长安大学理学院，陕西 西安

收稿日期：2022年10月21日；录用日期：2022年11月15日；发布日期：2022年11月23日

摘要

本文在SIQR模型的基础上建立了一类具有媒体报道、隔离以及患病者住院治疗的埃博拉病毒传染病SIQHR模型。首先，运用下一代生成矩阵方法计算出模型的基本再生数。其次，通过构造lyapunov函数证明了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性。最后，通过数值模拟验证了媒体报道、隔离以及住院治疗对埃博拉病毒传染病的影响效果。数值模拟结果说明了媒体报道可以有效控制埃博拉病毒的传播。

关键词

埃博拉病毒，媒体报道，Lyapunov函数，全局稳定性

Dynamic Analysis of SIQHR Model with Media Coverage of Ebola Virus Infection

Meihua Shan, Yuzhu Xiao, Xueli Song, Nannan Zhao

School of Science, Chang’an University, Xi’an Shaanxi

Received: Oct. 21^st, 2022; accepted: Nov. 15^th, 2022; published: Nov. 23^rd, 2022

ABSTRACT

On the basis of SIQR model, this paper establishes a class of SIQHR models for Ebola virus infectious diseases with media reports, isolation, and hospitalization of sick patients. Firstly according to the next generation theory, the basic reproduction number were calculated. Second, we demonstrate the stability of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium by constructing the lyapunov function. Finally, the effects of media reports, isolation and hospitalization on Ebola virus infectious diseases were verified. The numerical simulation results show that media reports can effectively control the spread of Ebola virus.

Keywords:Ebola Virus, Media Reports, Lyapunov Function, Global Stability

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

传染病可能是对社会的一个警告，因为它们会给数百万人造成死亡、残疾和社会经济破坏，埃博拉病毒、结核病(TB)、肺炎、霍乱、疟疾、艾滋病毒等，是我们注意到的主要传染病。每年有超过1100万人死于传染病，包括早产和幼儿死亡 [1]。由于全球化的旅行和社交媒体的重大进步，有关这些疫情的信息传播得相当迅速，而这反过来可能会对实际的流行病产生深远的影响。人们认识到可能会对疾病传播的动态产生非常复杂的影响。一般来说，每当传染病爆发时，如电视节目、报纸、广播或在线社交网络等媒体都会报道传染病的传播信息，有关感染人数和死亡人数的报告会每日更新，这对控制疫情的必要性有重要影响 [2] [3] [4]。因此，媒体在减少和控制传染病爆发方面具有重要作用，媒体报道有助于改变与公共卫生相关的行为，它使人们了解传染病的最新情况，并提出了必要的控制方法，有意识采取这些做法的人是为了降低他们变为感染者的机会 [5]。此外，这些做法还可以改变该流行病的规模，提高宣传活动的力度可以增加人们对疾病传播的了解，并采取措施降低感染几率 [6]。因此，通过媒体开展宣传活动，可以提高人们对疾病的认识。

2007年，Liu等人研究了一类受媒体报道影响的EIH (E表示潜伏人群、I表示感染人群、H表示住院治疗人群)模型，来说明因为报告的传染病和住院人数而产生的心理影响，从而出现的传染病多次爆发甚至持续周期性振荡的可能机制。这种影响导致了在个人和社区层面上的回避和接触模式的变化，并将非线性函数 $f\left(E,I,H\right)={\text{e}}^{-a_{1}E-a_{2}I-a_{3}H}$ 纳入模型中，显示了传播动力学的定性差异 [7]。2008年，Cui等人建立了SEI模型，以调查媒体报道对特定区域传染病(如SARS)传播和控制的影响。用 $\beta \left(I\right)=\mu {\text{e}}^{-ml}$ 作为媒体报道的接触速率，它衡量病毒从感染者向易感个体的传播，如果 $m=0$，则传染率为常数。当然，传染率不仅与病毒或疾病的传播能力有关，而且与人口中每个易感个体对疾病的警惕性密切相关 [8]。2016年，Yan等人提出了一种模型是将媒介影响函数纳入到感染强度中，用 ${\text{e}}^{-pM}$ 作为有效接触率，并通过添加媒介动态，增强了传统的流行病SEIR模型。使用非线性最小二乘估计来观测数据中确定模型中的最佳拟合参数值，还进行了不确定性和敏感性分析，以确定疾病爆发早期阶段的关键参数，以确定媒体对疫情的最终结果的影响。研究结果证实了个人对媒体报道的反应的重要性，行为的改变对新出现的传染病控制有重要的影响 [9]。2017年，G. O. Agaba分析了一种SIRS传染病模型，并考虑了在人群中与传播意识相关的行为变化。该模型包括两种类型的意识：与不知情和知情人群之间的直接接触相关的私人意识，以及公共宣传活动。模型中不同稳态的稳定性分析提供了关于疾病在人群中的潜在传播的信息，以及疾病动态如何受到这两种意识的影响。数值模拟说明了系统在不同动力学状态下的行为，结果表明：感染的传播和受感染者的人数都减少了 [10]。

