一类具有Caputo导数的非线性分数阶微分方程耦合系统的正解 Positive Solutions for Coupled System of Nonlinear Fractional Differential Equations with Caputo Derivative

doi:10.12677/PM.2021.117146

Pure Mathematics
Vol. 11 No. 07 ( 2021 ), Article ID: 43736 , 7 pages
10.12677/PM.2021.117146

一类具有Caputo导数的非线性分数阶微分方程耦合系统的正解

齐超凡，薛春艳

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北京信息科技大学，理学院，北京

收稿日期：2021年5月27日；录用日期：2021年6月29日；发布日期：2021年7月7日

摘要

本文研究了一类非线性分数阶微分方程耦合系统的正解存在性，此耦合系统具有Caputo导数和边界条件。通过运用一个新的研究具有矢量的算子的不动点方法，Krasnoselskii锥不动点定理，得到系统的正解存在性。进一步拓展定理得到正解的局限性和多重性。

关键词

分数阶微分方程系统，Caputo导数，Krasnoselskii锥不动点定理，局限性和多重性，正解

Positive Solutions for Coupled System of Nonlinear Fractional Differential Equations with Caputo Derivative

Chaofan Qi, Chunyan Xue

School of Applied Science, Beijing Information Science & Technology University, Beijing

Received: May 27^th, 2021; accepted: Jun. 29^th, 2021; published: Jul. 7^th, 2021

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of positive solutions for a class of nonlinear coupled system of fractional-order differential equations with Caputo derivatives and boundary conditions. By using a new method to study the fixed points of operators with vectors, Krasnoselskii fixed point theorem of cone, the existence of positive solutions of the system is obtained. We also investigate the localization and multiplicity of the positive solutions by further extending the theorem.

Keywords:System of Fractional Differential Equations, Caputo Derivative, Krasnoselskii Fixed Point Theorem, Localization and Multiplicity, Positive Solutions

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文中，研究如下一类非线性分数阶微分方程耦合系统：

${\begin{cases} {}_{0^{+}}^{C}D_{t}^{ν} u_{1} (t) + q_{1} (t) \cdot f_{1} (u_{1} (t), u_{2} (t)) = 0, 0 < t < 1 \\ {}_{0^{+}}^{C}D_{t}^{ν} u_{2} (t) + q_{2} (t) \cdot f_{2} (u_{1} (t), u_{2} (t)) = 0, 0 < t < 1 \\ u_{1} (0) = δ u_{1} (1), u_{2} (0) = δ u_{2} (1) \\ {u^{'}}_{1} (0) = γ {u^{'}}_{1} (1), {u^{'}}_{2} (0) = γ {u^{'}}_{2} (1) \end{cases}$ (1.0)

其中， ${}_{0}^{C}D_{t}^{υ} u (t)$ 是Caputo分数阶导数， $δ$ 和 $γ$ 是两个实数， $δ \in (0, 1)$ ， $γ \in (0, 1)$ ， $ν \in (1, 2]$ 。

分数阶微分方程模型在很多学科领域都有广泛的应用，例如信号控制和处理、高分子材料解链、自动控制系统理论、生物医学等 [1] [2] [3] [4] [5] 都可以应用微分方程模型来描述。因此，在分数阶微分方程研究领域，解的存在性是一个非常重要的课题。分数阶微分方程耦合系统的研究在应用性质的各种问题 [6] [7] [8] 中也很重要。受上述应用及许多结果 [9] - [18] 的启发，本文考虑完全非线性微分方程耦合系统，且运用Radu Precup研究出的最新的不动点理论，Krasnoselskii锥不动点定理，来研究此算子方程组正解的存在性、局限性和多重性。

另外，我们列出以下条件：

(H1) $q_{i} \in C ([0, 1])$ 且为非负；

(H2) $f_{i} \in C (R_{+}^{2}, R_{+}^{2})$ ， $i = 1, 2$ ， $R_{+} = [0, + \infty)$ 。

