ABSTRACT

In this paper, we presented a novel scheme for probabilistic remote preparation of arbitrary two-qubit state via two three-qubit GHZ states. Any auxiliary particles need not to be introduced in our proposal. The total successful probability is equal to the square of the norm of the minimum amplitude coefficients of the partially entangled channel. The concrete processe of this scheme is presented via some appropriate local unitary operations and measurement basis. When quantum channel is composed of two three-qubit maximally entangled states, the successful probability is equal to 1/4.

Keywords:Quantum Remote Preparation, Successful Probability, Quantum Channel

基于三粒子非最大纠缠态的两粒子概率远程态制备

徐毅琼¹，唐永旺²，郭克坤²，徐东²，石磊³，魏家华³

¹北京邮电大学信息与通信工程学院，北京

²信息工程大学信息系统工程学院，河南 郑州

³空军工程大学信息与导航学院，陕西 西安

收稿日期：2017年11月9日；录用日期：2017年11月24日；发布日期：2017年11月30日

摘 要

本文提出了一种基于两个三粒子部分纠缠GHZ态的任意两粒子远程态制备方案。此制备协议并不需要引入辅助粒子，总体成功概率等于纠缠通道两个最小幅值模平方之积。结合具体幺正矩阵与测量基形式，本文给出了制备协议实现步骤。当纠缠通道取为两个最大纠缠GHZ态时，总体成功概率则等于1/4。

关键词 :远程态制备，成功概率，纠缠通道

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1. 引言

量子纠缠是一种纯粹发生在量子物理世界中的现象 [1] 。量子纠缠态特指拥有多个子系统的复合系统的状态不能分解成为各个子系统状态之张量积，必须表示为几个不同张量积的叠加形式。典型量子纠缠态有两粒子Bell态、三粒子GHZ态与W态、多粒子Dicke态等。在光子、离子与电子等微观粒子中，或者在分子等介观粒子中，都可以观察到量子纠缠现象。

在量子通信研究领域中，量子纠缠得到了高度重视。量子远程态制备(Quantum State Preparation, RSP)是由H.K. Lo于2000年提出的 [2] ，被视为纠缠资源的典型应用成果，在理论方面得到了深入研究。C.H. Bennett等研究了远程态制备中的经典信息代价与量子纠缠资源之间的交换关系 [3] 。魏家华等通过引入辅助粒子与构造特殊形式的幺正矩阵，在接收方不掌握纠缠通道参数的情况下，实现了单粒子概率远程态制备 [4] 。J.F. Li等研究了如何在耗散环境中实现两粒子的远程态制备 [5] 。与此同时，在线性光学等系统中，量子远程态制备方案已经成功实现，并且远程态制备在其它系统中的物理可实现性也得到了充分探讨 [6] [7] [8] 。目前，在量子远程态制备研究方向中，依然存在很多重要开放问题，值得科研人员进一步探索。

本文探讨了如何基于两个三粒子部分纠缠GHZ态实现任意两粒子的远程态制备。基于特殊形式的幺正矩阵与两粒子测量基，此制备协议不需要引入任何辅助粒子，总体成功概率等于纠缠通道两个最小幅值模平方之积。特别是当纠缠通道是由两个最大纠缠GHZ态构成时，远程态总体成功概率等于1/4。同时，本文给出了制备协议的具体实现步骤。

2. 概率量子远程态制备协议

在量子远程态制备协议中，发送者需要基于量子纠缠通道帮助远端的接受者制备量子态。虽然发送者掌握了所要传递的量子态信息，但是接受者并不知道。假设发送者Alice需要帮助远端的接受者Bob制备下列形式的两粒子量子态：

$|\psi \rangle =c_1|00\rangle +c_2|01\rangle +c_3|10\rangle +c_4|11\rangle$ (1)

其中复数 $c_i\left(i=1,2,3,4\right)$ 满足等式 ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^4{\left|c_i\right|}^2}=1$ 。在本制备协议中，量子纠缠通道是由两个三粒子非最大纠

缠GHZ态构成的：

$\begin{array}{l}|{\psi }_{123}\rangle =a{|000\rangle }_{123}+b{|111\rangle }_{123}\\ |{\psi }_{456}\rangle =d{|000\rangle }_{456}+e{|111\rangle }_{456}\end{array}$ (2)

其中Alice拥有粒子1、2、4与5，Bob掌握粒子3与6。 $a$ 与 $d$ 为实数， $b$ 与 $e$ 为复数。根据概率归一化条件可知，等式 ${\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2=1$ 与 ${\left|d\right|}^2+{\left|e\right|}^2=1$ 成立。为了后续讨论方便，假设 $\left|a\right|\ge \left|b\right|>0$ 与 $\left|d\right|\ge \left|e\right|>0$ 。整体系统可以表示为：

$|{\psi }_{123456}\rangle =|{\psi }_{123}\rangle \otimes |{\psi }_{456}\rangle =\left(a{|000\rangle }_{123}+b{|111\rangle }_{123}\right)\otimes \left(d{|000\rangle }_{456}+e{|111\rangle }_{456}\right)$ (3)

下文将基于特殊形式的幺正矩阵与两粒子测量基，给出了制备协议的具体实现步骤：

Step 1：发送者Alice分别对粒子1与2、粒子4与5执行两粒子幺正矩阵：

$U\left(x,y\right)=\left(\begin{array}{cccc}y/x& -\sqrt{1-{\left|y/x\right|}^2}& 0& 0\\ \sqrt{1-{\left|y/x\right|}^2}& y/x& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}x=a,c\\ y=d,e\end{array}$ (4)

