ABSTRACT

In this paper, we focus our attention on the following near-explosive autoregressive process:. When and in the near-explosive case, the asymptotic distributions for the least squares estimator of can be obtained.

Keywords:Autoregressive Process, Least Squares Estimator, Near-Explosive

近爆炸性自回归序列中参数估计量的渐近性质

于明明，孟娇

南京航空航天大学，南京

Email: mengyilianmeng@163.com, zbmengjiao@sina.com

收稿日期：2014年10月13日；修回日期：2014年11月11日；录用日期：2014年11月20日

摘 要

本论文的目的是研究近爆炸性自回归序列中, 当，时参数最小二乘估计量的渐近分布。

关键词 :自回归序列，最小二乘法估计量，近爆炸

1. 介绍

本文我们讨论下面自回归序列:

. (1)

并且满足下列假设：

(1)，是未知参数，并且满足，，，其中且；

(2)是独立同分布随机变量，且，；

(3)。

为了估计未知参数，我们通过使的值达到最小得到的最小二乘估计为，。

首先，当是一个固定的常数且时，这种情况下的渐近分布已经被很多科研者证明出来，我们可以参考文献 [1] [2] ，情况再复杂一点，当也是一个固定的常数时，在 [3] 中，作者证出了的渐近正态性。其次，科研者们不再满足于研究固定时的情况，假设是一个可变的序列，，Chan

和Wei在 [4] 中证出了在时，渐近于一个布朗运动，当，在 [5] 中，作者给出

了的渐近分布。

最后，在这篇文章中我们来考虑，，时的渐近性质。我们有如下主要的结论：

定理1：当充分大时

，

这里表示依分布收敛，，其中。

2. 定理的证明

下面为了计算方便，对所有的，我们令

，，

，，

计，，，，这样我们得到

。

另外，定义一些新的序列

，，

，。

为了证明定理内容，我们引入下面引理

引理2.1：对于模型(1)，我们得到

以及，。

证明：由Phillips和Magdalinos [6] ，我们知，故对所有的，有

， (2)

通过简单的计算，我们可以得到

另外，通过公式(2)和，我们可以得到

以及。

引理2.2：当无穷大时，我们得到

，其中，

并且

证明：通过 [7] 中的推论5.5，我们只需要证明：对任意的非零向量，有

，对任意的，令，有。

一方面，因为是一个独立非同分布随机变量列，通过一些简单的计算可得到

其中

另一方面，因为当无穷大时，存在一个足够大的数，有

并且

对任意的，我们有

因为，故有，所以我们可以得到

即有，又因为的可积性及，所以有

，因此我们可以得到Lindeberg条件；

基于上面两方面的原因，我们可以得到这个引理的证明。

引理2.3：当无穷大时，我们可以得到

，，，以及

，。

证明：首先，我们通过Phillip和Magdalions在 [6] 中对公式(10)的证明以及引理2.1可以得到以及。

其次，通过引理2.1，引理2.2以及，我们可以得到

另外

易知：

(3)

(4)

又因为

故

(5)

同理可知：

(6)

结合(3) (4) (5) (6)得：

。

最后，易知。

引理2.4：当无穷大时，我们有。

证明：由[3] 中(A.14)和(A.23)式，令，得到

； (7)

又

， (8)

并且

，

因此根据(7)式我们可以得到，其中

由引理2.3得及，引理得证。

定理1的证明

由(7) (8)式得，，

其中。

由引理2.1和引理2.3得

(9)

又经过简单的计算得

， (10)

结合(9)(10)，定理得证。

致谢

本论文是在我与同学孟娇的合作中完成的。感谢导师给予我们的支持，感谢南京航空航天大学数学系的各位老师给予我们的指导和帮助，感谢各位文献作者的成果给予我们的借鉴。

文章引用

于明明,孟 娇, (2014) 近爆炸性自回归序列中参数估计量的渐近性质
Asymptotic Properties for the Parameter Estimator in the Near-Explosive Autoregressive Process. 理论数学,06,261-267. doi: 10.12677/PM.2014.46038

参考文献 (References)