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PureMathematics
n
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Æ
,2023,13(6),1769-1782
PublishedOnlineJune2023inHans.https://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2023.136181
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ExistenceandUniquenessofSolutionsto
BoundaryValueProblemsforHigher-Order
FractionalDifferentialEquations
ZhangchiWang
SchoolofScience,LanzhouUniversityofTechnology,LanzhouGansu
Received:May21
st
,2023;accepted:Jun.22
nd
,2023;published:Jun.30
th
,2023
Abstract
TheboundaryvalueproblemofRiemann-Liouvillehigherorderfractionaldifferential
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,2023,13(6):1769-1782.
DOI:10.12677/pm.2023.136181
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equationswithmixedmonotonenonlineartermsisstudied.Byusingtheproperties
ofGreen’sfunctionandthefixedpointtheoremofmixedmonotoneoperators,the
existenceanduniquenessofthesolutionoftheboundaryvalueproblemareproved,
andanexampleisgiventoverifythecorrectnessoftheconclusion.
Keywords
FractionalDifferentialEquation,BoundaryValueProblem,MixedMonotone
Operator,ExistenceandUniqueness
Copyright
c
2023byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution International License (CCBY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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DOI:10.12677/pm.2023.1361811770
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)+(
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(
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)
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1)
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∀
x,y
∈
C
h,e
;
(
ii
)
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u
¤
k
t
∈
(0
,
1)
Ú
x,y
∈
C
h,e
,
B
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t
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1)
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−
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y
+(
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−
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)
≥
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(
x,y
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t
−
1)
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(
iii
)
A
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h,h
)
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C
h,e
…
B
(
h,h
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C
h,e
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3
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‡
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ê
δ>
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¦
é
u
¤
k
x,y
∈
C
h,e
,
k
A
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Ž
f
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3
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h,e
þ
k
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x
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…
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u
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Û
Ð
Š
x
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0
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C
h,e
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−
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n
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(
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−
1
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y
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=
A
(
y
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n
−
1
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B
(
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n
−
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n
−
1
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= 1
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,
···
,
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,
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k
x
n
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x
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,
y
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u
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t
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+1
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t
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n
−
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(
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)
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n
−
3
0
+
e
(
t
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,...,e
(
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)
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½
n
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±
e
^
‡
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u
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x
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+
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,
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−
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g
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,
+
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φ
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C
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+
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,
+
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(
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2
)
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u
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y
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E
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φ
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u
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¿
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x
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,
+
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,
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−
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,g
(
x
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0
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1
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n
−
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φ
(
x
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1
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,
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3
y
i
∈
[
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E
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,
+
∞
)
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)
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τ
∈
(0
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ϕ
(
τ
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u
¤
k
x
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∈
[
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E
∗
,
+
∞
)(
i
=0
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1
,
···
,n
−
DOI:10.12677/pm.2023.1361811773
n
Ø
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Æ
Ü
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g
(
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···
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0
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1
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···
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0
∈
[0
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φ
(
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ρ
0
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ρ
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ρ
0
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ρ
0
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)
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H
4
)
é
u
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¿
½
x
i
,y
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E
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,
+
∞
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g
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,
0
,...,
0)
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φ
(
M,M,...,M,
0
,
0
,...,
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<
+
∞
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φ
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0
,...,
0
,M,M,...,M
)
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K
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k
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,...,ω
n
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s
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,
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C
h,e
=
{
x
∈
C
[0
,
1]
|
x
+
e
∈
C
h
}
.
DOI:10.12677/pm.2023.1361811774
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Æ
Ü
¶
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²
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s
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s
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,...,
[
τx
(
s
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s
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,
DOI:10.12677/pm.2023.1361811775
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,...,τx
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t
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s
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(
t
)
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τB
(
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)(
t
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τ
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(
t
)
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DOI:10.12677/pm.2023.1361811776
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G
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α
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1
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G
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...,Ms
α
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s
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s
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s
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ds
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ρ
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s
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s
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δ
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0
,M,M,...,M
)
ds
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δ
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0
,M,M,...,M
)
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ρ
(
s
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G
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s,s
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q
(
s
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ds
·
t
α
−
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1
M
δ
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φ
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,
0
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0
,M,M,...,M
)
Z
1
0
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(
s
)
G
(
s,s
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(
s
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ds
·
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(
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)
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1
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0
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)
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1
0
ρ
(
s
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G
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s,s
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M
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M,M,...,M,
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0)
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0
<l
1
≤
L
1
<
+
∞
,
l
1
h
(
t
)
≤
A
(
h,h
)(
t
)+
e
(
t
)
≤
L
1
h
(
t
)
,t
∈
[0
,
1],
Ï
d
k
A
(
h,h
)
∈
C
h,e
.
