得 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim \inf }f\left(x,t\right)t^{1-\beta }\ge \hat{\eta }>0$ ；

5) 对于任意的 $\sigma >0$，存在 ${\hat{\xi }}_{\sigma }>0$，使得对于几乎所有的 $x\in \Omega$，函数

$t\to f\left(x\mathrm{,}t\right)+{\hat{\xi }}_{\sigma }{t}^{m-1}$

在 $\left[\mathrm{0,}\sigma \right]$ 上是非减的。

注记1.1：由条件 $H\left(f\right)$ 2)，3)知， $f\left(x\mathrm{,}t\right)$ 在 $+\infty$ 处为 $\left(m-1\right)$ 次超线性增长，故不满足一般的(AR)条件。例如，考虑函数 $f\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}{ℝ}_{+}\to ℝ$ 不依赖于x，常数 $C>0$，$f\left(t\right)$ 定义为

$f\left(t\right)=\{\begin{array}{l}C{t}^{\beta -1},0\le t\le 1,\\ t^{m-1}\ln t+C{t}^{\mathcal{l}-1},t>1.\end{array}$

容易验证函数 $f\left(t\right)$ 满足条件 $H\left(f\right)$ 但不满足(AR)条件。

在叙述本文的主要结果之前，先定义下列几类集合

$\mathrm{int}{C}_{+}=\left\{u|u\in C_{+}:u\left(x\right)>0,\forall x\in \Omega ;\frac{\partial u}{\partial n}\left(x\right)<0,\forall x\in \partial \Omega \right\},$

其中 $n\left(x\right)$ 是边界 $\partial \Omega$ 上在x点处的单位外法向量， $C_{+}=\left\{u|u\in C_0^1\left(\bar{\Omega }\right):u\ge 0,x\in \bar{\Omega }\right\}$ ；定义 $\Lambda =\left\{\lambda >0,S_{\lambda }\ne \varnothing \right\}$，其中 $S_{\lambda }=\left\{u|u\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)是问题\left(P_{\lambda }\right)的正解\right\}$ ； $K_{\phi }:=\left\{u\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right):{\phi }^{\prime }\left(u\right)=0\right\}$。 $W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$ 的定义将在下节中给出。

定理1.1：设( ${\varphi }_1$ )~( ${\varphi }_4$ )和 $H\left(f\right)$ 成立，则存在 ${\lambda }^{*}>0$，使得下列结论成立：

a) 当 $\lambda \in \left(\mathrm{0,}{\lambda }^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right)$ 时，问题( $P_{\lambda }$ )至少存在两个正解 $\bar{u}\mathrm{,}\hat{u}\in \mathrm{int}{C}_{+}$，且 $\bar{u}\le \hat{u}$，$\bar{u}\ne \hat{u}$ ；

b) 当 $\lambda ={\lambda }^{*}$ 时，问题( $P_{\lambda }$ )至少存在一个正解 $u_{{\lambda }_{*}}\in \mathrm{int}{C}_{+}$ ；

c) 当 $\lambda >{\lambda }^{*}$ 时，问题( $P_{\lambda }$ )无正解。

定理1.2：设( ${\varphi }_1$ )~( ${\varphi }_4$ )和 $H\left(f\right)$ 成立，则当 $\lambda \in \left(\mathrm{0,}{\lambda }^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right]$ 时，问题( $P_{\lambda }$ )存在最小正解 $u_{\lambda }^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\in \mathrm{int}{C}_{+}$。

定理1.3：设( ${\varphi }_1$ )~( ${\varphi }_4$ )和 $H\left(f\right)$ 成立，若 $\lambda \in \left(\mathrm{0,}{\lambda }^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right]$，$u_{\lambda }^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\in C_0^1\left(\bar{\Omega }\right)$ 为问题( $P_{\lambda }$ )的最小正解，则 $\lambda \mapsto u_{\lambda }^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}$ 是严格增和左连续的，即若 $\mu <\lambda$，则 $u_{\lambda }^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}-u_{\mu }^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\in \mathrm{int}{C}_{+}$，且对任意的 ${\lambda }_n\to {\lambda }^{-}\left(n\to \infty \right)$，有 $u_{{\lambda }_n}^{*}\to u_{\lambda }^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\in C_0^1\left(\bar{\Omega }\right)$。

2. 预备知识和基本引理

符号：记C表示正常数，在不同处出现时可能不相同。

设 $\Omega \subset {ℝ}^N$ 是带有 $C^2$ 边界的有界区域，记 $L_{\Phi }\left(\Omega \right)=\left\{u|u:\Omega \to ℝ是可测的,{\displaystyle {\int }_{\Omega }}\Phi \left(\left|u\right|\right)\text{d}x<\infty \right\}$，在 $L_{\Phi }\left(\Omega \right)$ 上定义Luxemburg范数 ${\Vert u\Vert }_{\Phi }=\underset{k}{\inf }\left\{k>0|{\displaystyle {\int }_{\Omega }}\Phi \left(\frac{\left|u\left(x\right)\right|}{k}\right)\text{d}x\le 1\right\}$。

