设为首页
加入收藏
期刊导航
网站地图
首页
期刊
数学与物理
地球与环境
信息通讯
经济与管理
生命科学
工程技术
医药卫生
人文社科
化学与材料
会议
合作
新闻
我们
招聘
千人智库
我要投稿
办刊
期刊菜单
●领域
●编委
●投稿须知
●最新文章
●检索
●投稿
文章导航
●Abstract
●Full-Text PDF
●Full-Text HTML
●Full-Text ePUB
●Linked References
●How to Cite this Article
PureMathematics
n
Ø
ê
Æ
,2023,13(5),1355-1362
PublishedOnlineMay2023inHans.https://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2023.135138
4
Œ
{
L
ïïï
VVV
∗
§§§
¡¡¡
ÿÿÿ
Ü
“
‰
Œ
Æ
§
ê
Æ
†
Ú
O
Æ
§
[
‹
=
²
Â
v
F
Ï
µ
2023
c
4
21
F
¶
¹
^
F
Ï
µ
2023
c
5
22
F
¶
u
Ù
F
Ï
µ
2023
c
5
29
F
Á
‡
©
ï
Ä
4
Œ
{
L
˜
½
Ú
Ó
N
5
Ÿ
§
y
²
4
Œ
²
"
a
†
4
Œ
{
L
a
¤
…
¢
D
{
L
é
"
'
…
c
4
Œ
{
L
§
4
Œ
²
"
§
{
L
é
Max-CotorsionModules
JuanniYang
∗
,XiaoyanYang
CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,LanzhouGansu
Received:Apr.21
st
,2023;accepted:May22
nd
,2023;published:May29
th
,2023
Abstract
Inthispaper, westudysomecriterionsandhomologicalpropertiesofmax-cotorsion
modules.It isprovedthatthe classofmax-flat modules andthe classofmax-cotorsion
modulesisaperfectandhereditarycotorsionpair.
∗
1
˜
Š
ö
"
©
Ù
Ú
^
:
ï
V
,
¡
ÿ
.
4
Œ
{
L
[J].
n
Ø
ê
Æ
,2023,13(5):1355-1362.
DOI:10.12677/pm.2023.135138
ï
V
§
¡
ÿ
Keywords
Max-CotorsionModule,Max-FlatModule,CotorsionPair
Copyright
c
2023byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense (CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
Ú
ó
3
©
¥
,
X
J
v
k
A
O
•
Ñ
,
•
Ä
¤
k
‚
´
(
Ü
‚
,
¤
k
´
j
.
{
L
´
Ó
N
“
ê
†
Ø
¥
-
‡
ï
Ä
é
–
ƒ
˜
,
3
“
ê
A
ÛÚ
“
ê
L
«
n
Ø
¥
k
-
‡
A^
,
…
{
L
3
é
ˆ
«
‚
•
x
¥
•
å
X
é
Œ
Š
^
.
1959
c
, Harrison
3
[1]
¥
•
•
x
š
k
•
Abelian
+
(
Ú
5
Ÿ
,
Ú
\
{
L
V
g
.
1996
c
, Xu
3
[2]
¥
X
Ú
?
Ø
{
L
ƒ
'
5
Ÿ
,
y
²
²
"
a
†{
L
a
¤
{
L
é
,
d
Xu
„
y
²
z
‡
R
´
{
L
…
=
‚
R
´
†
‚
. 2000
c
,Trlifaj
3
[3]
¥y
²
²
"
C
X
Ú
{
L
•
ä
•
3
5
. 2005
c
, Mao
Ú
Ding
3
[4]
¥
?
˜
Ú
ï
Ä
{
L
5
Ÿ
.2010
c
, Xiang
3
[5]
¥
|
^
²
"
ƒ
'
5
Ÿ
‰
Ñ
4
Œ
²
"
½
Â
,
ï
Ä
4
Œ
²
"
5
Ÿ
,
¿
|
^
4
Œ
²
"
‘
ê
•
x
4
Œ
v
à
‚
. 2021
c
, Alagoz
3
[6]
¥
|
^
4
Œ
²
"
Ú
\
4
Œ
{
L
,
|
^
4
Œ
²
"
Ú
4
Œ
{
L
•
x
‚
,
4
Œ
¢
D
‚
,
¿
y
²
z
‡
k
˜
‡
4
Œ
²
"
CX
Ú
˜
‡
4
Œ
{
L
•
ä
.