Ó
•{
k
B
(
h,h
)(
t
)+
e
(
t
) =
Z
1
0
G
(
t,s
)
q
(
s
)
φ
I
n
−
2
0
+
h
(
s
)
,I
n
−
3
0
+
h
(
s
)
,...,h
(
s
)
,I
n
−
2
0
+
h
(
s
)
,I
n
−
3
0
+
h
(
s
)
,...,h
(
s
)
ds
DOI:10.12677/pm.2023.1361811777
n
Ø
ê
Æ
Ü
¶
≤
Z
1
0
t
α
−
n
+1
Γ(
α
−
n
+2)
q
(
s
)
φ
(
M,M,...,M,
0
,
0
,...,
0)
ds
=
1
Γ(
α
−
n
+2)
φ
(
M,M,...,M,
0
,
0
,...,
0)
Z
1
0
q
(
s
)
ds
·
t
α
−
n
+1
=
1
M
Γ(
α
−
n
+2)
φ
(
M,M,...,M,
0
,
0
,...,
0)
Z
1
0
q
(
s
)
ds
·
h
(
t
)
Ú
B
(
x,x
)(
t
)+
e
(
t
)
≥
Z
1
0
ρ
(
s
)
G
(
s,s
)
q
(
s
)
φ
(0
,
0
,...,
0
,M,M,...,M
)
ds
≥
φ
(0
,
0
,...,
0
,M,M,...,M
)
Z
1
0
ρ
(
s
)
G
(
s,s
)
q
(
s
)
ds
·
t
α
−
n
+1
=
1
M
φ
(0
,
0
,...,
0
,M,M,...,M
)
Z
1
0
ρ
(
s
)
G
(
s,s
)
q
(
s
)
ds
·
h
(
t
)
.
-
l
2
=
1
M
φ
(0
,
0
,...,
0
,M,M,...,M
)
Z
1
0
ρ
(
s
)
G
(
s,s
)
q
(
s
)
ds,
L
2
=
1
M
Γ(
α
−
n
+2)
φ
(
M,M,...,M,
0
,
0
,...,
0)
Z
1
0
q
(
s
)
ds.
=
0
<l
2
≤
L
2
<
+
∞
,
l
2
h
(
t
)
≤
B
(
h,h
)(
t
)+
e
(
t
)
≤
L
2
h
(
t
)
,t
∈
[0
,
1],
Ï
d
k
B
(
h,h
)
∈
C
h,e
.
(4)
•
,
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n
2.4
¥
(
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)
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∈
C
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,t
∈
[0
,
1],
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(
H
4
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A
(
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)(
t
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Z
1
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G
(
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q
(
s
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g
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−
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(
s
)
,I
n
−
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x
(
s
)
,...,x
(
s
)
,I
n
−
2
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+
y
(
s
)
,I
n
−
3
0
+
y
(
s
)
,...,y
(
s
)
ds
−
e
(
t
)
≥
δ
0
Z
1
0
G
(
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)
q
(
s
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φ
I
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x
(
s
)
,I
n
−
3
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+
x
(
s
)
,...,x
(
s
)
,I
n
−
2
0
+
y
(
s
)
,I
n
−
3
0
+
y
(
s
)
,...,y
(
s
)
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(
t
)
−
δ
0
e
(
t
)+
δ
0
e
(
t
)
=
δ
0
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Z
1
0
G
(
t,s
)
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(
s
)
φ
(
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−
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(
s
)
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n
−
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+
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(
s
)
,...,x
(
s
)
,I
n
−
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+
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(
s
)
,I
n
−
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+
y
(
s
)
,...,y
(
s
))
ds
−
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(
t
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(
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0
−
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e
(
t
)
=
δ
0
B
(
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t
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δ
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−
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e
(
t
)
,
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A
(
x,y
)
≥
δ
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B
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x,y
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δ
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k
^
‡
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.
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3.1
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.
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t
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t
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(
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t
)
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0
(
t
))
−
1 = 0
,t
∈
[0
,
1]
,
u
(0) =
u
0
(0) =
u
0
(1) = 0
,
(7)
Ù
¥
q
(
t
) =
t
1
2
,
f
(
u
(
t
)
,u
0
(
t
)) = (1+
t
)[(
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(
t
)
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∗
u
(
t
)+
e
(
t
))
1
2
+(
e
(
t
)
E
∗
u
(
t
)+
e
(
t
))
1
3
+(
e
(
t
)
E
∗
u
0
(
t
)+
e
(
t
))
−
1
5
+
(
e
(
t
)
E
∗
u
0
(
t
)+
e
(
t
))
−
1
6
]
,
E
∗
=
max
{
e
(
t
)
,I
1
0
+
e
(
t
) :
t
∈
[0
,
1]
}
=
472Γ(
7
2
)
2539
.