2018年，王等人研究了一类受媒体报道影响的SIRS传染病模型分析，其中 $\beta \left(I\right)=\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)$ 表示媒体报道对传染率的影响，通过数值模拟得到结论：媒体报道可以降低感染者的数量，也可以使得缩短疾病灭绝的时间 [11]。2020年，Chang等人，根据湖北省冠状病毒病2019 (COVID-19)疫情流行情况，提出了一种带有媒体报道的SIHRS疫情模型。使用数据进行数值模拟验证分析结果，观察高峰时间的影响和疾病传播的规模主要考虑不同的信息实现率和接触率。结果表明，随着信息实施率的降低，确诊病例的高峰将会延迟达到，并将显著增加。因此，为了在复工后采取更好的预防措施，非常有必要保持信息量和媒体报道的实施率 [12]。

因此，深入探索多种疫情相关信息的传播和大众媒体的报道如何影响疫情的传播具有重要意义 [13]。媒体影响对降低疾病流行率有重大影响，可以同时提高个人卫生和个人防护意识来降低受感染个体控制流行病的传播 [14]。以上文献通过采用了不同的影响因子来分析传染病的动力学性质，常见的减少因子有饱和函数的 [3] [8] [15] 或指数的 [7] [16] 增长函数。基于以上文献，本文采用媒体报道下的传染率 $\beta \left(I\right)=\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)$ 和媒体报道下的隔离率 $\mu \left(I\right)=\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)$，研究了具有媒体报道、隔离和住院治疗的SIQHR传染病模型对埃博拉病毒的影响。

2. 模型的建立

本文将埃博拉病毒流行区域t时刻的总人口数 $N\left(t\right)$ 分为五个仓室：易感人群 $S\left(t\right)$，感染人群 $I\left(t\right)$，隔离人群 $Q\left(t\right)$，住院治疗人群 $H\left(t\right)$，恢复人群 $R\left(t\right)$，即 $N\left(t\right)=S\left(t\right)+I\left(t\right)+Q\left(t\right)+H\left(t\right)+R\left(t\right)$。用影响因子 $\beta \left(I\right)=\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]$ 表示媒体报道下的感染率，用 $\mu \left(I\right)=\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]$ 表示媒体报道下的隔离率，建立以下传染病模型：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S\left(t\right)}{\text{d}t}=A-\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S\left(t\right)I\left(t\right)-dS\left(t\right),\\ \frac{\text{d}I\left(t\right)}{\text{d}t}=\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S\left(t\right)I\left(t\right)-\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]I\left(t\right)-\alpha I\left(t\right)-dI\left(t\right)-{\gamma }_{1}I\left(t\right)-{\eta }_{1}I\left(t\right),\\ \frac{\text{d}Q\left(t\right)}{\text{d}t}=\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]I\left(t\right)-\alpha Q\left(t\right)-dQ\left(t\right)-{\gamma }_{2}Q\left(t\right)-{\eta }_{2}Q\left(t\right),\\ \frac{\text{d}H\left(t\right)}{\text{d}t}={\eta }_{1}I\left(t\right)+{\eta }_{2}Q\left(t\right)-\alpha H\left(t\right)-dH\left(t\right)-{\gamma }_{3}H\left(t\right),\\ \frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}={\gamma }_{1}I\left(t\right)+{\gamma }_{2}Q\left(t\right)+{\gamma }_{3}H\left(t\right)-dR\left(t\right)\text{.}\end{array}$ (1)

其中A表示人群的输入率；d表示人类自然死亡率； $\alpha$ 表示患病者的因病死亡率； $\mu$ 表示染病者的隔离比率； ${\mu }_1$ 表示媒体影响下隔离强度的最大增强作用； $\beta$ 表示感染者的传染率； ${\beta }_1$ 表示媒体报道对疾病的削减作用，媒体报道不能完全阻断传染病的传播，所以 $\beta >{\beta }_1$ ； ${\gamma }_1$ 表示染病者的康复率； ${\gamma }_2$ 表示隔离者的康复率； ${\gamma }_3$ 表示住院治疗者的康复率； ${\eta }_1$ 表示患病者的治疗率； ${\eta }_2$ 表示隔离者的治疗率； $f\left(I\right)$ 表示媒体报道下影响传染率的饱和函数， $g\left(I\right)$ 表示媒体报道下影响隔离率的饱和函数， $f\left(I\right)$ 和 $g\left(I\right)$ 满足条件：