É
d
é
u
,
©
?
˜
Ú
ï
Ä
4
Œ
{
L
,
¿
a
'
{
L
é
Ù
ƒ
'
5
Ÿ
‰
?
Ø
.
•
y
²
4
Œ
²
"
a
†
4
Œ
{
L
a
¤
…
¢
D
{
L
é
.
2.
ý
•
£
½
Â
2
.
1([7])
C
´
?
¿
a
,
M
´
R
-
.
(1)
¡
θ
:
C
→
M
´
M
C
-
ý
CX
,
X
J
C
∈C
¿
…
é
?
¿
f
:
C
0
→
M
,
Ù
¥
C
0
∈C
,
•
3
h
:
C
0
→
C
¦
θh
=
f
.
¡
C
-
ý
CX
θ
:
C
→
M
´
M
C
-
CX
,
X
J
÷
v
θβ
=
θ
g
Ó
β
´
g
Ó
.
(2)
¡
ϕ
:
M
→
C
´
M
C
-
ý
•
ä
,
X
J
C
∈C
¿
…
é
?
¿
f
:
M
→
C
0
,
Ù
¥
C
0
∈C
,
•
3
g
:
C
→
C
0
¦
gϕ
=
f
.
¡
C
-
ý
•
ä
ϕ
:
M
→
C
´
M
C
-
•
ä
,
X
J
÷
v
ηϕ
=
ϕ
g
Ó
η
´
g
Ó
.
DOI:10.12677/pm.2023.1351381356
n
Ø
ê
Æ
ï
V
§
¡
ÿ
½
Â
2
.
2([8])
C
Ú
D
´
ü
‡
a
.
(1)
¡
(
C
,
D
)
•
{
L
é
,
X
J
C
⊥
=
D
,
C
=
⊥
D
,
Ù
¥
C
⊥
=
{
M
∈
R
-Mod
|
Ext
1
R
(
C,M
) = 0
,
∀
C
∈C}
,
⊥
C
=
{
M
∈
R
-Mod
|
Ext
1
R
(
M,C
) = 0
,
∀
C
∈C}
.
(2)
¡
{
L
é
(
C
,
D
)
´
,
X
J
é
?
¿
R
-
M
,
k
Ü
0
−→
D
−→
C
−→
M
−→
0
Ú
0
−→
M
−→
D
0
−→
C
0
−→
0,
Ù
¥
C,C
0
∈C
,
D,D
0
∈D
.
(3)
¡
{
L
é
(
C
,
D
)
´
,
X
J
z
‡
R
-
k
˜
‡
C
-
CX
Ú
˜
‡
D
-
•
ä
.
(4)
¡
{
L
é
(
C
,
D
)
´
¢
D
,
X
J
é
?
¿
á
Ü
0
−→
A
−→
B
−→
C
−→
0
.
e
B,C
∈C
,
K
A
∈C
.
½
Â
2
.
3([5])
¡
R
-
A
´
4
Œ
²
"
,
X
J
é
R
?
¿
4
Œ
n
Ž
I
,
k
Tor
R
1
(
A,R/I
) = 0.
½
Â
2
.
4([4])
¡
R
-
A
´
{
L
,
X
J
é
?
¿
²
"
F
,
k
Ext
1
R
(
F,A
) = 0.
3.
Ì
‡
(
J
·
‚
Ä
k
‰
Ñ
Alagoz
3
[6]
¥
Ú
\
4
Œ
{
L
½
Â
.
½
Â
3
.
1([6])
¡
R
-
B
´
4
Œ
{
L
,
X
J
é
?
