Advances in Applied Mathematics
Vol.
12
No.
03
(
2023
), Article ID:
62372
,
6
pages
10.12677/AAM.2023.123089
基于五阶WENO格式的时间分数阶Burgers 方程的多重网格方法
白慧冉*,魏英岚
长沙理工大学,数学与统计学院,湖南 长沙
收稿日期:2023年2月8日;录用日期:2023年3月4日;发布日期:2023年3月13日
![](http://html.hanspub.org/file/7-2623178x1_hanspub.png?20230314082920098)
摘要
我们研究一种求解时间分数阶Burgers方程的多重网格方法。离散化过程中,时间分数阶导数采用L1公式逼近,对流项运用Lax-Friedrichs通量近似计算。在数值实验中,在不同的 取值下进行了有效的数值实验,结果证明该方法可以很好地模拟间断。
关键词
时间分数阶Burgers方程,多重网格法,五阶WENO格式
![](http://html.hanspub.org/file/7-2623178x3_hanspub.png?20230314082920098)
Multigrid Method for Time Fractional Burgers Equation Based on Fifth-Order WENO Scheme
Huiran Bai*, Yinglan Wei
Mathematical and Statistical Institute, Changsha University of Science and Technology, Changsha Hunan
Received: Feb. 8th, 2023; accepted: Mar. 4th, 2023; published: Mar. 13th, 2023
ABSTRACT
We investigate a multigrid method for solving time-fractional Burgers equations. In the discretization process, the fractional derivative of time is approximated by the L1 formula, and the convective term is calculated by Lax-Friedrichs flux approximation. In the numerical experiments, the effective numerical experiments are carried out under different values of , and the results show that the method can simulate the discontinuity well.
Keywords:Time Fractional Burgers Equation, Multiple Grid Method, Fifth Order WENO Scheme
Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
本文考虑如下时间分数阶Burgers方程 [1] :
(1)
其中 。
满足初始条件
以及合适的边界条件,其中 , 为给定函数,
为 阶Caputo分数阶导数, 为Gamma函数。
近十年来,许多学者运用不同的数值方法对粘性时间分数阶Burgers方程进行了求解,例如,Duangpan运用了有限积分法结合移位Chebyshev多项式 [2] ,Akram等提出了有限差分格式 [3] ,Esen和Tasbozan提出了三次b样条有限元搭配方法 [4] 等等。
2. 有限体积法离散
设 是两个正整数,定义空间步长 ,空间网格节点 ,其中 ;
定义空间半节点 ,得到 个有限体单元 。
定义时间步长 ,时间网格节点 ,其中 。对于函数 ,使用如下简写形式:
在 处计算式(1)并在单元 上对方程进行积分,得到
(2)
其中 表示 在区间 上的平均值。
令 表示 的数值近似,对式(2)的等式左端第一项运用 公式逼近 [5] ,取 :
(3)
其中(2)式中的通量近似为
(4)
(5)
结合式(2)、(3)、(4)及(5),可以得到最终的离散形式为
(6)
(6)式中的 是Lax-Friedrichs通量,即
(7)
其中,取 为 , , 分别表示在节点 上的左近似与右近似,对于左近似和右近似,在下一节中将详细阐述。
3. 5阶WENO格式
对于上一节中的左近似与右近似: , ,我们用5阶WENO格式重构近似计算,该算法是将 和 分别利用一系列偏左、右侧的点值重构得到的。经典的五阶WENO格式如图1所示。
Figure 1. The model of the fifth-order WENO scheme
图1. 5阶WENO示意图
是利用图1一系列偏左侧的点重构得到的(即图1中的 ), 是利用图1一系列偏右侧的点重构得到的(即图1中的 ),这里 表示r的初始点。为了简化描述,在不引起混淆的情况下,省去 和 的上标“+”,“−”和“n”。 的五阶WENO重构可表示为:
(8)
(8)式中的 可写为 ,非线性权重 为
(9)
其中, ,通常取 , 是线性权重。上述中系数 和 的选取可参见文献 [6] 。
光滑指示因子 可以表示为:
4. 多重网格方法
本文使用多重网格迭代方法,由于空间系统是强非线性的,我们将使用非线性多重网格方法——FAS多重网格方法 [7] 。
假设三个正整数 满足式:
构建一个空间网格体系 ,假设最细网格 的网格大小为 ,对于 , 的网格大小为 ,其中 表示 的网格数量,下文中与 有关的量以上标 的形式书写,例如 。
在每一层网格上,对问题采用如下不动点迭代方法求解:
(10)
其中 , 和 分别为一次迭代过程中的新近似解和旧近似
解, 为一个能够保证迭代方法收敛性的合适的正数。
下面提出求解方程的两层多重网格迭代方法,我们定义延拓和限制算子来实现相邻网格之间的数据传输,其中,延拓算子定义为 ,即
定义为:
限制算子定义为 ,即
定义为:
以下提出求解方程的多重网格迭代方法步骤:
步1:在细网格上运用(8)式计算离散方程 ,一般迭代次数为2~3次;
步2:细网格上的残差和近似解均限制到粗网格上,并求解细网格上离散方程:
步3:作粗网格修正:
5. 数值实验
算例1令计算域为 ,初始条件为 ,边值条件为 ,取 , ,当 时方程(1)的数值解如下图2:
Figure 2. Numerical results of example 1
图2. 算例1的数值结果
算例2令计算域为 ,初始条件为 ,边值条件为
,取 ,当 时方程(1)的数值解如下图3:
根据图2和图3,我们可以看出:算例1中的初始条件是连续函数,随着时间的推进,数值解演化成激波;算例2中的初始条件是分段函数,然而随着时间的推进,数值解演化成稀疏波。
Figure 3. Numerical results of example 2
图3. 算例2的数值结果
6. 总结
本文运用多重网格迭代方法求解时间分数阶Burgers方程,对于对流项中的通量,我们运用Lax-Friedrichs通量近似计算,并对于通量中的左近似和右近似采用5阶WENO格式重构近似。文中计算了两个算例在 时方程的数值解,可以看出该方法模拟间断的效果很好。
文章引用
白慧冉,魏英岚. 基于五阶WENO格式的时间分数阶Burgers方程的多重网格方法
Multigrid Method for Time Fractional Burgers Equation Based on Fifth-Order WENO Scheme[J]. 应用数学进展, 2023, 12(03): 873-878. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.123089
参考文献
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NOTES
*通讯作者。