1) $f\left(0\right)=0$，$g\left(0\right)=0$。

2) $f^{\prime }\left(I\right)\ge 0$，$g^{\prime }\left(I\right)\ge 0$。

3) $\underset{I\to \infty }{\lim }f\left(I\right)=1$，$\underset{I\to \infty }{\lim }g\left(I\right)=1$。

4) $\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]SI$ 为模型(1)的发病率， $\frac{\partial \left\{\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]SI\right\}}{\partial I}>0$。

将模型(1)中的5个方程相加可以得到

$\left(\frac{\text{d}S\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{\text{d}I\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{\text{d}Q\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{\text{d}H\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}\right)=A-d\left(S+I+Q+H+R\right)-\alpha \left(I+Q\right)\le A-dN\left(t\right),$

则模型(1)的正向不变集为 $Y=\left\{\left(S,I,Q,H,R\right)\in R_{+}^5:S+I+Q+H+R\le \frac{A}{d}\right\}$。接下来在Y中研究模型(1)解的动力学性质。

3. 平衡点的存在性

研究模型(1)的动力学性质，首先需要确定平衡点，故先讨论无病平衡点以及地方病平衡点的存在性。模型(1)存在疾病消亡的无病平衡点 $P_0\left(S_0,0,0,0,0\right)$，其中 $S_0=\frac{A}{d}$。根据文献 [17] 中的下一代生成矩阵的方法可得模型的基本再生数为

$R_0=\frac{\beta A}{d\left(\mu +\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)}.$

定理1. 当 $R_0\le 1$ 时，模型(1)仅存在无病平衡点 $P_0\left(\frac{A}{d},0,0,0,0\right)$ ；当 $R_0>1$ 时，模型(1)不仅存在无病平衡点 $P_0$，而且还存在唯一的地方病平衡点 $P^{\text{*}}\left(S^{*},I^{*},Q^{*},H^{*},R^{*}\right)$。

证明：根据计算得到模型(1)总有一个无病平衡点 $P_0\left(\frac{A}{d},0,0,0,0\right)$。当 $R_0>1$ 时，模型(1)还存在唯一的地方病平衡点 $P^{\text{*}}\left(S^{*},I^{*},Q^{*},H^{*},R^{*}\right)$。令模型(1)的右端等于0，地方病平衡点 $P^{\text{*}}$ 若存在，则应满足方程组

$\{\begin{array}{l}A-\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}{I}^{*}-d{S}^{*}=0,\\ \left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}{I}^{*}-\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]I^{*}-\alpha I^{*}-d{I}^{*}-{\gamma }_1{I}^{*}-{\eta }_1{I}^{*}=0,\\ \left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]I^{*}-\alpha Q^{*}-d{Q}^{*}-{\gamma }_2{Q}^{*}-{\eta }_2{Q}^{*}=0,\\ {\eta }_1{I}^{*}+{\eta }_2{Q}^{*}-\alpha H^{*}-d{H}^{*}-{\gamma }_3{H}^{*}=0,\\ {\gamma }_1{I}^{*}+{\gamma }_2{Q}^{*}+{\gamma }_3{H}^{*}-d{R}^{*}=0.\end{array}$ (2)

由方程组(2)的第二个方程可得

$S^{*}=\frac{\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)}{\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]}.$ (3)

由方程组(2)的第三个方程可得

$Q^{*}=\frac{\left(\alpha +d+{\gamma }_2+{\eta }_2\right)}{\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]}{I}^{*}.$ (4)

将方程(4)代入方程组(2)的第四个方程可得

$H^{*}=\frac{{\eta }_1\left(\alpha +d+{\gamma }_2+{\eta }_2\right)+{\eta }_2\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]}{\left(\alpha +d+{\gamma }_2+{\eta }_2\right)\left(\left(\alpha +d+{\gamma }_3\right)\right)}{I}^{*}.$ (5)

方程组(2)的前两个方程相加得

$S^{*}=\frac{A}{d}-\frac{\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)}{d}{I}^{*}.$ (6)

定义方程(3)和方程(6)

$S^{*}=\frac{\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)}{\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]}\triangleq \phi \left(I\right),$ (7)

$S^{*}=\frac{A}{d}-\frac{\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)}{d}{I}^{*}\triangleq \Psi \left(I\right).$ (8)

