ABSTRACT

The dynamical structure of affine map $T_{A,b}\left(X\right)=AX+b$ on $Q_p\times Q_p$ is described in this paper. We mainly discuss minimal sets and orbit closure.

Keywords:Minimal Decomposition, Affine Map, Non-Archimedean Field

$Q_p\times Q_p$ 上仿射映射的动力学性质

肖云鹏

上海大学理学院数学系，上海

收稿日期：2019年5月31日；录用日期：2019年6月10日；发布日期：2019年6月26日

摘 要

本文研究了仿射映射 $T_{A,b}\left(X\right)=AX+b$ 在二维非阿基米德空间 $Q_p\times Q_p$ 上仿射动力学的性质。主要包括对于不同类型的A，该动力系统的极小集，轨迹闭包等。

关键词 :极小分解，仿射映射，非阿基米德域

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1. 引言

记 $p\ge 2$ 是一个素数， $Q_p$ 是p-adic数域且 $Z_p$ 是p-adic整数环。 $Q_p$ 中任意点x可以表示为 ${\displaystyle {\sum }_{i\ge m}{p}^i{u}_i}$，其中 $u_i\in F=\left\{0,1,2,\cdots ,p-1\right\}$，$m\in Z$ 且 $u_m\in F^{*}=\left\{1,2,\cdots p-1\right\}$。非零元素x的赋值为 $v_p\left(x\right)=m$。 $x\ne 0$ 的绝对赋值是 ${\left|x\right|}_p=p^{-v_p\left(x\right)}$ 且若 $x=0$，设 ${\left|x\right|}_p=0$。赋予了绝对值 ${\left|\cdot \right|}_p$ 的 $Q_p$ 是一个非阿基米德空间。

Oselies和Zieschang在1975年在 $Z_p$ 上研究了仿射动力系统，具体地，他们研究形如 $M_a\left(x\right)=ax$ (其中 $$ )的映射在 $Z_p^{*}$ 动力学性质 [1] 。2006年，Fan，Li，Yao和Zhou对p-adic整数系数仿射映射 $f=\alpha x+\beta$，(其中 $\alpha ,\beta ,x\in Z_p$ )在 $Z_p$ 上的极小分解与唯一遍历性进行了研究并发表了文章 [2] 。2011年，Fan和Fares研究了系数在 $Q_p$ 上的仿射映射的遍历性分解 [3] 。2011年，Fan和Liao研究了p-adic多项式动力系统的极小分解 [4] 。2014年，Fan，Liao和Wang发表了关于p-adic分式变换的动力系统的极小分解的研究成果 [5] 。

我们在本文中讨论二维的仿射映射

$T_{A,b}\left(X\right)=AX+b$ (1.1)

在 $Q_p\times Q_p$ 上的动力学性质，其中 $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$，$b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)$，$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$ 且所有的元素都在 $Q_p$ 中。

令 $m>1\in Z^{*},n\in Z$ 对于二次同余式

$x^2\equiv n\mathrm{mod}m,\left(n,m\right)=1$ (1.2)

若式(1.2)有解，则称n为模m的二次剩余；若无解，则称n为模m的二次非剩余。

设 $M,N$ 都是2阶方阵，若存在2阶可逆矩阵P，使得 $P^{-1}MP=N$，则称M与N相似，P称为相似变换阵。

令 $\Delta ={\left(a_{11}-a_{22}\right)}^2+4a_{12}{a}_{21}$，则

1) 如果 $\Delta \ne 0$ 是模p的二次剩余，那么A与 $\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$ 相似。

2) 如果 $\Delta =0$，那么A与 $\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$ 相似，其中 $v_p\left(\lambda \right)=0$。

3) 如果 $\Delta$ 是模p的二次非剩余。

注：本文研究情况1)和2)中 ${\left|\lambda \right|}_p\ne 1$ 或 ${\left|\lambda \right|}_p=1$ 的情况。

对应于式子(1.1)中不同类型的A，根据上述中1) 2)，我们得到与 $T_{A,b}$ 共轭的仿射映射，分别是：

类型1 $T_{B,b^{\prime }}\left(x\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right)$，其中 ${\beta }_1,{\beta }_2\in Q_p$。

