Pure Mathematics
Vol.06 No.03(2016), Article ID:17522,6
pages
10.12677/PM.2016.63025
Induced Maps Preserving Multiplicative Matrices over Fields
Jun Zhang, Chongguang Cao
Heilongjiang University, Harbin Heilongjiang
Received: Apr. 25th, 2016; accepted: May 9th, 2016; published: May 12th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
Let F be a field, 
be the set of all 
matrices over F. If a map 
is defined by
where 
is the set of functions on F, then f is called a map induced by 
on
. If 
implies
, then f is called preserving multiplicative matrices. In this paper, we characterize induced maps preserving multiplicative matrices over fields.
Keywords:Field, Preserving Multiplicative, Induced Map
域上矩阵保乘积的诱导映射
张隽，曹重光
黑龙江大学，黑龙江 哈尔滨
收稿日期：2016年4月25日；录用日期：2016年5月9日；发布日期：2016年5月12日
摘 要
令F是一个域，
是F上所有
对称矩阵的集合。如果一个映射
被定义如下，
。
其中，
是关于F的函数集，则称f是
的由
诱导的映射。如果对于
有
，则f被称为保矩阵乘积。本文我们刻画域上矩阵保乘积的诱导映射。
关键词 :域，保乘积，诱导映射
1. 引言
刻画矩阵集合保持某些性质的映射称为矩阵保持问题研究。近年来，这种研究更感兴趣于映射没有线性和加法假定的情形，例如 [1] - [5] 。本文研究的诱导映射，其实也是这类问题的一种，又如 [6] 及 [7] 。
设
是一个域，
记
上所有
阶对称矩阵的集合。设
是
到自身的映射，
是
上的函数，其中
。如果定义
则称
是由
诱导的映射。简称
的诱导映射。
在本文中令
是
到自身的诱导映射，如果
意味着
则称f保乘积。本文目的是刻画
的保乘积的诱导映射。
在本文中记
为单位矩阵，用
记
中所有非0元的集合，
表示
位置是1，其余位置是零的矩阵。记
。
容易证明，若
，则
当且仅当
。
2. 主要结果
在
的情况下，对于
为
的保乘积的诱导映射的充要条件，我们有如下的重要结果。
定理1.1. 设
为一个域，
为整数且
。
是
的诱导映射，则
保乘积当且仅当存在一个可逆对角阵
及
上的单自同态
使得
(1)
其中
。
证明：充分性显然，下证必要性。假设
且互不相等，令
，
易见
，由
保乘积知
，看
位置得
。 (2)
下面分两种情况讨论。
1) 对于任意不同的
及任意
均有
。由此情形条件可知
， (3)
。 (4)
令
，
，易见
得
，
看
位置且由(4)得
， (5)
易推出
。由
得到
得
或1，易得
， (6)
故由(2)得
， (7)
令
，易见
由
保乘积知
，看
位置得
，又由
可得
(8)
由
易见
看
位置得
， (9)
令
，由(7)可知，当
时，有
，
又对
有
，
因此有
， (10)
由
得
，又由(10)得
，
满足(10)。当
时，由
可推出
，
仍然满足(10)。总之(10)对所有情形成立。
令
，则由(7)计算可得
，则有
， (11)
再由
，易见
看
位置得
，由
和(9)可得
， (12)
从而有
， (13)
式意味着
，故
为
的单自同态。
令
，则
中，
时，有
，则
， (14)
由(9)得
，可推出
，
又由(14)可得
。
由(4)和(10)，设
，易见
，
注意到由(5)和(6)易得
，显然有
，这样结论1)被证明。
2) 若存在某
及某
使
，
令
，由
，看
和
位置得
， (15)
， (16)
令
，
由
，看
位置，得
， (17)
由(17)可得
即得
，又由(15)和(16)可得
。由(15)可得
，
由
可得
。由(16)可得，
，由
，得到
。同理，
。由(17)易得
，由
，可得
因此，推出
，证毕。
定理1.2. 令F为一个域，设
为一个由函数
导出的映射，满足
保乘积当且仅当存在一个可逆对角阵
的且
为
上的单自同态，那么有
。 (18)
证明：下面分两种情况讨论。
1) 对于任意不同的
及任意
均有
。
充分性显然，下证必要性。令
，易得
，看(1,2)位置且由(6)得到
， (19)
由(4)~(6)可得
， (20)
由(8)，令
，在(21)中，令
，得到
，
又由(20)得到
，故
， (21)
又由(12)可得
， (22)
又由(4)，因此得到
，令
，
显然有
且
。 (23)
2) 对于某
有
。
令
由
看(1,1)位置得
， (24)
看其(2,2)位置得
， (25)
由
可得
即
， (26)
令
，由
，看(1,1)位置，又由(4)得
， (27)
， (28)
又由(26)得
， (29)
综上所述，由(26)和(29)得到
。
文章引用
张 隽,曹重光. 域上矩阵保乘积的诱导映射
Induced Maps Preserving Multiplicative Matrices over Fields[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 166-171. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63025
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