记 $W^{1,\Phi }\left(\Omega \right)=\left\{u|u\in L_{\Phi }\left(\Omega \right),D_{i}u\in L_{\Phi }\left(\Omega \right),i=1,\cdots ,N\right\}$，在 $W^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 上定义范数

${\Vert u\Vert }_{1,\Phi }={\Vert u\Vert }_{\Phi }+{\Vert \nabla u\Vert }_{\Phi }.$

记 $W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$ 是 $C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ 在 $W^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 中的闭包。易知， $L_{\Phi }\left(\Omega \right)$ 和 $W^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 是可分的、自反的Banach空间(参见文献 [9] )。

根据( ${\varphi }_3$ )和Poincaré不等式可以得到定义在 $W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$ 上的范数 $\Vert u\Vert :={\Vert \nabla u\Vert }_{\Phi }$ 与 ${\Vert u\Vert }_{\mathrm{1,}\Phi }$ 等价。

若

${\displaystyle {\int }_0^1}{s}^{-\frac{N+1}{N}}{\Phi }^{-1}\left(s\right)\text{d}s<+\infty ,{\displaystyle {\int }_1^{+\infty }}{s}^{-\frac{N+1}{N}}{\Phi }^{-1}\left(s\right)\text{d}s=+\infty ,$

则称 ${\Phi }_{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}$ 是 $\Phi$ 的Sobolev共轭N-函数，其中 ${\Phi }_{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}$ 满足 ${\Phi }_{*}^{-1}\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t}{s}^{-\frac{N+1}{N}}{\Phi }^{-1}\left(s\right)\text{d}s$，$t\ge 0$，且当 $t<0$ 时， ${\Phi }_{*}\left(t\right)={\Phi }_{*}\left(-t\right)$。

记 $L_{\Phi }\left(\Omega \right)$ 的对偶空间为 $L_{\tilde{\Phi }}\left(\Omega \right)$，即 ${\left(L_{\Phi }\left(\Omega \right)\right)}^{*}=L_{\tilde{\Phi }}\left(\Omega \right)$ (参见文献 [9] )，且 $\tilde{\Phi }\left(t\right)=\underset{s\ge 0}{\max }\left\{ts-\Phi \left(s\right)\right\}$，$t\ge 0$。

注记2.1：如果对于所有的 $\nu >0$，都有 $\underset{t\to \infty }{lim}\frac{\Psi \left(\nu t\right)}{{\Phi }_{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\left(t\right)}=0$，则称N-函数 $\Psi$ 在无穷远处比 ${\Phi }_{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}$ 增长得更慢，

记 $\Psi \ll {\Phi }_{*}$。如果 $\Psi \ll {\Phi }_{*}$，则 $W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)\rightarrowtail \rightarrowtail L_{\Psi }\left(\Omega \right)$ (参见文献 [10]，符号“ $\rightarrowtail \rightarrowtail$ ”表示“紧嵌入”，符号“ $\rightarrowtail$ ”表示“连续嵌入”)。进一步，有 $W^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)\rightarrowtail L_{{\Phi }_{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}}\left(\Omega \right)$。在条件( ${\varphi }_1$ )~( ${\varphi }_3$ )下，还有： $L^m\left(\Omega \right)\rightarrowtail L_{\Phi }\left(\Omega \right)\rightarrowtail L^{\mathcal{l}}\left(\Omega \right)$，$L_{{\Phi }_{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}}\left(\Omega \right)\rightarrowtail L^{{\mathcal{l}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}}\left(\Omega \right)$ (参见文献 [11] )。

注记2.2：在条件( ${\varphi }_1$ )~( ${\varphi }_3$ )下，可以推得

$\mathcal{l}-2\le \frac{t{\varphi }^{\prime }\left(t\right)}{\varphi \left(t\right)}\le m-2,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\mathcal{l}\le \frac{\varphi \left(t\right)t^2}{\Phi \left(t\right)}\le m,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}t>0.$

此外，还可以得到

$\begin{array}{l}{t}^2{\varphi }^{″}\left(t\right)\le \left(m-4\right)t{\varphi }^{\prime }\left(t\right)+\left(m-2\right)\varphi \left(t\right)\mathrm{,}\\ t^2{\varphi }^{″}\left(t\right)\ge \left(\mathcal{l}-4\right)t{\varphi }^{\prime }\left(t\right)+\left(\mathcal{l}-2\right)\varphi \left(t\right)\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}t\ge 0.\end{array}$