类型2 $T_{B,b^{\prime }}\left(x\right)=\left(\begin{array}{cc}\lambda & \text{1}\\ 0& \lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right)$，其中 ${\beta }_1,{\beta }_2\in Q_p$。

我们得出以下结果：

定理1. 针对类型1中仿射映射 $T_{B,b^{\prime }}\left(X\right)$，动力系统 $\left(Q_p\times Q_p,T_{B,b^{\prime }}\left(X\right)\right)$ 分解成：

$Q_p\times Q_p=P\cup M\cup H$ ,

其中P代表 $$ 的吸引域， $M={\displaystyle {\cup }_i{M}_i}$ 是所有(至少可数多个)闭开集 $M_i$ 的并，其中 $M_i$ 是有限个圆盘的并而且子系统 $T_{B,b^{\prime }}:M_i\to M_i$ 是极小的。H中的点最终会落在P与M中。

具体分解如下：

1) 如果 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1$，则有 $D_{v_p\left({\beta }_1\right)}\left(0\right)\times D_{v_p\left({\beta }_2\right)}\left(0\right)$ 包含于M。根据 $r_i<v_p\left({\beta }_i\right)$ 时， $S_{r_i}\left(0\right)$ 由 $p^{v_p\left({\beta }_i\right)-r-1}\left(p-1\right)\left(i=1,2\right)$ 个极小集组成。此时 $Q_p\times Q_p$ 包含于M， $P=H=\varnothing$。

2) 如果 ${\left|{\lambda }_1\right|}_p>1$，${\left|{\lambda }_2\right|}_p>1$，$P=\left\{\infty \right\}\times \left\{\infty \right\}\cup \left\{\frac{{\beta }_1}{1-{\lambda }_1}\right\}\times \left\{\frac{{\beta }_2}{1-{\lambda }_2}\right\}\cup \left\{\frac{{\beta }_1}{1-{\lambda }_1}\right\}\times \left\{\infty \right\}\cup \left\{\infty \right\}\times \left\{\frac{{\beta }_{\text{2}}}{\text{1}-{\lambda }_{\text{2}}}\right\}$，$M=\varnothing$，$H=Q_p\times Q_p\backslash \left\{\left\{\infty \right\}\times \left\{\infty \right\}\cup \left\{\frac{{\beta }_1}{1-{\lambda }_1}\right\}\times \left\{\frac{{\beta }_2}{1-{\lambda }_2}\right\}\cup \left\{\frac{{\beta }_1}{1-{\lambda }_1}\right\}\times \left\{\infty \right\}\right\}$。

3) 当 ${\left|{\lambda }_1\right|}_p<1$，${\left|{\lambda }_2\right|}_p<1$，则 $P=\left\{\frac{{\beta }_1}{1-{\lambda }_1}\right\}\times \left\{\frac{{\beta }_2}{1-{\lambda }_2}\right\}$，$M=\varnothing$，$H=Q_p\times Q_p\backslash \left\{\frac{{\beta }_1}{1-{\lambda }_1}\right\}\times \left\{\frac{{\beta }_2}{1-{\lambda }_2}\right\}$。

4) 若 ${\lambda }_1,{\lambda }_2\ne 1$，且存在 $d_i\ge 2$ 使得 $$。则对于任意的 $X\in Q_p\times Q_p$，$T_{B,b^{\prime }}^n\left(X\right)$ 是 $\left[d_1,d_2\right]$ -周期的( $\left[d_1,d_2\right]$ 代表 $d_1$ 与 $d_{\text{2}}$ 的最小公倍数)。此时 $P=Q_p\times Q_p$，$M=H=\varnothing$。