¿
4
Œ
²
"
A
,
k
Ext
1
R
(
A,B
) = 0
.
5
P
3
.
2
d
½
Â
•
,
{
S
}⊆{
4
Œ
{
L
}⊆{
{
L
}
.
Ú
n
3
.
3([9],
½
n
3)
M
´
4
Œ
²
"
…
=
é
?
¿
ü
R
-
B
,
n
≥
1,
k
Tor
R
n
(
M,B
) = 0
.
·
K
3
.
4
é
u
R
-
B
,
±
e
A
^
´
d
µ
(1)
B
´
4
Œ
{
L
.
DOI:10.12677/pm.2023.1351381357
n
Ø
ê
Æ
ï
V
§
¡
ÿ
(2)
é
u
z
‡
4
Œ
²
"
R
-
A
,
n
≥
1,
k
Ext
n
R
(
A,B
) = 0.
(3)
é
u
R
-
z
‡
Ü
0
−→
F
−→
C
−→
A
−→
0,
Ù
¥
A
´
4
Œ
²
"
,
¼
f
Hom
R
(
−
,B
)
±
S
Ü
5
.
y
²
:
(1) =
⇒
(2)
é
n
^
8
B
{
.
e
n
= 1,
K
d
½
Â
Œ
•
¤
á
.
b
(
Ø
é
n
−
1
¤
á
.
A
´
4
Œ
²
"
.
•
Ä
R
-
Ü
0
−→
K
−→
A
0
−→
A
−→
0
,
Ù
¥
A
0
´
g
d
.
^
−⊗
R
R/I
Š
^
þ
ã
Ü
,
Tor
R
2
(
A
0
,R/I
)
→
Tor
R
2
(
A,R/I
)
→
Tor
R
1
(
K,R/I
)
→
Tor
R
1
(
A
0
,R/I
)
.
Ï
•
A
0
´
g
d
,
¤
±
k
Tor
R
2
(
A
0
,R/I
) = Tor
R
1
(
A
0
,R/I
) = 0.
u
´
Tor
R
2
(
A,R/I
)
∼
=
Tor
R
1
(
K,R/I
)
.
Ï
•
I
´
R
?
¿
4
Œ
n
Ž
,
¤
±
R/I
´
ü
.
q
Ï
•
A
´
4
Œ
²
"
,
¤
±
d
Ú
n
3.3
Œ
•
Tor
R
2
(
A,R/I
) = 0
.
u
´
Tor
R
1
(
K,R/I
) = 0.
K
K
´
4
Œ
²
"
.
^
Hom
R
(
−
,B
)
Š
^
þ
ã
á
Ü
,
Ext
n
−
1
R
(
A
0
,B
)
→
Ext
n
−
1
R
(
K,B
)
→
Ext
n
R
(
A,B
)
→
Ext
n
R
(
A
0
,B
)
.
Ï
•
A
0
´
g
d
,
¤
±
A
0
´
Ý
.
u
´
Ext
n
−
1
R
(
A
0
,B
) =Ext
n
R
(
A
0
,B
) = 0
.
¤
±
Ext
n
−
1
R
(
K,B
)
∼
=
Ext
n
R
(
A,B
).
q
Ï
•
K
´
4
Œ
²
"
,
¤
±
d
8
B
b
Œ
•
,
Ext
n
−
1
R
(
K,B
) = 0
.
¤
±
Ext
n
R
(
A,B
) = 0
.
(2)=
⇒
(3)
•
Ä
R
-
Ü
0
−→
F
−→
C
−→
A
−→
0,
Ù
¥
A
´
4
Œ
²
"
.
^
Hom
R
(
−
,B
)
Š
^
þ
ã
Ü
,
0
→
Hom
R
(
A,B
)
→
Hom
R
(
C,B
)
→
Hom
R
(
F,B
)
→
Ext
1
R
(
A,B
)
.
Ï
•
Ext
1
R
(
A,B
) = 0,
¤
±
0
→
Hom
R
(
A,B
)
→
Hom
R
(
C,B
)
→
Hom
R
(
F,B
)
→
0
DOI:10.12677/pm.2023.1351381358
n
Ø
ê
Æ
ï
V
§
¡
ÿ
Ü
.