下面给出本文需要的几个基本引理。

引理2.1 ( [3] )：设( ${\varphi }_1$ )~( ${\varphi }_3$ )成立，对 $t\ge 0$，令

${\eta }_0\left(t\right)=\min \left\{t^{\mathcal{l}-2},t^{m-2}\right\},{\eta }_1\left(t\right)=\max \left\{t^{\mathcal{l}-2},t^{m-2}\right\},$

则对于任意 $\rho ,t>0$，成立 ${\eta }_0\left(t\right)\varphi \left(\rho \right)\le \varphi \left(\rho t\right)\le {\eta }_1\left(t\right)\varphi \left(\rho \right)$。

引理2.2 ( [3] )：设( ${\varphi }_1$ )~( ${\varphi }_3$ )成立，对 $t\ge 0$，令

${\eta }_2\left(t\right)=\min \left\{t^{\mathcal{l}},t^m\right\},{\eta }_3\left(t\right)=\max \left\{t^{\mathcal{l}},t^m\right\},$

则对于任意 $\rho ,t>0$，$u\in L_{\Phi }\left(\Omega \right)$，成立

${\eta }_2\left(t\right)\Phi \left(\rho \right)\le \Phi \left(\rho t\right)\le {\eta }_3\left(t\right)\Phi \left(\rho \right)\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}{\eta }_2\left({\Vert u\Vert }_{\Phi }\right)\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }}\Phi \left(u\right)\text{d}x\le {\eta }_3\left({\Vert u\Vert }_{\Phi }\right)\mathrm{.}$

引理2.3 ( [11] )：设( ${\varphi }_1$ )~( ${\varphi }_3$ )成立，则 $-{\Delta }_{\Phi }$ 是( $S_{+}$ )型算子，即对任意给定的序列 $\left\{u_n\right\}\subseteq W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$，若 $u_n\rightharpoonup u$，且 $\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\langle -{\Delta }_{\Phi }{u}_n\mathrm{,}{u}_n-u\rangle \le 0$，则在 $W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$ 中有 $u_n\to u$。

对 $t\in ℝ$，记 $t^{\pm }=\max \left\{\mathrm{0,}\pm t\right\}$ ；对 $u\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$，定义 $u^{\pm }\left(x\right)=u{\left(x\right)}^{\pm }$，那么

$u^{\pm }\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right),\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}u=u^{+}-u^{-},\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\left|u\right|=u^{+}+u^{-}.$

定义2.1：对给定 $h_1\mathrm{,}{h}_2\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\Omega \to ℝ$ 是可测函数，如果对每一个紧集 $K\subset \Omega$，存在常数 $c_K>0$，使得对几乎处处的 $x\in K$，成立

$0<c_K\le h_2\left(x\right)-h_1\left(x\right),$

则记 $h_1\prec h_2$。

给定集合 $S\subseteq W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$，如果对每一对 $\left(u_1\mathrm{,}{u}_2\right)\in S\times S$，都可以找到 $u\in S$，使得 $u\le u_1$，$u\le u_2$，则称集合S为下有向集。

给定 $u\mathrm{,}v\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$，且 $u\le v$，定义

$\begin{array}{l}\left[u,v\right]=\left\{h\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right):u\left(x\right)\le h\left(x\right)\le v\left(x\right),a.e.x\in \Omega \right\},\\ \left[u\right)=\left\{h\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right):u\left(x\right)\le h\left(x\right),a.e.x\in \Omega \right\}.\end{array}$

定义2.2：设X是Banach空间， $\phi \in C^1\left(X\mathrm{,}ℝ\right)$。若序列 ${\left\{u_n\right\}}_{n\ge 1}\subset X$ 满足 ${\left\{\phi \left(u_n\right)\right\}}_{n\ge 1}$ 在 $ℝ$ 上有界，且当 $n\to \infty$ 时， $\left(1+{\Vert u_n\Vert }_X\right){\phi }^{\prime }\left(u_n\right)\to 0$ (在 $X^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}$ 中)，则称序列 ${\left\{u_n\right\}}_{n\ge 1}$ 为泛函 $\phi$ 的Cerami序列。若对任意Cerami序列 ${\left\{u_n\right\}}_{n\ge 1}$ 都存在强收敛子列，则称泛函 $\phi \left(u\right)$ 满足Cerami条件。

若函数 $u\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$，$u\ge 0$，$u\ne 0$，使得对任意 $v\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$ 且满足 $u^{-\eta }v\in L^1\left(\Omega \right)$，成立

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}\varphi \left(\left|\nabla u\right|\right)\nabla u\nabla v\text{d}x=\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}^{-\eta }v\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }}f\left(x\mathrm{,}u\right)v\text{d}x\mathrm{,}$

则函数u是问题( $P_{\lambda }$ )的弱解。

容易验证，问题( $P_{\lambda }$ )对应的能量泛函为 $J_{\lambda }\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}{W}_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)\to ℝ$