5) 如果 ${\left|{\lambda }_1\right|}_p=1$，${\left|{\lambda }_2\right|}_p=1$，且 ${\lambda }_i\notin V$，则对于 $r_i\in Z$，$S_{r_i}\left(\frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i}\right)$ 由 $\frac{p^{v_0\left({\lambda }_i\right)}\left(p-1\right)}{{\delta }_i}$ 个极小集组成，其中 ${\delta }_i$ 是 ${\lambda }_i$ 在群 ${\left(Z_p/p^{v_0\left({\lambda }_i\right)}{Z}_p\right)}^{*}\left(i=1,2\right)$ 的阶。此时 $S_{r_i}\left(\frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i}\right)\times S_{r_i}\left(\frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i}\right)$ 包含在M中。所以 $M\in Q_p\times Q_p$，$P=H=\varnothing$。

对于类型2中仿射映射 $T_{B,b^{\prime }}$，其在 $Q_p\times Q_p$ 上的一些动力学性质如下结果给出。

定理2. 如果 $\lambda =\text{1}$，则 $T_{B,b^{\prime }}\left(x\right)=\left(\begin{array}{cc}\lambda & \text{1}\\ 0& \lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right)$ 以初始点为 $\left\{x_1\right\}\times \left\{x_2\right\}$ 在 $Q_p\times Q_p$ 中轨迹有以下性质：

1) 当 $p>2$ 且p是素数时，

a) 如果 ${\beta }_{\text{2}}=\text{0}$，$\stackrel{¯}{\left\{T_{B^{\prime },b^{\prime }}^n:n\ge 0\right\}}=\left\{x_1+p^{v_p\left(x_2\right)}{Z}_p\right\}\times \left\{x_2\right\}$。

b) 如果 $v_p\left({\beta }_2\right)=s\ne 0$，且 $\frac{{\beta }_2}{2}=p^{s}u$，其中 $u\in Z_p^{*}$，则当 $v_p\left(x_2\right)\ge s$，$\stackrel{¯}{\left\{T_{B^{\prime },b^{\prime }}^n:n\ge 0\right\}}=\left\{D^{″}\right\}\times \left\{D\right\}$，其中 $D={\displaystyle {\cup }_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}{\displaystyle {\cup }_{i=0}^{\infty }{p}^{2i}\left(a_j+p{Z}_p\right)}}$，$D^{″}=x_1-\frac{{\left(2x_2-{\beta }_2\right)}^2}{8{\beta }_2}-{\displaystyle {\cup }_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}u\cdot {D^{\prime }}_j}$，

${D^{\prime }}_j={\displaystyle {\cup }_{i=0}^{\infty }{p}^{2i+s}\left(b_j+p{Z}_p\right)}$ 且 $a_j$ 、 $b_j$ 是模p的二次剩余。

2) 当 $p=2$ 时，

a) 如果 ${\beta }_{\text{2}}=\text{0}$，$\stackrel{¯}{\left\{T_{B^{\prime },b^{\prime }}^n:n\ge 0\right\}}=\left\{x_1+p^{v_p\left(x_2\right)}{Z}_p\right\}\times \left\{x_2\right\}$。

b) 如果 ${\beta }_{\text{2}}\ne \text{0}$，令 $v_2\left({\beta }_2\right)=t$ 且 $\frac{{\beta }_2}{2}=2^{t-1}w$，其中 $w\in Z_2^{*}$，我们得到当 $v_2\left(x_2\right)=t-1$ 且 $v_2\left(2x_2-{\beta }_2\right)\ge 0$，$\stackrel{¯}{\left\{T_{B^{\prime },b^{\prime }}^n:n\ge 0\right\}}=\left\{D^{″}\right\}\times \left\{D_{v_2\left({\beta }_2\right)}\right\}$，其中 $D^{″}=x_1-\frac{{\left(2x_2-{\beta }_2\right)}^2}{8{\beta }_2}-wD$ 且 $D={\displaystyle {\cup }_{i=0}^{\infty }\left(2^{2i+t}\left(1+8Z_2\right)\right)}$。

定理2的结论有助于得到系统极小分解的相关内容。

2. 预备知识

我们首先介绍有关p-adic数域 $Q_p$ 的一些基本性质以及本文所需的一些基本概念。

$Q_p=\left\{{\displaystyle \underset{n\ge v_p\left(x\right)}{\sum }{x}_n{p}^n:x_n\in \left\{0,1,2,\cdots ,p-1\right\},n\ge v_p\left(x\right)}\right\}$ .

