电子科技大学数学科学学院，四川 成都

收稿日期：2020年10月7日；录用日期：2020年10月22日；发布日期：2020年10月29日

摘要

讨论了可数个各类定向集乘积序的性质，得到了可数个弱定向集(拟定向集，定向集)的乘积也是弱定向(拟定向集，定向集)的这一结果。引入拟网与弱网接触点以及收敛的概念，由此探究了拟网与其拟子网(弱子网)之间的联系，对拟网与弱网收敛性进行了更为深刻的刻画，证明了拟网(弱网)关于紧空间的一个收敛结果；提出了严格拟定向集和严格弱定向集这一概念，在此基础上推广到严格拟网以及严格弱网，对各类型网与子网的关系进行了刻画。

关键词

乘集序，接触点，严格拟网，严格弱网

Some Explorations on the Weak and Proposed Networks and Their Subnets

Xuanyi Ding, Peiyong Zhu

School of Mathematical Science, University of Electronic Science and technology, Chengdu Sichuan

Received: Oct. 7^th, 2020; accepted: Oct. 22^nd, 2020; published: Oct. 29^th, 2020

ABSTRACT

This paper discusses the nature of the product sequence of several kinds of directional sets, and obtains the result that the product of several weak directional sets (proposed set, directional set) is also weakly oriented (proposed set, directional set). The concept of the contact point and convergence between the proposed net and the weak net is introduced, thus the connection between the proposed net and its proposed subnet (weak subnet) is explored, the convergence between the proposed net and the weak net is depicted more deeply, and the convergence result of the proposed net (weak net) is proved to be a convergence of tight space.

Keywords:Product Order, Contact Point, Strictly Quasi Net, Strictly Weak Network

Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言与预备知识

在文献 [1] 中提出了弱网与拟网的概念，并且系统地讨论了弱网与拟网的收敛性。除此之外，类比拓扑空间中子网的概念，引入了弱子网与拟子网的概念，对弱网与拟网与其各类型子网之间的收敛关系进行了简单刻画。在文献 [3] - [10] 中，网在拓扑空间中的收敛已经取得了一些成果；文献 [11] [12] [13] [14] [15] 中讨论了子网收敛。那么有关弱网与其各类型子网之间是否有更多的联系？收敛关系能否进行更深层的刻画？本文将就这些问题进行探究。

定义1 [1] 一个传递序集 $\left(S,\prec \right)$ 称为是一个弱定向集，如果 $\forall x,y\in S$，$\exists z\in S$，使得 $x\prec z$ 且 $y\prec z$ ；具有自反性的弱定向集称为拟定向集，即拟序集 $\left(S,\prec \right)$ 称为是一个拟定向集，如果 $\forall x,y\in S$，$\exists z\in S$，使得 $x\prec z$ 且 $y\prec z$。

定义2 [1] 设X是一个非空集合，称映射 $f:S\to X$ 是X上的一个弱网(或者拟网)，如果 $\left(S,\prec \right)$ 是一个弱定向集(或者拟定向集)。记为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$，其中： $x_{\delta }=f\left(\delta \right)$ ( $\forall \delta \in S$ )。

定义3 [1] 设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 和 ${\left\{y_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Delta }$ 为拓扑空间X中任何类型的两个网，若存在映射 $J:\Delta \to S$，使得 $\forall \alpha \in \Delta$，有 $y_{\alpha }=x_{J\left(\alpha \right)}$，并且满足下列两个条件：

$\left(S{N}_1\right)$ $\forall {\alpha }_1,{\alpha }_2\in \Delta$，若 ${\alpha }_1\prec {\alpha }_2$，则 $J\left({\alpha }_1\right)\prec J\left({\alpha }_2\right)$ ；

$\left(S{N}_2\right)$ $\forall \delta \in S,\exists \alpha \in \Delta$，使得 $\delta \prec J\left(\alpha \right)$。

根据 ${\left\{y_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Delta }$ 的类型，称 ${\left\{y_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Delta }$ 为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的子网、拟子网或弱子网。

定理1 [1] (1) 具有自反性的传递序集是拟序集；(2) 具有反称性的拟序集是偏序集。

定理2 [2] 设X为一拓扑空间， $A\subset X$，则 $x\in \bar{A}$ 当且仅当 $\forall U\in \mathcal{U}\left(x\right)$，$U\cap A=\varnothing$ ；其中 $\mathcal{U}\left(x\right)$ 是点x的邻域系， $\bar{A}$ 为A的闭包。

