﻿ 尤拉方程的两个自由边界问题的相容性 The Compatibility of Two Free Boundary Problem of Euler Equation

Pure Mathematics
Vol.06 No.04(2016), Article ID:18152,19 pages
10.12677/PM.2016.64050

The Compatibility of Two Free Boundary Problem of Euler Equation

Xiaoqing Wu

College of Science, Southwest Petroleum University, Chengdu Sichuan

Received: Jul. 9th, 2016; accepted: Jul. 26th, 2016; published: Jul. 29th, 2016

ABSTRACT

In this paper, we model the free boundary problem of the Perpetual American Option as boundary value problem with multiple (or single) singular points in the semi infinite domain, and introduce the generalized characteristic function method to be able to obtain the exact solution of the mathematical model of multiple singular point. In the single singular point case, our solution function takes the maximum value at the singular point. We deduce the consistency condition of the left and right free boundary problem. Under the compatibility condition, the three points, the left and right free boundary points and singular point are the same, so that they all are the optimal implementation point of the Perpetual American Option. In the case of multiple singular points, the conditional judgment of the left and right free boundary points to be the optimal or nearly optimal implementation point is obtained.

Keywords:Permanent American Option, Optimal Exercise Boundary, Free Boundary Problem, Singular Point, Generalized Characteristic Function Method

1. 引言

2. 主要结果

2.1. 两个奇异点的数学模型

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

1) 当时，奇异点不是最佳实施点；

2) 当时，奇异点不是最佳实施点；

3) 当时，奇异点不是最佳实施点；当，奇异点不是最佳实施点。

(15)

1) 当且仅当，有

(16)

2) 当且仅当，有

(17)

3) 当且仅当，有

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(19)

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1) 当

(26)

2) 当

(27)

(28)

1) 当

(29)

2) 当

(30)

1) 当且仅当，有

(31)

2) 当且仅当，有

(32)

3) 当且仅当，有

(33)

，且

1) 当且仅当，有

2) 当且仅当，有；若，则，有；若，则，有

3)当且仅当，有

1) 当时，左自由边界点比右自由边界点优。

2) 当时，右自由边界点比左自由边界点优。

1) 若，左自由边界点和右自由边界点皆不是该连续开拓的最佳实施点；当，或时，左自由边界点是该连续开拓的较佳实施点；当，或时，右自由边界点是该连续开拓的较佳实施点。

2) 若，当，或时，左自由边界点是该连续开拓的最佳实施点；当，或时，右自由边界点是该连续开拓的最佳实施点。

2.2. 单个奇异点的数学模型

(34)

, (35)

(36)

(37)

(38)

(39)

1) 当时，有

(40)

2) 当时，有

(41)

1) 当时，

2) 当时，

2.3. 求解多个奇异点的数学模型的特征函数法

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(73)

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1)

，有

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(79)

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2)

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3. 结论

I简单期权价格曲线的情形，即期权价格曲线在区域内有且仅有一个奇异点的情形。问题3的研究得到期权价格函数依赖于的取值，不同的的取值得到不同的期权价格曲线，实际上我们得了简单期权价格曲线族。简单期权价格曲线的情形，由定理8 (三点合一定理)，左、右自由边界点与奇异点三点合一，左、右自由边界点与弱间断点都是永久美式期权最佳实施边界点。奇异点的判定：期权价格函数在该点左、右导数由正变负，即。对期权价格曲线族而言，奇异点的取值可以很小，也可以很大，它分布在半无穷区间上。具体的期权价格曲线奇异点的确定依赖于该期权价格曲线的运行趋势，依赖于期权价格曲线在点的跳跃度。对于简单期权价格曲线而言，确定跳跃度的取值是计祘永久美式期权最佳实施边界点的一条途径。

II复杂期权价格曲线的情形，即期权价格函数曲线在区域内具有多个奇异点的情形，左自由边界问题的自由边界为最小的奇异点，右自由边界问题的自由边界为最大的奇异点。当时，左自由边界点比右自由边界点优，较佳实施边界点为；当时，右自由边界点比左自由边界点优，较佳实施边界点为。即在不同情况下，由定理4 (自由边界点与最佳实施点关系定理)即知，考虑左、右两自由边界问题，一般不能断定自由边界是否是永久美式期权最佳实施边界点。在复杂多变的情况下，一般不能用左、右两自由边界问题所得到的自由边界点的计祘结果去断定其为永久美式期权最佳实施边界点。单独考虑左或右自由边界问题所得到的自由边界点的计祘结果皆有可能与真实情况的最佳实施边界点相差很远。

The Compatibility of Two Free Boundary Problem of Euler Equation[J]. 理论数学, 2016, 06(04): 342-360. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.64050

1. 1. 姜礼尚, 著 期权定价的数学模型和方法[M]. 第二版. 北京: 高等教育出版社, 2008.

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4. 4. 吴小庆. 尤拉方程在半无界区域的边值问题的基本解[J]. 理论数学, 2016, 6(3): 243-254.

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