记 $Z_p$ 为N关于 ${\left|\cdot \right|}_p$ 的闭包，则 $Z_p=\left\{{\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{x}_n{p}^n:0\le x_n<p}\right\}=\left\{x\in Q_p:{\left|x\right|}_p\le 1\right\}$。

$Z_p$ 是个局部环。对任意 $x\in Q_p$ 可以分解为 $x=p^n\cdot u$，其中 $n\in Z,u\in Z_p^{*}$。

令X是紧度量空间，且 $T:X\to X$ 是一个连续映射。对于任意的 $x\in X$，我们称 $\left\{T^{n}x:n\ge 0\right\}$ 为x在T下的轨迹。其闭包表示为 $\overline{\left\{T^{n}x:n\ge 0\right\}}$。如果对于所有的 $x\in X$，都有 $X=\overline{\left\{T^{n}x:n\ge 0\right\}}$，则称系统 $\left(X,T\right)$ 是极小的。

对于 $x\in Q_p$ 和 $r\in Z$，我们令

$D_r\left(x\right)=\left\{y\in Q_p:v_p\left(y-x\right)\ge r\right\}$ ;

$S_r\left(x\right)=\left\{y\in Q_p:v\left(y-x\right)=r\right\}$ ;

$V=\left\{x\in Q_p:x^{p-1}=1\right\}$ .

设 $p\ne 3$ 时， $s_p=1$ ； $p=2$ 时， $s_p=2$。对于在 $Z_p$ 中的单位a，令

$\delta =\delta \left(a\right)=\inf \left\{n\ge 1,v_p\left(a^n-1\right)\ge s_p\right\}$ ;

$v_0=v_0\left(a\right)=v_p\left(a^{\delta }-1\right)$ .

引理1 [3] . 令 $\phi \left(x\right)=x+b\left(b\ne 0\right)$ 是在 $Q_p$ 上的平移变换。则有

1) 圆盘 $D_{v_p\left(b\right)}\left(0\right)$ 是极小的。

2) 对于任意的整数 $r<v_p\left(b\right)$，圆周 $S_r\left(0\right)$ 包含 $p^{v\left(b\right)-r-1}\left(p-1\right)$ 个极小集。

引理2 [3] . 考虑在 $Q_p$ 上的仿射映射 $\phi \left(x\right)=ax+b$。假设 $v_p\left(a\right)=0$ 且a不是单位元的根.令 $x_0$ 是 $\phi \left(x\right)$ 的唯一不动点。

1) 对于 $x,y\in Q_p$，我们有 $\overline{O\left(x\right)}=\overline{O\left(y\right)}$ 当且仅当 $v_p\left(y-x_0\right)=v_p\left(x-x_0\right)$ 且 $\frac{y-x_0}{x-x_0}$ 是在由a生成的 ${\left(Z/p^{v_0}\right)}^{*}$ 的子群中。

2) 对于 $r\in Z$，球体 $S_r\left(x_0\right)$ 包含 $\frac{p^{v_0}\left(p-1\right)}{\delta }$ 个极小集，其中 $\delta$ 是a在群 ${\left(Z_p/p^{v_0}{Z}_p\right)}^{*}$ 的阶。

引理3 [4] . 令 $F\left(x\right)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\cdots +c_n{x}^n$ 是一个系数是p-adic整数的多项式。令 $F^{\prime }\left(x\right)=c_1+2c_{2}x+\cdots +n{c}_n{x}^{n-1}$ 是 $F\left(x\right)$ 的导函数。假设 ${\bar{a}}_0$ 是满足 $F\left({\bar{a}}_0\right)\equiv 0\left(\mathrm{mod}p\right)$ 和 $F^{\prime }\left({\bar{a}}_0\right)\cancel{\equiv }0\left(\mathrm{mod}p\right)$ 的p-adic整数。