在本文中，如果没有特别申明，所涉及的其它符号、概念、定理都来自于文献 [2]。

2. 拟网(弱网)与其子网

定义4设 ${\left\{\left(X_i,{\prec }_i\right)\right\}}_{i=1}^n$ 是n个传递集，在笛卡尔积 ${\displaystyle {\prod }_{i=1}^n{X}_i}$ 上定义的关系“ $\prec$ ”称为n-乘积序，如果对于 $\forall x=\left(x_1,\cdots x_n\right)$，$y=\left(y_1,\cdots y_n\right)\in {\displaystyle {\prod }_{i=1}^n{X}_i}$，$x\prec y$ 当且仅当 $\forall i\left(1\le i\le n\right)$，有 $x_i{\prec }_i{y}_i$。这时称有序偶 $\left({\displaystyle {\prod }_{i=1}^n{X}_i,\prec }\right)$ 是 ${\left\{\left(X_i,{\prec }_i\right)\right\}}_{i=1}^n$ 的乘积，并且每个都称为是 $\left({\displaystyle {\prod }_{i=1}^n{X}_i,\prec }\right)$ 其的乘积因子(简称因子)。其中：n是不小于2的自然数或者是正无穷大 $+\infty$。

根据上述定义，有如下定理：

定理3有限个或者可数个弱定向集(拟定向集，定向集)的乘积也是弱定向(拟定向，定向)的。

证明 仅对n是不小于2的自然数进行证明。当 $n=+\infty$ 时，证明方法完全类似。

(1) 设每个 $\left(X_i,{\prec }_i\right)$ 是弱定向集 $\left(i=1,\cdots ,n\right)$。因为对于 $\left(x_1,\cdots ,x_n\right)$，$\left(y_1,\cdots ,y_n\right)$，$\left(z_1,\cdots ,z_n\right)\in {\displaystyle {\prod }_{k=1}^n{X}_k}$，如果 $\left(x_1,\cdots ,x_n\right)\prec \left(y_1,\cdots ,y_n\right)$ 并且 $\left(y_1,\cdots ,y_n\right)\prec \left(z_1,\cdots ,z_n\right)$，由定义4， $x_i{\prec }_i{y}_i$ 并且 $y_i{\prec }_i{z}_i$，再由弱定向的传递性，有 $x_i{\prec }_i{z}_i\left(i=1,\cdots ,n\right)$。因此， $\left(x_1,\cdots ,x_n\right)\prec \left(z_1,\cdots ,z_n\right)$。从而， $\left({\displaystyle {\prod }_{i=1}^n{X}_i},\prec \right)$ 是弱定向的。

(2) 要证明n个拟定向集的乘积是拟定向集，由定理1，只需证明：乘积序 $\prec$ 是自反的。事实上， $\forall \left(x_1,\cdots x_n\right)\in {\displaystyle {\prod }_{k=1}^n{X}_k}$，因为每个 $\left(X_i,{\prec }_i\right)$ 是拟定向的，即每个 ${\prec }_i$ 自反，因此 $x_i{\prec }_i{x}_i\left(i=1,\cdots ,n\right)$，所以 $\left(x_1,\cdots ,x_n\right)\prec \left(x_1,\cdots ,x_n\right)$。乘积序 $\prec$ 具有自反性。

同上面(2)的情形一样，要证明n个定向集的乘积也是定向集，只需证明：乘积序 $\left(R^2,\prec \right)$ 具有反称性。事实上，不难证明：乘积对反称性是保持的。因此，结论不证自明。

现在，引入弱网与拟网接触点以及收敛的概念：

定义5 设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是拓扑空间X中的一个拟网(或者弱网)， $x_0\in X$，称 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 终在U内，如果 $\exists {\delta }_{\text{0}}\in S$，使得 $\forall \delta \in S,\delta \succ {\delta }_{\text{0}}$ 时恒有 $x_{\delta }\in U$ ；若 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 终在 $x_0$ 的每一个领域内，则称 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 收敛于 $x_0$。

定义6 设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是空间X中的一个拟网(或者弱网)， $x_0\in X$ 并且 $U\subset X$。称 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是常在U中的，如果 $\forall \delta \in S,\exists {\delta }_0\in S$ 使得 ${\delta }_{\text{0}}\succ \delta$，并且 $x_{{\delta }_0}\in U$ ；若 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 常在 $x_0$ 的每一个领域内，则称 $x_0$ 是 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的一个接触点。

由此，我们得到了弱网(或者拟网)与其各类型子网之间的收敛关系的如下一些结果：

定理4 设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是空间X中的一个拟网， $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}\left(X\right)\left(\mathcal{A}\ne \varnothing \right)$，它使得 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 常在 $\mathcal{A}$ 的每个元内并且还使得 $\mathcal{A}$ 内任意两个元之交包含 $\mathcal{A}$ 的一个元，则 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 有一个拟子网(或者弱子网)终在 $\mathcal{A}$ 的每个元内。