令 $H\left(I\right)=\Psi \left(I\right)-\phi \left(I\right)$，显然 $\Psi \left(I\right)$ 为严格单调递减函数，令 $\phi \left(I\right)=\frac{1}{l\left(I\right)}$，对 $l\left(I\right)$ 求导得

$l^{\prime }\left(I\right)=\frac{-{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)-{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]}{{\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)}^2}\le 0.$ (9)

所以 $\phi \left(I\right)$ 为单调递增函数，从而 $H\left(I\right)$ 是严格单调递减函数。

当 $R_0>1$ 时， $H\left(0\right)=\Psi \left(0\right)-\phi \left(0\right)=\frac{A}{d}-\frac{\left(\mu +\alpha +{\gamma }_1+{\eta }_1+d\right)}{d}{I}^{*}-\frac{\left(\mu +\alpha +{\gamma }_1+{\eta }_1+d\right)}{\beta }>0$，且 $\Psi \left(\frac{A}{d}\right)=\frac{A}{d}-\frac{\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(\frac{A}{d}\right)\right]+\alpha +{\gamma }_1+{\eta }_1+d\right)}{d}{I}^{*}=\frac{A}{d}\left[1-\frac{\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(\frac{A}{d}\right)\right]+\alpha +{\gamma }_1+{\eta }_1+d\right)}{A}{I}^{*}\right]<0$，$\phi \left(\frac{A}{d}\right)>0$，于是 $H\left(\frac{A}{d}\right)=\Psi \left(\frac{A}{d}\right)-\phi \left(\frac{A}{d}\right)<0$，则存在唯一的 $I^{*}\in \left(0,\frac{A}{d}\right)$ 使得 $H\left(I^{*}\right)=0$，将 $I^{*}$ 代入到方程组(2)中得

$\begin{array}{l}{S}^{*}=\frac{\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)}{\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]},Q^{*}=\frac{\left(\alpha +d+{\gamma }_2+{\eta }_2\right)}{\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]}{I}^{*},H^{*}=\frac{{\eta }_1\left(\alpha +d+{\gamma }_2+{\eta }_2\right)+{\eta }_2\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]}{\left(\alpha +d+{\gamma }_2+{\eta }_2\right)\left(\alpha +d+{\gamma }_3\right)}{I}^{*},\\ R^{*}=\left[\frac{{\gamma }_1}{d}+\frac{{\gamma }_2\left(\alpha +d+{\gamma }_2+{\eta }_2\right)}{\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]}+\frac{{\gamma }_3\left({\eta }_1\left(\alpha +d+{\gamma }_2+{\eta }_2\right)+{\eta }_2\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]\right)}{\left(\alpha +d+{\gamma }_2+{\eta }_2\right)\left(\left(\alpha +d+{\gamma }_3\right)\right)}\right]I^{*},I^{*}=\frac{d\left(R_0-1\right)}{\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]}.\end{array}$

因此，当 $R_0>1$ 时，模型(1)不仅存在无病平衡点 $P_0$，而且还存在唯一的地方病平衡点 $P^{\text{*}}\left(S^{*},I^{*},Q^{*},H^{*},R^{*}\right)$。综上，模型(1)的无病平衡点和地方病平衡点的存在性得证。

4. 无病平衡点的稳定性和吸引性

定理2. 当 $R_0<1$ 时，无病平衡点 $P_0$ 是局部渐近稳定的；当 $R_0>1$ 时，无病平衡点 $P_0$ 是不稳定的。

证明：模型(1)在无病平衡点 $P_0\left(\frac{A}{d},0,0,0,0\right)$ 处的雅可比矩阵为

$J\left(P_0\right)=\left[\begin{array}{ccccc}-d& -\beta \frac{A}{d}& 0& 0& 0\\ 0& \beta \frac{A}{d}-\left(\mu +\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)& 0& 0& 0\\ 0& \mu & -\left(\alpha +d+{\gamma }_2+{\eta }_2\right)& 0& 0\\ 0& {\eta }_1& {\eta }_2& -\left(\alpha +d+{\gamma }_3\right)& 0\\ 0& {\gamma }_1& {\gamma }_2& {\gamma }_3& -d\end{array}\right].$ (10)

矩阵(10)对应特征方程为

$\left(\lambda +d\right)\left[\lambda +\left(\alpha +d+{\gamma }_3\right)\right]\left[\lambda +\left(d+\alpha +{\gamma }_2+{\eta }_2\right)\right]\left[\left(\lambda +d\right)\left[\lambda +\left(\mu +\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)\right]-\frac{\beta A}{d}\right]=0.$ (11)