$J_{\lambda }\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }}\Phi \left(\left|\nabla u\right|\right)\text{d}x-\frac{\lambda }{1-\eta }{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\left|u\right|}^{1-\eta }\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }}F\left(x,u\right)\text{d}x,$

其中 $F\left(x\mathrm{,}t\right)={\displaystyle {\int }_0^t}f\left(x\mathrm{,}s\right)\text{d}s$。显然，奇异项的存在导致能量泛函 $J_{\lambda }\left(u\right)$ 不是 $C^1$ 的，从而我们不能直接对泛函 $J_{\lambda }\left(u\right)$ 运用临界点理论中的极小极大定理。为了克服这一困难，我们通过研究相应的辅助问题，结合截断技巧和比较原理来去除奇性。

为此，先考虑如下纯奇异的辅助问题

$\{\begin{array}{l}-{\Delta }_{\Phi }u=\lambda u^{-\eta },x\in \Omega ,\\ u>0,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega .\end{array}$ ( Q λ )

考虑Banach空间 $C_0\left(\bar{\Omega }\right)=\left\{u\in C\left(\bar{\Omega }\right):{u|}_{\partial \Omega }=0\right\}$，正锥 $K_{+}=\left\{u\in C_0\left(\bar{\Omega }\right):u\left(x\right)\ge 0,x\in \bar{\Omega }\right\}$，它的非空内部为 $\mathrm{int}{K}_{+}=\left\{u\in K_{+}:\exists c_u>0,s.t\mathrm{.\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}{c}_{u}d\left(x,\partial \Omega \right)\le u\left(x\right)\right\}$。

根据文献 [12] 中引理14.16知存在 $\delta >0$，使得 $d\left(x\mathrm{,}\partial \Omega \right)\in C^2\left({\Omega }_{\delta }\right)$，其中 ${\Omega }_{\delta }=\left\{x\in \bar{\Omega }:d\left(x,\partial \Omega \right)<\delta \right\}$。因此， $d\left(x\mathrm{,}\partial \Omega \right)\in \mathrm{int}{C}_{+}$。再根据文献 [13] 的命题4.1.22知对 $u\in \mathrm{int}{C}_{+}$，存在常数 $0<{\bar{c}}_u\le {\tilde{c}}_u$，使得

${\bar{c}}_{u}d\left(x\mathrm{,}\partial \Omega \right)\le u\le {\tilde{c}}_{u}d\left(x\mathrm{,}\partial \Omega \right)\mathrm{,}$

从而有 $u\in \mathrm{int}{K}_{+}$。

给定 $s_0>N$，设 ${\hat{\lambda }}_1$ 是 $\left(-{\Delta }_{\Phi }\mathrm{,}{W}_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)\right)$ 的第一特征值， ${\hat{u}}_1$ 是对应的特征函数。根据正则性理论(参见文献 [14] )和极大值原理(参见文献 [15] )可得 ${\hat{u}}_1\in \mathrm{int}{C}_{+}$，从而有 ${\hat{u}}_1^{\frac{1}{s_0}}\in K_{+}$。再次利用文献 [13] 的命题4.1.22，可以找到 ${\hat{c}}_u>0$，使得对任意 $u\in \mathrm{int}{K}_{+}$，有 $0\le {\hat{u}}_1^{\frac{1}{s_0}}\le {\hat{c}}_{u}u$，即 $u^{-\eta }\le {\hat{c}}_u^{\eta }{\hat{u}}_1^{-\frac{\eta }{s_0}}$。根据文献 [16] 的引理可知

$u^{-\eta }\in L^{s_0}\left(\Omega \right)\mathrm{.}$ (2.1)

引理2.4：设( ${\varphi }_1$ )~( ${\varphi }_4$ )成立，对每一个 $\lambda >0$，则存在 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\in \mathrm{int}{C}_{+}$ 是问题( $Q_{\lambda }$ )的唯一解，且映射 $\lambda \mapsto {\underset{\_}{u}}_{\lambda }$ 是非减的，即若 $0<\mu <\lambda$，则 ${\underset{\_}{u}}_{\mu }\le {\underset{\_}{u}}_{\lambda }$。

证明：首先，证明问题( $Q_{\lambda }$ )存在解。根据文献 [17] 中引理3.6可得，对任意 $z>0$，下述拟线性Dirichlet问题存在唯一解 $\tilde{u}\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }(\; \Omega \; )$

$\{\begin{array}{l}-{\Delta }_{\Phi }u=z,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega .\end{array}$

进一步，由正则性理论和极大值原理可得 $\tilde{u}\in \mathrm{int}{C}_{+}$。

固定 $\lambda >0$，则存在 $z_0\in \left(\mathrm{0,1}\right)$，使得 $0<\frac{z}{{\tilde{u}}^{-\eta }}\le \lambda$，$z\in \left(0,z_0\right)$，故 $-{\Delta }_{\Phi }\tilde{u}=z\le \lambda {\tilde{u}}^{-\eta }$。