引理4 [6] . 一个不被p整除的整数a在 $Z_p\left(p\ne 2\right)$ 有平方根当且仅当a是模p的二次剩余。

引理5. 对于素数 $p\ge 3$，可得 $\overline{\left\{n^2:n\ge 0\right\}}={\displaystyle {\cup }_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}{D}_j}$，其中 $D_j={\displaystyle {\cup }_{i=0}^{\infty }{p}^{2i}\left(a_j+p{Z}_p\right)}$ 且 $a_j$ 是模p的二次剩余。

证明：考虑二次多项式 $P\left(x\right)=x^2-a=0$，其中a是一个p-adic整数。上述 $P\left(x\right)=0$ 在 $Z_p$ 上有根仅当 $v_p\left(a\right)=v_p\left(x^2\right)=2v_p\left(x\right)$ 是偶数，设为2m，其中 $m\in Z$。进而 $v_p\left(\frac{a}{p^{2m}}\right)=0$，故不妨设 $v_p\left(a\right)=0$，我们知道在循环群 $F_p^{*}$ 中，平方将其分为秩为2的子群。假设 $a_1=1,a_2={\langle 2^2\rangle }_p,a_3={\langle 3^2\rangle }_p,\cdots ,a_{\frac{p-1}{2}}={\langle \frac{p-1}{2}\rangle }_p$ 是模p的二次剩余，其中 $a_i,i=1,2,3,\cdots ,\frac{p-1}{2}$ 是有理整数，根据引理4可得 $D_j={\displaystyle {\cup }_{i=0}^{\infty }{p}^{2i}\left(a_j+p{Z}_p\right)}$，$j=1,2,3,\cdots ,\frac{p-1}{2}$，在 $Z_p$ 上有二次根，结论得证。

引理6. 对于 $p=2$，有 $\overline{\left\{n^2:n\ge 0\right\}}={\displaystyle {\cup }_{i=1}^{\infty }\left(2^{2i}\left(1+8Z_2\right)\right)}$。

证明：由 [7] 可得 $a\in Z_2^{*}$ 是平方数当且仅当 $a\in 1+8Z_2$，由此可知若 $a\in Z_2^{*}\in \overline{\left\{n^2:n\ge 0\right\}}$，则 $a\in 1+8Z_2$。同时可知 $2^{2m}\left(1+8Z_2\right)\subset \overline{\left\{n^2:n\ge 0\right\}},m=1,2,3,\cdots$。相反的，每一个 $a\in 2^{2m}\left(1+8Z_2\right)$，$m=1,2,3,\cdots$，在 $Q_p$ 中有平方根。

引理7 [2] . 对于任意 $x\in Z_p$，有 $O_{T_{1,1}}\left(x\right)=x+N$ 在 $Z_p$ 中稠密。

3. 定理的证明

定理1的证明：

1) 我们有

$T_{B,b^{\prime }}\left(X\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1{x}_1+{\beta }_1\\ {\lambda }_2{x}_2+{\beta }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\delta }_1\left(X\right)\\ {\delta }_2\left(X\right)\end{array}\right)$ .

根据引理1， $D_{v_p\left({\beta }_1\right)}\left(0\right)\times D_{v_p\left({\beta }_2\right)}\left(0\right)$ 是极小集，因此包含于M。同时 $r_i<v_p\left({\beta }_i\right)$ 时， $S_{r_i}\left(0\right)$ 是由 $p^{v_p\left({\beta }_i\right)-r-1}\left(p-1\right)\left(i=1,2\right)$ 个极小集组成。因此 $S_{r_1}\left(0\right)\times S_{r_2}\left(0\right)$ 包含于M。故(1)成立。

2) ${\left|{\lambda }_1\right|}_p>1,{\left|{\lambda }_2\right|}_p>1$ 时，任意 $x\in Q_p\backslash \frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i}$，都有 ${\lim }_{n\to \infty }{\delta }_i^n\left(x\right)=\infty$，因此 $Q_p\backslash \frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i}$ 在 $\infty$ 的吸引域内，而 $\infty$ 和 $\frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i},i=1,2$ 是 ${\delta }_i\left(X\right)$ 的不动点，所以结论得证。

