桂林理工大学，广西 桂林

收稿日期：2022年10月18日；录用日期：2022年11月16日；发布日期：2022年11月23日

摘要

频率域可控源电磁法(FCSEM)是一种基于人工源激发的地球物理勘探方法，比大地电磁探测有更强的扛干扰能力，比重磁勘探有更高的分辨率。因此在地球物理资源勘探领域中发挥着关键的作用。FCSEM反演方法的研究及其算法稳定性、有效性和计算效率，一直都是近年来的热点。本文主要介绍了可控源电磁法三维反演数值模拟技术，进展，以及相关解算法的应用，并对各种方法的特点作了比较分析，最后对FCSEM进行了总结，并给出了未来的发展方向。

关键词

频率域可控源电磁法，正演，反演，数值模拟

The 3D Inversion Progress of Frequency Domain Controlled Source Electromagnetic

Lili Li, Zhan Wang, Bo Li, Yuan Zhang, Zong Zhao, Tao Zhang

College of Earth Sciences, Guilin University of Technology, Guilin Guangxi

Received: Oct. 18^th, 2022; accepted: Nov. 16^th, 2022; published: Nov. 23^rd, 2022

ABSTRACT

Frequency domain controlled source electromagnetic (FCSEM), a geophysical exploration method, is based on artificial source excitation. The method is stronger in the interference carrying than electromagnetic exploration and is higher in resolution than gravity-magnetic prospecting. Recently, the theory research and effectiveness, stability, and computational efficiency of 3D CSEM inversion have always been the focus. This paper mainly introduces 3D CSEM inversion, including the progress of numerical simulation methods and the application of algorithms relating solution, compares the properties of various methods, and gives the prospect of future development. Finally, CSEM method is summarized, and the future development direction is given.

Keywords:FCSEM, Forword, Inversion, Numerical Simulation

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

近几年来，频率域可控源电磁法(Frequency Domain Controlled Source Electromagnetic, FCSEM)广泛地应用在寻找金属矿产、油气藏和煤层以及航空磁测等方面，极大地推动了可控源电磁法反演的发展。国内外众多学者在FCSEM反演研究中做了大量的工作，Newman等 [1] 采用非线性共轭梯度(NLCG)和有限记忆(LM)准牛顿方法对非线性三维电磁逆散射问题进行预处理，对电磁数据做了反演解释。底青云 [2] [3]、汤井田和何继善 [4] 对可控源音频大地电磁法以及多维问题系统地进行了正演和反演研究。Egbert等 [5] 对三维电磁法反演结构进行了讨论，为电磁(EM)地球物理逆问题中产生的雅可比计算开发了一个通用的数学框架。林昌洪和谭捍东等 [6] [7] 结合正则化反演和共轭梯度反演的想法，实现了可控源音频大地电磁三维共轭梯度反演算法，并验证了该反演算法的有效性和稳定性。刘云鹤和殷长春 [8] 利用非线性共轭梯度法和有限内存(L-BFGS)分别进行了三维航空电磁法的反演，并比较了两种方法的计算效率和有效性。由此可见，三维FCSEM反演的稳定性、有效性和计算效率均是目前研究的关键。

在反演过程中，正演计算时间决定着反演计算效率。正演一般使用直接法或者迭代法来求解大型复系数稀疏矩阵方程，直接法的解为精确解，迭代法的解是近似的，直接法的解可用来验证迭代法的解，但直接法的前提条件是系数矩阵为非奇异，否则只能通过迭代法求近似解。迭代法包括有限元、有限差分、积分方程法和谱元法等。反演计算的核心是搜索方向的选择，搜索方向不同，最终的解决方法也不一样。为了提高三维反演计算速度，研究中大多采用基于线搜索方法来进行反演，主要有最速下降法，牛顿法，非线性共轭梯度和有限内存法等。最速下降法计算原理简单，但是收敛速度较慢。牛顿法收敛速度较快，但需要计算二阶偏导数矩阵，计算量较大。有限内存 [9] 是共轭梯度法的一种推广，L-BFGS算法不需要保存近似逆Hessian矩阵，只需保存每次迭代的为一维数组的中间信息，且迭代保存的中间信息有近似逆Hessian矩阵不会很多(100次以内)，因此该方法存储要求大幅降低，收敛速度明显提升。

本文第一部分介绍了FCSEM正演技术及其不同数值模拟方法的进展，第二部分介绍了三维FCSEM反演及其主要数值模拟技术的进展，最后对三维FCSEM提出了展望。

2. 频率域可控源电磁法概论

2.1. 概念

频率域可控源电磁法是频率域电磁测深法的一种。它是一种基于人工震源激发的地球物理勘探方法。与传统的天然源大地电磁探测方法相比，具有更强的抗干扰能力，适合探测电性不均匀的地质目标。已广泛应用于各种复杂环境下的矿产资源勘探研究，如地面和海洋磁测。