文章余下内容框架如下：第二部分，给出本文所需的定义，基本定理和符号；第三部分通过构建一个新的锥，运用Krasnoselskii锥不动点定理，求得算子的不动点，进而得到系统正解的存在性，并拓展得到正解的局限性和多重性。

2. 预备知识

定义2.1 函数 $u (t)$ 的 $α$ 阶Riemann-Liouville分数阶积分定义如下，

$({}_{a^{+}}I_{t}^{α} u) (t) : = \frac{1}{Γ (α)} \int_{a}^{t} {(t - s)}^{α - 1} u (s) d s, t \in [a, b]$

其中 $Γ (α) = \int_{0}^{\infty} t^{α - 1} e^{- t} d t$ ， $α > 0$ ，是Gamma函数。

定义2.2 函数 $u (t)$ 的 $α$ 阶Caputo分数阶导数定义如下，

$({}_{a^{+}}^{C}D_{t}^{α}) u (t) = ({}_{a^{+}}I_{t}^{n - α} u^{(n)}) (t) = \frac{1}{Γ (n - α)} \int_{a}^{t} \frac{u^{(n)} (s)}{{(t - s)}^{α + 1 - n}} d s, t \in [a, b]$

其中 $α > 0$ ， $n = [α] + 1$ ， $[α]$ 表示不大于 $α$ 的最大整数。

通过定义2.1和定义2.2可知，

$({}_{a^{+}}I_{t}^{α} ({}_{a^{+}}^{C}D_{t}^{α} u)) (t) = u (t) + C_{1} + C_{2} t + \dots + C_{n} t^{n - 1}$ 。

令 $X = C ([0, 1])$ 是一个实Banach空间，其中定义的范数为 $‖ u ‖ = \max_{t \in J} | u (x) |$ ， $j = [0, 1]$ ，令 $K$ 是 $X$ 中所有非负函数组成的锥。

定理2.1 [19] 令 $(X, ‖ \cdot ‖)$ 是一个赋范线性空间， $K_{1}$ ， $K_{2}$ 是 $X$ 中的两个锥， $K = K_{1} \times K_{2}$ ；对于 $i = 1, 2$ ， $r, R \in R_{+}^{2}$ ， $0 < r_{i} < R_{i}$ ，定义 $K_{r, R} : = {u = (u_{1}, u_{2}) \in K : r_{i} \leq ‖ u_{i} ‖ \leq R_{i}, i = 1, 2}$ ，令 $N : = K_{r, R} \to K$ ， $N = (N_{1}, N_{2})$ 为一个紧映射。假设对于 $i = 1, 2$ ， $K_{r, R}$ 满足下列条件之一：

a) 若 $‖ u_{i} ‖ = r_{i}$ ，则 $u_{i} - N_{i} (u) \notin K_{i}$ ，且若 $‖ u_{i} ‖ = R_{i}$ ，则 $N_{i} (u) - u_{i} \notin K_{i}$ ；

b) 若 $‖ u_{i} ‖ = r_{i}$ ，则 $N_{i} (u) - u_{i} \notin K_{i}$ ，且若 $‖ u_{i} ‖ = R_{i}$ ，则 $u_{i} - N_{i} (u) \notin K_{i}$ ；

那么 $N$ 有一个不动点使得 $u_{i} = N_{i} (u_{1}, u_{2})$ 且 $r_{i} < ‖ u_{i} ‖ < R_{i}$ ， $i = 1, 2$ 。

推论2.1 [19] 在定理2.1的假设下， $u \in K_{r, R}$ 有四种可能情况：

1) 若 $‖ u_{1} ‖ = r_{1}$ ，则 $u_{1} - N_{1} (u) \notin K_{1}$ ；若 $‖ u_{1} ‖ = R_{1}$ ，则 $N_{1} (u) - u_{1} \notin K_{1}$ ；