证明 因为拟子网是弱子网，存在拟子网即存在弱子网，所以仅以拟子网为例进行证明。

因为 $\mathcal{A}$ 内任意两个元之交包含 $\mathcal{A}$ 的一个元，所以 $\mathcal{A}$ 关于 $\subset$ 为拟定向集，令 $E=\left\{\left(\delta ,A\right)|\delta \in S,x_{\delta }\in A\in \mathcal{A}\right\}$，由定理1可知，E关于 $S\times \mathcal{A}$ 的乘积序为拟定向集。定义映射 $f:E\to S$，其中 $\left(\delta ,A\right)\to \delta$，即 $f\left(\delta ,A\right)=\delta$。那么 ${\left\{x_{f\left(\delta ,A\right)}\right\}}_{\left(\delta ,A\right)\in E}$ 是 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的一个拟子网并且终在 $\mathcal{A}$ 的每个元内。事实上， $\forall \delta \in S$，$\forall A\in \mathcal{A}$，由于 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 常在A中，所以存在 $\rho \in S$ 使得 $\rho \succ \delta$，并且 $x_{\rho }\in A$。所以 $\left(\rho ,A\right)\in E$

且 $f\left(\rho ,A\right)=\rho \succ \delta$，所以 ${\left\{x_{f\left(\delta ,A\right)}\right\}}_{\left(\delta ,A\right)\in E}$ 是 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的一个拟子网。又因为 $\forall \left(\tau ,B\right)\in E$，当 $\left(\tau ,B\right)\succ \left(\rho ,A\right)$ 时，有 $x_{f\left(\tau ,B\right)}=x_{\tau }\in B\subset A$，所以 ${\left\{x_{f\left(\delta ,A\right)}\right\}}_{\left(\delta ,A\right)\in E}$ 终在 $\mathcal{A}$ 的每个元内。

用完全相同的方法，可得如下推论：

推论1 设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是空间X中的一个弱网， $\mathcal{A}\subset \mathcal{P}\left(X\right)\left(\mathcal{A}\ne \varnothing \right)$，它使得 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 常在 $\mathcal{A}$ 的每个元内并且还使得 $\mathcal{A}$ 内任意两个元之交包含 $\mathcal{A}$ 的一个元，则 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 有一个弱子网终在 $\mathcal{A}$ 的每个元内。

定理5 设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是空间X中的一个拟网， $x_0\in X$，则 $x_0$ 为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的接触点当且仅当存在 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的拟子网(或者弱子网)收敛于 $x_0$。

证明 因为拟子网是弱子网，存在拟子网即存在弱子网，所以仅以拟子网为例进行证明。

必要性。设 $x_0$ 为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的接触点，，则的任意两个元相交为的一个元并且网 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 常在 $x_0$ 的每一个领域内，由定理4可知 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 有一个拟子网终在的每个元内，则该拟子网收敛于 $x_0$。

充分性。设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 有拟子网 ${\left\{y_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Delta }$ 收敛于 $x_0$，则 $\forall U\in \mathcal{U}\left(x_0\right)$，$\exists {\alpha }_U\in \Delta$，当 $\alpha \succ {\alpha }_U$ 时，有 $y_{\alpha }\in U$。对于 $\forall \delta \in S$，由 $\left(S{N}_2\right)$ 可知 $\exists {\alpha }^{\text{*}}\in \Delta$，使得 $\delta \prec J\left({\alpha }^{\text{*}}\right)$，再由定向性， $\exists {\alpha }_{\text{0}}\in \Delta$，使得 ${\alpha }_{\text{0}}\succ {\alpha }_U$ 且 ${\alpha }_{\text{0}}\succ {\alpha }^{\text{*}}$，则存在 ${\delta }_0=J\left({\alpha }_0\right)\succ J\left({\alpha }^{*}\right)\succ \delta$，并且 $x_{{\delta }_0}=x_{J\left({\alpha }_0\right)}=y_{{\alpha }_0}\in U$。所以 $x_0$ 是 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的一个接触点。

同理可得如下推论：

推论2 设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是空间X中的一个弱网， $x_0\in X$，则 $x_0$ 为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的接触点当且仅当存在 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的弱子网收敛于 $x_0$。

定理6 设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是空间X中的一个弱网(或者拟网)。 $\forall \delta \in S$，令 $A_{\delta }=\left\{x_{\alpha }|\alpha \in S,\alpha \succ \delta \right\}$，则 $x_0$ 为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的接触点当且仅当 $\forall \delta \in S$，$x_0\in {\bar{A}}_{\delta }$。