接下来，考虑如下截断函数

$g_{\lambda }\left(x,u\left(x\right)\right)=\{\begin{array}{l}\lambda \tilde{u}{\left(x\right)}^{-\eta },u\left(x\right)\le \tilde{u}\left(x\right),\\ \lambda u{\left(x\right)}^{-\eta },\tilde{u}\left(x\right)<u\left(x\right),\end{array}$

那么方程 $-{\Delta }_{\Phi }u=g_{\lambda }\left(x,u\right)\left(x\in \Omega \right)$ 对应的能量泛函为

$I_{\lambda }\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }}\left(\Phi \left(\left|\nabla u\right|\right)-G_{\lambda }\left(x,u\right)\right)\text{d}x,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}u\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right),$

其中 $G_{\lambda }\left(x,t\right)={\displaystyle {\int }_0^t}{g}_{\lambda }\left(x,s\right)\text{d}s$。容易验证泛函 $I_{\lambda }\left(u\right)$ 是 $C^1$ 、强制且弱下半连续的，因此，存在极小值点 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$，使得对任意 $v\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$，成立

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}\varphi \left(\left|\nabla {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right|\right)\nabla {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\nabla v\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\Omega }}{g}_{\lambda }\left(x,{\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right)v\text{d}x.$ (2.2)

在(2.2)式中取 $v=-{\underset{\_}{u}}_{\lambda }^{-}$ 作为测试函数便得到 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\ge 0$。利用 $H\left(f\right)$ 和引理3.3，取 $u=\frac{t}{2}\tilde{u}$，当t足够小时，有

$I_{\lambda }\left(\frac{t}{2}\tilde{u}\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }}\Phi \left(\frac{t}{2}\left|\nabla \tilde{u}\right|\right)-{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{G}_{\lambda }\left(x,\frac{t}{2}\tilde{u}\right)\le \max \left\{{\left(\frac{t}{2}\right)}^{\mathcal{l}}{\Vert \tilde{u}\Vert }^{\mathcal{l}},{\left(\frac{t}{2}\right)}^m{\Vert \tilde{u}\Vert }^m\right\}-\frac{\lambda t}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\tilde{u}}^{1-\eta }<0.$

因此，存在 $t_0>0$，使得 $I_{\lambda }\left(t_0\tilde{u}\right)<0$。由于 $I_{\lambda }\left({\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right)=\underset{u\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)}{\min }{I}_{\lambda }\left(u\right)\le I_{\lambda }\left(t_0\tilde{u}\right)<0=I_{\lambda }\left(0\right)$，故 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\ne 0$。

在(3.2)式中取 $v={\left(\tilde{u}-{\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right)}^{+}$ 作为测试函数，有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}\varphi \left(\left|\nabla {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right|\right)\nabla {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\nabla {\left(\tilde{u}-{\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right)}^{+}\ge {\displaystyle {\int }_{\Omega }}\varphi \left(\left|\nabla \tilde{u}\right|\right)\nabla \tilde{u}\nabla {\left(\tilde{u}-{\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right)}^{+}\mathrm{.}$

由( ${\varphi }_2$ )可得 $\tilde{u}\le {\underset{\_}{u}}_{\lambda }$，故 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$ 是问题( $Q_{\lambda }$ )的解，进一步，由正则性理论和极大值原理知 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\in \mathrm{int}{C}_{+}$。

其次，证明 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }$ 是问题( $Q_{\lambda }$ )的唯一解。设 ${\underset{\_}{v}}_{\lambda }\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$ 是问题( $Q_{\lambda }$ )的另一个解，通过计算可得

$0\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }}\left[\varphi \left(\left|\nabla {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right|\right)\nabla {\underset{\_}{u}}_{\lambda }-\varphi \left(\left|\nabla {\underset{\_}{v}}_{\lambda }\right|\right)\nabla {\underset{\_}{v}}_{\lambda }\right]\nabla {\left({\underset{\_}{u}}_{\lambda }-{\underset{\_}{v}}_{\lambda }\right)}^{+}=\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }}\left({\underset{\_}{u}}_{\lambda }^{-\eta }-{\underset{\_}{v}}_{\lambda }^{-\eta }\right){\left({\underset{\_}{u}}_{\lambda }-{\underset{\_}{v}}_{\lambda }\right)}^{+}\le 0,$

故 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }={\underset{\_}{v}}_{\lambda }$。因此可得 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\in \mathrm{int}{C}_{+}$ 是问题( $Q_{\lambda }$ )的唯一解。

最后，证明映射 $\lambda \mapsto {\underset{\_}{u}}_{\lambda }$ 是非减的。由(2.1)式，有 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }^{-\eta }\in L^{s_0}\left(\Omega \right)$。设 $0<\mu <\lambda$，考虑如下Dirichlet问题

