无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的存在性与唯一性研究 Research on Existence and Uniqueness of Symplectic Self-Adjoint Extension of Infinite Dimensional Hamiltonian Operator

doi:10.12677/AAM.2019.86126

Advances in Applied Mathematics
Vol. 08 No. 06 ( 2019 ), Article ID: 30761 , 7 pages
10.12677/AAM.2019.86126

Research on Existence and Uniqueness of Symplectic Self-Adjoint Extension of Infinite Dimensional Hamiltonian Operator

Mei Wang, Deyu Wu

●How to Cite this Article

School of Mathematical Sciences, Inner Mongolia University, Hohhot Inner Mongolia

Received: May 20^th, 2019; accepted: Jun. 7^th, 2019; published: Jun. 14^th, 2019

ABSTRACT

In this paper, the symplectic self-adjoint extension problem of infinite dimensional Hamiltonian operator is studied. By using the method of space decomposition, the condition of dimensional Hamiltonian Infinite operator exists symplectic self-adjoint extension is given, and the conditions of symplectic self-adjoint extension which is unique are given.

Keywords:Dimensional Hamiltonian Infinite Operator, Symplectic Self-Adjoint Extension

无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的存在性与唯一性研究

王梅，吴德玉

内蒙古大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特

收稿日期：2019年5月20日；录用日期：2019年6月7日；发布日期：2019年6月14日

摘要

本文研究了无穷维Hamilton算子的辛自伴延拓问题，利用空间分解的方法，给出了Hamilton算子存在辛自伴延拓的条件，还给出了辛自伴延拓唯一的条件。

关键词 :无穷维Hamilton算子，辛自伴延拓

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

无穷维Hamilton算子是形如

$H = (\begin{matrix} A & B \\ C & - A^{*} \end{matrix})$

的稠定分块算子矩阵，其中B，C是自伴算子， $A^{*}$ 是A的共轭算子。一般情况下无穷维Hamilton算子是非自伴算子，且与J-自伴算子U-标算子等几类非自伴算子比较而言，它的谱要复杂得多。因为无穷维算Hamilton子的剩余谱不一定是空集，比如令无穷维Hamilton算子

$H = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & - A^{*} \end{matrix})$

其中 $X = L^{2} [0, + \infty), A = \frac{d}{d t}, D (A) = {x \in X : x 绝对连续, x^{'} \in X, x (0) = 0}$ ，

经计算得剩余谱非空(见文献 [1] 的例4.1.6).值得注意的是无穷维Hamilton算子在钟万勰院士创立的弹性力学求解新体系中有重要的应用(见文献 [2] )，其理论基础是无穷维Hamilton算子的辛自伴性问题(见文献 [3] )。刘景麟作者给出了J对称算子的J自伴延拓的问题(见文献 [4] )，一般情况下无穷维Hamilton算子是辛对称算子，不一定辛自伴，所以为了解决何时为辛自伴的问题，需要解决无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的存在性和唯一性问题。据我们所知，一般对称算子的自伴延拓是不一定存在的，比如，令

$X = l_{2}, D (A) = {a \in X : 对某个 N \in Ν, \sum_{m = 0}^{n} a_{m} = 0, 当 n > N 时, a_{n} = 0}$ ，

对 $a \in D (A), A a \in X$ 定义为

${(A a)}_{n} = i [\sum_{m = 0}^{n - 1} a_{m} + \sum_{m = 0}^{n} a_{m}]$ ，

则A是对称算子，A没有自伴延拓(见文献 [5] )。即使存在，也不一定唯一。比如，令 $T = i \frac{d}{d t}$ ，其中

$D (T) = {x (t) : x (t) \in A C [0, 1], x (0) = x (1) = 0}$ ，

则易得T是对称算子。对任意 $α \in C, | α | = 1$ ，定义算子 $T_{α} = i \frac{d}{d t}$ ，其中

$D (T_{α}) = {x (t) : x (t) \in A C [0, 1], x (0) = α x (1)}$ ，

则每个 $T_{α}$ 都是T的自伴延拓(见文献 [5] )。因此自然产生一个疑问，无穷维Hamilton算子的辛自伴延拓也是否会不应定存在呢？如果存在，何时唯一呢？本文利用空间分解的方法，引入全新的内积和正交结构，给出了无穷维Hamilton算子满足一些条件时，则存在辛自伴延拓的结论，进而给出了辛自伴延拓唯一的条件。

