¹新疆师范大学数学科学学院，新疆 乌鲁木齐

²和田师范专科学校数学与信息学院，新疆 和田

收稿日期：2022年10月9日；录用日期：2022年11月8日；发布日期：2022年11月16日

摘要

研究了一类拟线性方程Neumann问题的梯度估计，通过选取适当的辅助函数，利用函数在极大值点的性质，证明了解的边界梯度估计有界。得到了方程中关于f依赖于x，u时Neumann问题的解的边界梯度估计。

关键词

拟线性方程，Neumann问题，极大值原理，梯度估计

Gradient Estimation of the Neumann Problem for a Class of Quasilinear Equations

Chunmei Ma¹, Adila∙Abudureyimu², Yuxin Si¹

¹School of Mathematical Sciences, Xinjiang Normal University, Urumqi Xinjiang

²School of Mathematics and Information, Hetian Normal College, Hotan Xinjiang

Received: Oct. 9^th, 2022; accepted: Nov. 8^th, 2022; published: Nov. 16^th, 2022

ABSTRACT

The gradient estimation of a class of quasilinear equations Neumann problem is studied. By selecting appropriate auxiliary functions and using the properties of functions at maximum points, it is proved that boundary gradient estimation is bounded. The boundary gradient estimation of Neumann problem solution is obtained when f depends on x, u in the equation.

Keywords:Quasilinear Equations, Neumann Problem, Maximum Principle, Gradient Estimation

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

在二阶椭圆型偏微分方程的研究过程中，边值问题的解的存在性是最重要的问题之一。而边值问题主要分为Dirichlet问题，Neumann问题与斜导数问题，解决边值问题解的存在性问题的关键在于先验估计，即解的梯度估计，最大模估计等。即使最简单的偏微分方程，例如波动方程、Laplace方程，求解都是有难度的，对其不同的边值问题有不同的求解方法。

2018年，Ma [1] 研究了如下平均曲率方程的Neumann问题：

$\{\begin{array}{l}div\left(\frac{Du}{\sqrt{1+D{u}^2}}\right)=f\left(x\right),x\in \Omega ,\\ \frac{\partial u}{\partial v}=\psi \left(x\right),x\in \partial \Omega .\end{array}$

通过引入一个特殊标架，构造了一个新的辅助函数，利用极值原理得到了平均曲率方程Neumann问题的梯度估计，从而得到平均曲率方程Neumann问题解的存在性，证明综合利用Spruck [2]，Wang [3]，Liebeman [4] 等人的技巧。

对于上述Ma [1] 研究的平均曲率方程的Neumann问题中f依赖于x，u时，徐金菊 [5] 得到了他的梯度估计。

2021年，刘晋鹏 [6] 研究如下拟线性方程Neumann边值问题的梯度估计，即：

$\{\begin{array}{l}{a}_{ij}\left(\nabla u\right)u_{ij}=f\left(x\right),x\in \Omega ,\\ \frac{\partial u}{\partial \gamma }=\psi \left(x,u\right),x\in \partial \Omega .\end{array}$

受刘晋鹏文章的启发，本文考虑如下形式的拟线性方程Neumann边值问题的梯度估计：

$\{\begin{array}{l}{a}_{ij}\left(\nabla u\right)u_{ij}=f\left(x,u\right),x\in \Omega ,\\ \frac{\partial u}{\partial \gamma }=\psi \left(x,u\right),x\in \partial \Omega .\end{array}$

其中 $\Omega$ 是 ${ℝ}^n$ 中的有界区域， $n\ge 2$，$\partial \Omega \in C^3$，$\gamma$ 是 $\partial \Omega$ 的单位内法向。f为定义在 $\bar{\Omega }\times ℝ$ 上给定的有界可微函数。鉴于椭圆型偏微分方程解的梯度估计证明 [7] [8]，本文目的是利用刘晋鹏所使用的Bernstein技巧，从而推出方程中关于f依赖于x，u，时Neumann问题的解的边界梯度估。本文第二节主要给出证明所需的一些基本概念，第三节综合利用Spruck [2]，Wang [3]，Liebeman [4] 等人的技巧，用极值原理证明了一类拟线性方程Neumann问题的边界梯度估计，从而得到了一个存在性定理。