$\{\begin{array}{l}-{\Delta }_{\Phi }u={\hat{w}}_{\mu }\left(x,u\right),x\in \Omega ,\\ u>0,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (2.3)

其中 ${\hat{w}}_{\mu }\left(x\mathrm{,}u\right)$ 为截断函数

${\hat{w}}_{\mu }\left(x,u\left(x\right)\right)=\{\begin{array}{l}\mu {\left(u^{+}\left(x\right)\right)}^{-\eta },u\left(x\right)\le {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\left(x\right),\\ \mu {\underset{\_}{u}}_{\lambda }{\left(x\right)}^{-\eta },{\underset{\_}{u}}_{\lambda }\left(x\right)<u\left(x\right).\end{array}$

由前面证明过程知问题(2.3)存在解 ${\hat{u}}_{\mu }\in \mathrm{int}{C}_{+}$。因此，成立

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}\varphi \left(\left|\nabla {\hat{u}}_{\mu }\right|\right)\nabla {\hat{u}}_{\mu }\nabla v\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\hat{w}}_{\mu }\left(x,{\hat{u}}_{\mu }\right)v\text{d}x,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\forall v\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right).$ (2.4)

在(2.4)式中取 $v={\left({\hat{u}}_{\mu }-{\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right)}^{+}\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$ 为测试函数，可以得到

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}\varphi \left(\left|\nabla {\hat{u}}_{\mu }\right|\right)\nabla {\hat{u}}_{\mu }\nabla {\left({\hat{u}}_{\mu }-{\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right)}^{+}\text{d}x\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }}\varphi \left(\left|\nabla {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right|\right)\nabla {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\nabla {\left({\hat{u}}_{\mu }-{\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right)}^{+}\text{d}x\mathrm{.}$

由( ${\varphi }_2$ )可得 ${\hat{u}}_{\mu }\le {\underset{\_}{u}}_{\lambda }$，故 ${\hat{u}}_{\mu }$ 是问题( $Q_{\mu }$ )的解，又由问题( $Q_{\mu }$ )解的存在唯一性可知 ${\hat{u}}_{\mu }\mathrm{<mo>\; =\; </mo>}{\underset{\_}{u}}_{\mu }\in \mathrm{int}{C}_{+}$，从而得到 ${\underset{\_}{u}}_{\mu }\le {\underset{\_}{u}}_{\lambda }$。证毕。

3. 定理1.1的证明

本节的主要工作是证明定理1.1，先给出几个关键引理。

引理3.1：设( ${\varphi }_1$ )-( ${\varphi }_4$ )和 $H\left(f\right)$ 1)、4)成立，则 $\Lambda \ne \varnothing$。

证明：给定 $\lambda >0$，根据引理2.4，则存在 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\in \mathrm{int}{C}_{+}$ 是问题( $Q_{\lambda }$ )的唯一解. 考虑如下截断函数

${\bar{g}}_{\lambda }\left(x,u\left(x\right)\right)=\{\begin{array}{l}\lambda {\underset{\_}{u}}_{\lambda }{\left(x\right)}^{-\eta }+f\left(x,u{\left(x\right)}^{+}\right),u\left(x\right)\le {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\left(x\right),\\ \lambda u{\left(x\right)}^{-\eta }+f\left(x,u\left(x\right)\right),{\underset{\_}{u}}_{\lambda }\left(x\right)<u\left(x\right),\end{array}$ (3.1)

那么方程 $-{\Delta }_{\Phi }u={\bar{g}}_{\lambda }\left(x,u\right)\left(x\in \Omega \right)$ 对应的能量泛函为

${\bar{J}}_{\lambda }\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }}\left(\Phi \left(\left|\nabla u\right|\right)-{\bar{G}}_{\lambda }\left(x\mathrm{,}u\right)\right)\text{d}x\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}u\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)\mathrm{,}$

其中 ${\bar{G}}_{\lambda }\left(x\mathrm{,}t\right)={\displaystyle {\int }_0^t}{\bar{g}}_{\lambda }\left(x\mathrm{,}s\right)\text{d}s$。

容易验证泛函 ${\bar{J}}_{\lambda }\left(u\right)$ 是 $C^1$ 的。根据条件 $H\left(f\right)$ 1)、4)可得，对任意 $\epsilon >0$，存在 $C_{\epsilon }>0$，使得

$F\left(x\mathrm{,}t\right)\le \frac{\epsilon }{\mathcal{l}}{t}^{\mathcal{l}}+\frac{C_{\epsilon }}{r}{t}^r\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}a\mathrm{.}e\mathrm{.\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}x\in \Omega \mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\forall t\ge 0.$ (3.2)