由方程(11)知，前三个特征根 ${\lambda }_1=-d$，${\lambda }_2=-\left(\alpha +d+{\gamma }_3\right)$，${\lambda }_3=-\left(d+\alpha +{\gamma }_2+{\eta }_2\right)$ 均小于零。另外两个特征根满足方程： ${\lambda }^2+a_1\lambda +a_2=0$，其中， $a_1=2d+{\eta }_1+\mu +\alpha +{\gamma }_1-\frac{\beta A}{d}$，$a_2=d\left(\mu +\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)-\beta A$。设其它两个特征根为 ${\lambda }_4,{\lambda }_5$，由韦达定理可知 ${\lambda }_4,{\lambda }_5$ 满足：

$\begin{array}{l}{\lambda }_4+{\lambda }_5=\frac{\beta A}{d}-d-\left(d+{\eta }_1+\mu +\alpha +{\gamma }_1\right)<0,\\ {\lambda }_4{\lambda }_5=d\left(\mu +\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)-\beta A>0.\end{array}$ (12)

综上得当 $R_0<1$ 时，有 ${\lambda }_4+{\lambda }_5<0$，${\lambda }_4{\lambda }_5>0$，即 ${\lambda }_4<0$，${\lambda }_5<0$，则方程(11)的所有特征根均为负，由Routh-Hurwitz判据可知，无病平衡点 $P_0$ 是局部渐近稳定的，当 $R_0>1$ 时， ${\lambda }_4{\lambda }_5<0$，方程存在一个正根，无病平衡点 $P_0$ 不稳定。

定理3. 当 $R_0<1$ 时，无病平衡点 $P_0$ 是全局渐近稳定的；当 $R_0=1$ 时，无病平衡点 $P_0$ 是全局吸引的。

证明：当 $R_0<1$ 时，构造Lyapunov函数 $V\left(t\right)=I\left(t\right)$，求 $V\left(t\right)$ 关于t的导数得，

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}=\frac{\text{d}I\left(t\right)}{\text{d}t}\\ =\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]SI-\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]I-\alpha I-dI-{\gamma }_{1}I-{\eta }_{1}I\\ \le \frac{\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]AI}{d}-\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+\eta \right)I\\ =\left[\frac{\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]AI}{d}-\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+\eta \right)\right]I\\ =\left[\frac{\beta A}{d}-\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+\eta \right)\right]-\frac{{\beta }_{1}f\left(I\right)A}{d}I\end{array}$

$\begin{array}{c}=\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+\eta \right)\left[\frac{\beta A}{d\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+\eta \right)}-1\right]I\\ -\frac{{\beta }_{1}f\left(I\right)A}{\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+\eta \right)}I\\ =\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+\eta \right)\left(R_0-1\right)I-\frac{{\beta }_{1}f\left(I\right)A}{\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+\eta \right)}I\\ <0.\end{array}$ (13)

令 $\text{O}=\left\{\left(S,I,Q,H,R\right)|\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=0\right\}=\left\{\left(S,I,Q,H,R\right)|I=0\right\}$，在O内当 $t\to \infty$ 时， $S\to \frac{A}{d}$，$Q\to 0$，$H\to 0$，$R\to 0$，所以 $\left\{P_0\right\}$ 是O的最大 ${\omega }^{-}$ 不变集。由LaSalle不变集定理 [18] 可知，O内的任何轨线都趋于 $P_0$，因此 $P_0$ 是全局渐近稳定的。

当 $R_0=1$ 时，有

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}=\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]\left(S-S_0\right)I-\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]I-\alpha I-dI-{\gamma }_{1}I-{\eta }_{1}I+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S_{0}I\\ =\left(S-S_0\right)\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I-\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)I+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S_{0}I\\ =\left[\left(S-S_0\right)\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]-\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S_0\right]I\\ \le \left[\frac{\left(S-S_0\right)\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]}{\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)}-1+\frac{\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]A}{d\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)}\right]I\\ =\left[\frac{\left(S-S_0\right)\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]}{\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)}+\left(R_0-1\right)\right]I\\ \le 0.\end{array}$ (14)

令 $\text{<msup> O <mo> ′ </mo> </msup>}=\left\{\left(S,I,Q,H,R\right)|\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=0\right\}=\left\{\left(S,I,Q,H,R\right)|S=S_0或I=0\right\}$，所以 $\left\{P_0\right\}$ 是 ${{\rm O}}^{\prime }$ 的最大 ${\omega }^{-}$ 不变集。由LaSalle不变集定理可知，无病平衡点 $P_0$ 是全局吸引的。