(3)=
⇒
(1)
A
´
4
Œ
²
"
.
•
Ä
R
-
Ü
0
−→
F
−→
C
−→
A
−→
0,
Ù
¥
C
´
Ý
.
·
‚
k
X
e
Ü
0
→
Hom
R
(
A,B
)
→
Hom
R
(
C,B
)
→
Hom
R
(
F,B
)
→
Ext
1
R
(
A,B
)
→
Ext
1
R
(
C,B
) = 0
.
d
b
Ext
1
R
(
A,B
) = 0.
Ï
d
B
´
4
Œ
{
L
.
·
K
3
.
5
e
4
Œ
{
L
a
'
u
†
Ú
µ
4
,
K
±
e
d
:
(1)
B
´
4
Œ
{
L
.
(2)
é
z
‡
Ý
P
,
P
⊗
R
B
´
4
Œ
{
L
.
y
²
:
(1) =
⇒
(2)
A
´
4
Œ
²
"
,
P
´
˜
‡
Ý
R
-
.
K
•
3
˜
‡
Ý
P
0
¦
é
u
,
•
I
8
I
,
k
R
(
I
)
∼
=
P
⊕
P
0
.
Ï
•
R
⊗
R
B
∼
=
B
,
¤
±
Ext
1
R
(
A,B
(
I
)
)
∼
=
Ext
1
R
(
A,R
(
I
)
⊗
R
B
)
∼
=
Ext
1
R
(
A,
(
P
⊕
P
0
)
⊗
R
B
)
∼
=
Ext
1
R
(
A,
(
P
⊗
R
B
)
⊕
(
P
0
⊗
R
B
))
∼
=
Ext
1
R
(
A,P
⊗
R
B
)
⊕
Ext
1
R
(
A,P
0
⊗
R
B
)
Ï
•
4
Œ
{
L
a
'
u
†
Ú
µ
4
,
¤
±
B
(
I
)
´
4
Œ
{
L
.
q
Ï
•
A
´
4
Œ
²
"
,
¤
±
Ext
1
R
(
A,B
(
I
)
) = 0.
Ï
d
Ext
1
R
(
A,P
⊗
B
) = 0.
P
⊗
R
B
´
4
Œ
{
L
.
(2)=
⇒
(1)
-
P
=
R
.
Ï
•
R
⊗
R
B
∼
=
B
,
¤
±
B
´
˜
‡
4
Œ
{
L
.
·
K
3
.
6
é
?
¿
˜
q
{
B
i
}
i
∈
I
Ù
¥
I
´
˜
‡
•
I
8
,
Q
i
∈
I
B
i
´
4
Œ
{
L
…
=
z
‡
B
i
´
4
Œ
{
L
.
y
²
:
=
⇒
)
A
´
4
Œ
²
"
R
-
,
…
Q
i
∈
I
B
i
´
4
Œ
{
L
.
K
Ext
1
R
(
A,
Y
i
∈
I
B
i
) = 0
.
d
([10],
½
n
2)
Œ
•
,
k
g
,
Ó
'
X
, Ext
1
R
(
A,
Q
i
∈
I
B
i
)
∼
=
Q
Ext
1
R
(
A,B
i
).
u
´
Ext
1
R
(
A,B
i
) = 0
.
z
‡
B
i
´
4
Œ
{
L
.
DOI:10.12677/pm.2023.1351381359
n
Ø
ê
Æ
ï
V
§
¡
ÿ
⇐
=)
A
´
4
Œ
²
"
R
-
,
…
z
‡
B
i
´
4
Œ
{
L
,
k
Ext
1
R
(
A,B
i
) = 0.
2
d
g
,
Ó
'
X
Ext
1
R
(
A,
Y
i
∈
I
B
i
)
∼
=
Y
Ext
1
R
(
A,B
i
)
Œ
Ext
1
R
(
A,
Q
i
∈
I
B
i
) = 0.