2. 无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的存在性

本节利用空间分解的方法，引入全新的内积和正交结构，给出了闭的辛对称算子满足一定的条件时，存在辛自伴延拓。

2.1. 预备知识

定义2.1.1.设J是定义在Hilbert空间上的线性映射满足 $(J x, J y) = (x, y), J^{2} x = - x$ 。上述定义的算子能诱导辛结构，所以也称辛算子。

定义2.1.2.设H是稠定的线性算子，定义域为 $D (H)$ ，对任意 $x, y \in D (H)$ ，如果 $(H x, J y) = - (x, J H y)$ 则称H为辛对称。

引理2.1.1. H为辛对称的充要条件是 $J H J \subset H^{*}$ 。

证明：当H为辛对称算子时，对于任意 $u \in D (J H J)$ ，任意 $x \in D (H)$ 有

$(H x, u) = - (H x, J^{2} u) = (x, J H J u)$

所以 $u \in D (H^{*})$ 且 $J H J u = H^{*} u$ ，即 $J H J \subset H^{*}$ 。

当 $J H J \subset H^{*}$ 时，对于任意 $x, y \in D (H)$ ，

$(H x, J y) = (x, H^{*} J y) = (x, J H J J y) = - (x, J H y)$

所以H为辛对称。

引理2.1.2. H为辛对称的充要条件是 $H \subset J H^{*} J$ 。

证明：当H为辛对称算子时，对于任意 $x, y \in D (H)$ ，因为H为辛对称，所以

$(H x, y) = - (H x, J^{2} y) = (x, J H J y) = (x, H^{*} y) = - (J^{2} x, H^{*} y) = (J H^{*} J x, y)$

所以 $x \in D (J H^{*} J)$ ，且 $J H^{*} J x = H x$ ，所以 $H \subset J H^{*} J$ 。

当 $H \subset J H^{*} J$ 时，对于任意 $x \in D (J H J)$ ， $J x \in D (H)$ ，所以 $J x \in D (J H^{*} J)$ ， $x \in D (H^{*})$ ，且

$J H J x = J (J H^{*} J) J x = H^{*} x$

所以 $J H J \subset H^{*}$ ，即为H辛对称。

引理2.1.3. $J H^{*} J$ 是闭线性算子。

证明：由 $H^{*}$ 是闭算子且J是可逆算子；结论易证。

推论1.如果H是辛对称，则H的闭包 $\bar{H}$ 也是辛对称的。

证明：因为H是辛对称，所以 $H \subset J H^{*} J$ ，所以 $\bar{H} \subset \bar{J H^{*} J} = J H^{*} J = J {\bar{H}}^{*} J$ 。以下讨论中，假设所考虑的辛对称算子是闭的。如果B是H的辛对称延拓，则 $H \subset B, B \subset J B^{_{*}} J$ 。由于 $B^{*} \subset H^{*}$ ，所以 $H \subset B \subset J B^{_{*}} J \subset J H^{*} J$

因此H的辛对称延拓是 $J H^{*} J$ 在某个含 $D (H)$ 的 $D (J H^{*} J)$ 的字空间上的限制，我们在 $D (J H^{*} J)$ 上引进内积

${(x, y)}^{*} = (x, y) + (J H^{*} J x, J H^{*} J y), x, y \in D (J H^{*} J)$

不难证明 $(D (J H^{*} J), {(., .)}^{*})$ 是个Hilbert空间，考虑到 $J H^{*} J$ 是闭算子，其中 $\oplus^{*}$ 和 $⊥^{*}$ 是 ${(., .)}^{*}$ 内积意义下的直和与正交，于是 $D (J H^{*} J) = D (H) \oplus^{*} D {(H)}^{⊥}^{*}$ 。

