¹天津职业技术师范大学理学院，天津

²上海电子信息职业技术学院数学系，上海

收稿日期：2023年2月6日；录用日期：2023年3月6日；发布日期：2023年3月14日

摘要

本文给出了双曲线上的Riemann边值问题的解法。首先我们通过共形映射的方法将沿封闭曲线剖开的分区全纯函数在无穷远点处Cauchy型积分的性质，Plemelj公式以及Cauchy主值积分在无穷远处的性质推广到双曲线上，利用共形映射将无限长的双曲线上的Riemann边值问题转化为封闭曲线上的Riemann边值问题，利用已有的封闭曲线上的Riemann边值问题的解法对不同情况下的双曲线上的Riemann边值问题进行求解，验证。

关键词

双曲线，Plemelj公式，Riemann边值问题

Riemann Boundary Value Problems on the Hyperbola

Yuqiu Wei¹, Hua Liu²

¹College of Science, Tianjin University of Technology and Education, Tianjin

²Department of Mathematics, Shanghai Technical Institute of Electronics Information, Shanghai

Received: Feb. 6^th, 2023; accepted: Mar. 6^th, 2023; published: Mar. 14^th, 2023

ABSTRACT

This article gives the solution to the Riemann boundary value problem on hyperbolas. Firstly, we generalize the properties of Cauchy-type integrals at infinity of the partition holomorphic function cut along the closed curve by the method of conformal mapping, the Plemelj formula and the properties of Cauchy principal integrals at infinity, and use conformal mapping to transform the Riemann boundary value problem on the infinite hyperbola into the Riemann boundary value problem on the closed curve. The solution method of the Riemann boundary value problem on the existing closed curve is used to solve the Riemann boundary value problem on the hyperbola and verify.

Keywords:Hyperbola, Plemelj Formula, Riemann Boundary Value Problem

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

Riemann边值问题是解析函数边值问题中极为重要的研究问题之一，是力学、工程技术中有力的工具。上世纪五十年代，以N I Muskhelishvili [1] 为首的前苏联科学院士把复边值问题的研究推向了顶峰和纯熟，成功将解析函数边值问题和奇异积分方程进行联系和转化，并以专著《Singular Integral Equations》闻名于世，F D Gakhov的专著 [2] 也总结了这方面的工作。近年来，路见可教授 [3] 在Riemann边值问题上给出了很多经典结果，其专著《解析函数边值问题》详细论述了封闭曲线以及开口曲线的Riemann边值问题以及解的形式。对于探讨无穷曲线上的Riemann边值问题相关的文章少之又少，这主要是由于以无穷曲线(包括实轴在内)为跳跃曲线的分区全纯函数在无穷远点处的主部及阶没有给出适当的定义。本文将阐述在开口无限长双曲线L和Hölder连续系数下的最基本的Riemann边值问题，通过共形映射将双曲线转化为封闭曲线，从一般的求解Riemann边值问题的方法出发，讨论双曲线上的Riemann边值问题，并利用Plemelj公式进一步讨论对于不同条件下Riemann边值问题的可解条件以及解的形式。虽然结论与经典意义下的有限曲线的相关结论类似，但是数学本质上却有着极大的差异，并非是经典理论结果的简单推理。

2. 基础知识

设双曲线 $L\left(x^2-y^2=1\right)$ (右支即 $x\ge 1$ )为跳跃曲线分区全纯函数的Riemann边值问题所选取的无限长开口曲线，它也被认为是函数 $x=\phi \left(y\right)=\sqrt{y^2+1}$ ，取双曲线L至上而下的方向为正方向。本文定义 $l_a$ 为 $\phi \left(a\right)+ia$ ， ${\infty }^{\pm }$ 分别表示为L上上下无穷远处的点。定义复平面 $ℂ$ 由以下两个相连部分组成，并且默认右侧部分为 $S^{+}$ 以及左侧部分为 $S^{-}$ 。用 $\rho$ 表示映射 $r\left(z\right)=\frac{1}{z}$ 。

定义1 [4] 设f是定义在双曲线L上的一子弧段(开口弧段或者包含端点，有限或无限)上，若对L上任意两点 $t^{\prime }$ ， $t^{″}$ 成立

$\left|f\left(t^{\prime }\right)-f\left(t^{″}\right)\right|\le M{\left|t^{\prime }-t^{″}\right|}^{\mu }$ , $0<\mu \le 1$ , (1)