2. 预备知识

为了证明简便，本节将介绍一些基本概念及性质。设 $\Omega$ 是 ${ℝ}^n$ 中的有界区域 $n\ge 2$，$\partial \Omega \in C^3$，$a_{ij}\in C^0$ 且 $a_{ij}{\xi }_i{\xi }_j>\lambda {\left|\xi \right|}^2$，$\gamma$ 是 $\partial \Omega$ 的单位内法向。令

$d\left(x\right)=\text{dist}\left(x,\partial \Omega \right),$

${\Omega }_{\mu }=\left\{x\in \Omega :d\left(x\right)<\mu \right\}.$

则存在常数 ${\mu }_1>0$ 使得 $d\left(x\right)\in C^3\left({\bar{\Omega }}_{\mu 1}\right)$。由Simon-Spruck [9] 可知，在 ${\Omega }_{\mu 1}$ 内可取 $\gamma =Dd$，并且 $\gamma$ 是 $C^2\left({\bar{\Omega }}_{\mu 1}\right)$ 向量场。且具有以下性质：

$\left|D\gamma \right|+\left|D^2\gamma \right|\le C\left(n,\Omega \right)$ (1)

$\left|\gamma \right|=1,{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\gamma }^i{D}_j{\gamma }^i=0,}{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\gamma }^i{D}_i{\gamma }^j=0}.$

引入记号： $c^{ij}={\delta }_{ij}-{\gamma }^i{\gamma }^j$。对任一 ${ℝ}^n$ 中向量 $\zeta$，记 ${\zeta }^{\prime }$ 为 $\zeta$ 的切向部分，其第i个分量定义为

${\displaystyle \underset{1\le j\le n}{\sum }{c}^{ij}}{\zeta }_j.$

梯度 $Du$ 的切向量记为 $D^{\prime }u$，则

${\left|D^{\prime }u\right|}^2={\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{c}^{ij}}{u}_i{u}_j$ (2)

3. 主要结果

考虑如下椭圆方程的Neumann问题：

$\{\begin{array}{l}{a}_{ij}\left(\nabla u\right)u_{ij}=f\left(x,u\right),x\in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial \gamma }=\psi \left(x,u\right),x\in \partial \Omega \end{array}$ (3)

其中 $\Omega$ 是 ${ℝ}^n$ 中的有界区域， $n\ge 2$，$\partial \Omega \in C^3$，$a_{ij}\in C^0$ 且 $a_{ij}{\xi }_i{\xi }_j>\lambda {\left|\xi \right|}^2$，$\gamma$ 是 $\partial \Omega$ 的单位内法向。f和 $\psi$ 为定义在 $\bar{\Omega }\times ℝ$ 上给定的有界可微函数，设存在正常数 $M_0,L_1,L_2$ 使得

$\left|u\right|\le M_0\text{in}\bar{\Omega }$ (4)

$\left|f\left(x,z\right)\right|+\left|f_x\left(x,z\right)\right|\le L_1\forall \left(x,z,\right)\in \bar{\Omega }\times \left[-M_0,M_0\right]$ (5)

${\left|\psi \left(x,u\right)\right|}_{C^3\left(\bar{\Omega }\right)}\le L_2$ (6)

我们的主要结果为如下定理：

定理1设 $u\in C^2\left(\bar{\Omega }\right)\cap C^3\left(\Omega \right)$ 为方程(3)的解且满足式(4)。若 $f,\psi$ 满足式(5)，(6)则存在小的正常数 ${\mu }_0$ 使得

$\underset{{\bar{\Omega }}_{{\mu }_0}}{\sup }\left|Du\right|\le \max \{M_1,M_2\},$

其中 $M_1$ 为正常数只依赖于 $n,{\mu }_0,M_0,L_1$，来自于梯度内估计； $M_2$ 为正常数只依赖于 $n,\Omega ,{\mu }_0,M_0,L_1,L_2$。

因为边界梯度估计依赖于梯度内估计，所以首先叙述梯度内估计。

引理1 [10] 设 $u\in C^3\left(\Omega \right)$ 为方程

$a_{ij}\left(\nabla u\right)u_{ij}=f\left(x,u\right),x\in \Omega .$。

的解，对于 $f\in C^0\left(\bar{\Omega }\right)$，有

${\left|\nabla u\right|}_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le M_1\left\{{\left|\nabla u\right|}_{L^{\infty }\left(\partial \Omega \right)}+{\left|u\right|}_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\text{+}{\left|f\right|}_{C^0\left(\bar{\Omega }\right)}\right\}.$