证明 仅以弱网为例进行证明，拟网情形同理可证。

必要性。设 $x_0$ 为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的接触点，则 $\forall \delta \in S$，$\forall U\in \mathcal{U}\left(x_0\right)$，$\exists {\delta }_0\in S$ 使得 ${\delta }_{\text{0}}\succ \delta$，并且 $x_{{\delta }_0}\in U$ ；由 $A_{\delta }$ 的定义， $x_{{\delta }_0}\in A_{\delta }\cap U\ne \varnothing$，由定理2可知， $x_0\in {\bar{A}}_{\delta }$。

充分性。反证。若 $x_0$ 不是 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的接触点，则存在 $U\in \mathcal{U}\left(x_0\right)$ 使得 $x_0$ 不常在U内，那么 $\forall \alpha \in S$，$\exists \delta \in S$，当 $\alpha \succ \delta$ 时，有 $x_{\alpha }\notin U$ ；由 $A_{\delta }$ 的定义， $x_{\alpha }\in A_{\delta }$，即 $A_{\delta }\cap U=\varnothing$，则 $x_0\notin {\bar{A}}_{\delta }$ ；这与 $x_0\in {\bar{A}}_{\delta }$ 矛盾，所以 $x_0$ 为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的接触点。

定理7 设X为拓扑空间，X为紧空间当且仅当X中的任意拟网都有收敛的拟子网(或者弱子网)。

证明 必要性。设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是空间X中的一个拟网。 $\forall \delta \in S$，令 $A_{\delta }=\left\{x_{\alpha }|\alpha \in S,\alpha \succ \delta \right\}$，则 ${\left\{{\bar{A}}_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是X上具有有限交性质的非空闭集族。

事实上，对于S中的任意有限子集 $\left\{{\delta }_1,{\delta }_2,\cdots ,{\delta }_n\right\}$。由S的定向性， $\exists \alpha \in S$，使得 $\alpha \succ {\delta }_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$。因此 $x_{\alpha }\in {\displaystyle {\cap }_{i=1}^n{A}_{{\delta }_i}}\subset {\displaystyle {\cap }_{i=1}^n{\bar{A}}_{{\delta }_i}}$，所以 ${\left\{{\bar{A}}_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 具有有限交性质。由X的紧性， ${\displaystyle {\cap }_{i=1}^n{\bar{A}}_{{\delta }_i}}\ne \varnothing$，取 $x_0\in {\displaystyle {\cap }_{i=1}^n{\bar{A}}_{{\delta }_i}}$，即 $\forall {\delta }_i\in S$，$x_0\in {\bar{A}}_{\delta }$ ；由定理6可知， $x_0$ 为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的接触点；再由定理5可知， ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的拟子网(或者弱子网)收敛于 $x_0$。

充分性。设 $\mathcal{F}$ 是X的具有有限交性质的一个闭集族。为证 $\mathcal{F}$ 有非空交，我们构造X上的一个网如下：令 $S=\left\{\delta \subset \mathcal{F}|\delta 为非空有限集\right\}$，则 $\left(S,\subset \right)$ 是一个拟定向集。 $\forall \delta \in S$，由于 $\mathcal{F}$ 的有限交性质，则 $\cap \delta \ne \varnothing$。取 $x_{\delta }\in \cap \delta$，则 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 为X中的一个拟网。那么 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 有收敛的拟子网，假设收敛于 $x_0$，则 $x_0$ 为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的接触点。现证 $x_0\in \cap \mathcal{F}$。

事实上， $\forall F\in \mathcal{F}$，有 $x_F=x_{\left\{F\right\}}\in F$。由接触点的定义， $\forall U\in \mathcal{U}\left(x_0\right)$，$\exists \delta \in S$，使得 $\delta \supset \left\{F\right\}$，有 $x_{\delta }\in U$。因为 $x_{\delta }\in \cap \delta \subset F$，故 $U\cap F\ne \varnothing$。则 $x_0\in \bar{F}=F$。因此 $x_0\in \cap \mathcal{F}$，所以 $\mathcal{F}$ 有非空交，X为紧空间。

3. 严格拟网与严格弱网

定义7 称不满足反称性的拟定向集为严格拟定向集；称不满足自反性的弱定向集为严格弱定向集。

定义8 称 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是一个严格拟网，若 $\left(S,\prec \right)$ 是严格拟定向集；称 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是一个严格弱网，若 $\left(S,\prec \right)$ 是严格弱定向集。