3) ${\left|{\lambda }_1\right|}_p<1,{\left|{\lambda }_2\right|}_p<1$ 时， $\frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i},i=1,2$ 时 ${\delta }_i\left(X\right)$ 的唯一不动点，当 $x\in Q_p\backslash \frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i}$ 时， ${\lim }_{n\to \infty }{\delta }_i^n\left(x\right)=\frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i},i=1,2$，所以任意 $x\in Q_p\backslash \frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i}$ 在 $\frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i}$ 的吸引域内，结论得证。

4) 若 ${\lambda }_1,{\lambda }_2\ne 1$，但存在 $d_i\ge 2$，使得 ${\lambda }_i^{d_i}=1\left(i=1,2\right)$，对于任意的 $x\in Q_p\backslash \frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i}$ 时， ${\delta }_i^n\left(x\right)$ 是 $d_i$ -周期的，因此 $X\in Q_p\times Q_p$，$T_{B,b^{\prime }}^n\left(X\right)$ 是 $\left[d_1,d_2\right]$ -周期的( $\left[d_1,d_2\right]$ 代表 $d_1$ 与 $d_{\text{2}}$ 的最小公倍数)，结论得证。

5) 如果 ${\left|{\lambda }_1\right|}_p=1,{\left|{\lambda }_2\right|}_p=1$ 且 ${\lambda }_i\notin V$，则由引理2知，对于 $r_i\in \text{Z}$，$S_{r_i}\left(\frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i}\right)$ 由 $\frac{p^{v_0\left({\lambda }_i\right)}\left(p-1\right)}{{\delta }_i}$ 个极小集组成，其中 ${\delta }_i$ 是 ${\lambda }_i$ 在群 ${\left(Z_p/p^{v_0\left({\lambda }_i\right)}{Z}_p\right)}^{*}\left(i=1,2\right)$ 的阶。此时 $S_{r_i}\left(\frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i}\right)\times S_{r_i}\left(\frac{{\beta }_i}{1-{\lambda }_i}\right)$ 包含在M中。结论得证。

为了证明2，我们需要以下两个引理。

引理8. 当p是素数且 $p>2$，$\frac{{\beta }_2}{2}=p^{s}u$，其中 $u\in Z_p^{*}$，$n\in N^{*}$。

$\stackrel{¯}{\left\{x_1-\frac{{\left(2x_2-{\beta }_2\right)}^2}{8{\beta }_2}+\frac{{\beta }_2}{2}{\left(n+\frac{2x_2-{\beta }_2}{2{\beta }_2}\right)}^2:n\ge 0\right\}}$

如下给出：

$v_p\left(x\right)\ge s$ , $\stackrel{¯}{\left\{x_1-\frac{{\left(2x_2-{\beta }_2\right)}^2}{8{\beta }_2}+\frac{{\beta }_2}{2}{\left(n+\frac{2x_2-{\beta }_2}{2{\beta }_2}\right)}^2:n\ge 0\right\}}=x_1-\frac{{\left(2x_2-{\beta }_2\right)}^2}{8{\beta }_2}+{\displaystyle {\cup }_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}u\cdot {B^{\prime }}_j}$ ,

其中 ${D^{\prime }}_j={\displaystyle {\cup }_{i=0}^{\infty }{p}^{2i+s}\left(a_j+p{Z}_p\right)}$ 且 $a_j$ 是模p的二次剩余。