由(3.1)式、(3.2)式和引理2.2，有

${\bar{J}}_{\lambda }\left(u\right)\ge \min \left\{{\Vert u\Vert }^{\mathcal{l}},{\Vert u\Vert }^m\right\}-\frac{\epsilon }{\mathcal{l}}{\Vert u\Vert }^{\mathcal{l}}-\frac{C_{\epsilon }}{r}{\Vert u\Vert }^r-\lambda {\displaystyle {\int }_{\left\{u\le {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right\}}}{\underset{\_}{u}}_{\lambda }^{-\eta }u\text{d}x-\frac{\lambda }{1-\eta }{\displaystyle {\int }_{\left\{{\underset{\_}{u}}_{\lambda }<u\right\}}}\left(u^{1-\eta }-{\underset{\_}{u}}_{\lambda }^{1-\eta }\right)\text{d}x,$

又

$\lambda {\displaystyle {\int }_{\left\{u\le {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right\}}}{\underset{\_}{u}}_{\lambda }^{-\eta }u\text{d}x+\frac{\lambda }{1-\eta }{\displaystyle {\int }_{\left\{{\underset{\_}{u}}_{\lambda }<u\right\}}}\left(u^{1-\eta }-{\underset{\_}{u}}_{\lambda }^{1-\eta }\right)\text{d}x\le \lambda {\displaystyle {\int }_{\left\{u\le {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right\}}}{u}^{1-\eta }\text{d}x+\frac{\lambda }{1-\eta }{\displaystyle {\int }_{\left\{{\underset{\_}{u}}_{\lambda }<u\right\}}}{u}^{1-\eta }\text{d}x\le \lambda C{\Vert u\Vert }^{1-\eta },$

因此

${\bar{J}}_{\lambda }\left(u\right)\ge \min \left\{{\Vert u\Vert }^{\mathcal{l}},{\Vert u\Vert }^m\right\}-\frac{\epsilon }{\mathcal{l}}{\Vert u\Vert }^{\mathcal{l}}-\frac{C_{\epsilon }}{r}{\Vert u\Vert }^r-\lambda C{\Vert u\Vert }^{1-\eta }\mathrm{.}$ (3.3)

由于 $r>m$，故存在 ${\mu }_0>0$，${\rho }_0\in \left(\mathrm{0,1}\right)$，使得

${\rho }_0^m-\frac{C_{\epsilon }}{r}{\rho }_0^r\ge {\mu }_0>0.$ (3.4)

对上述 ${\mu }_0$，${\rho }_0$，选取 $\epsilon \in \left(\mathrm{0,}\frac{\mathcal{l}{\mu }_0}{2{\rho }_0^{\mathcal{l}}}\right)$ 以及 ${\lambda }_0>0$，使得

$\lambda C{\rho }_0^{1-\eta }+\frac{\epsilon }{\mathcal{l}}{\rho }_0^{\mathcal{l}}<\frac{{\mu }_0}{2},\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\forall \lambda \in \left(0,{\lambda }_0\right].$ (3.5)

结合(3.3)式~(3.5)式可得，当 $\Vert u\Vert ={\rho }_0$ 时有

${\bar{J}}_{\lambda }\left(u\right)\ge \frac{{\mu }_0}{2}>0.$ (3.6)

令 $B_{\rho }=\left\{u\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right):\Vert u\Vert <\rho \right\}$。因为 $W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$ 是自反的，由Eberlein-Smulian定理知集合 ${\bar{B}}_{\rho }$ 是序列弱紧。此外，泛函 ${\bar{J}}_{\lambda }\left(u\right)$ 是弱下半连续的。因此，由Weierstrass-Tonelli定理知存在 $u_{\lambda }\in {\bar{B}}_{\rho }$，使得

${\bar{J}}_{\lambda }\left(u_{\lambda }\right)=\min \left\{{\bar{J}}_{\lambda }\left(u\right):u\in {\bar{B}}_{\rho }\right\}.$ (3.7)

类似引理2.4的证明方法可知 ${\bar{J}}_{\lambda }\left(u_{\lambda }\right)<0$，$u_{\lambda }\ne 0$，再根据(3.6)式可得

$\Vert u_{\lambda }\Vert <\rho ,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}{u}_{\lambda }\ne 0.$ (3.8)

结合(3.7)式和(3.8)式可得 ${{\bar{J}}^{\prime }}_{\lambda }\left(u_{\lambda }\right)=0$，即

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}\varphi \left(\left|\nabla u_{\lambda }\right|\right)\nabla u_{\lambda }\nabla v\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\bar{g}}_{\lambda }\left(x,u_{\lambda }\right)v\text{d}x,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\forall v\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right).$ (3.9)

取 $v=-u_{\lambda }^{-}\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 作为测试函数代入(3.9)式，可得到 $u_{\lambda }^{-}=0$，从而 $u_{\lambda }\ge 0$，$u_{\lambda }\ne 0$。