其中M和 $\mu$ 是确定的常数，则称f在L上满足 $\mu$ 阶的Hölder条件或 $H^{\mu }$ 条件，记为 $f\in H^{\mu }\left(L\right)$ ，其中 $\mu$ 称为Hölder指数。若不强调指数 $\mu$ ，也可简记为 $f\in H\left(L\right)$ 。

定义2 [4] 设f定义在双曲线L上的一段无限长弧段 $\stackrel{⌢}{l_{{\infty }^{+}}{l}_a}\cup \stackrel{⌢}{l_a{l}_{{\infty }^{-}}}$ ，且 $f\in H^{\mu }\left(L\right)$ 。若对L上任意两点 $t^{\prime }$ ， $t^{″}$ 成立

$\left|f\left(t^{\prime }\right)-f\left(t^{″}\right)\right|\le M{\left|\frac{1}{t^{\prime }}-\frac{1}{t^{″}}\right|}^{\mu }$ , $0<\mu \le 1$ , (2)

其中M和 $\mu$ 是确定的常数。则称f在 $\infty$ 附近满足 $\mu$ 阶的 $\hat{H}$ 条件。记为 $f\in {\hat{H}}^{\mu }\left(\infty \right)$ ，或者记为 $f\in \hat{H}\left(\infty \right)$ 。

定义3 [4] 设 $f\in {\hat{H}}^{\mu }\left(L^{\prime }\right)$ ，对任一闭子弧段 $L^{\prime }=\stackrel{⌢}{{l^{\prime }}_a{l^{\prime }}_b}\in L$ 成立，则记为 $f\in H_c^{\mu }\left(L\right)$ 或简记为 $f\in H_c\left(L\right)$ 。

注1 若 $f\in {\hat{H}}^{\mu }\left(\infty \right)$ 且 $f\left(\infty \right)=0$ ，我们记为 $f\in {\hat{H}}_0^{\mu }\left(\infty \right)$ 或简记为 $f\in {\hat{H}}_0\left(\infty \right)$ 。

假设f是定义在双曲线L上的函数，当 $t\to \infty$ 时，若存在实数 $\nu$ 和有界函数 $f^{*}$ ，使得 $f\left(t\right)=\frac{f^{*}\left(t\right)}{t^{\nu }}$ ，或等价地 $f\left(t\right)=O\left(t^{-\nu }\right)$ ，我们将其记为 $f\in O^{\nu }\left(\infty \right)$ 。

定义4 [4] 设f定义在双曲线L上，且在任一有限闭子弧段 $L^{\prime }=\stackrel{⌢}{{l^{\prime }}_a{l^{\prime }}_b}\in L$ 上可积，我们称

$\begin{array}{cc}\left(C\left[f\right]\right)\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{f\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }& z\in ℂ\backslash L\end{array}$ , (3)

为双曲线L上带核密度为f的Cauchy型积分或简称为Cauchy型积分。

引理1 [5] (Cauchy型积分在无穷远处的广义主部)若 $f\in H\left(L\right)O^{\nu }\left(\infty \right)\left(\nu >0\right)$ ，且在任意闭子弧段 $L^{\prime }=\stackrel{⌢}{{l^{\prime }}_a{l^{\prime }}_b}\in L$ 上可积，则

$G.P\left[C\left[f\right],\infty \right]=0$ , (4)

其中 $C\left[f\right]$ 是(3)中所给的Cauchy型积分。

推论1 [5] (Cauchy型积分在无穷远处(广义)主部的有限展式)若 $f\in H_{\lambda ,v}^{\mu }\left(L\right)\left(v>0\right)$ 其中 $\lambda$ 是一个正整数，且假定在任意闭子弧段 $L^{\prime }=\stackrel{⌢}{{l^{\prime }}_a{l^{\prime }}_b}\in L$ 上可积，则

$G.P\left[z^{\lambda }C\left[f\right],\infty \right]\left(z\right)=-{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\lambda -1}\frac{z^{\lambda -1-k}}{2\pi i}}{\displaystyle {\int }_{L}f\left(\tau \right){\tau }^k\text{d}\tau }$ , (5)

其中 $C\left[f\right]$ 是(3)中所给的Cauchy型积分。

引理2 [5] (Cauchy型积分的边值)若 $f\in H_c^u\left(L\right)\cap O^v\left(\infty \right)\left(v>0\right)$ ，则它的Cauchy型积分 $C\left[f\right]$ 有正负边值，并且满足下面Plemelj公式

