Pure Mathematics
Vol.06 No.05(2016), Article ID:18624,8 pages
10.12677/PM.2016.65060

Gradient Estimates for Quasilinear Elliptic p-Laplacean Equations

Moqin Wang

College of Science, Shanghai University, Shanghai

Received: Sep. 9th, 2016; accepted: Sep. 23rd, 2016; published: Sep. 28th, 2016

Copyright © 2016 by author and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

In this paper we obtain the pointwise gradient estimates via the non-linear Wolff potentials for weak solutions of the non-homogeneous quasilinear elliptic p-Laplacean equations with measure data.

Keywords:p-Laplacean, Quasilinear, Elliptic, Wolff Potential, Gradient Estimate

拟线性p-调和型椭圆方程的梯度估计

王墨琴

上海大学理学院,上海

收稿日期:2016年9月9日;录用日期:2016年9月23日;发布日期:2016年9月28日

摘 要

本文我们利用非线性Wolff位势来研究右端项含测度的非齐次拟线性p-调和型椭圆方程弱解的点态梯度估计。

关键词 :p-调和型,拟线性,椭圆,Wolff位势,梯度估计

1. 引言

本文我们主要考虑下述非齐次拟线性p-调和型椭圆方程

。 (1.1)

这里为有界开区域且为Borel测度。

1983年,Wolff在文献 [1] 中提出了经典非线性Wolff位势。后来,Kilpeläinen,Malý [2] [3] ,Trudinger,Wang [4] 和Korte,Kuusi [5] 用不同的方法研究了拟线性椭圆方程(1.1)弱解的逐点估计

这里的非线性Wolff位势的定义如下:

最近,Duzaar,Kuusi和Mingione在 [6] - [9] 中借助非线性Wolff位势和线性Riesz位势给出了拟线性椭圆方程(1.1)及其一般情形的弱解的逐点梯度估计。本文我们主要采用非线性Wolff位势来研究非齐次p-Laplacean方程(1.1)弱解的梯度估计,我们将结合文 [6] - [9] 的证明方法给出一个新证明。

首先,我们给出弱解的定义。若为方程(1.1)的弱解,则对任意,有

现在我们来阐述本文的主要结论。

定理1.1. 设是方程(1.1)的弱解,为Borel测度,且的一个Lebesgue点,。那么存在,有如下梯度估计

。 (1.2)

2. 主要结论的证明

我们记

简记。对具有正测度的集合,记积分平均

引入为下述参考方程的弱解

。 (2.1)

现在我们给出齐次p-Laplacean椭圆方程(2.1)弱解的一个经典的估计(参见文献 [10] - [14] )。

定理2.1. 设是(2.1)的弱解,则存在,它们都依赖于,有如下估计

。 (2.2)

其中为同心球。

现在考虑是如下Dirichlet问题的弱解

(2.3)

那么,我们可以得到下面的比较引理。

引理2.2. 设是方程(1.1)的弱解,是方程(2.3)的弱解,则存在依赖于,当时,有估计

。 (2.4)

证明:我们可以通过逼近理论(见 [15] - [17] )只研究的情形。通过基本的尺度变换

另外,通过归一化变换

这里

。(2.5)

我们不妨假设。故我们只需证明

。 (2.6)

首先,由弱解的定义可得

, (2.7)

对任意,任意,我们回顾以下基本不等式

。 (2.8)

因为,那么由Sobolev嵌入定理可得。那么取检验函数,由(2.7)式,(2.8)式,Sobolev嵌入定理以及,可知

故,可得(2.6)式,所以结论得证。

下面我们记

。定义

, (2.9)

其中为整数。我们选取

。 (2.10)

这里如定理2.1中的定义。

考虑是下述Dirichlet问题的弱解

(2.11)

下面我们给出一个迭代引理。

引理2.3. 设是方程(1.1)的弱解,是方程(2.11)的弱解,则有下式成立

这里

证明:由定理2.1中的(2.2)式和的定义式(2.10)式,可知

再由引理2.2的(2.4)式和Hölder不等式,有

引理得证。

下面我们完成定理1.1的证明。

证明:第一步. 设的一个Lebesgue点,,以下我们考虑的球都是以为球心的。我们选取

, (2.12)

其中

。 (2.13)

要证明定理1.1的结论,只需证明

。 (2.14)

我们定义

。 (2.15)

其中为整数。对我们有

, (2.16)

的选取,可知对有下式成立

(2.17)

又因为

(2.18)

所以,由(2.12)式和(2.13)式的,可知

, (2.19)

。 (2.20)

第二步. 由(2.17)式,不失一般性,我们可假设存在,使得

。 (2.21)

否则,对递增序列 (任意),都有。由于的一个Lebesgue点,则有

,结论得证。

第三步. 下面我们在情况下继续定理1.1的证明。简记

由(2.15)式和(2.21)式,可知

。 (2.22)

现在,我们用归纳法证明:当时,有下式成立

。 (2.23)

即假设当时,(2.23)式成立,证明时,(2.23)式仍成立。首先,由引理2.3可知

。 (2.24)

结合(2.20)式和(2.23)式,有

。 (2.25)

进一步,由(2.24)式对求和,可得

因此

。 (2.26)

另一方面,又因为

结合(2.19)式,(2.22)式和(2.26)式,可得

所以,由(2.25)式和上式,即有成立。综上所述,对任意,(2.23)式成立。最后,由于的Lebesgue点,故

从而我们完成了定理1.1的证明。

文章引用

王墨琴. 拟线性p-调和型椭圆方程的梯度估计
Gradient Estimates for Quasilinear Elliptic p-Laplacean Equations[J]. 理论数学, 2016, 06(05): 441-448. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.65060

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