Pure Mathematics
Vol.
10
No.
05
(
2020
), Article ID:
35561
,
5
pages
10.12677/PM.2020.105055
Linear n-Width of Infinite-Dimensional Sequence Space
Hanyue Xiao, Xiaohang He
School of Science, Xihua University, Chengdu Sichuan
Received: Apr. 17th, 2020; accepted: May 7th, 2020; published: May 14th, 2020
ABSTRACT
The linear n-width of infinite-dimensional sequence space is discussed in this paper, and its sharp asymptotic order is estimated.
Keywords:Infinite-Dimensional Sequence Space, Linear n-Width, Asymptotic Order
无穷维序列空间的线性n-宽度
肖寒月,贺小航
西华大学理学院,四川 成都
收稿日期:2020年4月17日;录用日期:2020年5月7日;发布日期:2020年5月14日
摘 要
本文讨论了无穷维序列空间的线性n-宽度,并估计其精确渐近阶。
关键词 :无穷维序列空间,线性n-宽度,渐近阶
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言及主要结果
自1936年,A.N. Kolmogorov提出宽度以来,重要的函数类空间的n-宽度都得到比较深入的研究 [1] - [7]。而其方法基本都是将函数空间的n-宽度问题,转化为序列空间的宽度问题。因此,研究序列空间的宽度问题,有比较重要的意义。本文研究无穷维序列空间的宽度问题。
用 表示赋予范数 的经典无序维实序列空间,其中 ,
众所周知, 空间界有以下性质:
1) 对 ,有 ,而 ;
2) 对 , 为 的Schauder基。其中, 表示第k个分量为1,其余分量为0的实序列。
对 ,,,令
对 ,记
易见, 为 上的范数, 为赋范线性空间,以下总把 简记为 ,用 表示 中的单位球。
对 ,由Hȍlder不等式知,当 时, 。本文讨论 在
中的线性n-宽度,为此介绍线性n-宽度的定义。
定义1 设 为赋范线性空间,A为X中非空子集, ,称
为A在X中的线性n-宽度,其中 取遍从X到X上的秩不超过n的所有有界线性算子。
关于线性n-宽度的性质,可参阅Pinkus专著 [8]。
本文主要讨论 在 中的线性n-宽度,并估计其精确阶,这也是本文的主要结果。
定理1 设 ,,,则
其中,“ ”定义如下: ,表示仅与参数p,q,r相关的正常数。若对于正函数 和 , (B是正函数 和 的定义域),存在正常数 ,使得对任意的,有 或者 ,则将其记为: 或者 。若存在正常数 ,使得对任意的 ,有 ,则记为: ,即对任意的 ,若 和 同时成立,则有 。
2. 主要结果的证明
为证定理1,首先介绍有限维空间的线性n-宽度的相关结论。
,用 表示在 上赋予通常范数 的Banach空间,其中
用 表示 中的单位球。
易见, 为 的基,其中 表示第k个分量为1,其余分量为0的向量。
有限维空间 的线性n-宽度有如下结果:
命理2 [8] 设 ,,则
下面,分别建立估计定理1上、下界的离散化空间。
对 ,令
则 。
引理3 设 ,,, 为非负整数序列,且 ,,则
证明:对 ,令
易见 为线性空间,且 。令
则 为 到 上的同构映射。
对 ,,则
(1)
(2)
从而
因此
引理3得证。
引理4 设 ,,,记。令 ,则
证明:易见 ,且由(1)、(2)可知
3. 定理1的证明
3.1. 定理1上界的证明
令 。对 ,令
则 ,由引理3及命理2知
3.2. 定理1下界的证明
令 与k为满足引理4的 与k,则由引理4和命题1知
综上所述,定理1得证。
文章引用
肖寒月,贺小航. 无穷维序列空间的线性n-宽度
Linear n-Width of Infinite-Dimensional Sequence Space[J]. 理论数学, 2020, 10(05): 458-462. https://doi.org/10.12677/PM.2020.105055
参考文献
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- 3. Tikhomirov, V.M. (1960) Diameters of Sets in Function Spaces and the Theory of Best Approximations. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 15, 81-120.
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