$\{\begin{array}{l}C{\left[f\right]}^{+}\left(z\right)=\frac{1}{2}f\left(z\right)+\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{f\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }\\ C{\left[f\right]}^{-}\left(z\right)=-\frac{1}{2}f\left(z\right)+\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{f\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }\end{array}z\in L$ , (6)

其中上式出现的积分是双曲线L上的Cauchy主值积分。

引理3 [5] 若 $f\in H_c^u\left(L\right)\cap O^v\left(\infty \right)\left(v>0\right)$ 则(3)中所给的Cauchy型积分 $C\left[f\right]$ 是以双曲线L为跳跃曲线的分区全纯函数。

定义5令 $z=\sqrt{1+x^2}+ix$ ，如果 $\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2\pi i}\left[{\displaystyle {\int }_{L_{-\infty }}^{L_{z-\delta }}\frac{f\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }+{\displaystyle {\int }_{L_{z+\delta }}^{L_{+\infty }}\frac{f\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }\right]$ 存在，记为

$\left(C\left[f\right]\right)\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{f\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }$ , $z\in L$ , (7)

则称它为双曲线L上带密度f的Cauchy主值积分。

引理4 [6] (Cauchy主值积分的Hölder连续性)若 $f\in {\hat{H}}^{\mu }\left(L\right)$ ，则对于(7)所给的Cauchy主值积分 $C\left[f\right]$ 以及(6)所给的Cauchy型积分的边值 $C{\left[f\right]}^{\pm }\left(z\right)$ ，有

$C\left[f\right],C{\left[f\right]}^{\pm }\in \{\begin{array}{l}{\hat{H}}^{\mu }\left(L\right),当0<u<1时\\ {\hat{H}}^{\epsilon }\left(L\right)\left(0<\epsilon <1\right),当u=1时\end{array}$ (8)

3. Riemann边值问题

考虑双曲线L上的Riemann边值问题：寻求以双曲线L为跳跃曲线的分区全纯函数 $\Phi \left(z\right)$ ，使之满足

$\{\begin{array}{l}{\Phi }^{+}\left(t\right)=G\left(t\right){\Phi }^{-}\left(t\right)+g\left(t\right),t\in L\left(边值条件\right)\\ \begin{array}{cc}G.P\left[z^{-\left(m+1\right)}\Phi ,\infty \right]=0& \left(无穷远处增长条件\right)\end{array}\end{array}$ , (9)

其中m为整数，G和g为L上给定的函数，Riemann边值问题(9)记为 $R_m$ 问题。为解决此问题，G和g需要满足一些条件，下文逐一探讨。

下面讨论最简单的 $R_m$ 问题即Liouville问题。

问题1 (Liouville问题)寻求一个分区全纯函数 $\Phi$ ，以双曲线L为跳跃曲线，满足

$\{\begin{array}{l}{\Phi }^{+}\left(t\right)={\Phi }^{-}\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[z^{-\left(m+1\right)}\Phi ,\infty \right]=0.\end{array}$ (10)

定理1当 $m\ge 0$ 时，Liouville问题(10)的解为任意次数不超过m的多项式 $P_m\left(z\right)$ ，当 $m<0$ 时， $\Phi =0$ 。换句话讲， $\Phi \left(z\right)=P_m\left(z\right)$ ，其中约定当 $m<0$ ， $P_m\left(z\right)=0$ 。

证利用Painlevé问题的解以及推广的Liouville定理，结论显然成立。

注此引理与文献 [3] 中经典的Liouville问题在形式上是一致的，但本质上却有所不同，本处在无穷远点处的增长性条件更为宽泛，推广了经典的Liouville定理。

问题2 (跳跃问题R_m) 寻求一个分区全纯函数 $\Phi$ ，以双曲线L为跳跃曲线，满足

$\{\begin{array}{l}{\Phi }^{+}\left(t\right)-{\Phi }^{-}\left(t\right)=g\left(t\right),t\in L,\\ G.P\left[z^{-\left(m+1\right)}\Phi ,\infty \right]=0,\end{array}$ (11)

其中

$g\in {\hat{H}}_{m_0,0}\left(L\right)$ , $m_0=\max \left\{0,-m-1\right\}$ . (12)