再取 $v={\left({\underset{\_}{u}}_{\lambda }-u_{\lambda }\right)}^{+}\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$ 作为测试函数代入(3.9)式，有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}\varphi \left(\left|\nabla u_{\lambda }\right|\right)\nabla u_{\lambda }\nabla {\left({\underset{\_}{u}}_{\lambda }-u_{\lambda }\right)}^{+}\text{d}x\ge {\displaystyle {\int }_{\Omega }}\varphi \left(\left|\nabla {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\right|\right)\nabla {\underset{\_}{u}}_{\lambda }\nabla {\left({\underset{\_}{u}}_{\lambda }-u_{\lambda }\right)}^{+}\text{d}x\mathrm{,}$

利用( ${\varphi }_2$ )可得 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\le u_{\lambda }$。从而根据(3.1)式和(3.9)式可得 $u_{\lambda }\in S_{\lambda }$，故 $\left(\mathrm{0,}{\lambda }_0\right]\subseteq \Lambda \ne \varnothing$。证毕。

引理3.2：设( ${\varphi }_1$ )~( ${\varphi }_4$ )和 $H\left(f\right)$ 成立，且 $\lambda \in \Lambda$，设 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\in \mathrm{int}{C}_{+}$ 是( $Q_{\lambda }$ )的唯一解，则对任意 $u\in S_{\lambda }$，成立 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\le u$。

证明：对于任意给定的 $u_{\lambda }\in S_{\lambda }\subseteq W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$，考虑如下Dirichlet问题

$\{\begin{array}{l}-{\Delta }_{\Phi }u=e_{\lambda }\left(x,u\right),x\in \Omega ,\\ u>0,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (3.10)

其中

$e_{\lambda }\left(x,u\left(x\right)\right)=\{\begin{array}{l}\lambda u{\left(x\right)}^{-\eta },0<u\left(x\right)\le u_{\lambda }\left(x\right),\\ \lambda u_{\lambda }{\left(x\right)}^{-\eta },u_{\lambda }\left(x\right)<u\left(x\right).\end{array}$ (3.11)

类似引理2.4的证明，可得问题(3.10)存在正解 ${\tilde{u}}_{\lambda }\in W_0^{\mathrm{1,}\Phi }\left(\Omega \right)$。因此，取 ${\left({\tilde{u}}_{\lambda }-u_{\lambda }\right)}^{+}$ 作为测试函数代入问题(3.10)的弱解形式，又 $u_{\lambda }\in S_{\lambda }$，故

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}\varphi \left(\left|\nabla {\tilde{u}}_{\lambda }\right|\right)\nabla {\tilde{u}}_{\lambda }\nabla {\left({\tilde{u}}_{\lambda }-u_{\lambda }\right)}^{+}\text{d}x\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }}\varphi \left(\left|\nabla u_{\lambda }\right|\right)\nabla u_{\lambda }\nabla {\left({\tilde{u}}_{\lambda }-u_{\lambda }\right)}^{+}\text{d}x\mathrm{.}$

由( ${\varphi }_2$ )可得 ${\tilde{u}}_{\lambda }\le u_{\lambda }$。进一步，再由(3.11)式和引理2.4知 ${\tilde{u}}_{\lambda }={\underset{\_}{u}}_{\lambda }\in \mathrm{int}{C}_{+}$，从而对任意 $u\in S_{\lambda }$，都成立 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\le u$。

引理3.3：设( ${\varphi }_1$ )~( ${\varphi }_4$ )和 $H\left(f\right)$ 成立，则对 $\lambda \in \Lambda$，有 $S_{\lambda }\subseteq \mathrm{int}{C}_{+}$。

证明：设 $u\in S_{\lambda }$，那么， $u^{-\eta }\in L^{s_0}\left(\Omega \right)$，且

$-{\Delta }_{\Phi }u=\lambda u^{-\eta }+f\left(x,u\right).$ (3.12)

设 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\in \mathrm{int}{C}_{+}$ 是( $Q_{\lambda }$ )的唯一解，由引理3.2知 ${\underset{\_}{u}}_{\lambda }\le u$。考虑如下Dirichlet问题

$\{\begin{array}{l}-\Delta v=\lambda u^{-\eta },x\in \Omega ,\\ v=0,x\in \partial \Omega .\end{array}$ (3.13)

由文献 [12] 定理9.15知问题(3.13)存在唯一解 $v_{\lambda }\in W^{2,s_0}\left(\Omega \right)$。因为 $s_0>N$，故由Sobolev嵌入定理有 $v_{\lambda }\in C^{\mathrm{1,}\alpha }\left(\bar{\Omega }\right)$，其中 $\alpha =\frac{N}{s_0}\in \left(0,1\right)$。令 $w_{\lambda }=\nabla v_{\lambda }\in C^{0,\alpha }\left(\bar{\Omega },{ℝ}^N\right)$，此时(3.12)式可写为