引理2.1.4.设H是闭的辛对称算子， $D {(H)}^{⊥}^{*} = K e r (H^{*} J H^{*} J + I)$ 。

证明：对于任意 $x \in D (H)$ ， $y \in D {(H)}^{⊥}^{*}$ ，有 ${(x, y)}^{*} = 0$ ，即

$0 = {(x, y)}^{*} = (x, y) + (J H^{*} J x, J H^{*} J y) = (x, y) + (H x, J H^{*} J y)$

所以 $(H x, J H^{*} J y) = (x, - y)$ ，由共轭算子的定义， $J H^{*} J y \in D (H^{*})$ 且 $H^{*} J H^{*} J y = - y$ ，即 $D {(H)}^{⊥}^{*} \subset K e r (H^{*} J H^{*} J + I)$ 。

对于任意 $x \in D (H)$ ， $z \in K e r (H^{*} J H^{*} J + I)$ ，

${(x, z)}^{*} = (x, z) + (J H^{*} J x, J H^{*} J z) = (x, z) + (x, H^{*} J H^{*} J z) = (x, z) + (x, - z) = 0$

所以 $x \in D {(H)}^{⊥}^{*}$ ，综上所述 $D {(H)}^{⊥}^{*} = K e r (H^{*} J H^{*} J + I)$ 。

定义2.1.3.记 $〈 x, y 〉 = (H^{*} J x, y) - (x, H^{*} J y), x, y \in D (J H^{*} J)$ 。

引理2.1.5.H为辛对称的充要条件 $〈 x, y 〉 = 0, x, y \in D (H)$ 。

证明：H为辛对称，所以

$(H x, J y) = - (x, J H y) \Leftrightarrow (J H^{*} J x, J y) = - (x, J^{2} H^{*} J y) \Leftrightarrow (H^{*} J x, y) = (x, H^{*} J y)$

所以 $〈 x, y 〉 = (H^{*} J x, y) - (x, H^{*} J y) = 0$ 。

引理2.1.6.设H是辛对称闭算子，则 $x \in D (H)$ 的充要条件是 $x \in D (J H^{*} J)$ ，且 $〈 x, y 〉 = 0$ ，对于任意 $y \in D (J H^{*} J)$ 。

证明：当H为辛对称， $x \in D (H)$ 时，对于任意 $y \in D (J H^{*} J)$ 有

$〈 x, y 〉 = (H^{*} J x, y) - (x, H^{*} J y) = (J H^{*} J x, J y) - (H x, J y) = (H x, J y) - (H x, J y) = 0$

当 $x \in D (J H^{*} J)$ ，且对于任意的 $y \in D (J H^{*} J)$ ，有 $〈 x, y 〉 = 0$

$(x, H^{*} J y) = (H^{*} J x, y) = (J H^{*} J x, J y)$ ，

即 $x \in D (H)$ 且 $H x = J H^{*} J x$ 。

引理2.1.7.设B是辛对称闭算子H的延拓，满足 $H \subset B \subset J H^{*} J$ ，则存在唯一的子空间 $K \subset K e r (H^{*} J H^{*} J + I)$ ，使得 $D (B) = D (H) \oplus^{*} K$ 。

证明：记 $K = {z \in K e r (H^{*} J H^{*} J + I) | 存在 x \in D (B), y \in D (H), 使得 x = y + z}$ ，则K是 $D (B)$ 的一个线性子空间，所以 $D (H) \oplus^{*} K \subset D (B)$ 。

另外，对于任意 $x \in D (B)$ ，由直和分解

$x = x_{1} + x_{2}, x_{1} \in D (H), x_{2} \in K e r (H^{*} J H^{*} J + I)$

知 $x_{2} \in K$ ，所以 $D (B) \subset D (H) \oplus^{*} K$ ，即 $D (B) = D (H) \oplus^{*} K$ 。