DOI:10.12677/pm.2023.1361811778
n
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Æ
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-
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(
t
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(7)
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t
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1
0
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(
t
)
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(
t
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∈
[0
,
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(0) =
x
(1) = 0
,
(8)
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¥
f
(
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1
0
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(
t
)
,x
(
t
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x,y
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(
t
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∗
x
+
e
(
t
))
1
2
+(
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(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
3
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
5
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
6
]
,
g
(
x,x,y,y
)=(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
2
+(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
3
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
5
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
6
,
φ
(
x,x,y,y
)=
t
(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
2
+
t
(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
3
+
t
(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
5
+
t
(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
6
.
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u
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f
(
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x,x,y,y
)
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(
t
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t
3
2
−
t
5
2
Γ(
7
2
)
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∗
=
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{
e
(
t
)
,I
1
0
+
e
(
t
) :
t
∈
[0
,
1]
}
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472Γ(
7
2
)
2539
.
e
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u
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y
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,
+
∞
)(
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,
g
(
x,x,y,y
)
,φ
(
x,x,y,y
)
3
x
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∈
[
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E
∗
,
+
∞
)(
i
= 1
,
2)
þ
´
š
~
;
é
u
½
x
i
∈
[
−
E
∗
,
+
∞
)(
i
=1
,
2)
,
g
(
x,x,y,y
)
,φ
(
x,x,y,y
)
3
y
i
∈
[
−
E
∗
,
+
∞
)(
i
=
1
,
2)
þ
´
š
O
.
(
iii
)
é
τ
∈
(0
,
1)
,
x
i
,y
i
∈
[
−
E
∗
,
+
∞
)(
i
= 1
,
2)
,
ρ
0
=
e,ϕ
(
τ
) =
τ
1
2
,
k
g
(
τx
+(
τ
−
1)
ρ
0
,τx
+(
τ
−
1)
ρ
0
,τ
−
1
y
+(
τ
−
1
−
1)
ρ
0
,τ
−
1
y
+(
τ
−
1
−
1)
ρ
0
)
=
g
(
τx
+(
τ
−
1)
e,τx
+(
τ
−
1)
e,τ
−
1
y
+(
τ
−
1
−
1)
e,τ
−
1
y
+(
τ
−
1
−
1)
e
)
=
τ
e
(
t
)
E
∗
x
+(
τ
−
1)
e
(
t
)+
e
(
t
)
1
2
+(
τ
e
(
t
)
E
∗
x
+(
τ
−
1)
e
(
t
)+
e
(
t
))
1
3
+
τ
−
1
e
(
t
)
E
∗
y
+
(
τ
−
1
−
1)
e
(
t
)+
e
(
t
)
−
1
5
+
τ
−
1
e
(
t
)
E
∗
y
+(
τ
−
1
−
1)
e
(
t
)+
e
(
t
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−
1
6
=(
τ
e
(
t
)
E
∗
x
+
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(
t
))
1
2
+(
τ
e
(
t
)
E
∗
x
+
τe
(
t
))
1
3
+(
τ
−
1
e
(
t
)
E
∗
y
+
τ
−
1
e
(
t
))
−
1
5
+(
τ
−
1
e
(
t
)
E
∗
y
+
τ
−
1
e
(
t
))
−
1
6
=
τ
1
2
(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
2
+
τ
1
3
(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
3
+
τ
1
5
(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
5
+
τ
1
6
(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
6
>
τ
1
2
[(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
2
+(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
3
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
5
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
6
]
=
ϕ
(
τ
)
g
(
x,x,y,y
)
.