因此，发展可靠、高效、稳定的可控源电磁法三维反演算法对大规模可控源电磁资料的精细解释具有重要的理论和实际意义。

2.2. 计算流程

三维频率域可控源电磁法反演流程为：先设置一个异常体或者观测模型，然后采用有限差分法，有限元法，谱元法等对模型进行正演数值模拟，得到模型视电阻率响应，然后再基于正演响应，采用有限内存拟牛顿法，高斯牛顿法，非线性共轭梯度法等进行反演，最后对比反演结果图和初始观测模型图，验证正反演数值模拟方法可行性和适用性。具体流程如图1所示。

图1. 反演流程示意图(龙志丹，2021 [10])

3. 研究进展

近年来，国内外学者对频率域电磁法的数值模拟方法持续探索，在正演和反演方面已有一些数值模拟方法出现并被应用。

3.1. 正演数值计算方法

目前已有许多方法被用来做正演计算，但常用的计算方法主要有以麦克斯韦(Maxwell)方程为出发点的积分方程(IE)法、基于差分计算的有限差分(FDM)，以变分和插值为基础的有限元(FEM)、还有基于波动方程的谱元法等，下面对这几种方法逐一进行一个介绍以及优缺点概括。

3.1.1. 积分方程法

积分方程法(IE)是出现最早的模拟三维问题的数值计算方法，最先应用在地球物理的电磁学领域 [11]。其数值模拟的过程是在Maxwell方程的基础上，引入求解非齐次线性微分方程的格林函数，然后转化方程、离散矩阵，最后求解电磁场。IE具有计算速度快，内存占用少的优点。缺点是不适合用于三维复杂地质模型的模拟计算。随着计算机技术硬件设施的发展，有许多学者对IE算法进行了改进，任政勇 [12] 等开发了新的奇异值积分的解析表达式。刘永亮等 [13] 对三维数值模拟近似反演的拟近似方法进行了一个对比。殷长春等 [14] 将IE方法应用于大地电磁三维数值模拟正演。

3.1.2. 有限差分法

有限差分法(FDM)是应用较早且比较成熟的数值方法，Yee [15] 用有限差分法代替Maxwell方程组，来解决初始边界值。FDM是一种直接用代数来替代微分的问题的近似数值计算方法，数学原理简单直观，计算速度较快，但只适用于参数简单和规则的模型模拟。万文武 [16] 将有限元和谱元法进行结合来进行数值模拟。周印明和何展翔 [17] 等将有限元法应用到三维广域电磁法数值模拟。殷长春 [18]、胡善政 [19]、许诚和底青云 [20] 等学者利用FDM方法开展了可控源音频大地电磁法三维数值模拟研究。

3.1.3. 有限元法

有限元法(FEM)是直接以变分和加权余量为基础的，求解电磁场的微分方程。先进行变分，再进行积分，形成大型稀疏线性方程组。最后，通过直接求解或迭代求解线性方程组，得到电磁常数分布。Coggon [21] 首次将FEM应用于电磁学。FEM的优点是求解过程简单、规范，编程方便。缺点是离散化后产生的大型线性方程组往往是阶数较大的病态矩阵，求解困难。Mukherjee [22]，Silva [23] 等使用矢量有限元法进行了三维模拟。王亚璐和底青云等 [24]、张钱江和戴世坤等 [25]、龙志丹 [10]，黄渡和吴小平等 [26] 学者也使用FEM进行了三维数值模拟。

3.1.4. 谱元法

谱元法(SEM)属于广义有限元法，其本质还是FEM方法，但是在单元内插值函数使用的是谱方法。最早由其Patera [27] 提出，是Galerkin方法的延用，首先使用有限元的方法进行离散化，然而在单元内部使用谱方法进行差值。该方法计算精度高，收敛快，现已成为大规模、复杂地质构造模型，数值模拟的重要工具。谱元法用最先是用到地震方面的，如：Seriani [28] 和Komatitsch [29]，魏亦文和王有学等 [30]。刘玲 [31]、黄鑫 [32] 等将SEM用到电磁法三维反演中。

3.2. 反演数值计算方法

随着可控源电磁法的发展和应用，一维和二维反演已经无法满足人们对勘探精度的要求。国内外学者对三维反演进行了大量的研究。三维反演方法主要有：为共轭梯度法极大似然反演 [33]、非线性共轭梯度反演和人工神经网络反演 [34]，还有拟线性近似反演 [35]、快速松弛反演 [36]，高斯牛顿法，以及有限内存拟牛顿法为代表的近似三维反演方法。每种方法都有优点和缺点。下面介绍两种广泛使用的方法。

3.2.1. 高斯牛顿法

传统的牛顿法(Newton’s method)收敛速度快，但需要连续计算Hessian逆矩阵，如果所求矩阵是病态或非正定时，Newton’s method就不能够确保收敛 [37]。因此出现了近似Hessian矩阵的逆矩阵高斯–牛顿法(Gauss-Newton, GN) [38] [39]。因为该方法用雅可比矩阵的乘积代替了牛顿法中的二阶Hessian矩阵，所以省略了对该矩阵的计算，计算量降低。如果GN计算得到的结果步长过大，则近似解会不准确，算法也会发散。彭荣华和胡祥云 [40] 在三维反演中采用GN来优化目标函数，提出了适合陆地和海洋勘探的三维FCSEM反演方法。