证明： $v_p\left(x\right)\ge s$，则 $v_p\left(\frac{2x_2-{\beta }_2}{2{\beta }_2}\right)\ge 0$，$\stackrel{¯}{\left\{x_1-\frac{{\left(2x_2-{\beta }_2\right)}^2}{8{\beta }_2}+\frac{{\beta }_2}{2}{\left(n+\frac{2x_2-{\beta }_2}{2{\beta }_2}\right)}^2:n\ge 0\right\}}=\stackrel{¯}{\left\{x_1-\frac{{\left(2x_2-{\beta }_2\right)}^2}{8{\beta }_2}+\frac{{\beta }_2}{2}{n}^2:n\ge 0\right\}}$，因为由引理7知， $\stackrel{¯}{\left\{{\left(n+\frac{2x_2-{\beta }_2}{2{\beta }_2}\right)}^2:n\ge 0\right\}}=\overline{\left\{n^2:n\ge 0\right\}}$。设 $\frac{{\beta }_2}{2}=p^{s}u$，其中 $u\in Z_p^{*}$，则由引理5知， $\stackrel{¯}{\left\{\frac{{\beta }_2}{2}{\left(n+\frac{2x_2-{\beta }_2}{2{\beta }_2}\right)}^2:n\ge 0\right\}}={\displaystyle {\cup }_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}u\cdot {D^{\prime }}_j}$，其中 ${D^{\prime }}_j={\displaystyle {\cup }_{i=0}^{\infty }{p}^{2i+s}\left(a_j+p{Z}_p\right)}$ 且 $a_j$ 是模p的二次剩余。

引理9. 当 $p=2$ 且 $\frac{{\beta }_2}{2}=2^{t-1}w$，其中 $w\in {\text{Z}}_{\text{2}}^{\text{*}}$，我们得到当 $v_2\left(x_2\right)=t-1$ 且 $v_2\left(2x_2-{\beta }_2\right)\ge 1+t$，则

$\stackrel{¯}{\left\{x_1-\frac{{\left(2x_2-{\beta }_2\right)}^2}{8{\beta }_2}+\frac{{\beta }_2}{2}{\left(n+\frac{2x_2-{\beta }_2}{2{\beta }_2}\right)}^2:n\ge 0\right\}}=x_1-\frac{{\left(2x_2-{\beta }_2\right)}^2}{8{\beta }_2}+wD$ ,

其中 $D={\displaystyle {\cup }_{i=0}^{\infty }\left(2^{2i+t}\left(1+8Z_2\right)\right)}$。

证明：类似于引理8的证明。

定理2的证明：

当 $\lambda =\text{1}$ 时， $T_{B,b^{\prime }}\left(x\right)=\left(\begin{array}{cc}\text{1}& \text{1}\\ 0& \text{1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right)$。因为 $T_{\text{0},C}\circ T_{B^{\prime },b^{\prime }}\left(X\right)=T_{B^{\prime },b^{″}}\circ T_{0,C}\left(X\right)$，其中 $T_{0,C}=X+\left(\begin{array}{c}0\\ -{\beta }_2\end{array}\right)$，则 $T_{B,b^{\prime }}\left(x\right)$ 与 $T_{B,b^{″}}\left(x\right)=\left(\begin{array}{cc}\text{1}& \text{1}\\ 0& \text{1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{0}\\ {\beta }_2\end{array}\right)$ 共轭。

$T_{B^{\prime },b^{″}}^n\left(X\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+n{x}_2+\frac{\left(n-1\right)n}{2}{\beta }_2\\ x_2+n{\beta }_2\end{array}\right)$ .

首先，考虑 $x_1+n{x}_2+\frac{\left(n-1\right)n}{2}{\beta }_2$，则当 ${\beta }_{\text{2}}=\text{0}$ 和 $v_p\left(x_2\right)=s$ 时， $\overline{\left\{x_1+n{x}_2:n\ge 0\right\}}=x_1+p^s{Z}_p$，而当 ${\beta }_{\text{2}}\ne \text{0}$，上式变形为 $x_1-\frac{{\left(2x_2-{\beta }_2\right)}^2}{8{\beta }_2}+\frac{{\beta }_2}{2}{\left(n+\frac{2x_2-{\beta }_2}{2{\beta }_2}\right)}^2$，由引理8与引理9，结论得证。对 $x_2+n{\beta }_2$，当 ${\beta }_{\text{2}}=\text{0}$，$x_2+n{\beta }_2=x_2$。而当 ${\beta }_{\text{2}}\ne \text{0}$，根据引理1，结论得证。

文章引用

肖云鹏. Q_p×Q_p上仿射映射的动力学性质
On Dynamics of Affine Map on Q_p×Q_p[J]. 理论数学, 2019, 09(04): 533-539. https://doi.org/10.12677/PM.2019.94070

参考文献