 Applied Physics 应用物理, 2012, 2, 98-101 http://dx.doi.org/10.12677/app.2012.23017 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/app) Numerical Study of the Parametric Excitation of the Geodesic Acoustic Mode Continuum by Drift Wave Jun Yu1, Wenlong Shi2 1School of Mathematics and Physics, University of South China, Hengyang 2Unit 63726 of People’s Liberation Army, Yinchuan Email: jyuppp@qq.com Received: May 25th, 2012; revised: May 30th, 2012; accepted: Jun. 5th, 2012 Abstract: The geodesic acoustic modes continuum excitation by the drift waves are numerically studied as a parametric process in the tokamak plasmas with a non-uniform ion temperature profile for which the non-uniform part of the in- herent geodesic acoustic mode frequency takes the form of sin function. It is shown that the radial structures of the drift wave sideband are close to the harmonic function, the energies of the geodesic acoustic modes are mainly localized around the resonant points of the parametric excitations, and the growth rate is proportional to the square of the ampli- tude of the pump wave, which indicates that the corresponding analytical results [Yu J. and Dong J. Q., Phys.Scri., 2010, 82: 045504(1-4)] is reasonable. Keywords: Geodesic Acoustic Modes Continuum; Parametric Process; Drift Waves 测地声模连续谱参量激发过程的 数值研究 余 俊1，施文龙 2 1南华大学数理学院，衡阳 2中国人民解放军 63726 部队，银川 Email: jyuppp@qq.com 收稿日期：2012 年5月25 日；修回日期：2012年5月30日；录用日期：2012年6月5日 摘 要：在托卡马克等离子体中离子温度分布的非均匀部分为正弦函数的情况下，采用数值计算的方法，对漂 移波激发测地声模连续谱的参量过程进行了研究。结果表明，漂移波边带模的径向结构与简谐振荡很接近，测 地声模连续谱的振幅在共振点附近具有最大值，测地声模连续谱的增长率与漂移波的振幅的平方成正比。这表 明相应的解析结果[Yu J. and Dong J. Q., Phys.Scri., 2010, 82: 045504(1-4)]是合理的。 关键词：测地声模连续谱；参量激发；漂移波 1. 引言 托卡马克是一种用磁场来约束等离子体的环形 装置，其目标是实现可控核聚变。等离子体湍流，特 别是漂移波湍流，是影响磁约束核聚变的主要障碍之 一。托卡马克等离子体带状流结构可以抑制漂移波湍 流，从而使得约束得到改善，因此关于漂移波激发带 状流的研究具有极其重要的意义[1-10]。测地声模是带 状流的高频分支，它是由Winsor 等人于 1968 年首次 从理论上提出来的[3]。测地声模是静电主导的模式， 其电势扰动的环向模数 0n ，极向模数 0m ；其密 度扰动的环向模数 0n ，极向模数为 m。漂移波 激发测地声模的问题是一个多尺度的模式相互作用 0 Copyright © 2012 Hanspub 98  测地声模连续谱参量激发过程的数值研究 的非线性问题，即小尺度的漂移波湍流激发大尺度的 测地声模结构。 Zonca 和Chen[8]的研究表明，在径向非均匀的等 离子体中，测地声模具有连续谱。由于径向非均匀性 是托卡马克等离子体的一个基本特征，因此在径向非 均匀的等离子体中研究漂移波激发测地声模连续谱 是一个非常有价值的问题。 Yu 和Dong[9]根据理想磁流体力学方程，在电子 温度为均匀、离子温度为非均匀的等离子体中，推导 出了测地声模连续谱的非线性激发方程。他们假定漂 移波边带模在零阶近似下是一个简谐振荡，对某一特 定的径向离子温度分布，求出了漂移波边带模的一阶 展开，并求出了测地声模的增长率。然而这项解析研 究的出发点，即漂移波边带模在零阶近似下是一个简 谐振荡的假定，并没有得到验证。 本文直接从 Yu 和Dong 推导出的测地声模连续谱 的非线性激发方程出发，从数值上计算漂移波边带模 电势的径向结构分布，以及相应的测地声模径向电场 的径向分布图。最后还将给出测地声模增长率与漂移 波泵波振幅的依赖关系。 2. 基本模型 根据文献[9]中的方程(8)和方程(9)，可以得到 0 0 22 0 2 d s m s sm G d DD x ， (1) 其中 s D、 分别是漂移波边带模和测地声模的色散 关系算符， G D 是测地声模的频率， 2 0 是漂移波泵波 振幅的平反， 0 s m 是漂移波边带模的电势， x 是径向 坐标。假设我们所考察的区域为 0 ,0 x ax axL，其中0L 。若令 ， 则所考察的区域为 0 axzx 0,zL。如果进一步设 2Lrz，这所考察的区域成为 2, 2rLL 。考 虑一个周期的测地声模频率分布函数： 0 π 1sin GG r rL ， (2) 其中 0 。此时，可以将方程(1)化为如下的二阶常 微分方程 0 0 2 222 0 ˆ1 ˆ dˆˆˆˆˆ s m s m G d rD ， (3) 其中 ， ˆ rˆ ，ˆG 和0 ˆ 分别是归一化的径向坐标、归 一化的本征频率、归一化的测地声模频率以及归一化 的漂移波泵波频率：ˆ s rr ，0 ˆG ， 0 ˆGGG ，000 ˆG 。 