下面先解决我们常见的 $R_{-1}$ 问题，即 $m=-1$ 。

问题3 (跳跃问题R₋₁) 寻求一个分区全纯函数Φ，以双曲线L为跳跃曲线，满足

$\{\begin{array}{l}{\Phi }^{+}\left(t\right)-{\Phi }^{-}\left(t\right)=g\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[\Phi ,\infty \right]=0,\end{array}$ (13)

其中 $g\in {\hat{H}}_0\left(L\right)$ 。

定理2 $R_{-1}$ 问题(13)有唯一解

$\left(C\left[g\right]\right)\left(t\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{g\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }$ , $z\in ℂ\backslash L$ . (14)

证根据 $g\in {\hat{H}}_0\left(L\right)$ ，利用Plemelj公式(6)以及引理5，可知 $C\left[g\right]$ 是 $R_{-1}$ 问题(13)的解。

引理6当 $m\ge 0$ 时， $R_m$ 问题(11)的解是

$\Phi \left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{g\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }+P_m\left(z\right)$ , $z\in ℂ\backslash L$ , (15)

其中 $P_m\left(z\right)$ 是次数不超过m的任意多项式。当 $m=-1$ 时， $R_m$ 问题(11)有唯一解 $C\left[g\right]$ ，由(14)给出。当 $m<-1$ ，当且仅当如下可解条件

$\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{L}g\left(\tau \right){\tau }^k\text{d}\tau }=0$ , $k=0,1,\cdots ,-m-2$ , (16)

成立， $R_m$ 问题(11)由(14)给出的唯一解 $C\left[g\right]$ 。

证 显然，当 $m\ge 0$ 时，由定理2可知， $C\left[g\right]$ 是跳跃问题(11)的解。因此， $\Phi$ 是跳跃问题(11)的解，当且仅当 $\Delta =\Phi -C\left[g\right]$ 是如下Liouville问题的解

$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{+}\left(t\right)={\Delta }^{-}\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[z^{-\left(m+1\right)}\Delta ,\infty \right]=0,\end{array}$ (17)

从而，由定理1，结论显然成立。

当 $m<0$ 时，显然(11)的解正好是 $R_{-1}$ 跳跃问题(13)的解。因此通过定理2，当且仅当满足无穷远处的增长条件

$G.P\left[z^{-\left(m+1\right)}C\left[g\right],\infty \right]=0$ , (18)

时，(11)有唯一解 $C\left[g\right]$ 。

为验证此条件，由g的假设(12)可知， $\underset{z\in ℂ\backslash L,z\to \infty }{\lim }\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{g\left(t\right)}{\tau -z}\text{d}\tau }=0$ 。

进一步地，根据推论1可知：

$z^{-\left(m+1\right)}C\left[g\right]\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{g\left(t\right)z^{-\left(m+1\right)}}{\tau -z}\text{d}\tau }=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{g\left(t\right)\left(z^{-\left(m+1\right)}-{\tau }^{-\left(m+1\right)}\right)}{\tau -z}\text{d}\tau }+\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{g\left(t\right){\tau }^{-\left(m+1\right)}}{\tau -z}\text{d}\tau }$ ,

可得(18)等价于(16)。

问题4 (跳跃问题O_m)寻求一个分区全纯函数 $\Phi$ ，以双曲线L为跳跃曲线，满足

$\{\begin{array}{l}{\Phi }^{+}\left(t\right)-{\Phi }^{-}\left(t\right)=g\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[z^{-m}\Phi ,\infty \right]=1,\end{array}$ (19)

其中 $g\in {\hat{H}}_{-m,0}\left(L\right)$ 。当 $m\ge 0$ 时， $g\in {\hat{H}}_0\left(L\right)$ 。当 $m<0$ 时， $g\in {\hat{H}}_{-m}\left(L\right)$ 。

定理4当 $m\ge 0$ 时，跳跃问题(19)的解是

$\Phi \left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{g\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }+p_m$ , $z\in ℂ\backslash L$ , (20)

其中 $P_m$ 为任意m次的首一多项式。

当m < 0时，跳跃问题(19)的解为

$\Phi \left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{g\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }$ , $z\in ℂ\backslash L$ , (21)

当且仅当可解条件

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{L}g\left(\tau \right){\tau }^k\text{d}\tau }=0,k=0,1,\cdots ,-m-2\left(m=-1此条件不出现\right)\\ \frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{L}g\left(\tau \right){\tau }^{-m-1}\text{d}\tau }=-1,\end{array}$ (22)