其中 $M_1$ 只依赖于 $\Omega ,L$。

证明：令 $\omega =u-\psi \left(x,u\right)d$，并选取如下辅助函数

$\varphi \left(x\right)=\log {\left|Dw\right|}^2{\text{e}}^{1+M_0+u}{\text{e}}^{{\alpha }_{0}d},x\in {\bar{\Omega }}_{{\mu }_0}.$

其中 ${\alpha }_0={\left|\psi \right|}_{C^0\left(\bar{\Omega }\times \left[-M_0,M_0\right]\right)}+C_0+1$，$C_0$ 为正常数，只依赖于 $n,\Omega$ ；为了简化计算，我们令

$\phi \left(x\right)=\log \Phi \left(x\right)=\log \log {\left|D\omega \right|}^2+h\left(u\right)+g\left(d\right).$

其中

$h\left(u\right)=1+M_0+u,g\left(d\right)={\alpha }_{0}d$ (7)

设 $\phi \left(x\right)$ 在 $x_0\in {\bar{\Omega }}_{\mu 0}$ 点达到极大值，其中 $0<{\mu }_0<{\mu }_1$ 为充分小常数，将在后面确定。下面分三种情形证明定理1。

情形1： $x_0\in \partial \Omega$，由Hopf引理得 $\left|Du\right|\left(x_0\right)$ 有界，对 $\phi$ 求法向导数，再利用边界点性质即可得到，过程与参考文献6的情形1完全相同，可参照文献。

情形2：若 $x_0\in \partial {\Omega }_{\mu 0}\cap \Omega$ 则归结为内部梯度估计。由引理1，可得

$\underset{\partial {\Omega }_{\mu 0}\cap \Omega }{\sup }\left|Du\right|\le \widetilde{M_1},$

其中 $\widetilde{M_1}$ 只依赖于 $n,M_0,{\mu }_0,L_1$。

情形3：若 $x_0\in {\Omega }_{\mu 0}$，证明 $\left|Du\right|\left(x_0\right)$ 有界。

在 $x_0$ 点选择标准坐标系，设 $u_i\left(x_0\right)=0$，$2\le i\le n$，$u_1\left(x_0\right)=\left|Du\right|>0$。进一步设矩阵 ${\left\{u_{ij}\left(x_0\right)\right\}}_{i,j=2}^n$ 是对角的。取 ${\mu }_2\le \frac{1}{100L_2}$ 则

$\left|{\psi }_u\right|{\mu }_2\le \frac{1}{10}$，从而 $\frac{99}{100}\le 1-{\psi }_u{\mu }_2\le \frac{101}{100}$ (8)

选取

$d<{\mu }_0=\frac{1}{2}\min \left\{{\mu }_1,{\mu }_2,1\right\}.$

为简化计算，令

$\omega \text{=}u-G,G=\psi \left(x,u\right)d.$

则有

${\omega }_k=\left(1-G_u\right)u_k-G_{x_k}.$

因为在 $x_0$ 点，

${\left|D\omega \right|}^2={\omega }_1^2+{\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }{\omega }_i^2},$

$\begin{array}{l}{\omega }_1=\left(1-G_u\right)u_1-G_{x_1}=\left(1-G_u\right)u_1-{\psi }_{x_1}d-\psi {\gamma }^1,\\ {\omega }_i=-G_{x_i}=-{\psi }_{x_i}d-\psi {\gamma }^i,i=2,\cdots ,n.\end{array}$

由以上关系式，在 $x_0$ 点，可设

$u_1=\left|Du\right|\left(x_0\right)\ge \sqrt{3000\left(1+{\left|\psi \right|}_{C^0\left(\bar{\Omega }\times \left[-M_0,M_0\right]\right)}^2\right)},$

则有

$\frac{9}{10}{u}_1^2\le {\left|D\omega \right|}^2\le \frac{11}{10}{u}_1^2,\frac{9}{10}{u}_1^2\le {\omega }_1^2\le \frac{11}{10}{u}_1^2.$

