ABSTRACT

Thenotion of FC-system is introduced. In this note, a new construction for inverse semigroups is established in terms of Munn semigroups and Clifford semigroups.

Keywords:Fundamental Inverse Semigroup, Clifford Semigroup, Inverse Semigroup

逆半群的一新构造

刘姗姗，郭俊颖，郭小江

江西师范大学数学与信息科学学院，江西 南昌

Email: liushanshan199008@126.com, 651945171@qq.com, xjguo@jxnu.edu.cn

收稿日期：2015年2月26日；录用日期：2015年3月8日；发布日期：2015年3月12日

摘 要

本文定义FC-系统的概念。从这一概念出发，利用Munn半群和Clifford半群建立了逆半群的一新结构。

关键词 :基本逆半群，Clifford半群，逆半群

1. 引言

逆半群是每个元素都只有一个逆元的正则半群。等价地，正则半群是逆半群当且仅当其幂等元集构成交换子半群。这类半群是离群最近的半群类之一，具有许多“群类似”性质，在半群理论研究中具有重要地位，也有非常丰富的研究成果(见[1] [2] )。

逆半群有两类重要子类：一类是Clifford半群。所谓Clifford半群是具有中心幂等元的正则半群。这类半群可以表示为一些群的半格。

另一类是基本逆半群(fundanmental inverse semigroup)。令为逆半群，为的幂等元集。上的同余称为幂等元分离同余，如果是上的恒等映射。我们用H，L，R，D，J记通常的Green-关系。众所周知，是上的幂等元分离同余当且仅当。记为上的最大幂等元分离同余。逆半群称为基本逆半群，如果其最大幂等元分离同余为恒等映射。更有意思的是，是基本逆半群。这说明，任一逆半群都是以基本逆半群作为同态像。特别地，Munn指出：一个半群是基本逆半群当且仅当它同构于某个Munn半群的全子逆半群(可见，[3] )。

Clifford半群和基本逆半群都具有简明结构。能否从基本逆半群(Munn半群)出发构造逆半群？这是一个非常自然的问题。受到文献[4] [5] 鼓励，本文将给出逆半群基于Munn逆半群和Clifford半群的一种构造方法。

2. 定理

令为逆半群，记为的幂等元集。若为的元，则我们用记的逆元。设

：半格；

：以半格为幂等元集的基本逆半群；

：以半格为幂等元集的Clifford半群；

进一步，设是Clifford半群分解成群的半格分解。记为到自身的半群同态半群。定义

其中，且

定义2.1：五元组称为-系统，如果

(I1) 对于任意，有；

(I2) 对于任意,有；

(I3) 对于任意；

(I4) 对于任意；

(I5) 对于任意

任给-系统，构作集合

在集合上，定义

注意到，，易知，，于是，从而关于运算封闭。进而，为逆半群。

下面是本文的主要结果。

定理2.2：令为-系统，则是逆半群。反过来，任一逆半群均可以这样构作。

3. 定理证明

本节我们给出定理2.2的证明。

引理3.1：令为-系统，则是逆半群。

证明：对于，我们有

于是为半群。

若，则。反之，若为幂等元，则，于是。由前一等式，可知，再结合后一等式，，从而。故。通常验算，可知为半格。

最后，证明为正则半群。这可由下面的计算得到：

为方便记，以下总假设是以为幂等元半格的逆半群，为上的最大幂等元分离同余。记。

引理3.2：(1)是的以为幂等元集的Clifford子半群。

(2) 对于任意的，是以为单位元的的子群。

(3)是的半格分解。

证明：由Lellament引理，知正则半群上的所有同态都是幂等元提升的，于是为的核，即

，而为半格，从而是以为幂等元集的的子半群。

令，则存在，使得，于是，即，从而为正则半群。

因此为逆半群。而，则，进而为群并(union of groups)。

但可以表示一些子群并的逆半群是Clifford半群，故为Clifford半群。

对于，由于，有，于是；类似地，。由上

一段的证明，知，从而是以为单位元的子群。

注意到，若，则，于是。故是Clifford半群的半格分解。

记为关于同余分类的代表元集。由于为幂等元分离同余，所以幂等元所在-类仅含一个元素，故。在上，定义如下运算：

其中表示的包含的-类。易知，为半群，且同构于，于是是以为幂等元集的基本逆半群。

引理3.3：对于任意的,存在惟一使得且。

证明：据的定义，有使得。显然，

据为幂等元分离同余，且，于是。进而

现假设满足的条件。因为，所以，而是代表元集，于是。注意到，。从而。这样，的惟一性获证。

对于，由引理3.3，知。由于，我们知，，但为幂等元分离同余，于是。规定

另一方面，对于，我们有，再据引理3.3，有。定义

显然，。而，我们有

这意味着，。

引理3.4：是的自同态。

证明：注意到，。我们有，但，于是。令。据的定义，知，进而

(1)

而

且，利用等式(1)，我们有

即。从而为半群同态。

定义映射

引理3.5：五元组是-系统。

证明：仅需证明，满足条件(I1)~(I5)。令。记。

据引理3.4的证明，，进而

但，再利用引理3.3，有，即。这意味着，(I1)满足。

现设，记，则

(2)

但

且，于是

即(I2)成立。

对于，由定义，有，显然，再据引理3.3，我们有，从而。我们证明了(I3)。

注意到，。因为为Clifford半群，所以，且，从而由引理3.3，知。而由(I3)，有，进而。故，这样条件(I4)得证。

最后，由，利用引理3.3，有，即。从而完成证明。

定义

由引理3.3，是单射。为证明定理2.2，仅需证明:是半群同构。

引理3.6：是半群同构。

证明：令，由引理3.3，，进而

再结合

利用引理3.3，有，于是

从而是半群同态。

对于，则。由引理3.3，有，进而，于是为满射。从而为半群同态。

基金项目

国家自然科学基金(11361027)，江西省自然科学基金和江西省教育厅科研基金资助项目。

文章引用

刘姗姗,郭俊颖,郭小江, (2015) 逆半群的一新构造
A New Construction for Inverse Semigroups. 理论数学,02,73-79. doi: 10.12677/PM.2015.52011

参考文献 (References)