根据以上两个定理知道，当 $R_0<1$ 时，无病平衡点 $P_0$ 是全局渐近稳定的；当 $R_0=1$ 时，无病平衡点 $P_0$ 是全局吸引的；当 $R_0>1$ 时，无病平衡点 $P_0$ 是不稳定的，疾病将趋于一个流行趋势。从而无病平衡点的稳定性和吸引性得证。

5. 地方病平衡点的全局稳定性

以下部分讨论地方病平衡点的全局稳定性，观察可知模型(1)的前四个方程与R无关，所以考虑以下子系统：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S\left(t\right)}{\text{d}t}=A-\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S\left(t\right)I\left(t\right)-dS\left(t\right),\\ \frac{\text{d}I\left(t\right)}{\text{d}t}=\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S\left(t\right)I\left(t\right)-\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]I\left(t\right)-\alpha I\left(t\right)-dI\left(t\right)-{\gamma }_{1}I\left(t\right)-{\eta }_{1}I\left(t\right),\\ \frac{\text{d}Q\left(t\right)}{\text{d}t}=\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]I\left(t\right)-\alpha Q\left(t\right)-dQ\left(t\right)-{\gamma }_{2}Q\left(t\right)-{\eta }_{2}Q\left(t\right),\\ \frac{\text{dH}\left(t\right)}{\text{d}t}={\eta }_{1}I\left(t\right)+{\eta }_{2}Q\left(t\right)-\alpha H\left(t\right)-dH\left(t\right)-{\gamma }_{3}H\left(t\right),\end{array}$ (14)

则可以看出集合 $Y^{\prime }=\left\{\left(S,I,Q,H\right)\in R_{+}^4:S+I+Q+H\le \frac{A}{d}\right\}$ 是系统(14)的正向不变集。 ${\bar{P}}_0\left(\frac{A}{d},0,0,0\right)$，${\bar{P}}^{*}\left({\bar{S}}^{*},{\bar{I}}^{*},{\bar{Q}}^{*},{\bar{H}}^{\text{*}}\right)$ 是系统(9)的无病平衡点和唯一的地方病平衡点。由定理1知，当 $R_0>1$ 时，系统(14)有唯一的地方病平衡点，其中 $S^{*}={\bar{S}}^{*}$，$I^{*}={\bar{I}}^{*}$，$Q^{*}={\bar{Q}}^{*}$，$H^{*}={\bar{H}}^{*}$。

定理4. 当 $R_0>1$ 时，系统(14)的地方病平衡点 ${\bar{P}}^{*}$ 是局部渐近稳定的。

证明：系统(14)在 ${\bar{P}}^{*}\left({\bar{S}}^{*},{\bar{I}}^{*},{\bar{Q}}^{*},{\bar{H}}^{\text{*}}\right)$ 处的雅可比矩阵为

$J\left({\bar{P}}^{*}\right)=\left[\begin{array}{cccc}-\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}-d& {\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}-\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}& 0& 0\\ \left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}& -{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}-m-{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}& 0& 0\\ 0& \left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}& -n& 0\\ 0& {\eta }_1& {\eta }_2& -p\end{array}\right].$ (15)

其中，

$\begin{array}{l}m=\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]+\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right),\\ n=\left(\alpha +d+{\gamma }_2+{\eta }_2\right),\\ p=\left(\alpha +d+{\gamma }_3\right).\end{array}$

矩阵(15)对应的特征方程为

$\begin{array}{l}\left(\lambda +p\right)\left(\lambda +n\right)[\left(\lambda +d+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]\right)\left(\lambda +{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}-\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}+m+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}\right)\\ +\left(\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}-{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}\right)\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}]=0.\end{array}$ (16)

将(16)式展开得到

$\begin{array}{l}{\lambda }^4+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}{I}^{*}{\lambda }^3-\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}{\lambda }^3+m{\lambda }^3+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}{\lambda }^2+d{\lambda }^3+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}{I}^{*}d{\lambda }^2\\ -\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}d{\lambda }^2+md{\lambda }^2+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}d{\lambda }^2+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}{\lambda }^3+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}m{\lambda }^2+n{\lambda }^3\\ +{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}{\lambda }^2+{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}n{\lambda }^2-\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}n{\lambda }^2+mn{\lambda }^2+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}n{\lambda }^2+nd{\lambda }^2\\ +{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}nd\lambda -\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}nd\lambda +mnd\lambda +{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}nd\lambda +\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}n{\lambda }^2+p{\lambda }^3\\ +\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}mn\lambda +{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}n\lambda +{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}p{\lambda }^2-\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}p{\lambda }^2+mp{\lambda }^2\end{array}$