由 ${\mu }_0$ 的选取和式(7)，我们得到

$\frac{99}{100}\le 1-G_u\le \frac{101}{100}.$

此种证明较长，下面分两步完成定理的证明，以下计算均在 $x_0$ 点进行。

第一步：先推导 $\Delta \phi$，对 $\phi$ 微分两次，并由 ${\phi }_i\left(x_0\right)=0$，可得

$\begin{array}{c}{\phi }_{ij}=\frac{{\left({\left|D\omega \right|}^2\right)}_{ij}}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}+h^{\prime }{u}_{ij}+\left[h^{″}-\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right){h^{\prime }}^2\right]u_i{u}_j\\ \text{+}\left[g^{″}-\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right){g^{\prime }}^2\right]{\gamma }^i{\gamma }^j-\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right)h^{\prime }{g}^{\prime }\left({\gamma }^i{u}_j+{\gamma }^j{u}_i\right)+g^{\prime }{\left({\gamma }^i\right)}_j.\end{array}$

从而可得

$0\ge {\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}^{ij}{\phi }_{ij}=I_1+I_2}$ (9)

其中

$I_1=\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}^{ij}{\left({\left|D\omega \right|}^2\right)}_{ij}},$

$\begin{array}{c}{I}_2={\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}^{ij}\{h^{\prime }{u}_{ij}+\left[h^{″}-\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right){h^{\prime }}^2\right]u_i{u}_j+\left[g^{″}-\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right){g^{\prime }}^2\right]{\gamma }^i{\gamma }^j}\\ -\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right)h^{\prime }{g}^{\prime }\left({\gamma }^i{u}_j+{\gamma }^j{u}_i\right)+g^{\prime }{\left({\gamma }^i\right)}_j\}.\end{array}$

由 $a_{ij}\in C^0$，$a_{ij}{\xi }_i{\xi }_j>\lambda {\left|\xi \right|}^2$，以及坐标系的选取和方程(3)式(7)可得

$\begin{array}{c}{I}_2=h^{\prime }f-a_{ij}{u}_i{u}_j{h^{\prime }}^2\log {\left|D\omega \right|}^2+a_{ij}{u}_i{u}_j\left[h^{″}-{h^{\prime }}^2\right]+a_{ij}\left[g^{″}-\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right){g^{\prime }}^2\right]{\gamma }^i{\gamma }^j\\ -2a_{i1}\left(1+\log {\left|D\omega \right|}^2\right)h^{\prime }{g}^{\prime }\left({\gamma }^i{u}_1\right)+a_{ij}{g}^{\prime }{\left({\gamma }^i\right)}_j\\ \ge f-\lambda \log {\left|D\omega \right|}^2{u}_1^2-C_1{u}_1^2-C.\end{array}$

其中 $C_1$ 为正常数只依赖于 $n,\Omega ,{\mu }_0,M_0,\lambda ,L_2$，下面计算 $I_1$。

对 ${\left|D\omega \right|}^2$ 微分两次，我们有

${\left({\left|D\omega \right|}^2\right)}_{ij}=2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k{\omega }_{ijk}+2}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_{ki}{\omega }_{kj}}$ (10)

将式(10)代入 $I_1$ 中，可重写为

$I_1=\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}\left[2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{a}_{ij}{\omega }_k{\omega }_{ijk}+2}{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{a}_{ij}{\omega }_{ki}{\omega }_{kj}}\right].$

下面我们处理 $I_1$，因为我们已经令

$\omega =u-G,G=\psi \left(x,u\right)d.$

则有

$\begin{array}{l}{\omega }_{ki}=\left(1-G_u\right)u_{ki}-G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i},\\ {\omega }_{kij}=\left(1-G_u\right)u_{kij}-G_{uu}\left(u_{ki}{u}_j+u_{kj}{u}_i+u_{ij}{u}_k\right)-G_{u{x}_i}{u}_{kj}-G_{u{x}_j}{u}_{ki}-G_{u{x}_k}{u}_{ij}-G_{uuu}{u}_k{u}_i{u}_j\\ -G_{uu{x}_i}{u}_k{u}_j-G_{uu{x}_j}{u}_k{u}_i-G_{uu{x}_k}{u}_i{u}_j-G_{u{x}_k{x}_j}{u}_i-G_{u{x}_i{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_i{x}_k}{u}_j-G_{x_i{x}_k{x}_j}.\end{array}$