若 $‖ u_{2} ‖ = r_{2}$ ，则 $u_{2} - N_{2} (u) \notin K_{2}$ ；若 $‖ u_{2} ‖ = R_{2}$ ，则 $N_{2} (u) - u_{2} \notin K_{2}$ ；

2) 若 $‖ u_{1} ‖ = r_{1}$ ，则 $u_{1} - N_{1} (u) \notin K_{1}$ ；若 $‖ u_{1} ‖ = R_{1}$ ，则 $N_{1} (u) - u_{1} \notin K_{1}$ ；

若 $‖ u_{2} ‖ = r_{2}$ ，则 $N_{2} (u) - u_{2} \notin K_{2}$ ；若 $‖ u_{2} ‖ = R_{2}$ ，则 $u_{2} - N_{2} (u) \notin K_{2}$ ；

3) 若 $‖ u_{1} ‖ = r_{1}$ ，则 $N_{1} (u) - u_{1} \notin K_{1}$ ；若 $‖ u_{1} ‖ = R_{1}$ ，则 $u_{1} - N_{1} (u) \notin K_{1}$ ；

若 $‖ u_{2} ‖ = r_{2}$ ，则 $u_{2} - N_{2} (u) \notin K_{2}$ ；若 $‖ u_{2} ‖ = R_{2}$ ，则 $N_{2} (u) - u_{2} \notin K_{2}$ ；

4) 若 $‖ u_{1} ‖ = r_{1}$ ，则 $N_{1} (u) - u_{1} \notin K_{1}$ ；若 $‖ u_{1} ‖ = R_{1}$ ，则 $u_{1} - N_{1} (u) \notin K_{1}$ ；

若 $‖ u_{2} ‖ = r_{2}$ ，则 $N_{2} (u) - u_{2} \notin K_{2}$ ；若 $‖ u_{2} ‖ = R_{2}$ ，则 $u_{2} - N_{2} (u) \notin K_{2}$ 。

引理2.1 假设条件(H1)，(H2)成立，那么 $u$ 是系统(1.0)的解，当且仅当 $u_{i} \in X$ ， $i = 1, 2$ ，为下述积分方程的解： $u_{i} (t) = \int_{0}^{1} G (t, s) \cdot q_{i} (s) \cdot f_{i} (u_{1} (s), u_{2} (s)) d s$ ；

其中：

$G (t, s) = \frac{1}{Γ (ν)} {\begin{cases} (1 - ν) \cdot \frac{δ γ (1 - t) + γ t}{(1 - γ) \cdot (1 - δ)} \cdot {(1 - s)}^{ν - 2} - \frac{δ}{1 - δ} {(1 - s)}^{ν - 1} - {(t - s)}^{ν - 1}, 0 \leq s \leq t \leq 1 \\ (1 - ν) \cdot \frac{δ γ (1 - t) + γ t}{(1 - γ) (1 - t)} \cdot {(1 - s)}^{ν - 2} - \frac{δ}{1 - δ} {(1 - s)}^{ν - 1}, 0 \leq t \leq s \leq 1 \end{cases}$ .

证明：假设 $u (t)$ 是(1.0)的解，则

$({}_{0}I_{t}^{υ} ({}_{0}^{C}D_{t}^{υ} u_{i})) (t) + {}_{0}I_{t}^{υ} (q_{i} (t) u_{i} (t)) = 0$ .

由定义式，得到

$u_{i} (t) = C_{1} + C_{2} t - \frac{1}{Γ (υ)} \int_{0}^{t} {(t - s)}^{υ - 1} q_{i} (s) u_{i} (s) d s$ .

