ABSTRACT

There are important internal connections between groups and combinatorial designs, which reflected by the flag-transitivity, point-primitivity or other properties of the automorphism groups. Let $\mathcal{D}$ be non-trivial 2-designs with $\lambda \le 10$ . Assume that $G=Sz\left(q\right)$ is a flag-transitive point-primitive automorphism group of $\mathcal{D}$ . Then $\mathcal{D}$ is a 2-(65, 8, 7) design and $G=Sz\left(8\right)$ .

Keywords:2-Design, Flag-Transitive, Suzuki Group

Suzuki群与旗传递点本原 $2-\left(v,k,\lambda \right)$ 设计

王雨洁

华南理工大学数学学院，广东 广州

收稿日期：2019年2月20日；录用日期：2019年3月6日；发布日期：2019年3月13日

摘 要

群论与组合设计有着紧密的内在关系，主要通过设计的自同构群的旗传递性、点本原性等性质来体现。本文研究 $\mathcal{D}$ 是一个非平凡的 $2-\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，其中 $\lambda \le 10$ 。若 $G\le Aut\left(D\right)$ 是旗传递、点本原的群，且 $G=Sz\left(q\right)$，则 $\mathcal{D}$ 是一个2-(65, 8, 7)设计，且 $G=Sz\left(8\right)$ 。

关键词 :2-设计，旗传递，Suzuki群

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1. 引言

1.1. 研究背景

设 $t,v,k,\lambda$ 为正整数，满足 $t<k<\lambda$ 。一个设计 $t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 或t-设计 $\mathcal{D}$ 定义为符合以下条件的一对符号 $\left(\mathcal{P},\mathcal{B}\right)$，满足：

1) $\mathcal{P}$ 是有v个点的有限集， $\mathcal{P}$ 的元素为点；

2) $\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{P}$ 的一组k-子集， $\mathcal{B}$ 的元素称为区组或区；

3) $\mathcal{P}$ 的任意给定的t-子集都恰好包含在 $\mathcal{B}$ 的 $\lambda$ 个区组之中。

这里r是过一个点的区的个数，b是区组的总数。我们总假设B的成员都不相同，即B中的区组不允许重复出现，称 $\left(v,b,r,k,\lambda \right)$ 为设计D的参数。当 $t<k<v-1$ 时，称t-设计 $\mathcal{P}$ 是非平凡的。

设计 $D=\left(\mathcal{P},\mathcal{B}\right)$ 的一个旗是指点–区对 $\left(\alpha ,B\right)$，这里 $\alpha \in P$， $B\in \mathcal{B}$ 且 $\alpha \in B$ 。 $G\le Aut\left(D\right)$，若G在 $\mathcal{P}$ 上的作用是本原的，称G是点本原的。若G在 $\mathcal{D}$ 的旗的集合上是传递的，称G或者 $\mathcal{D}$ 是旗传递的。

1988年，P. H. Zieschang [1] 已经证明若G是一个旗传递 $2\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计的自同构群且 $\left(r,\lambda \right)=1$，T是G的一个极小正规子群那么T是仿射型或者几乎单型。Regueiro [2] 证明了当 $\lambda \le 3$ 时，G是仿射型或者几乎单型。当 $\lambda \le 4$ 时 [3] [4] ，可以得到相同的结果。2013年周胜林和田德路 [5] 证明了若G旗传递、点本原作用在 $\mathcal{D}$ 上且 $\lambda \le 100$，则G是仿射型或者几乎单型。最近梁洪雪和周胜林 [6] 分析了 $\mathcal{D}$ 是非对称的情况，并证明了一个旗传递、点本原、非对称 $2\text{-}\left(v,k,2\right)$ 设计的自同构群是仿射型或者几乎单型。

本文研究了旗传递、点本原 $2\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计当 $\lambda \le 10$ 且自同构群G为Suzuki群时的情况，得到如下结果：

设D是一个非平凡的 $2\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，其中 $\lambda \le 10$，若 $G=Sz\left(q\right)$ 是D的旗传递、点本原的自同构群。则D是一个 $2\text{-}\left(65,8,7\right)$ 设计，且。