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u
τ
∈
(0
,
1)
Ú
x
i
,y
i
∈
[
−
E
∗
,
+
∞
)
,
(
i
= 1
,
2)
,
ρ
0
=
e
,
k
φ
(
τx
+(
τ
−
1)
ρ
0
,τx
+(
τ
−
1)
ρ
0
,τ
−
1
y
+(
τ
−
1
−
1)
ρ
0
,τ
−
1
y
+(
τ
−
1
−
1)
ρ
0
)
=
φ
(
τx
+(
τ
−
1)
e,τx
+(
τ
−
1)
e,τ
−
1
y
+(
τ
−
1
−
1)
e,τ
−
1
y
+(
τ
−
1
−
1)
e
)
=
t
[(
τ
e
(
t
)
E
∗
x
+(
τ
−
1)
e
(
t
)+
e
(
t
))
1
2
+(
τ
e
(
t
)
E
∗
x
+(
τ
−
1)
e
(
t
)+
e
(
t
))
1
3
+
τ
−
1
e
(
t
)
E
∗
y
+
(
τ
−
1
−
1)
e
(
t
)+
e
(
t
)
−
1
5
+(
τ
−
1
e
(
t
)
E
∗
y
+(
τ
−
1
−
1)
e
(
t
)+
e
(
t
))
−
1
6
]
DOI:10.12677/pm.2023.1361811779
n
Ø
ê
Æ
Ü
¶
=
t
[(
τ
e
(
t
)
E
∗
x
+
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(
t
))
1
2
+(
τ
e
(
t
)
E
∗
x
+
τe
(
t
))
1
3
+(
τ
−
1
e
(
t
)
E
∗
y
+
τ
−
1
e
(
t
))
−
1
5
+(
τ
−
1
e
(
t
)
E
∗
y
+
τ
−
1
e
(
t
))
−
1
6
]
=
t
[
τ
1
2
(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
2
+
τ
1
3
(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
3
+
τ
1
5
(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
5
+
τ
1
6
(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
6
]
>
t
{
τ
1
6
[(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
2
+(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
3
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
5
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
6
]
}
>
τ
{
t
[(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
2
+(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
3
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
5
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
6
]
}
=
τφ
(
x,x,y,y
)
.
(
iv
)
ρ
0
=
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0
= 1
>
0
.
@
o
g
(
x,x,y,y
) =(
e
(
t
)
E
∗
x
+
ρ
0
)
1
2
+(
e
(
t
)
E
∗
x
+
ρ
0
)
1
3
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
ρ
0
)
−
1
5
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
ρ
0
)
−
1
6
=(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
2
+(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
3
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
5
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
6
>
1
{
t
[(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
2
+(
e
(
t
)
E
∗
x
+
e
(
t
))
1
3
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
5
+(
e
(
t
)
E
∗
y
+
e
(
t
))
−
1
6
]
}
=
δ
0
φ
(
x,x,y,y
)
.
(
v
)
M
= 1
.
51
>
1
(
5
2
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5
2
−
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,
g
(
M,M,
0
,
0)
<
(1
.
51+1)
1
2
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.
51+1)
1
3
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.
9433
<
+
∞
,
φ
(
M,M,
0
,
0)
<
(1
.
51+1)
1
2
+(1
.
51+1)
1
3
+1+1 = 4
.
9433
<
+
∞
,
φ
(0
,
0
,M,M
)
>
0
.
Ï
d
,
½
n
3.1
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b
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v
.
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Ú
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•
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š
²
…
)
.
d
,
˜
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S
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n
(
t
) =
Z
1
0
G
(
t,s
)
(
e
(
s
)
E
∗
ω
n
−
1
(
s
)+
e
(
s
))
1
2
+(
e
(
s
)
E
∗
ω
n
−
1
(
s
)+
e
(
s
))
1
3
+(
e
(
s
)
E
∗
τ
n
−
1
(
s
)+
e
(
s
))
−
1
5
+(
e
(
s
)
E
∗
τ
n
−
1
(
s
)+
e
(
s
))
−
1
6
ds
+
Z
1
0
G
(
t,s
)
t
(
e
(
s
)
E
∗
ω
n
−
1
(
s
)+
e
(
s
))
1
2
+
t
(
e
(
s
)
E
∗
ω
n
−
1
(
s
)+
e
(
s
))
1
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t
(
e
(
s
)
E
∗
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n
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1
(
s
)+
e
(
s
))
−
1
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(
e
(
s
)
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1
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s
)+
e
(
s
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−
1
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3
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t
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2
)
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,
2
,
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τ
n
(
t
) =
Z
1
0
G
(
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)
(
e
(
s
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E
∗
τ
n
−
1
(
s
)+
e
(
s
))
1
2
+(
e
(
s
)
E
∗
τ
n
−
1
(
s
)+
e
(
s
))
1
3
+(
e
(
s
)
E
∗
ω
n
−
1
(
s
)+
e
(
s
))
−
1
5
+(
e
(
s
)
E
∗
ω
n
−
1
(
s
)+
e
(
s
))
−
1
6
ds
+
Z
1
0
G
(
t,s
)
t
(
e
(
s
)
E
∗
τ
n
−
1
(
s
)+
e
(
s
))
1
2
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DOI:10.12677/pm.2023.1361811780
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(
s
)
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s
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(
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(
s
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n
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1
(
s
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(
s
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−
1
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(
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(
s
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E
∗
ω
n
−
1
(
s
)+
e
(
s
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−
1
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3
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t
5
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Ú
n
2.3,BVP7
•
3
•
˜
š
²
…
)
.
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©
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Ø
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