由 $u_{i} (0) = δ u_{i} (1)$ ，可得

$C_{1} = δ C_{1} + δ C_{2} - \frac{δ}{Γ (υ)} \int_{0}^{1} {(1 - s)}^{υ - 1} q_{i} (s) u_{i} (s) d s$ ,

由 ${u^{'}}_{i} (0) = γ {u^{'}}_{i} (1)$ ，可得

$C_{2} = \frac{γ (υ - 1)}{Γ (υ) (γ - 1)} \int_{0}^{1} {(1 - s)}^{υ - 2} q_{i} (s) u_{i} (s) d s$ ,

因此

$C_{1} = \frac{δ γ (υ - 1)}{Γ (υ) (1 - δ) (1 - γ)} \int_{0}^{1} {(1 - s)}^{υ - 2} q_{i} (s) u_{i} (s) d s - \frac{δ}{Γ (υ) (1 - δ)} \int_{0}^{1} {(1 - s)}^{υ - 1} q_{i} (s) u_{i} (s) d s$

进而，得到

$\begin{matrix} u_{i} (t) = \frac{δ γ (υ - 1)}{Γ (υ) (1 - δ) (γ - 1)} \int_{0}^{1} {(1 - s)}^{υ - 2} q_{i} (s) u_{i} (s) d s - \frac{δ}{Γ (υ) (1 - δ)} \int_{0}^{1} {(1 - s)}^{υ - 1} q_{i} (s) u_{i} (s) d s \\ + \frac{γ (υ - 1) t}{Γ (υ) (γ - 1)} \int_{0}^{1} {(1 - s)}^{υ - 2} q_{i} (s) u_{i} (s) d s - \frac{1}{Γ (υ)} \int_{0}^{t} {(t - s)}^{υ - 1} q_{i} (s) u_{i} (s) d s \\ = \int_{0}^{1} G (t, s) q_{i} (s) u_{i} (s) d s, \end{matrix}$

其中

$G (t, s) = \frac{1}{Γ (υ)} {\begin{cases} (1 - υ) \frac{δ γ (1 - t) + γ t}{(1 - γ) (1 - δ)} {(1 - s)}^{υ - 2} - \frac{δ}{1 - δ} {(1 - s)}^{υ - 1} - {(t - s)}^{υ - 1}, 0 \leq s \leq t \leq 1, \\ (1 - υ) \frac{δ γ (1 - t) + γ t}{(1 - γ) (1 - δ)} {(1 - s)}^{υ - 2} - \frac{δ}{1 - δ} {(1 - s)}^{υ - 1}, 0 \leq t \leq s \leq 1. \end{cases}$

推论2.2 对于任意 $δ \in (0, 1)$ ， $γ \in (0, 1)$ ， $G (t, s)$ 满足以下结论 [20]：

i) $G (t, s) \leq 0$ ， $(t, s) \in [0, 1] \times [0, 1]$ ；

ii) 对于任意 $s \in [0, 1]$ ， $\max_{0 \leq t \leq 1} | G (t, s) | = - G (1, s)$ ；

iii) $\int_{0}^{1} | G (t, s) | d s \leq \frac{γ (ν - 1) + 1}{Γ (ν + 1) \cdot (1 - δ) \cdot (1 - γ)}$ 。

3. 主要结论

令 $K$ 是 $X$ 中所有非负函数组成的锥 [21] [22]，根据(H1)和引理1.3，令

$A_{i} = \min {G (t, s) \cdot q_{i} (s) : 0 < t < 1, 0 < s < 1}$ ， $B_{i} = \max {G (t, s) \cdot q_{i} (s) : 0 < t < 1, 0 < s < 1}$ ， $M_{i} = \frac{A_{i}}{B_{i}}$ ，则有 $A_{i} > 0$ ， $B_{i} > 0$ ， $0 < M_{i} < 1$ 。

若 $V \in K$ ， $u_{i} (t) = \int_{0}^{1} G (t, s) q_{i} (s) V (s) d s$ ，且 $u_{i} (t_{0}) = ‖ u_{i} ‖$ ， $i = 1, 2$ ，那么对于任意 $t \in (0, 1)$ ，有：