因此

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{a}_{ij}{\omega }_k{\omega }_{ijk}}={\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }\left(1-G_u\right){\omega }_k{a}_{ij}{u}_{kij}}-G_{uu}{\omega }_1{u}_{1}f-2G_{uu}{a}_{i1}{u}_1{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_{ki}-f{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{G}_{u{x}_k}\\ -2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{u{x}_i}{u}_{kj}-a_{11}{G}_{uuu}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_1^2-2{\omega }_1{u}_1^2{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{a}_{i1}}{G}_{uu{x}_i}-a_{11}{G}_{uu{x}_k}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_1^2\\ -{\omega }_1{u}_1{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}_{ij}}{G}_{u{x}_i{x}_j}-2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\omega }_k{a}_{i1}}{G}_{u{x}_i{x}_k}{u}_1-{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{x_i{x}_k{x}_j}.\end{array}$

对方程 $a_{ij}\left(\nabla u\right)u_{ij}=f\left(x,u\right)$，求导可得

${\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{a}_{ij}{u}_{ijk}=-{\left(a_{ij}\right)}_{p_l}}{u}_{lk}{u}_{ij}+D_{k}f.$

且 $D_{k}f=f_{x_k}+f_u{u}_k$，我们设 ${\left(a_{ij}\right)}_{p_l}<C$，因此

$\begin{array}{c}{I}_1=\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}\left[2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{a}_{ij}{\omega }_k{\omega }_{ijk}}+2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{a}_{ij}{\omega }_{ki}{\omega }_{kj}}\right]\\ =\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}\{{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }2a_{ij}\left[{\left(1-G_u\right)}^2{u}_{ki}{u}_{kj}\right]}\\ -2a_{ij}\left(1-G_u\right)u_{kj}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)-2a_{ij}\left(1-G_u\right)u_{ki}\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j}\right)+2a_{ij}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)\\ \left(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j}\right)+2[{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }\left(1-G_u\right){\omega }_k\left(-{\left(a_{ij}\right)}_{p_l}{u}_{lk}{u}_{ij}+f_{x_k}+f_u{u}_k\right)}\\ -G_{uu}{\omega }_1{u}_{1}f-2G_{uu}{a}_{i1}{u}_1{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_{ki}-f{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{G}_{u{x}_k}-2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{u{x}_i}{u}_{kj}\\ -a_{11}{G}_{uuu}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_1^2-2{\omega }_1{u}_1^2{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{a}_{i1}}{G}_{uu{x}_i}-a_{11}{G}_{uu{x}_k}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_1^2-{\omega }_1{u}_1{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}_{ij}}{G}_{u{x}_i{x}_j}\\ -2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\omega }_k{a}_{i1}}{G}_{u{x}_i{x}_k}{u}_1-{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{x_i{x}_k{x}_j}].\end{array}$

将 $I_1$ 和 $I_2$ 代入式(9)，我们可以得到

$0\ge {\displaystyle \underset{1\le i,j\ge n}{\sum }{a}_{ij}{\phi }_{ij}=Q_1+Q_2+Q_3.}$

其中 $Q_1$ 包含 $u_{ij}$ 所有二次项， $Q_2$ 包含 $u_{ij}$ 所有的一次项，其他剩余项记为 $Q_3$

$Q_1=\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}\left[{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }2a_{ij}{\left(1-G_u\right)}^2{u}_{ki}{u}_{kj}-2\left(1-G_u\right){\omega }_k{\left(a_{ij}\right)}_{p_l}{u}_{lk}{u}_{ij}}\right].$

$\begin{array}{c}{Q}_2=\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}[-2a_{ij}\left(1-G_u\right)u_{kj}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)-2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{u{x}_i}{u}_{kj}\\ -2a_{ij}\left(1-G_u\right)u_{ki}\left(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j}\right)-2G_{uu}{a}_{i1}{u}_1{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_{ki}].\end{array}$

$\begin{array}{c}{Q}_3=I_2+\frac{1}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}2[{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }\left(1-G_u\right){\omega }_k}\left(f_{x_k}+f_u{u}_k\right)+2a_{ij}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)\\ \left(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j}\right)-G_{uu}{\omega }_1{u}_{1}f-f{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{G}_{u{x}_k}-a_{11}{G}_{uuu}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_1^2-2{\omega }_1{u}_1^2{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{a}_{i1}}{G}_{uu{x}_i}\\ -a_{11}{G}_{uu{x}_k}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_1^2-{\omega }_1{u}_1{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}_{ij}}{G}_{u{x}_i{x}_j}-2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\omega }_k{a}_{i1}}{G}_{u{x}_i{x}_k}{u}_1-{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{x_i{x}_k{x}_j}].\end{array}$