3.2.2. 有限内存拟牛顿法

最小二乘法(LS)多用于反演方法中，但其收敛性不稳定。当初始值选取不当时，会造成方程求解过程中出现较大误差，有时甚至不收敛。阻尼因子的取值是及其重要的，因为它的取值会直接影响矩阵特征值、步长，所以即使Maquart [41] 提出的优化阻尼LS算法在某种程度上改善了反演的不适定性，但其计算效率也会相对较低。共轭梯度法 [42] 需要计算2次的“拟正演”，GN需要计算整个灵敏度系数矩阵，计算速度较慢。

有限内存拟牛顿法(L-BFGS)解决了逆牛顿法(BFGS)每次迭代后需要保存N * N阶海森逆矩阵的问题，具有收敛速度快，内存开销少等优点，尤其是在高维是，优点更加突出。L-BFGS是拟牛顿法中的一种，是由唐传章和程见中等 [43] 提出了一种改进处理边界的方法来减少反演过程中算法迭代的次数。具有速度快，内存消耗小的优点。段长生 [44] 利用拟牛顿法来解决CSAMT三维反演问题。马逢群和谭捍东等 [45] 基于有限内存进行了三维各向异性反演，结果表明观测系统的各型向同性反演和实际的模型吻合较好，可见用有限内存拟牛法做三维反演效果较好，如图2所示。阮帅 [46]、杨悦和翁爱华等 [47]、卢慧芳和杨月婷 [48]、曹晓月和殷长春等 [49] 等学者也对有限内存拟牛顿进行了研究和应用。

图2. 地表观测系统图(马逢群等，2022 [45])

3.2.3. 非线性共轭梯度法

非线性共轭梯度法(NLCG)是在共轭梯度法(CG)基础上提出的由Fletcher等人 [50] 提出的，后来被Polyak和Ribière等 [51] 在参数上进行改进，多种改进方式是基于残差和步长的。Rodi等 [52] 将NLCG用于解决二维大地电磁反演问题。后来Newman等 [53] 用NLCG来解决大地电磁三维反演问题。NLCG方法因为不需要将最优问题进行线性化，所以反演时间和内存消耗相对较低，特别适合用于高维电磁反演数值模拟，强建科 [54] 等基于非线性共轭梯度法做了2.5维的电磁反演，反演结果能够有效的反映地下真实电性结构，如图3所示。

图3. 不同初始模型反演结果(强建科等，2016 [54]) (a) 复杂模型，(b) 初始模型为150 Ω∙m，(c) 初始模型为100 Ω∙m，(d) 初始模型为50 Ω∙m

4. 应用总结与适用性分析

从以上研究进展可以看出，无论是正演方法还是反演方法都有各自的适用条件和具体情况，为了适应地球物理数值模拟快速发展的需求，学者们在数值模拟方面都在进行持续的研究，改进的各种算法在计算速度和精度，效率方面都在逐渐提高，几种应用较广的正反演数值模拟方法对比分析如表1和表2所示。

表1. 正演模拟方法及对比分析

表2. 反演模拟方法及对比分析

5. 总结与展望

1) 本文基于已有的几种数值模拟方法进行了一个总结与分析。FCSEM三维正演比较成熟，已经有较多的正演数值模拟方法。最早的积分方程法内存占用少，适合解决低维问题；有限差分法计算速度快，但只适用于规则网格剖分；有限元法编程简单，但容易出现病态矩阵；谱元法比有限元更加灵活，适合求解大规模复杂矩阵，是目前正演比较受欢迎的数值模拟方法。

2) 反演数值模拟技术近年来得到了快速的发展，虽然已有一些方法用于高维反演，如高斯牛顿法可以减少计算时间，有限内存拟牛顿法稳定性好、占用内存少，非线性共轭梯度法反演时间和内存消耗都相对较低，但是作为实用性反演解释的话，对复杂模型的模拟能力和计算速度需要继续提高。

3) 随着三维反演数据和模型参数的不断增多，反演对于计算内存和时间的要求也在不断增加，现使用的PC机和多核单机已经不能满足计算需求。未来我们将继续研究算法的计算速度和效率，多使用并行，和多种方法的联合反演来求解大型线性方程组，最后从理论模型到实际数据反演。

文章引用

李丽丽,王 占,李 博,张 媛,赵 宗,张 涛. 频率域可控源电磁法三维反演进展
The 3D Inversion Progress of Frequency Domain Controlled Source Electromagnetic[J]. 地球科学前沿, 2022, 12(11): 1391-1399. https://doi.org/10.12677/AG.2022.1211136

参考文献