定义为 2 0s ma ， 而222 00 s G D 是归一化了的漂移波泵波振幅的 平方。 3. 数值求解 取一组典型的托卡马克等离子体参数，其中托卡 马克大半径 0400 cmR ，小半径 ，环向场 ，电 子 温 度e T设密度径 向变化的特征尺度 L 100 cma 8 6 10erg 。 4 0510B G n 01. 30 cm ，所考虑区域的长度 10 cmL ，漂移波的极向模数 ，泵波的振幅 为 0200m 0 00. m 1L s n ，则可以计算出 0 ˆ48.94 s LL ，0 ˆ3.3 ， 0 ˆGG xG x ， 0.167 ，并可设 D的适当取值范围为 0.1 到0.2。 图1给出了当 0.5 ，归一化的共振频率为 0 ˆ0.839 Gx 以及测地声模的增长率为0.0537的时 候，漂移波边带模电势的实部和虚部的径向分布。这 是用求解常微分方程的程序——shooting code直接对 方程(3)进行数值求解的结果。可以看出，漂移波边带 模的实部和虚部在径向都几乎是简谐振荡，这与 Yu 和Dong[9]给出的解析结果是一致的。事实上，在文献 [9]中，其解析求解的基础就是假设漂移波边带模在零 阶近似下是一个简谐函数。因此，只要这一假设成立， 那么解析求解的整个过程就是正确的。 图2给出了当 0.5 ，归一化的共振频率为 0 ˆ0.839 Gx 以及测地声模的增长率为0.0537的时 候，测地声模径向电场的实部和虚部的径向分布。这 是利用上面数值求解的边带模的径向分布，根据文献 [9]的中方程(23)计算出来的。可以看出，测地声模的 波形在靠近零和靠近右边界附近具有最大振幅。这是 因为，由于我们假设 0 ˆGx 0 0.839，此时有两个共 振点，一个是在 0 x 点附近，并处于 点右边， 另一个共振点处于右边界附近的内侧。由于测地声模 在共振点附近最容易激发，因此其径向结构在右边界 附近或零附近取最大值。 00x 图3给出了 0.8 ， 时归一化的 测地声模增长率随参数归一化的泵波振幅的平方的 变化关系，其中 0 ˆ0.47 Gx 0 ˆG x 是归一化的共振频率。可以看 出随着参数 D的增长，测地声模增长率几乎是线性 Copyright © 2012 Hanspub 99  测地声模连续谱参量激发过程的数值研究 (a) (b) Figure 1. (a) The radial profile of the real part of the potential of the drift wave side band; (b) The radial profile o f t he imaginary part of the potential of the drift wave side band 图1. (a) 归一化的漂移波边带模电势的实部的径向分布；(b) 归一 化的漂移波边带模电势的虚部的径向分布 增长。这与文献[9]给出的解析结果是一致的。因为， 根据文献[9]中的方程(19)，当归一化的增长率和 值 的比值远小于归一化的共振频率的时，测地声模的增 长率是漂移波泵波振幅的平方的线性函数。 4. 结论与讨论 本文用 shooting code对漂移波边带模的非线性激 发方程进行数值求解，给出了漂移波边带模电势的实 部和虚部的径向分布图。数值计算的结果表明漂移波 边带模电势的实部和虚部都几乎是一个简谐振荡，这 表明文献[9]的解析求解的出发点，即假设漂移波边带 模电势为一个简谐函数，是正确的。因此文献[9]给出 (a) (b) Figure 2. (a) The radial profi the real part of the geodesic ac le of oustic mode electric field; (b) The radial profile of the imaginary part of the geodesic acoustic mode electric field 图2. (a) 归一化的测地声模电场的实部的径向分布；(b) 归一化的 测地声模电场的虚部的径向分布 Figure 3. The dependence of the normalized growth rate of the geodesic acoustic mode on the normalized value of the square of the amplitude of the pump wave (.08 ， ˆ. 0047 Gx ) 3. 归一化的测地声模增长率随参数 泵图归一化 波振幅平方的变化 关系(.08 ， ˆ. 0047 Gx ) 的解析求解的整个过程是可靠的。 Copyright © 2012 Hanspub 100  测地声模连续谱参量激发过程的数值研究 Copyright © 2012 Hanspub 101 根据文献关于模径向 场的解析 达式 code对测地声模增长率进行数值 计算 [9] 中 测地声电表 和用shooting code 给出的边带模的结果，计算出 了径向电场的径向分布图，结果表明径向电场在共振 点附件取最大值。 最后用 shooting ， 表明在归一化的增长率和 的比值远小于归一 化的共振频率的时候，测地声模增长率和漂移波泵波 振幅的平方成正比，这也和文献[9]的解析结果一致。 5. 致谢 本工作得到 973 子项目(编号2009GB105002)以及 国家 参考文献 (References) plasmas. Singapore City: World iew. Plasma coustic al flows in tokamak plasmas with toroidal rotation. modes. g-wavelength mmetry of geodesic acoustic mode tructure and nonlinear excitation of Dong. Parametric excitation of geodesic acoustic Nonlinear excitation of geodesic acoustic Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1987: 152-178. [2] P. H. Diamond, et al. 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