1.2. 预备知识

引理1： [7] 若是一个设计。则下面式子成立：

1)；

2)；

3)。

引理2： [8] 设是一个设计，，对任意的和，则G在上旗传递等价于下列的条件之一：

1) G是点–传递的，并且在P(x)上传递；

2) G是区–传递的，并且在B上传递。

引理2： [8] 设是一个设计且是旗传递的，则，其中。

引理4： [9] 设，e是一个正整数，则，。

证明：，得到。由，得到。

，得到。

2. 定理1的证明

设是一个满足的设计，是旗传递、点本原的群，且。，其中。G的极大子群的阶有4种情况，分别是、、和。其中并且。现在我们来讨论点稳定子群的阶在4种情况下，设计是否存在。

引理5：是一个满足的设计，是旗传递、点本原的群，且。若，则D是一个设计，且。

证明：，则

由于G是旗传递的，并且，可以得到

由于，则必存在G的一个极大子群L，使得。

首先假设，则，因此。

由于G旗传递，可以得到。而。故。

若，则，其中i是自然数，由可以得出k = 2与非平凡矛盾。

若，则，得出或者。否则，则且，此时可以得到且，即，故。而，因此可以得到，i是自然数且，j是自然数。又，可以得到，即，与D非平凡矛盾。故而或者。

若，则，其中i是自然数，，由于，得出i = 0，k = 3。即，得出，又，得出。与引理4矛盾。

若，则，其中j是自然数，，由于，得出j = 0，k = 4。已知G在v个点上是2-传递的 [10] ，则

因此。记Q是包含一些区的集合，且Q里的区均包含和。则。

现在证明存在，使得。否则不固定Q中任一个区，则在Q上传递，且。又。与引理4矛盾。所以一定存在，使得。

已知半正则作用于 [10] ，则，任取。故，得出，则。与k = 4矛盾。

若，则，得出或者。否则，则且，此时可以得到且，即，故。而，因此可以得到，i是自然数且，j是自然数。又，可以得到，即，与D非平凡矛盾。故而或者。

若，则，其中j是自然数，，由于，得出i = 0，k = 6，与矛盾。

若，则，其中i是自然数，，由于，得出i = 0，k = 5。即，得出，又，得出。与引理4矛盾。

若，则，得出或者。否则，则且，此时可以得到且，即，故。而，因此可以得到，i是自然数且，j是自然数。又，可以得到，即，与D非平凡矛盾。故而或者。

若，则，其中i是自然数，，由于，得出i = 0,，k = 3。即，得出，又，得出。与引理4矛盾。

若，则仿照证明的方法可得k = 4，此时。

现在证明存在，使得。否则不固定Q中任一个区。此时的轨道长度可能为2，3，4，6，都不能整除，得出矛盾。所以一定存在，使得。

已知半正则作用于，则，任取。故，得出，则。与k = 4矛盾。

若，则，得出或者。否则，则且，此时可以得到且，即，故。而，因此可以得到，i是自然数且，j是自然数。又，可以得到，即，与D非平凡矛盾。故而或者。

若，则，其中i = 1，2，j是自然数，，由于，得出i = 0，k = 3。，若k = 3，则，得出，又，得出。与引理4矛盾。若k = 9，则，得出，又，得出。与引理4矛盾。

若，则仿照证明的方法可得k = 4。即，得出，又，得出。与引理4矛盾。

若，则，得出或者。否则，则且，此时可以得到且，即，故。而，因此可以得到，i是自然数且，j是自然数。又，可以得到，即，与D非平凡矛盾。故而或者。

若，则，其中j是自然数，，由于，得出i = 0，k = 6，与矛盾。

若，则，其中i是自然数，，由于，得出i = 0，k = 5。即，得出，又，得出。与引理4矛盾。

若，则，得出或者。否则，则且，此时可以得到且，即，故。而，因此可以得到，i是自然数且，j是自然数。又，可以得到，即，与D非平凡矛盾。故而或者。

若，则k = 7，显然。得出矛盾。

若，则k = 8。当q = 8时，v = 65，r = 64，b = 520。接下来利用Magma [11] 验证存在参数组为(56, 65, 520, 64, 8, 7)的设计。