成立。

证 由引理5以及Plemelj公式(6)，结论显而成立。

问题5 (齐次问题) 寻求一个分区全纯函数 $\Phi$ ，以双曲线L为跳跃曲线，满足

$\{\begin{array}{l}{\Phi }^{+}\left(t\right)=G\left(t\right){\Phi }^{-}\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[z^{-m-1}\Phi ,\infty \right]=0,\end{array}$ (23)

其中 $G\left(t\right)$ 满足Hölder连续条件

$G\in {\hat{H}}_0\left(L\right)$ , (24)

以及正则性条件

$G\left(t\right)\ne 0$ , $t\in L$ . (25)

另外，无穷远处增长性条件

$G\left(\infty \right)=1$ , $\log G\in {\hat{H}}_0\left(L\right)$ , (26)

成立。

记

$\kappa =In{d}_{t}G\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\left[argG\left(t\right)\right]}_t$ , (27)

为齐次问题(23)的指标。

问题6 (典则问题) 寻求一个分区全纯函数Φ，以双曲线L为跳跃曲线，满足

$\{\begin{array}{l}{\Phi }^{+}\left(t\right)=G\left(t\right){\Phi }^{-}\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[z^{\kappa }\Phi ,\infty \right]=1.\end{array}$ (28)

记

$\Gamma \left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\log G\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }$ , $z\in ℂ\backslash L$ . (29)

由条件(24)~(26)可得

$\log G\in {\hat{H}}_0\left(L\right)$ , (30)

从而，由定理1知

$\Gamma \left(\infty \right)=0$ . (31)

令

$X\left(z\right)=z^{-\kappa }{\text{e}}^{\Gamma \left(z\right)}$ , $z\in ℂ\backslash L$ , (32)

则由(31)，可得

$G.P\left[z^{\kappa }X,\infty \right]=1$ , (33)

利用(30)和定理2，可得

$X^{+}\left(t\right)=G\left(t\right)X^{-}\left(t\right)$ , $t\in L$ , (34)

从而由(33)，(34)可知，X是典则问题(28)的解。

下面证明解的唯一性，若X是典则问题(28)的解，令

$Q\left(z\right)=\frac{\Phi \left(z\right)}{X\left(z\right)}$ , $z\in ℂ\backslash L$ , (35)

故由参考文献 [2] [3] 可知，(35)中所给出的Q是以L为跳跃曲线的分区全纯函数，又由(28)和(33)可知，它满足

$\{\begin{array}{l}{Q}^{+}\left(t\right)=Q^{-}\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[Q,\infty \right]=1,\end{array}$ (36)

因此，由定理4可知

$Q=1$ 即 $\Phi =X$ 。 (37)

总结上述讨论可得下面引理。

定理5在条件(24)~(26)下，典则问题(28)有唯一解X，X由(32)给出。

因此，我们称(32)中X为齐次问题(23)的典则解。利用该典则解，我们容易得出齐次问题(23)的解。

显然，若 $\Phi$ 是齐次问题(23)的解，则(35)中Q是如下Liouville问题的解

$\{\begin{array}{l}{Q}^{+}\left(t\right)=Q^{-}\left(t\right),t\in L\\ G.P\left[z^{-\left(m+1+\kappa \right)}Q,\infty \right]=0.\end{array}$ (38)

利用定理1，可以直接得到

$\Phi \left(z\right)=X\left(z\right)P_{\kappa +m}\left(z\right)$ , $z\in ℂ\backslash L$ , (39)

其中 $\kappa$ 是(27)中所给的指标， $P_{\kappa +m}$ 是次数不超过 $\kappa +m$ 的任意多项式，当 $\kappa +m<0$ 时，约定 $P_{\kappa +m}=0$ 此外容易验证，(39)中的 $\Phi$ 为齐次问题(23)的解。

引理5当 $\kappa \ge -m$ 时，齐次问题(23)的解是(39)。当 $\kappa <-m$ 时，齐次问题(23)有唯一解 $\Phi =0$ 。

现在求解 $R_m$ 问题(9)，为此，利用(28)，令

$F\left(z\right)=\frac{\Phi \left(z\right)}{X\left(z\right)}$ , $z\in ℂ\backslash L$ , (40)