对 $I_2$ 的估计有

$Q_3\ge f-\lambda \log {\left|D\omega \right|}^2{u}_1^2-C_2{u}_1^2-\frac{2G_{uu}{\omega }_1{u}_{1}f}{{\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2}.$

其中 $C_2$ 为正常数只依赖于 $n,\Omega ,{\mu }_0,M_0,\lambda ,L_2$。

第二步：记 $A={\left|D\omega \right|}^2\log {\left|D\omega \right|}^2$，利用一阶导数条件化简 $Q_1$ 、 $Q_2$ 中的每一项，由条件 ${\phi }_i\left(x_0\right)=0$，和坐标系的选取得

$u_{1i}=-\frac{1}{{\omega }_1}{\omega }_i{u}_{ii}-\frac{g^{\prime }{\gamma }^i}{2\left(1-G_u\right)}\frac{A}{{\omega }_1}+\frac{G_{u{x}_i}}{1-G_u}{u}_1+\frac{G_{x_k{x}_i}}{1-G_u}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k},i=2,\cdots ,n,$

$u_{11}={\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }\frac{{\omega }_i^2}{{\omega }_1^2}{u}_{ii}}-\frac{h^{\prime }}{2\left(1-G_u\right)}\frac{A{u}_1}{{\omega }_1}+\frac{D}{1-G_u}.$

其中

$\begin{array}{c}D=G_{uu}{u}_1^2-\frac{g^{\prime }{\gamma }^1}{2}\frac{A}{{\omega }_1}+G_{u{x}_1}{u}_1+\frac{u_1}{{\omega }_1}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{G}_{x_k{x}_i}+\frac{g^{\prime }}{2}{\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }{\omega }_i}{\gamma }^i\frac{A}{{\omega }_1^2}\\ -\frac{u_1}{{\omega }_1}{\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }{\omega }_i}{G}_{x_{i}u}+\frac{1}{{\omega }_1}{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{G}_{x_k{x}_1}-\frac{1}{{\omega }_1^2}{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{\omega }_i{G}_{x_k{x}_i}.\end{array}$ (11)

从而

$\left|D\right|\le C_3{u}_1^2.$

其中 $C_3$ 为正常数只依赖于 $n,\Omega ,{\mu }_0,M_0,\lambda ,L_1,L_2$。

$\begin{array}{l}{u}_{ki}=-\frac{h^{\prime }}{2\left(1-G_u\right)}\frac{A{u}_i}{{\omega }_k}+\frac{G_{uu}}{1-G_u}{u}_i{u}_k-\frac{g^{\prime }{\gamma }^i}{2\left(1-G_u\right)}\frac{A}{{\omega }_k}+\frac{G_{u{x}_i}}{1-G_u}{u}_k\\ +\frac{G_{u{x}_k}}{1-G_u}{u}_i+\frac{G_{x_i{x}_k}}{1-G_u},i=1,\cdots ,n.\end{array}$

处理 $Q_1$ 、 $Q_2$ 每一项

$\begin{array}{l}{Q}_1:{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }2a_{ij}{\left(1-G_u\right)}^2{u}_{ki}{u}_{kj}}\\ ={\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }\frac{{h^{\prime }}^2}{2}\frac{A^2}{{\omega }_k}{a}_{ij}{u}_i{u}_j}+{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}_{1j}}\frac{h^{\prime }{g}^{\prime }{\gamma }^j}{4}\frac{A^2{u}_1}{{\omega }_k^2}+{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{a}_{i1}}\frac{h^{\prime }{g}^{\prime }{\gamma }^j}{4}\frac{A^2{u}_1}{{\omega }_k^2}\\ +{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }2a_{ij}[\frac{h^{\prime }{\gamma }^i{\gamma }^j}{4}}\frac{A^2}{{\omega }_k}-\frac{h^{\prime }}{2}\frac{A{u}_i}{{\omega }_k}\left(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j}\right)\\ -\frac{h^{\prime }}{2}\frac{A{u}_j}{{\omega }_k}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)-\frac{g^{\prime }{\gamma }^i}{2}\frac{A}{{\omega }_k}(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k\\ -G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j})-\frac{g^{\prime }{\gamma }^j}{2}\frac{A}{{\omega }_k}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)],\end{array}$