$\begin{matrix} u_{i} (t) = \int_{0}^{1} G (t, s) q_{i} (s) V (s) d s \\ \geq A_{i} \int_{0}^{1} V (s) d s \\ = M_{i} \cdot B_{i} \int_{0}^{1} V (s) d s \\ = M_{i} \int_{0}^{1} B_{i} V (s) d s \\ \geq M_{i} \cdot \int_{0}^{1} G (t_{0}, s) q_{i} (s) V (s) d s \\ = M_{i} \cdot ‖ u_{i} ‖ \end{matrix}$

因此，在 $X = C ([0, 1])$ 中定义锥 $P_{i}$ ( $i = 1, 2$ )： $P_{i} : = {u_{i} \in k : u_{i} (t) \geq M_{i} \cdot ‖ u_{i} ‖, t \in (0, 1)}$ ， $i = 1, 2$ 。那么，在 $X^{2}$ 中则有对应的锥 $P = P_{1} \times P_{2}$ 。

考虑算子 $T u = (T_{1} u, T_{2} u)$ ，其中 $T_{i} u (t) = \int_{0}^{1} G (t, s) q_{i} (s) f_{i} (u_{1} (s), u_{2} (s)) d s$ ，其中 $T : P \to P$ 是一个全连续算子 [20]。

引理3.1 若 $u_{1}, u_{2} \in C ([0, 1])$ ，则 $u = (u_{1}, u_{2})$ 为分数阶微分方程系统(1.0)在 $X^{2}$ 中的解，当且仅当 $u = (u_{1}, u_{2})$ ， $u \in P$ 为 $T u = u$ 在 $X^{2}$ 中的不动点。

对于 $α_{i}, β_{i} > 0, α_{i} \neq β_{i}$ ，为了方便，记 $r_{i} = \min {α_{i}, β_{i}}$ ， $R_{i} = \max {α_{i}, β_{i}}$ ， $i = 1, 2$ ，且 $M = \min {M_{1}, M_{2}}$ ， $0 < M < 1$ ，

$N_{1} = \min {f_{1} (u_{1}, u_{2}) : M β_{1} \leq u_{1} \leq β_{1}, M r_{2} \leq u_{2} \leq R_{2}}$ ,

$N_{2} = i n f {f_{2} (u_{1}, u_{2}) : M r_{1} \leq u_{1} \leq R_{1}, M β_{2} \leq u_{2} \leq β_{2}}$ ,

$L_{1} = \max {f_{1} (u_{1}, u_{2}) : 0 \leq u_{1} \leq α_{1}, 0 \leq u_{2} \leq R_{2}}$ ,

$L_{2} = \max {f_{2} (u_{1}, u_{2}) : 0 \leq u_{1} \leq R_{1}, 0 \leq u_{2} \leq α_{2}}$ .

定理3.1 若存在 $α_{i}, β_{i} > 0$ ， $α_{i} \neq β_{i}$ ， $i = 1, 2$ ，使得： $B_{1} L_{1} < α_{1}$ ， $A_{1} N_{1} > β_{1}$ 或 $B_{2} L_{2} < α_{2}$ ， $A_{2} N_{2} > β_{2}$ ，那么系统(1.0)至少存在一个正解 $u = (u_{1}, u_{2})$ ，且 $r_{i} < ‖ u_{i} ‖ < R_{i}$ ， $i = 1, 2$ ，其中 $r_{i} = \min {α_{i}, β_{i}}$ ， $R_{i} = \max {α_{i}, β_{i}}$ ，且对于 $t \in (0, 1)$ ， $u$ 的轨迹是包含在一个矩阵域 $(M r_{1}, R_{1}) \times (M r_{2}, R_{2})$ 中。

证明：首先若 $u \in P_{r, R}$ ，且 $r_{1} < ‖ u_{1} ‖ < R_{1}$ ， $r_{2} < ‖ u_{2} ‖ < R_{2}$ ，那么根据锥 $P$ 的定义，对于任意 $t \in (0, 1)$ ，有

$M r_{1} < u_{1} (t) < R_{1}, M r_{2} < u_{2} (t) < R_{2}$ ;