那么可知，F是以双曲线L为跳跃曲线的分区全纯函数，非齐次 $R_m$ 问题(9)可转化为下面跳跃问题

$\{\begin{array}{l}{F}^{+}\left(t\right)=F^{-}\left(t\right)+\frac{g\left(t\right)}{X^{+}\left(t\right)},t\in L\\ G.P\left[z^{-\left(m+1+\kappa \right)}F,\infty \right]=0.\end{array}$ (41)

在条件(12)、(24)~(26)，可证下式成立

$\frac{g}{X^{+}}\in {\hat{H}}_{0,m_{\kappa }}\left(L\right)$ ，其中 $m_k=\max \left\{0,-\left(m+1+\kappa \right)\right\}$ 。 (42)

事实上，根据定理4以及(30)可得

${\Gamma }^{+}\left(z\right)=-\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\log G\left(\tau \right)}{\tau -z}\text{d}\tau }+\frac{1}{2}\log G\left(z\right)$ , (43)

从而，

${\Gamma }^{+}\left(z\right)\in {\hat{H}}_0\left(L\right)$ , (44)

又由(32)及(34)可得

$X^{+}\in {\hat{H}}_0\left(L\right)$ , ${\text{e}}^{{\Gamma }^{+}\left(z\right)}\in {\hat{H}}_0\left(L\right)$ . (45)

因此，根据(12)、(45)表明(42)是成立的。

利用引理5，可得到跳跃问题(41)的解为

$F\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{g\left(\tau \right)}{X^{+}\left(\tau \right)\left(\tau -z\right)}\text{d}\tau }+P_{m+\kappa }\left(z\right)$ , $z\in ℂ\backslash L$ , (46)

其中 $P_{m+\kappa }$ 是任意次数不超过 $m+\kappa$ 的多项式。当 $m+\kappa <0$ 时， $R_{m+\kappa }$ 问题(41)有唯一解 $C\left[\frac{g}{X^{+}}\right]$ ，它由(14)所给出或者(46)中 $P_{m+\kappa }=0$ ，当且仅当可解条件

$\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{g\left(\tau \right)}{X^{+}\left(\tau \right)}{\tau }^k\text{d}\tau }=0$ , $k=0,1,\cdots ,-m-\kappa -2$ , (47)

成立。这里当 $m+\kappa =-1$ 时，可解条件(47)不出现。

若 $\Phi$ 是问题(9)的解，则

$\Phi \left(z\right)=F\left(z\right)X\left(z\right)=\frac{X\left(z\right)}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{g\left(\tau \right)}{X^{+}\left(\tau \right)\left(\tau -z\right)}\text{d}\tau }+X\left(z\right)p_{m+\tau }\left(z\right)$ , $z\in ℂ\backslash L$ , (48)

即我们要验证(48)是问题(9)的解。显然，我们只需要验证条件

$G.P\left[z^{-\left(m_{\kappa }+1\right)}\Phi ,\infty \right]=0$ , $m_{\kappa }=\max \left\{0,-\left(m+1+\kappa \right)\right\}$ .

而

$\underset{z\to \infty }{\lim }{z}^{-\left(m_{\kappa }+1\right)}\left(\frac{X\left(z\right)}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{g\left(\tau \right)}{X^{+}\left(\tau \right)\left(\tau -z\right)}\text{d}\tau }+X\left(z\right)p_{m+\kappa }\left(z\right)\right)=0$ , (49)

显然成立。

总结以上讨论，我们得到如下定理。

定理6在条件(12)、(24)~(26)下， $R_m$ 问题(9)的解是(48)，其中 $P_{m+\kappa }$ 是任意次数不超过 $m+\kappa$ 的多项式。当 $\kappa +m=-1$ 时，问题(9)的解是(48)且 $P_{m+\kappa }=0$ 。当 $\kappa +m<-1$ ，当且仅当满足可解条件(47)时，问题(9)有唯一解(48)，此时 $P_{m+\kappa }=0$ 。

致谢

感谢在论文撰写期间对我提供指导和帮助的老师，感谢各位审稿专家的辛勤工作和指导。

文章引用

魏雨秋,刘 华. 双曲线上的Riemann边值问题
Riemann Boundary Value Problems on the Hyperbola[J]. 理论数学, 2023, 13(03): 428-436. https://doi.org/10.12677/PM.2023.133047

参考文献