﻿ 不定常自由边界问题研究 Study on Unsteady Free Boundary Problem

Pure Mathematics
Vol.07 No.02(2017), Article ID:20108,32 pages
10.12677/PM.2017.72015

Study on Unsteady Free Boundary Problem

Xiaoqing Wu

College of Science, Southwest Petroleum University, Chengdu Sichuan

Received: Mar. 11th, 2017; accepted: Mar. 28th, 2017; published: Mar. 31st, 2017

ABSTRACT

In this paper, the singular interior boundary problem of heat conduction equation is established:
seeking, satisfy
(I)
which is the function to be determined.
And the linear function expression of singular inner boundary is obtained, satisfying
We establish free boundary problem A and free boundary problem B on homogeneous heat conduction equation.
The problem A is free boundary problem in region. The problem B is free boundary problem in region. It is obtained that free boundary about problem A and problem B are the linear function. The free boundary about problem A and problem B coincides with the singular inner boundary.
Similarly,we establish the singular interior boundary problem of Black-Scholes equation：
seeking, satisfy
(II)
which and are functions to be determined.
When final function, and boundary value function, the singular inner boundary is obtained, and the solution function satisfies and when final function, the singular inner boundary is obtained, and the solution function satisfies and boundary value function.
We establish free boundary problem A and free boundary problem B on homogeneous Black-Scholes equation.
The problem A is free boundary problem in region. The problem B is free boundary problem in region. It is determined that free boundary about problem A and problem B. The conclusion by the final value function satisfies or. Thus the conclusion that is the public free boundary about the problem A and problem B,which satisfies the condition, constant determined by the parameters in the Black-Scholes equation.

Keywords:Heat Conduction Equation, Black-Scholes Equation, Free Boundary Problem, Inverse Problem

(I)

，使其满足
(II)

Copyright © 2017 by author and Hans Publishers Inc.

1. 引言

(I)

(II)

，且，获得奇异内边界为，且解函数满足

2. 主要结果

2.1. 热传导方程在区域具有多条奇异内边界的初值问题数学模型I

(4)

(5)

(6)

2.1.1. 热传导方程在区域具有多条奇异内边界的初值问题的数学模型I的结果

1)为充分光滑的单调函数，

2)

3)

(7)

(8)

(9)

2.1.2. 数学模型I的求解过程

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

，由于

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(30)

(31)

(32)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

2.1.3. 热传导方程N + 1条奇异内边界的确定

，使其满足

1)

2)为充分光滑的单调函数，

，使其满足

1),

2)

1)

2)

1) 当；则数学模型I.1的解

(74)

2) 当；则数学模型I.1的解

(75)

3) 当；则数学模型I.1的解

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

1)

2)

3)

(81)

(82)

(83)

1)

2)

3)

(95)

(96)

1)

2)

3)

(106)

(107)

2.2. 热传导方程在区域有且仅有一条奇异内边界的初值问题数学模型III的研究

(118)

(119)

(120)

1)，2)

(128)

(129)

(130)

1)，2)

(138)

(139)

(140)

1)，2)

1)，2)

(143)

(144)

2.3. Black-Scholes方程自由边界问题研究

;

.

(145)

(146)

2.3.1. Black-Scholes方程带齐次终值条件的奇异内边界问题

1)，2)为充分光滑的单调函数；

(154)

(155)

(156)

(157)

(158)

(常数), (159)

(160)

1) 当

(161)

2) 当

(162)

(163)

，使其满足

；由延拓法等价于考虑非Black-Scholes方程(147)的奇异内边界问题：即求，使其满足

，使其满足

(169)

，使其满足

(170)

2.3.2. Black-Scholes方程带非齐次终值条件的奇异内边界问题

1) 当，解可表为

(179)

2)当，解可表为

(180)

3)当，解可表为

(181)

，且

1) 当

(182)

(183)

2) 当，解

(184)

(185)

，有。从而对任意固定的函数关于变量单调增，

(186)

(187)

1) 当

(188)

(189)

2)当

(190)

3) 当

(193)

1)当满足，欲使，必有

2)若，取即有，故有

3)若，同理取。综上所述我们获得的奇异内边界就是金融数学中的最佳实施边界。

(173)A

(173)B

，使其满足

1)，2)

1)，2)

1)，2)

，使其满足

1)，2)

1)，2)

1)，2)

2.3.3. 上述结果的应用

(235)

(241)

3. 结论

I. 关于热传导方程的自由边界问题A (在区域上的自由边界问题)和自由边界问题B(在区域上的自由边界问题)有如下结论：

1) 假设在区域内仅存在一条奇异内边界的条件下，关于热传导方程在区域 (或)的自由边界问题即在开区域内没有奇异内边界或奇异点，可以用延拓法转换为非齐次热传导方程(110)的奇异内边界问题来研究。

2) 热传导方程的自由边界问题A和自由边界问题B确定的自由边界都为

3) 热传导方程的自由边界问题A和自由边界问题B的边值函数是反问题的解；它是待求的，不能任意给定。

II. 关于Black-Scholes方程的问题A (在区域上的自由边界问题)和问题B (在区域上的自由边界问题) 有如下结论：

1) 假设在区域内仅存在一条奇异内边界的条件下，关于Black-Scholes方程在区域 (或)的自由边界问题在开区域内没有奇异内边界或奇异点，可以用延拓法转换为方程(146)的奇异内边界问题来研究。

2) Black-Scholes方程的自由边界问题A和自由边界问题B确定的自由边界都为。终值函数满足条件得到。从而问题A和问题B具有公共自由边界，满足条件，常数由Black-Scholes方程中的参数唯一确定。就是金融数学中的最佳实施边界。

3) Black-Scholes方程自由边界问题A (或B)中边值函数是待求的，不能任意给定。

Study on Unsteady Free Boundary Problem[J]. 理论数学, 2017, 07(02): 104-135. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.72015

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