则原系统状态变为：

$\begin{array}{c}|{\psi }_{123456}^1\rangle =\left[U\left(a,b\right)|{\psi }_{12}^0\rangle \right]\otimes \left[U\left(d,e\right)|{\psi }_{45}^0\rangle \right]\otimes |{\psi }_{36}^0\rangle \\ ={\left(b|000\rangle +b|101\rangle +\frac{a}{\left|a\right|}\sqrt{a^2-{\left|b\right|}^2}|010\rangle \right)}_{123}\\ \otimes {\left(e|000\rangle +e|101\rangle +\frac{d}{\left|d\right|}\sqrt{d^2-{\left|e\right|}^2}|010\rangle \right)}_{456}\end{array}$ (5)

Step 2：为了实现两粒子量子态制备，发送者Alice需要构造一组特殊的测量基：

$\left(\begin{array}{r}\hfill |{\lambda }_1\rangle \\ \hfill |{\lambda }_2\rangle \\ \hfill |{\lambda }_3\rangle \\ \hfill |{\lambda }_4\rangle \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrr}\hfill c_2^{*}& \hfill -c_1^{*}& \hfill c_4^{*}& \hfill -c_3^{*}\\ \hfill c_1& \hfill c_2& \hfill c_3& \hfill c_4\\ \hfill \eta c_2^{*}& \hfill -\eta c_1^{*}& \hfill -{\eta }^{-1}{c}_4^{*}& \hfill {\eta }^{-1}{c}_3^{*}\\ \hfill \eta c_1& \hfill \eta c_2& \hfill -{\eta }^{-1}{c}_3& \hfill -{\eta }^{-1}{c}_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}\hfill |00\rangle \\ \hfill |01\rangle \\ \hfill |10\rangle \\ \hfill |11\rangle \end{array}\right)$ (6)

其中 $\eta =\sqrt{\left({\left|c_3\right|}^2+{\left|c_4\right|}^2\right)/\left({\left|c_1\right|}^2+{\left|c_2\right|}^2\right)}$ 。则系统状态可以重新表示为：

$\begin{array}{c}|{\psi }_{123456}^1\rangle =p_1{|00\rangle }_{25}\otimes {|{\lambda }_1\rangle }_{14}\otimes {\left(c_2|00\rangle -c_1|01\rangle +c_4|10\rangle -c_3|11\rangle \right)}_{36}\\ +p_1{|00\rangle }_{25}\otimes {|{\lambda }_2\rangle }_{14}\otimes {\left(c_1^{*}|00\rangle +c_2^{*}|01\rangle +c_3^{*}|10\rangle +c_4^{*}|11\rangle \right)}_{36}\\ +p_1{|00\rangle }_{25}\otimes {|{\lambda }_3\rangle }_{14}\otimes {\left(\eta c_2|00\rangle -\eta c_1|01\rangle -{\eta }^{-1}{c}_4|10\rangle +{\eta }^{-1}{c}_3|11\rangle \right)}_{36}\\ +p_1{|00\rangle }_{25}\otimes {|{\lambda }_4\rangle }_{14}\otimes {\left(\eta c_1^{*}|00\rangle +\eta c_2^{*}|01\rangle -{\eta }^{-1}{c}_3^{*}|10\rangle -{\eta }^{-1}{c}_4^{*}|11\rangle \right)}_{36}\\ +p_2{|10\rangle }_{25}\otimes {|010\rangle }_{13}\otimes {\left(e|00\rangle +e|11\rangle \right)}_{46}\\ +p_3{|01\rangle }_{25}\otimes {\left(b|00\rangle +b|11\rangle \right)}_{13}\otimes {|010\rangle }_{46}+p_4{|11\rangle }_{25}\otimes {|0000\rangle }_{1346}\end{array}$ (7)

其中

$\begin{array}{ll}{p}_1=be\hfill & p_2=ae\sqrt{1-{\left|b/a\right|}^2}\hfill \\ p_3=bd\sqrt{1-{\left|e/d\right|}^2}\hfill & p_4=ad\sqrt{\left(1-{\left|b/a\right|}^2\right)\left(1-{\left|e/d\right|}^2\right)}\hfill \end{array}$

Step 3：发送者Alice对粒子1与4执行测量 $\left\{|{\lambda }_i\rangle |i=1,2,3,4\right\}$ 。当且仅当测量值等于 ${|{\lambda }_1\rangle }_{14}$ ，且粒子2与5等于 ${|00\rangle }_{25}$ ，远程态制备可以成功，此时粒子3与6状态可以表示为

${\left(c_2|00\rangle -c_1|01\rangle +c_4|10\rangle -c_3|11\rangle \right)}_{36}$ (8)

Step 4：随后接受者Bob对粒子进行单粒子幺正矩阵，即可得到原始两粒子量子态，总体成功概率为 ${\left|p_1\right|}^2={\left|be\right|}^2$ 。

3. 总结

本文提出了一种基于三粒子部分纠缠GHZ态的任意两粒子远程态制备协议。通过构造特殊形式的幺正矩阵与两粒子测量基，此制备协议不需要引入辅助粒子，总体成功概率等于纠缠通道两个最小幅值模平方之积。当接收端不掌握量子纠缠通道时，此协议依然适用。

基金项目

感谢国家自然科学基金(61703428，61703420与61703422)资助。

文章引用

徐毅琼,唐永旺,郭克坤,徐 东,石 磊,魏家华. 基于三粒子非最大纠缠态的两粒子概率远程态制备
Probabilistic Remote State Preparation of an Arbitrary Two-Qubit State via Two Three-Qubit Partially Entangled States[J]. 现代物理, 2017, 07(06): 269-272. http://dx.doi.org/10.12677/MP.2017.76031

参考文献 (References)