Q
i
∈
I
B
i
´
4
Œ
{
L
.
·
K
3
.
7
R
´
˜
‡
‚
.
K
±
e
^
‡
´
d
:
(1)
z
‡
R
-
´
4
Œ
{
L
.
(2)
z
‡
4
Œ
²
"
R
-
´
Ý
.
d
,
e
R
÷
v
þ
ã
^
‡
ƒ
˜
,
K
R
´
˜
‡
‚
.
y
²
:
(1)=
⇒
(2)
A
´
4
Œ
²
"
R
-
.
d
(1)
Œ
•
,
?
¿
R
-
B
´
4
Œ
{
L
.
u
´
Ext
1
R
(
A,B
) = 0.
A
´
Ý
.
(2) =
⇒
(1)
A
´
4
Œ
²
"
R
-
.
K
A
´
Ý
.
u
´
é
?
¿
R
-
B
,
k
Ext
1
R
(
A,B
) = 0
.
K
B
´
˜
‡
4
Œ
{
L
R
-
.
d
5
P
3.2
Œ
•
,
B
´
{
L
,
d
([2],
·
K
3.3.1)
Œ
•
,
z
‡
R
-
´
{
L
…
=
R
´
‚
.
R
÷
v
þ
ã
^
‡
(1)
ž
,
K
R
´
˜
‡
‚
.
Ú
n
3
.
8
ü
«
5
´
4
Œ
{
L
.
y
²
:
M
´
4
Œ
²
"
R
-
,
D
´
ü
.
d
Ó
ª
Ext
n
R
(
M,D
+
)
∼
=
Tor
R
n
(
M,D
)
+
•
Tor
R
n
(
M,D
) = 0,
l
Ext
n
R
(
M,D
+
) = 0.
D
+
´
4
Œ
{
L
.
½
n
3
.
9
FG
L
«
4
Œ
{
L
a
,
FH
L
«
4
Œ
²
"
a
.
K
(
FH
,
FG
)
´
˜
‡
{
L
é
.
y
²
:
Ä
k
y
⊥
FG
=
FH
.
M
∈
⊥
FG
.
K
é
?
¿
4
Œ
{
L
N
,
k
Ext
1
R
(
M,N
) = 0
.
I
´
R
?
¿
4
Œ
n
Ž
.
K
R/I
´
ü
.
d
Ú
n
3.8
Œ
•
,
ü
«
5
´
4
Œ
{
L
.
(
R/I
)
+
´
4
Œ
{
L
.
l
Ext
1
R
(
M,
(
R/I
)
+
) = 0.
d
Ó
ª
0 = Ext
1
R
(
M,
(
R/I
)
+
)
∼
=
(Tor
R
1
(
M,R/I
))
+
•
Tor
R
1
(
M,R/I
)= 0,
Ï
d
M
´
4
Œ
²
"
,
l
M
∈FH
.
⊥
FG⊆FH
.
M
´
4
Œ
²
"
.
DOI:10.12677/pm.2023.1351381360
n
Ø
ê
Æ
ï
V
§
¡
ÿ
K
é
?
¿
4
Œ
{
L
N
,
k
Ext
1
R
(
M,N
) = 0
.
l
M
∈
⊥
FG
.
FH⊆
⊥
FG
.
n
þ
,
⊥
FG
=
FH
.
e
y
FH
⊥
=
FG
.
M
∈FH
⊥
.
K
é
?
¿
4
Œ
²
"
N
,
k
Ext
1
R
(
N,M
) = 0
.
l
M
∈FG
.
FH
⊥
⊆FG
.
M
∈FG
.
K
é
?
¿
4
Œ
²
"
N
,
k
Ext
1
R
(
N,M
) = 0
.
l
M
∈FH
⊥
.
FG⊆FH
⊥
.
n
þ
¤
ã
, (
FH
,
FG
)
´
˜
‡
{
L
é
.
í
Ø
3
.