同样若 $‖ u_{i} ‖ = α_{i}$ ，则有 $u_{i} (t) \leq α_{i}$ ，且对于任意 $t \in (0, 1)$ ， $M α_{i} \leq u_{i} \leq α_{i}$ ， $i = 1, 2$ ；

下证明对于任意 $u \in P_{r, R}$ ， $i = {1, 2}$ ，满足定理2.1的条件，即：

若 $‖ u_{i} ‖ = α_{i}$ ，则有 $T_{i} (u) - u_{i} \notin P_{i}$ ； (2.1)

若 $‖ u_{i} ‖ = β_{i}$ ，则有 $u_{i} - T_{i} (u) \notin P_{i}$ ； (2.2)

假设若 $‖ u_{1} ‖ = α_{1}$ ，则存在 $T_{1} u - u_{1} \in P_{1}$ ，那么，对于任意 $t \in (0, 1)$ 有：

$\begin{matrix} u_{1} \leq T_{1} u = \int_{0}^{1} G (t, s) q_{1} (s) f_{1} (u_{1} (s), u_{2} (s)) d s \\ \leq B_{1} \cdot \int_{0}^{1} f_{1} (u_{1} (s), u_{2} (s)) d s \\ \leq B_{1} \cdot L_{1} \\ < α_{1} \end{matrix}$

这就产生矛盾 $α_{1} < α_{1}$ 。

假设若 $‖ u_{1} ‖ = β_{1}$ ，则存在 $u_{1} - T u_{1} \in P_{1}$ ，那么，对于任意 $t^{*} \in (0, 1)$ 有：

$\begin{matrix} u_{1} \geq T_{1} u = \int_{0}^{1} G (t^{*}, s) q_{1} (s) f_{1} (u_{1} (s), u_{2} (s)) d s \\ \geq A_{1} \cdot \int_{0}^{1} f_{1} (u_{1} (s), u_{2} (s)) d s \\ \geq A_{1} \cdot N_{1} \\ > β_{1} \end{matrix}$

这就产生矛盾 $β_{1} > β_{1}$ 。

因此，(2.1)和(2.2)在 $i = 1$ 时成立，同理， $i = 2$ 时也成立。

根据定理1.1可知，算子 $T$ 至少存在一个不动点 $u$ ，即系统(1.0)至少存在一个正解 $u = (u_{1}, u_{2})$ 。

推论3.1 注意在条件(2.0)中表明函数 $f_{1}, f_{2}$ 在 $R_{+}^{2}$ 的某区域内，是为了证明正解的存在性和局限性。

定理3.2 假设存在一个自然数 $N \geq 1$ ， $α_{i}^{k}, β_{i}^{k} > 0$ ，且 $α_{i}^{k} \neq β_{i}^{k}$ ， $i = 1, 2$ ， $k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, N$ ，使得对于 $k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, N$ ，有：

$R_{1}^{k} \leq r_{1}^{k + 1}, R_{2}^{k} \leq r_{2}^{k + 1},$

$B_{1} \cdot L_{1}^{k} < α_{1}^{k}, A_{1} N_{1}^{k} > β_{1}^{k},$

$B_{2} L_{2}^{k} < α_{2}^{k}, A_{2} N_{2}^{k} > β_{2}^{k},$

其中， $r_{i}^{k} = \min {α_{i}^{k}, β_{i}^{k}}$ ， $R_{i}^{k} = \max {α_{i}^{k}, β_{i}^{k}}$ ， $i = 1, 2$ ，

$N_{1}^{k} = m i n {f_{1} (u_{1}^{k}, u_{2}^{k}) : M β_{1}^{k} \leq u_{1}^{k} \leq β_{1}^{k}, M r_{2}^{k} \leq u_{2}^{k} \leq R_{2}^{k}}$ ,