定义2.1.4.设子空间 $K \subset K e r (H^{*} J H^{*} J + I)$ ，则称 $K^{*} = {u \in K e r (H^{*} J H^{*} J + I) | 〈 u, v 〉 = 0, 任意 v \in K}$ 为

K的辛共轭子空间。若 $K \subset K^{*}$ ，则称K为辛对称的。若 $K = K^{*}$ ，则称K为辛自伴的。

定义2.1.5.辛对称算子H成为辛自伴的，如果 $H = J H^{*} J$ 。

引理2.1.8.设B辛对称算子H的延拓，满足 $H \subset B \subset J H^{*} J$ ， $D (B) \subset D (H) \oplus^{*} K$ ，则

(i) B为辛对称 $\Leftrightarrow$ K为辛对称；

(ii) B为辛自伴 $\Leftrightarrow$ K为辛自伴。

证明(i)当B为辛对称时，对于任意 $u, v \in K$ ，有 $u, v \in D (B)$ ，故 $〈 u, v 〉 = 0$ ，所以 $K \subset K^{*}$ ，即K为辛对称。当K为辛对称时，对于任意 $x + u, y + v \in D (B)$ ，其中 $x, y \in D (H)$ ， $u, v \in K$ ，则

$〈 x + u, y + v 〉 = 〈 x, y 〉 + 〈 x, u 〉 + 〈 u, y 〉 + 〈 u, v 〉 = 0$

故B为辛对称。

(ii)当B为辛自伴时， $K \subset K^{*}$ ，所以对于任意 $v \in K^{*}$ ， $u \in K$ ，有 $〈 u, v 〉 = 0$ 。对任意 $x + u \in D (B)$ ， $x \in D (H)$ ，由B是辛自伴可知 $〈 x + u, v 〉 = 0$ ，即

$(H^{*} J (x + u), v) = (x + u, H^{*} J v) \Leftrightarrow (J H^{*} J (x + u), J v) = (x + u, H^{*} J v) \Leftrightarrow (B (x + u), J v) = (x + u, H^{*} J v)$

即 $H^{*} J v = B^{*} J v$ ， $v \in D (J B^{*} J) = D (B) = D (H) \oplus^{*} K$ ，因此 $v \in K$ ，所以 $K = K^{*}$ ，即K为辛自伴。

因为 $D (B) \subset D (J B^{*} J)$ ，对于任意 $z \in D (J B^{*} J) \subset D (J H^{*} J)$ ，令 $z = y + v$ ， $y \in D (H)$ ， $v \in K e r (H^{*} J H^{*} J + I)$ ，对于任意 $x + u \in D (B)$ ， $x \in D (H)$ ， $u \in K$

$(B (x + u), J z) = (x + u, B^{*} J z) = (J (x + u), J B^{*} J z) = (J (x + u), J H^{*} J z) = (x + u, H^{*} J z)$

因为B为辛对称，所以 $(B (x + u), J z) = (J B^{*} J (x + u), J z) = (J H^{*} J (x + u), J z) = (H^{*} J (x + u), z)$ ，所以 $〈 x + u, z 〉 = (H^{*} J (x + u), z) - (x + u, H^{*} J z) = 0$ ，即 $〈 x + u, y + v 〉 = 0$ ，所以 $〈 u, v 〉 = 0$ ，所以 $v \in K^{*} = K$ ，所以 $z = y + v \in D (B)$ ，所以 $D (J B^{*} J) \subset D (B)$ ，所以B为辛自伴。

2.2. 主要结果及证明

定理2.2.1. H为闭的辛对称算子，如果 $K e r (H^{*} J H^{*} J + I) \subset M$ ，则H有辛自伴延拓，其中 $M = {u \in K e r (H^{*} J H^{*} J + I) | 〈 u, u 〉 = 0}$ 。