10(
FH
,
FG
)
´
˜
‡
{
L
é
.
y
²
:
d
½
n
3.9
Œ
•
,(
FH
,
FG
)
´
˜
‡
{
L
é
.
d
([6],
Ú
n
2)
Ú
( [11],
½
n
3.4)
z
‡
R
-
k
˜
‡
FH
-
CX
Ú
˜
‡
FG
-
•
ä
.
(
FH
,
FG
)
´
˜
‡
{
L
é
.
í
Ø
3
.
11(
FH
,
FG
)
´
˜
‡
¢
D
{
L
é
.
y
²
:
•
Ä
R
-
Ü
0
−→
A
−→
A
0
−→
A
00
−→
0,
Ù
¥
A
0
,A
00
∈FH
.
é
R
?
¿
4
Œ
n
Ž
I
,
^
−⊗
R
R/I
Š
^
þ
ã
Ü
,
Tor
R
2
(
A
00
,R/I
)
→
Tor
R
1
(
A,R/I
)
→
Tor
R
1
(
A
0
,R/I
)
.
Ï
•
A
0
´
4
Œ
²
"
,
¤
±
Tor
R
1
(
A
0
,R/I
)=0.
Ï
•
I
´
R
?
¿
4
Œ
n
Ž
,
¤
±
R/I
´
ü
.
q
Ï
•
A
00
´
4
Œ
²
"
,
d
Ú
n
3.3
Œ
•
Tor
R
2
(
A
00
,R/I
) = 0
.
Tor
R
1
(
A,R/I
) = 0.
Ï
d
A
´
4
Œ
²
"
.
(
FH
,
FG
)
´
˜
‡
¢
D
{
L
é
.
ë
•
©
z
[1]Harrison,D.K.(1959)InfiniteAbelianGroupsandHomologicalMethods.
AnnalsofMathe-
matics
,
69
,336-391.https://doi.org/10.2307/1970188
[2]XuJ.(1996)FlatCoversofModules.In:
LectureNotesinMathematics
,Vol.1634,Springer-
Verlag,Berlin.
[3]Trlifaj,J.(2000)Covers,EnvelopesandCotorsionTheories.
LectureNotesfortheWorkshop
“HomologicalMethodsinModuleTheory”
,Cortona,10-16September2000.
DOI:10.12677/pm.2023.1351381361
n
Ø
ê
Æ
ï
V
§
¡
ÿ
[4]Mao,L.X.andDing,N.Q.(2005)NotesonCotorsionModules.
CommunicationsinAlgebra
,
33
,349-360.https://doi.org/10.1081/AGB-200041029
[5]Xiang,Y.(2010)Max-Injective,Max-FlatModulesandMax-CoherentRing.
Bulletinofthe
KoreanMathematicalSociety
,
47
,611-622.https://doi.org/10.4134/BKMS.2010.47.3.611
[6]Alagoz,Y.andBuyukasik,E.(2021)OnMax-FatModulesandMax-CotorsionModules.
Ap-
plicableAlgebrainEngineering
,
32
,195-215.https://doi.org/10.1007/s00200-020-00482-4
[7]Enochs,E.E.andJenda,O.M.G.(2000)RelativeHomologicalAlgebra.WalterdeGruyter,
NewYork.https://doi.org/10.1515/9783110803662
[8]Enochs,E.E.(2002)Covers,EnvelopesandCotorsionTheories.NovaBiomedical,NewYork.
[9]
u
r
Ú
,
•
X
r
.
&
ï
4
Œ
²
"
‘
ê
[J].
Ï
z
“
‰
Æ
Æ
,2010,31(12):11-13.
[10]Rotman,J.J.(2009)AnIntroductiontoHomologicalAlgebra.Springer,NewYork.
https://doi.org/10.1007/b98977
[11]Holm,H.andJorgensen,P.(2008)Covers,Precovers,andPurity.
IllinoisJournalofMathe-
matics
,
52
,691-703.https://doi.org/10.1215/ijm/1248355359
DOI:10.12677/pm.2023.1351381362
n
Ø
ê
Æ