$\begin{array}{l}-2\left(1-G_u\right){\omega }_k{\left(a_{ij}\right)}_{p_l}{u}_{lk}{u}_{ij}\\ =[{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{h}^{\prime }A{u}_l-{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{G}_{uu}{\omega }_1{u}_1{u}_l+{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{g}^{\prime }{\gamma }^{l}A-2{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{\omega }_1{u}_1{G}_{u{x}_l}\\ -{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\left(a_{ij}\right)}_{pl}}{\omega }_k{u}_l{G}_{u{x}_k}-{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\left(a_{ij}\right)}_{pl}}{\omega }_k{G}_{x_l{x}_k}]{\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }\frac{{\omega }_i^2}{{\omega }_1^2}{u}_{ii}}+\frac{{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{h^{\prime }}^2}{2\left(1-G_u\right)}\frac{A^2{u}_1}{{\omega }_1}+AO\left(u_1^2\right).\end{array}$

$\begin{array}{l}{Q}_2:-2a_{ij}\left(1-G_u\right)u_{kj}\left(G_{uu}{u}_k{u}_i-G_{u{x}_i}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_i-G_{x_k{x}_i}\right)=AO\left(u_1^2\right),\\ -2a_{ij}\left(1-G_u\right)u_{ki}\left(G_{uu}{u}_k{u}_j-G_{u{x}_j}{u}_k-G_{u{x}_k}{u}_j-G_{x_k{x}_j}\right)=AO\left(u_1^2\right),\\ -2{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }{\omega }_k}{a}_{ij}{G}_{u{x}_i}{u}_{kj}=AO\left(u^1\right),\\ -2G_{uu}{a}_{i1}{u}_1{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\omega }_k}{u}_{ki}=AO\left(u_1^2\right).\end{array}$

所以得到

$0\ge {\displaystyle \underset{1\le i,j\ge n}{\sum }{a}_{ij}{\phi }_{ij}=Y_1+Y_2.}$

其中 $Y_1$ 只包含含有 $u_{ii}$ 的项，其他剩余项记为 $Y_2$

$\begin{array}{l}{Y}_1=[{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{h}^{\prime }A{u}_l-{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{G}_{uu}{\omega }_1{u}_1{u}_l+{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{g}^{\prime }{\gamma }^{l}A-2{\left(a_{ij}\right)}_{pl}{\omega }_1{u}_1{G}_{u{x}_l}\\ -{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\left(a_{ij}\right)}_{pl}}{\omega }_k{u}_l{G}_{u{x}_k}-{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\left(a_{ij}\right)}_{pl}}{\omega }_k{G}_{x_l{x}_k}]{\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }\frac{{\omega }_i^2}{{\omega }_1^2}}{u}_{ii}\\ ={\displaystyle \underset{2\le i\le n}{\sum }{K}^i{u}_{ii}}.\end{array}$

有

$\left|K^i\right|\le C_{4}A.$

根据方程(3)和式(11)得

$Y_1\ge C_5{u}_1^2.$

由 $Q_3$ 的估计以及 $a_{ij}{\xi }_i{\xi }_j>\lambda {\left|\xi \right|}^2$ 得到 $Y_2$ 的估计

$\begin{array}{c}{Y}_2\ge -\lambda \log {\left|D\omega \right|}^2{u}_1^2+{\displaystyle \underset{1\le i,j,k\le n}{\sum }\frac{{h^{\prime }}^2}{2}\frac{A}{{\omega }_k}{a}_{ij}{u}_i{u}_j}+{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{a}_{1j}}\frac{h^{\prime }{g}^{\prime }{\gamma }^j}{4}\frac{A{u}_1}{{\omega }_k^2}\\ +{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{a}_{i1}}\frac{h^{\prime }{g}^{\prime }{\gamma }^j}{4}\frac{A{u}_1}{{\omega }_k^2}-C_6{u}_1^2\\ \ge \frac{\lambda }{4}\log {\left|D\omega \right|}^2{u}_1^2-C_7{u}_1^2.\end{array}$

由 $Y_1$ 的估计和 $Y_2$ 的估计

$0\ge {\displaystyle \underset{1\le i,j\ge n}{\sum }{a}_{ij}{\phi }_{ij}}\ge \frac{\lambda }{4}\log {\left|D\omega \right|}^2{u}_1^2-C_8{u}_1^2.$