根据上述定义，我们得到了如下一系列结果：

定理8 拓扑空间中任一网都存在一个严格拟子网。

证明 设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是一个网，构造集合 $\Delta =\left\{\left(\delta ,\alpha \right)|\delta \in S,\alpha \in S\right\}$，在 $\Delta$ 中定义偏序关系“ $\prec$ ”： $\forall \left({\delta }_1,{\alpha }_1\right),\left({\delta }_2,{\alpha }_2\right)\in \Delta$，定义 $\left({\delta }_1,{\alpha }_1\right)\prec \left({\delta }_2,{\alpha }_2\right)$ 当且仅当 ${\delta }_1\prec {\delta }_2$，则 $\left(\Delta ，\prec \right)$ 为一个严格拟定向集， ${\left\{x_{\left(\delta ,\alpha \right)}\right\}}_{\left(\delta ,\alpha \right)\in \Delta }$ 为严格拟网。

设 $J:\Delta \to S$，其中 $J\left(\left(\delta ,\alpha \right)\right)=\delta$ ； $\forall \left({\delta }_1,{\alpha }_1\right),\left({\delta }_2,{\alpha }_2\right)\in \Delta$，若 $\left({\delta }_1,{\alpha }_1\right)\prec \left({\delta }_2,{\alpha }_2\right)$，则

$J\left(\left({\delta }_1,{\alpha }_1\right)\right)={\delta }_1\prec {\delta }_2=J\left(\left({\delta }_2,{\alpha }_2\right)\right)$，故 $\left(S{N}_1\right)$ 真。又因为 $\forall \delta \in S$，$\exists \left(\delta ,\alpha \right)\in \Delta$，使得 $J\left(\left(\delta ,\alpha \right)\right)=\delta \succ \delta$，故 $\left(S{N}_2\right)$ 真。所以 ${\left\{x_{\left(\delta ,\alpha \right)}\right\}}_{\left(\delta ,\alpha \right)\in \Delta }$ 为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的拟子网。

定理9 严格拟网不存在子网。

证明 反证。设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 为一严格拟网， ${\left\{y_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Delta }$ 为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的一个子网；则 $\forall {\alpha }_{\text{1}},{\alpha }_{\text{2}}\in \Delta$，$\exists {\delta }_{\text{1}},{\delta }_{\text{2}}\in S$ 使得 ${\delta }_{\text{1}}=J\left({\alpha }_{\text{1}}\right)$，${\delta }_{\text{2}}=J\left({\alpha }_{\text{2}}\right)$ ；由反称性，当 ${\alpha }_{\text{1}}\prec {\alpha }_{\text{2}}$，${\alpha }_{\text{2}}\prec {\alpha }_{\text{1}}$，有 ${\alpha }_2={\alpha }_1$，此时有 ${\delta }_1=J\left({\alpha }_1\right)\prec J\left({\alpha }_2\right)={\delta }_2$，${\delta }_2=J\left({\alpha }_2\right)\prec J\left({\alpha }_1\right)={\delta }_1$，${\delta }_1=J\left({\alpha }_1\right)=J\left({\alpha }_2\right)={\delta }_2$ ；这与 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是严格拟网矛盾，所以严格拟网不存在子网。

定理10 严格弱网不存在子网和拟子网。

证明 因为子网就是拟子网，不存在拟子网即不存在子网，所以仅以拟子网为例进行证明。

反证。设 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 为一严格弱网， ${\left\{y_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Delta }$ 为 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 的一个拟子网；则 $\forall \alpha \in \Delta ,\exists \delta \in S$，使得 $\delta =J\left(\alpha \right)$ ；由 $\left(S{N}_1\right)$ 可知，当 $\alpha \prec \alpha$ 时，有 $\delta =J\left(\alpha \right)\prec J\left(\alpha \right)=\delta$ ；这与 ${\left\{x_{\delta }\right\}}_{\delta \in S}$ 是严格弱网矛盾，所以严格弱网不存在拟子网。

4. 结束语

在引入了弱子网与拟子网的基础上，继续对弱网与拟网的收敛性进行研究，得到了几个有关子网收敛的等价条件。在此基础上赋予拟网与弱网更为严格的定义，引出严格拟网与严格弱网的概念，并得到了严格型网与其子网的几个存在刻画。

基金项目

国家自然科学青年基金(11501391)。

文章引用

丁玄伊,朱培勇. 关于弱网与拟网及其子网的一些探究
Some Explorations on the Weak and Proposed Networks and Their Subnets[J]. 理论数学, 2020, 10(10): 969-973. https://doi.org/10.12677/PM.2020.1010113

参考文献