$N_{2}^{k} = \min {f_{2} (u_{1}^{k}, u_{2}^{k}) : M r_{1}^{k} \leq u_{1}^{k} \leq R_{1}^{k}, M β_{2}^{k} \leq u_{2}^{k} \leq β_{2}^{k}}$ ,

$L_{1}^{k} = \max {f_{1} (u_{1}^{k}, u_{2}^{k}) : 0 \leq u_{1}^{k} \leq α_{1}^{k}, 0 \leq u_{2}^{k} \leq R_{2}^{k}}$ ,

$L_{2}^{k} = \max {f_{2} (u_{1}^{k}, u_{2}^{k}) : 0 \leq u_{1}^{k} \leq R_{1}^{k}, 0 \leq u_{2}^{k} \leq α_{2}^{k}}$ ,

那么，系统(1.0)至少存在 $N$ 个不同的正解 $u^{k} = (u_{1}^{k}, u_{2}^{k})$ 且 $r_{i}^{k} < ‖ u_{i}^{k} ‖ < R_{i}^{k}$ ， $i = 1, 2$ ， $k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, N$ 。

证明：应用定理2.2，对于任意 $k \in {1, 2, \cdot \cdot \cdot, N}$ ，存在一个正解 $u^{k}$ 满足： $r_{i}^{k} < ‖ u_{i}^{k} ‖ < R_{i}^{k}$ ， $i = 1, 2$ ；

根据(2.2)，可知对于任意 $k \in {1, 2, \cdot \cdot \cdot, N - 1}$ ，有：

$(r_{i}^{k}, R_{i}^{k}) \cap (r_{i}^{k + 1}, R_{i}^{k + 1}) = \emptyset$ ，对于 $i = 1$ 或 $i = 2$ 都成立；

综上所得，系统(1.0)存在 $K$ 个不同的解 $u^{k}$ ， $k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, N$ 。

推论3.2 特殊地，若 $f_{1}$ ， $f_{2}$ 关于 $t$ 是独立的，则 $f_{1} = f_{1} (u_{1}, u_{2})$ 、 $f_{2} (u_{1}, u_{2})$ 和 $f_{1}$ 、 $f_{2}$ 关于 $u_{1}$ 、 $u_{2}$ 具有单调性质，其中 $u_{1} \in [M r_{1}, R_{1}]$ 、 $u_{2} \in [M r_{2}, R_{2}]$ ，那么可以明确值 $N_{1}$ 、 $N_{2}$ 、 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 。举例：

1) 若 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 关于 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 是单调递减的，则：

$L_{1} = f_{1} (0, 0), N_{1} = f_{1} (β_{1}, R_{2})$ ;

$L_{2} = f_{2} (0, 0), N_{2} = f_{2} (R_{1}, β_{2})$ .

2) 若 $f_{1}$ 关于 $u_{1}$ 是单调递减的，关于 $u_{2}$ 是单调递增， $f_{2}$ 关于 $u_{1}$ 是单调递增的，关于 $u_{2}$ 是单调递减的，则：

$L_{1} = f_{1} (0, R_{2}), N_{1} = f_{1} (β_{1}, M r_{2})$ ;

$L_{2} = f_{2} (R_{1}, 0), N_{2} = f_{2} (M r_{1}, β_{2})$ .

3) 若 $f_{1}$ ， $f_{2}$ 关于 $u_{1}$ 是单调递增的，关于 $u_{2}$ 是单调递减的，则：

$L_{1} = f_{1} (α_{1}, 0), N_{1} = f_{1} (M β_{1}, R_{2})$ ;

$L_{2} = f_{2} (R_{1}, 0), N_{2} = f_{2} (M r_{1}, β_{2})$ .

文章引用

齐超凡,薛春艳. 一类具有Caputo导数的非线性分数阶微分方程耦合系统的正解
Positive Solutions for Coupled System of Nonlinear Fractional Differential Equations with Caputo Derivative[J]. 理论数学, 2021, 11(07): 1309-1315. https://doi.org/10.12677/PM.2021.117146

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