证明：我们只要证明 $K e r (H^{*} J H^{*} J + I)$ 存在辛自伴的子空间K即可，取 $0 \neq x \in K e r (H^{*} J H^{*} J + I), K_{0} = s p a n {x}$ ，因为 $〈 x, x 〉 = 0$ ，所以 $K_{0}$ 为辛对称，考虑所有含 $K_{0}$ 的 $K e r (H^{*} J H^{*} J + I)$ 的辛对称子空间按集合包含关系组成的偏序集，显然它的任一个全序子集都有上界，由Zorn引理，此偏序集合有最大元K。

下面证明K是辛自伴的，若不然，设 $x_{0} \in K^{*} \ K$ ，令 $\tilde{K} = K \oplus^{*} s p a n {x_{0}}$ ，对任意 $k_{1} + α x_{0}, k_{2} + β x_{0} \in \tilde{K}, k_{1}, k_{2} \in K$ ，有

$〈 k_{1} + α x_{0}, k_{2} + β x_{0} 〉 = 〈 k_{1}, k_{2} 〉 + α 〈 x_{0}, k_{2} 〉 + \bar{β} 〈 k_{1}, x_{0} 〉 + α \bar{β} 〈 x_{0}, x_{0} 〉 = 0$

所以 $\tilde{K}$ 为辛对称与K是最大元矛盾，所以K为辛自伴。

推论2. H是闭的辛对称算子，如果 $H^{*} J H^{*} J + I$ 是单射，则H存在辛自伴延拓

3. 无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的唯一性

上节得出了闭的辛对称算子满足一定的条件时有辛自伴延拓，但是否唯一不得而知。本节讨论一类

特殊的辛对称算子—无穷维Hamilton算子，并规定 $J = (\begin{matrix} 0 & I \\ - I & 0 \end{matrix})$ ，其中I为单位算子。显然满足

$(J x, J y) = (x, y), J^{2} = - I$ 。当无穷维Hamilton算子H是闭算子时，JH是闭的辛对称算子，故在一定条件下存在辛自伴延拓，本节得出了辛自伴延拓唯一的条件。

3.1. 预备知识

定义3.1.1.如果无穷维Hamilton算子 $H = (\begin{matrix} A & B \\ C & - A^{*} \end{matrix})$ 满足 ${(J H)}^{*} = (J H)$ ，其中 $J = (\begin{matrix} 0 & I \\ - I & 0 \end{matrix})$ ，则称辛

自伴无穷维Hamilton算子。

引理3.1.1.设 $T, S$ 是Hilbert空间X中的稠定线性算子，当 $ρ (T) \neq \emptyset$ 时， ${(T - λ)}^{- 1} S$ 有界当且仅当 $D (T^{*}) \subset D (S^{*})$ ，则 $S^{*} {(T^{*} - \bar{λ})}^{- 1}$ 有界且 ${(S^{*} {(T^{*} - \bar{λ})}^{- 1})}^{*} \supset {(T - λ)}^{- 1} S$ ，于是 ${(T - λ)}^{- 1} S$ 。反之，如果 ${(T - λ)}^{- 1} S$ 在 $D (S)$ 上有界，则 $\bar{{(T - λ)}^{- 1} S}$ 是全空间上定义的有界算子，而且有 ${(S^{*} {(T^{*} - \bar{λ})}^{- 1})}^{*} \supset \bar{{(T - λ)}^{- 1} S}$ ，因此 $D (T^{*}) \subset D (S^{*})$ 。

3.2. 主要结果及证明

定理3.2.1.设 $H = (\begin{matrix} A & B \\ C & - A^{*} \end{matrix}) : D (H) \subset X \times X \to X \times X$ 是无穷维Hamilton算子，如果 $D (C) \subset D (A)$ ，