$\begin{array}{l}+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}p{\lambda }^2+pd{\lambda }^2+{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}dp\lambda -\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}dp\lambda +mdp\lambda +{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}dp\lambda +np{\lambda }^2\\ +\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}p{\lambda }^2+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}mp\lambda +{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}p\lambda +{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}np\lambda \\ +\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}np\lambda +mnp\lambda +{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}np\lambda +npd\lambda +{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}npd-\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}dnp+mndp\\ +{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}ndp+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}np\lambda +\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}nmp+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}np\\ ={\lambda }^4+C_1{\lambda }^3+C_2{\lambda }^2+C_3\lambda +C_4=0,\end{array}$ (17)

其中，

$\begin{array}{l}{C}_1=\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}{I}^{*}+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}+d+n+p,\\ C_2={\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}{I}^{*}d+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}d+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}m+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}\\ +\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}n+{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}p+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}p+pd+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}p+np,\end{array}$

$\begin{array}{l}{C}_3={\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}nd+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}nd+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}n+{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}dp+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}dp\\ +\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}mp+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}p+{\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}np+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}np+npd\\ +\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}np,\\ C_4={\beta }_1{f}^{\prime }\left(I\right)S^{*}{I}^{*}npd+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}ndp+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}nmp+{\mu }_1{g}^{\prime }\left(I\right)I^{*}\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]I^{*}np.\end{array}$

经计算得到 $C_1>0$，$C_1{C}_2-C_3>0$，$\left(C_1{C}_2-C_3\right)C_3-C_1^2{C}_4>0$，系统(15)的所有主子式均大于0，并且所有特征根都具有负实部，因此，由Routh-Hurwitz判据可知，当 $R_0>1$ 时，系统(14)的地方病平衡点 ${\bar{P}}^{*}$ 是局部渐近稳定的。定理得证。

定理5. 当 $R_0>1$ 时，系统(14)的地方病平衡点 ${\bar{P}}^{*}$ 全局渐近稳定。

证明：构造lyapunov函数

$L={\bar{S}}^{*}f\left(\frac{S\left(t\right)}{{\bar{S}}^{*}}\right)+{\bar{I}}^{*}f\left(\frac{S\left(t\right)}{{\bar{I}}^{*}}\right)+{\bar{Q}}^{*}f\left(\frac{S\left(t\right)}{{\bar{Q}}^{*}}\right)+{\bar{H}}^{*}f\left(\frac{S\left(t\right)}{{\bar{H}}^{*}}\right),$ (18)

当 $f\left(z\right)=z-1-\ln z,z\in R^{+}$，当且仅当 $z=1$ 时 $f\left(z\right)=0$，

$\begin{array}{l}S-{\bar{S}}^{*}-{\bar{S}}^{*}\ln \frac{S}{{\bar{S}}^{*}}={\bar{S}}^{*}f\left(\frac{S}{{\bar{S}}^{*}}\right)\ge 0,\\ I-{\bar{I}}^{*}-{\bar{I}}^{*}\ln \frac{I}{{\bar{I}}^{*}}={\bar{I}}^{*}f\left(\frac{I}{{\bar{I}}^{*}}\right)\ge 0,\\ Q-{\bar{Q}}^{*}-{\bar{Q}}^{*}\ln \frac{Q}{{\bar{Q}}^{*}}={\bar{Q}}^{*}f\left(\frac{Q}{{\bar{Q}}^{*}}\right)\ge 0,\\ H-{\bar{H}}^{*}-{\bar{H}}^{*}\ln \frac{H}{{\bar{H}}^{*}}={\bar{H}}^{*}f\left(\frac{H}{{\bar{H}}^{*}}\right)\ge 0.\end{array}$

则有 $L=\left(S-{\bar{S}}^{*}-{\bar{S}}^{*}\ln \frac{S}{{\bar{S}}^{*}}\right)+\left(I-{\bar{I}}^{*}-{\bar{I}}^{*}\ln \frac{I}{{\bar{I}}^{*}}\right)+\left(Q-{\bar{Q}}^{*}-{\bar{Q}}^{*}\ln \frac{Q}{{\bar{Q}}^{*}}\right)+\left(H-{\bar{H}}^{*}-{\bar{H}}^{*}\ln \frac{H}{{\bar{H}}^{*}}\right)$，对L关于模型(14)求导数得