利用指令Primitive Group (65, 3)可返回本原群库中作用在65个点上排在第3个位置的本原群，即Sz(q)。

由于G是旗传递的，则，故必存在指数为b的子群。利用指令Subgroups (G: Order Equal: = n)，其中，可得到G的指数为b的子群，符合条件的子群又1个，即为。

由于在B上是点传递的，则，则中至少存在一个长度为k的轨道。利用指令可知有1个长度为k即8的轨道，记这个轨道为

。

由于G在上是区传递的，对于必有。利用指令可知轨道O符合条件。利用指令，返回(65, 8, 7)。可知参数组(56, 65, 520, 64, 8, 7)是我们要找的符合条件的参数。

其次，设。则，可以得到

当且时，，可得

此时，因此，可得，故q = 8，32。当q = 8时，。当q = 32时，。存在矛盾。

当时，若，则可得出矛盾。若，则，此时，因此，可得，得到q = 8，32，512，在这三种情况下均可得到，得出矛盾。

第三，设，则可以得到。

当且时，，可得。此时，因此，可得，不存在正解，得出矛盾。

当时，若，则可得出矛盾。若，则，不存在正解，得出矛盾。

最后，设。则可以得到。

当且时，，可得。此时，故。又，得到，推出m = 3。事实上，得出矛盾。

当时，若，则可得出矛盾。若，则。又，得到，事实上得到，推出m = 3。但是，得出矛盾。

引理6：是一个满足的设计，是旗传递、点本原的群，且。则。

证明：假设存在点稳定子群使得，已知，即。又则。。则。即，得出。故q = 8，32。

当时，即。

若，则，故r = 13，26。已知，可以算出b不是整数，得出矛盾。

若，则，故r = 13，39。若r = 39，可以算出b不是整数。若r = 13，则。而G的极大子群的阶只能为448，52或20。并且G是旗传递的，与矛盾。

若，则，故r = 13，26，52。若r = 13，26，可以算出b不是整数。若r = 52，可以算出k不是整数，得出矛盾。

若，则，故r = 13，65。若r = 65，可以算出b不是整数。若r = 13，则。由在B上传递可知，但是。得出矛盾。

若，则，故r = 13，26，39，78。若r = 13，26，78，可以算出b不是整数。若r = 39，则不是整数，矛盾。

若，则，故r = 13，91。可以算出b不是整数，得出矛盾。

若，则，故r = 13，26，52，104。可以算出b不是整数，得出矛盾。

若，则，故r = 13，39，117。可以算出b不是整数，得出矛盾。

若，则，故r = 13，26，65，130。可以算出b不是整数，得出矛盾。

当时，，即。

通过计算可得，当时，b均不是整数，得出矛盾。

引理7：是一个满足的设计，是旗传递、点本原的群，且。则。

证明：假设存在点稳定子群使得，已知，即。仿照上一引理可得

。

故，由，可以得到，与矛盾。

引理8：是一个满足的设计，是旗传递、点本原的群，且。则。

证明：假设存在点稳定子群使得，则

由得出。则。

，又。可知。即。可以得到，从而，得出矛盾。

定理1的证明：利用引理5~引理8可以得到定理1。

致谢

本论文在写作过程中与张志林博士和张永莉博士进行了有益的讨论，在此表示感谢！论文还得到了广东省自然科学基金的资助。

基金项目

广东省自然科学基金(编号：2017A030313001)。

文章引用

王雨洁. Suzuki群与旗传递点本原2-（ν，Κ，λ）设计
Suzuki Group and Flag-Transitive Point-Primitive 2-（ν，Κ，λ）Designs[J]. 理论数学, 2019, 09(02): 174-181. https://doi.org/10.12677/PM.2019.92022

参考文献