Pure Mathematics
Vol.06 No.05(2016), Article ID:18624,8
pages
10.12677/PM.2016.65060
Gradient Estimates for Quasilinear Elliptic p-Laplacean Equations
Moqin Wang
College of Science, Shanghai University, Shanghai
Received: Sep. 9th, 2016; accepted: Sep. 23rd, 2016; published: Sep. 28th, 2016
Copyright © 2016 by author and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
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ABSTRACT
In this paper we obtain the pointwise gradient estimates via the non-linear Wolff potentials for weak solutions of the non-homogeneous quasilinear elliptic p-Laplacean equations with measure data.
Keywords:p-Laplacean, Quasilinear, Elliptic, Wolff Potential, Gradient Estimate
拟线性p-调和型椭圆方程的梯度估计
王墨琴
上海大学理学院,上海
收稿日期:2016年9月9日;录用日期:2016年9月23日;发布日期:2016年9月28日
摘 要
本文我们利用非线性Wolff位势来研究右端项含测度的非齐次拟线性p-调和型椭圆方程弱解的点态梯度估计。
关键词 :p-调和型,拟线性,椭圆,Wolff位势,梯度估计
1. 引言
本文我们主要考虑下述非齐次拟线性p-调和型椭圆方程
。 (1.1)
这里为有界开区域且为Borel测度。
1983年,Wolff在文献 [1] 中提出了经典非线性Wolff位势。后来,Kilpeläinen,Malý [2] [3] ,Trudinger,Wang [4] 和Korte,Kuusi [5] 用不同的方法研究了拟线性椭圆方程(1.1)弱解的逐点估计
。
这里的非线性Wolff位势的定义如下:
且。
最近,Duzaar,Kuusi和Mingione在 [6] - [9] 中借助非线性Wolff位势和线性Riesz位势给出了拟线性椭圆方程(1.1)及其一般情形的弱解的逐点梯度估计。本文我们主要采用非线性Wolff位势来研究非齐次p-Laplacean方程(1.1)弱解的梯度估计,我们将结合文 [6] - [9] 的证明方法给出一个新证明。
首先,我们给出弱解的定义。若为方程(1.1)的弱解,则对任意,有
。
现在我们来阐述本文的主要结论。
定理1.1. 设是方程(1.1)的弱解,,为Borel测度,且是的一个Lebesgue点,。那么存在,有如下梯度估计
。 (1.2)
2. 主要结论的证明
我们记
。
简记。对具有正测度的集合,记积分平均
。
引入为下述参考方程的弱解
。 (2.1)
现在我们给出齐次p-Laplacean椭圆方程(2.1)弱解的一个经典的估计(参见文献 [10] - [14] )。
定理2.1. 设是(2.1)的弱解,则存在,它们都依赖于,有如下估计
。 (2.2)
其中为同心球。
现在考虑是如下Dirichlet问题的弱解
(2.3)
那么,我们可以得到下面的比较引理。
引理2.2. 设是方程(1.1)的弱解,是方程(2.3)的弱解,则存在依赖于,当时,有估计
。 (2.4)
证明:我们可以通过逼近理论(见 [15] - [17] )只研究的情形。通过基本的尺度变换且
另外,通过归一化变换
且。
这里
。(2.5)
我们不妨假设且。故我们只需证明
。 (2.6)
首先,由弱解的定义可得
, (2.7)
对任意,任意和,我们回顾以下基本不等式
。 (2.8)
因为且,那么由Sobolev嵌入定理可得。那么取检验函数,由(2.7)式,(2.8)式,Sobolev嵌入定理以及,可知
。
故,可得(2.6)式,所以结论得证。
下面我们记
。
令。定义
, (2.9)
其中为整数。我们选取
。 (2.10)
这里如定理2.1中的定义。
考虑是下述Dirichlet问题的弱解
(2.11)
下面我们给出一个迭代引理。
引理2.3. 设是方程(1.1)的弱解,是方程(2.11)的弱解,则有下式成立
。
这里。
证明:由定理2.1中的(2.2)式和的定义式(2.10)式,可知
。
再由引理2.2的(2.4)式和Hölder不等式,有
引理得证。
下面我们完成定理1.1的证明。
证明:第一步. 设是的一个Lebesgue点,,以下我们考虑的球都是以为球心的。我们选取
, (2.12)
其中
且。 (2.13)
要证明定理1.1的结论,只需证明
。 (2.14)
我们定义
。 (2.15)
其中为整数。对我们有
, (2.16)
由的选取,可知对有下式成立
(2.17)
又因为
(2.18)
所以,由(2.12)式和(2.13)式的,可知
, (2.19)
且
。 (2.20)
第二步. 由(2.17)式,不失一般性,我们可假设存在,使得
且,。 (2.21)
否则,对递增序列 (任意),都有。由于是的一个Lebesgue点,则有
。
故,结论得证。
第三步. 下面我们在情况下继续定理1.1的证明。简记
且。
由(2.15)式和(2.21)式,可知
。 (2.22)
现在,我们用归纳法证明:当时,有下式成立
。 (2.23)
即假设当时,(2.23)式成立,证明时,(2.23)式仍成立。首先,由引理2.3可知
,
即
。 (2.24)
结合(2.20)式和(2.23)式,有
。 (2.25)
进一步,由(2.24)式对求和,可得
,
因此
。 (2.26)
另一方面,又因为
结合(2.19)式,(2.22)式和(2.26)式,可得
。
所以,由(2.25)式和上式,即有成立。综上所述,对任意,(2.23)式成立。最后,由于是的Lebesgue点,故
。
从而我们完成了定理1.1的证明。
文章引用
王墨琴. 拟线性p-调和型椭圆方程的梯度估计
Gradient Estimates for Quasilinear Elliptic p-Laplacean Equations[J]. 理论数学, 2016, 06(05): 441-448. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.65060
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