$\begin{array}{c}\stackrel{\dot{}}{L}=\left(1-\frac{{\bar{S}}^{*}}{S}\right)\stackrel{\dot{}}{S}+\left(1-\frac{{\bar{I}}^{*}}{I}\right)\stackrel{\dot{}}{I}+\left(1-\frac{{\bar{Q}}^{*}}{Q}\right)\stackrel{\dot{}}{Q}+\left(1-\frac{{\bar{H}}^{*}}{H}\right)\stackrel{\dot{}}{H}\\ =\left(1-\frac{{\bar{S}}^{*}}{S}\right)\left(\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S^{*}{I}^{*}+d{S}^{*}-\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]SI-dS\right)\\ +\left(1-\frac{{\bar{I}}^{*}}{I}\right)\left(\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]SI-\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]I-\alpha I-dI-{\gamma }_{1}I-{\eta }_{1}I\right)\\ +\left(1-\frac{{\bar{Q}}^{*}}{Q}\right)\left(\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]I-\alpha Q-dQ-{\gamma }_{2}Q-{\eta }_{2}Q\right)+\left(1-\frac{{\bar{H}}^{*}}{H}\right)\left({\eta }_{1}I+{\eta }_{2}Q-\alpha H-dH-{\gamma }_{3}H\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}=\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]\left({\bar{S}}^{*}{\bar{I}}^{*}-SI\right)+d\left({\bar{S}}^{*}-S\right)+\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]{\bar{S}}^{*}{I}^{*}\left(1-\frac{{\bar{S}}^{*}}{S}\right)+d{\bar{S}}^{*}\left(\left(1-\frac{{\bar{S}}^{*}}{S}\right)\right)\\ +\left[\beta -{\beta }_{1}f\left(I\right)\right]S\left(I-{\bar{I}}^{*}\right)+\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]\left(I-{\bar{I}}^{*}\right)+\left(\alpha +d+{\gamma }_1+{\eta }_1\right)\left(I-{\bar{I}}^{*}\right)\\ +\left[\mu +{\mu }_{1}g\left(I\right)\right]I\left(1-\frac{{\bar{Q}}^{*}}{Q}\right)+\left(\alpha +d+{\gamma }_2+{\eta }_2\right)\left({\bar{Q}}^{*}-Q\right)\\ +\left({\eta }_{1}I+{\eta }_{2}Q\right)\left(1-\frac{{\bar{H}}^{*}}{H}\right)+\left({\bar{H}}^{*}-H\right)\left(\alpha +d+{\gamma }_3\right)\\ \le 0.\end{array}$

因此， $\stackrel{\dot{}}{L}\le 0$，当且仅当 $S={\bar{S}}^{*},I={\bar{I}}^{*},Q={\bar{Q}}^{*},H={\bar{H}}^{*}$ 时， $\stackrel{\dot{}}{L}=0$，于是由LaSalle不变集原理 [18] 可知，当 $R_0>1$ 时，系统(14)的地方病平衡点 ${\bar{P}}^{*}$ 是全局渐近稳定的。定理得证。

6. 数值模拟

本小节对模型进行数值模拟，选取 $f\left(I\right)=\frac{I}{m_1+I},g\left(I\right)=\frac{I}{m_2+I}$ ( $m_1$ 表示媒体报道下易感者对埃博拉病毒信息认识的偏差程度， $m_2$ 表示媒体报道下采取隔离措施的相关部门对埃博拉病毒信息认识的偏差程度)，取初始值为 $\left(S\left(0\right),I\left(0\right),Q\left(0\right),H\left(0\right),R\left(0\right)\right)=\left(121,\text{84,62,10,6}\right)$，取参数值 $A=2$，$\beta =0.01$，${\beta }_1=0.005$，$\alpha =0.2$，${\eta }_1=0.03$，${\eta }_2=0.2$，$d=0.1$，$\mu =0.25$，${\mu }_1=0.3$，${\gamma }_1=0.02$，${\gamma }_2=0.03$，${\gamma }_3=0,04$，$m_1=0.1$，$m_2=0.2$，计算得到 $R_0=0.615<1$，无病平衡点 $P_0$ 是全局渐近稳定的，如图1所示。初始值保持不变，取参数为 $A=4$，$\beta =0.04$，${\beta }_1=0.08$，$\alpha =0.2$，${\eta }_1=0.03$，${\eta }_2=0.2$，$d=0.1$，$\mu =0.3$，$m_2=200$，${\gamma }_2=0.03$，${\gamma }_3=0,04$，$m_1=100$，计算得到 $R_0=2.67>1$，地方病平衡点 $P^{\text{*}}$ 是全局渐近稳定的，如图2所示。