且 $B + A {(C - i I)}^{- 1} A^{*}$ 是自伴算子时，H存在唯一的辛自伴延拓。

证明：考虑到 $D (C) \subset D (A)$ ，易得

$H = R T L + (\begin{matrix} 0 & 0 \\ i I & 0 \end{matrix})$ ，

又因为算子 $R = (\begin{matrix} I & A {(C - i I)}^{- 1} \\ 0 & I \end{matrix})$ 与 $L = (\begin{matrix} I & - \bar{{(C - i I)}^{- 1}} A^{*} \\ 0 & I \end{matrix})$ 有界且在全空间上可逆，算子 $T = (\begin{matrix} 0 & B + A {(C - i I)}^{- 1} A^{*} \\ C - i I & 0 \end{matrix})$ 。当 $B + A {(C - i I)}^{- 1} A^{*}$ 是自伴算子时，

$H^{*} = {(R T L)}^{*} + {(\begin{matrix} 0 & 0 \\ i I & 0 \end{matrix})}^{*} = (\begin{matrix} A^{*} & C \\ B & - A \end{matrix})$ ，

所以 $(J H) = {(J H)}^{*}$ ，因此H存在唯一的辛自伴延拓。

推论3. 设 $H = (\begin{matrix} A & B \\ C & - A^{*} \end{matrix}) : D (H) \subset X \times X \to X \times X$ 是无穷维Hamilton算子，如果 $D (B) \subset D (A^{*})$ ，

且 $C + A^{*} {(B - i I)}^{- 1} A$ 是自伴算子时，H存在唯一的辛自伴延拓。

定理3.2.2. 设 $H = (\begin{matrix} A & B \\ C & - A^{*} \end{matrix}) : D (H) \subset X \times X \to X \times X$ 是无穷维Hamilton算子，当 $0 \in ρ (B) \cap ρ (C)$ 时，

无穷维Hamilton算子存在辛自伴延拓；进一步，当满足下列条件之一：

(i) $D (B) \subset D (A^{*})$ ， $D (C) \subset D (A)$ ， $‖ A^{*} B^{- 1} A C^{- 1} ‖ < 1$ ；

(ii) $D (B) \subset D (A^{*})$ ， $D (C) \subset D (A)$ ， $‖ A C^{- 1} A^{*} B^{- 1} ‖ < 1$ 时，则H的辛自伴延拓唯一。

证明：首先证明 $0 \in Γ (H)$ ，假定H不存在有界逆，则存在正交化序列 ${x_{n} = (\begin{matrix} x_{n}^{(1)} \\ x_{n}^{(2)} \end{matrix})}_{n = 1}^{\infty}, (‖ x_{n} ‖ = 1, n = 1, 2, \dots)$

使得 $H x_{n} \to 0, n \to \infty$ ，进而得

$A x_{n}^{(1)} + B x_{n}^{(2)} \to 0, C x_{n}^{(1)} - A^{*} x_{n}^{(2)} \to 0$

第一式与 $x_{n}^{(2)}$ 作内积，第二式与 $x_{n}^{(1)}$ 作内积后两式相加得

$(C x_{n}^{(1)}, x_{n}^{(1)}) + (B x_{n}^{(2)}, x_{n}^{(2)}) \to 0$ ，

由于 $B, C$ 是非负算子，从而有

$(B x_{n}^{(2)}, x_{n}^{(2)}) \to 0, (C x_{n}^{(1)}, x_{n}^{(1)}) \to 0$

由于 $B, C$ 是自伴且非负算子。故存在唯一的平方根算子 $B^{\frac{1}{2}}$ 和 $C^{\frac{1}{2}}$ 进而得

$B^{\frac{1}{2}} x_{n}^{(2)} \to 0, C^{\frac{1}{2}} x_{n}^{(1)} \to 0$

当 $0 \in ρ (B) \cap ρ (C)$ 时， $B^{- 1}$ 和 $C^{- 1}$ 的平方根算子分别记为 $B^{- \frac{1}{2}}$ 和 $C^{- \frac{1}{2}}$ 则

$B^{\frac{1}{2}} (B^{\frac{1}{2}} x_{n}^{(2)}) = x_{n}^{(2)} \to 0, C^{\frac{1}{2}} (C^{\frac{1}{2}} x_{n}^{(1)}) = x_{n}^{(1)} \to 0$

这与 $‖ x_{n} = 1 ‖, (n = 1, 2, \dots)$ 矛盾，因此H下方有界，于是由 [6] 的定理8.8可知，H存在辛自伴延拓。

其次证明 $R (H) = X \times X$ ：

(ⅰ)当 $D (B) \subset D (A^{*})$ ， $D (C) \subset D (A)$ ， $‖ A^{*} B^{- 1} A C^{- 1} ‖ < 1$ 时， $(I + A^{*} B^{- 1} A C^{- 1})$ 可逆，于是对于任意

$(\begin{matrix} f \\ g \end{matrix}) \in X \times X$ ，取

$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} C^{- 1} {(I + A^{*} B^{- 1} A C^{- 1})}^{- 1} (g + A^{*} B^{- 1} f) \\ B^{*} f - B^{- 1} A C^{- 1} {(I + A^{*} B^{- 1} A C^{- 1})}^{- 1} (g + A^{*} B^{- 1} f) \end{matrix})$ ，则有 $(\begin{matrix} A & B \\ C & - A^{*} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} f \\ g \end{matrix})$ ，

所以 $R (H) = X \times X$ ，即H是辛自伴，因此H的辛自伴延拓唯一。

同理可证当 $D (B) \subset D (A^{*})$ ， $D (C) \subset D (A)$ ， $‖ A C^{- 1} A^{*} B^{- 1} ‖ < 1$ 时，H的辛自伴延拓唯一。

同理可证如下结论

定理3.2.2. 设 $H = (\begin{matrix} A & B \\ C & - A^{*} \end{matrix}) : D (H) \subset X \times X \to X \times X$ 是无穷维Hamilton算子，当 $0 \in ρ (A)$ 时，

无穷维Hamilton算子H存在辛自伴延拓；进一步，当满足下列条件之一：

(i) $D (A) \subset D (C)$ ， $D (A^{*}) \subset D (B)$ ， $A^{- 1} B, {(A^{*})}^{- 1} C$ 是有界线性算子， $‖ C A^{- 1} B {(A^{*})}^{- 1} ‖ < 1$ ；

(ii) $D (B) \subset D (A^{*})$ ， $D (C) \subset D (A)$ ， $A^{- 1} B, {(A^{*})}^{- 1} C$ 是有界线性算子， $‖ B {(A^{*})}^{- 1} C A^{- 1} ‖ < 1$ 时，则H的辛自伴延拓唯一。

基金项目

国家自然科学基金(11561048, 11371185)；内蒙古自然科学基金(2015MS0116)。

文章引用

王梅,吴德玉. 无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的存在性与唯一性研究
Research on Existence and Uniqueness of Symplectic Self-Adjoint Extension of Infinite Dimensional Hamiltonian Operator[J]. 应用数学进展, 2019, 08(06): 1094-1100. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.86126

参考文献

1. 吴德玉, 阿拉坦仓. 分块算子矩阵谱理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2013.

2. 钟万勰. 弹性力学求解新体系[M]. 大连: 大连理工大学出版社, 1995.

3. Chen, A., Jin, G.H. and Wu, D.Y. (2015) On Symplectic Self-Adjointness of Hamiltonianperator Matrices. Science China, 58, 821-828. https://doi.org/10.1007/s11425-014-4876-1

4. 刘景麟. 关于J对称算子的J自伴延拓[J]. 内蒙古大学学报(自然科学版), 1992, 23(3): 312-316.

5. Reed, M. and Simon, B. (1978) Methods of Modern Mathematical Physics 1. Analysis of Operators. Academic Press, London.

6. Weidmann, J. (1980) Linear Operators in Hilbert Spaces. Springer-Verlag, New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-6027-1

期刊菜单