Pure Mathematics
Vol.
08
No.
06
(
2018
), Article ID:
27519
,
6
pages
10.12677/PM.2018.86086
A Class of New Quantum MDS Codes from Constacyclic Codes
Na Huang*, Xiling Tang
School of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong
Received: Oct. 19th, 2018; accepted: Oct. 31st, 2018; published: Nov. 13th, 2018
ABSTRACT
Quantum MDS codes are an important family of quantum codes. In this paper, we obtain a new class of quantum MDS code of the length by means of Hermitian construction and constacyclic codes. The result is generalized of the theorem 7 in [13] .
Keywords:Quantum MDS Codes, Hermitian Construction, Constacyclic Codes
基于Constacyclic码构造的一类新的量子MDS码
黄娜*,唐西林
华南理工大学数学学院,广东 广州
收稿日期:2018年10月19日;录用日期:2018年10月31日;发布日期:2018年11月13日
摘 要
量子MDS码是一类重要的量子码。在这篇文章中,我们通过厄米特结构和常循环码构造一类长度为 新的量子MDS码。这个结果是文献 [13] 中定理7的延伸。
关键词 :量子MDS码,Hermitian结构,Constacyclic码
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
量子纠错码在量子应用和量子通信中发挥着重要的作用。自从Calderbank等人(见 [1] )建立了量子码和经典码之间的联系以来,量子纠错码领域已经取得了很大的进步。近年来,通过欧几里得或厄米特自正交的经典纠错码构造了大量的量子码(见 [2] [3] [4] )。
一个q元量子码具有3个参数:码长,码字数和最小距离。一个具有码长为n,码字数为K的q元量子码Q是 维Hillbert空间 的一个K维子空间,令 ,则码长为n,最小距离为d的量子码被记为 。参数为 的q元量子码可以检查d − 1位错误。纠正 位错误。因此,在量子码理论中,一个主要的任务就是构造具有较大极小距离的量子码。带参数为 的q元量子码都满足量子Singleton界(见 [5] ): 。当达到量子Singleton界,即 的量子码称为q元量子极大距离可分离码(简称量子MDS码)。
量子MDS码是量子码中最重要的一类,它在理论和应用上都有着非常重要的意义。近年来,很多q元量子MDS码通过使用不同的方法被构造,其中一个重要的方法是Hermitian正交码方法,即利用一个定义在有限域 上关于Hermitian内积自正交的线性MDS码来构造一个q元量子MDS码。近年来常用的一些MDS线性码有:Reed Solomon码、循环码、negacyclic码、constacyclic码等等,说明它是Hermitian自正交码就能去构造相应的q元量子MDS码(见 [1] [6] - [16] )。
当q为奇素数的方幂时,构造具有较大最小距离且码长 的量子MDS码是困难的。一些码长为 已经被构造出来了,这些q元量子MDS码大都是利用Hermitian自正交码方法由线性MDS码得到。文献 [13] 构造了码长为 ,且具有较大距离的量子MDS码。
本文主要从参考文献 [13] 中,码长为 的q元量子MDS码出发,构造了码长为 ,且具有较大距离的量子MDS码。
2. 预备知识
令q为一个奇素数的方幂。设 为具有 个元素的有限域, 为 的n维向量空间,一个具有参数为 的线性码C是指有限域 上n维向量空间中最小距离为d的k维子空间,其中最小距离d为不同码字之间的Hemming距离的最小值,线性码C满足Singleton界: 。如果C达到Singleton界,即 ,则称此线性码C为极大距离可分码,简称MDS码。
给任意两个向量 ,定义Hermitian内积 。如果 ,则称这两个向量Hermitian正交。定义 为线性码的对偶码,如果 ,则C称为一个Hermitian自正交码。
2.1. 量子MDS码
如何构造q元量子MDS码最近成为研究热点,比较常用的构造q元量子MDS码方法是Hermitian方法,见如下定理。
定理2.1:(见 [1] )如果存在一个有限域 上参数为 的MDS码C,而且 ,则可以构造出一个q元量子MDS码 。
通过这个定理,可由Reed Solomon码、循环码、negacyclic码、constacyclic码这些经典的MDS码构造出很多的q元量子MDS码,此外选择具有较大最小距离d的Hermitian自正交MDS码,便可得到较大最小距离的q元量子MDS码。
2.2. Constacyclic码
设 。对于 ,一个长度为n的 元类线性码C称为η-constacyclic码当且仅当它在η-constacyclic移位下是不变的:
.
一个码字 可以用一个多项式 表示。很容易验证一个在长度的η-constacyclic码是商环 的理想,并且 对应 的η-constacyclic移位。而且,如果 是主理想,那么 ,其中 是 的首1因式。如果 ,那么η-constacyclic码就为negacyclic码。如果 是一个r次本原根,那么一定会存在rn次本原根 ,即 。那么,我们就有 。类似于循环码,对于constacyclic码,我们也有下面的BCH界。
定理2.2:(见 [17] )设C是一个在 上,长度为n的η-constacyclic码,其中 是一个r次本原根。令 是 扩域上的一个rn次本原根,即 。假设C的生成多项式 的根包含集合 。那么C的极小距离至少为d。
定义 。对于 , 为j模rn的 -分圆陪集。设C是一个在 上,长度为n的η-constacyclic码,且 ,那么集合 称为集合C的定义集合。易知, 和 。此外,我们也定义 的定义集合 。
因此我们有以下的引理去判断一个η-constacyclic码C是否包含 。
引理2.3:(见 [14] )设 和 ,其中 。C是一个在上,长度为n的η-constacyclic码,并且其定义集合为 ,那么 当且仅当 ,其中 。
3. 主要结果
为了定理的证明,我们需要以下的引理。
引理3.1:令 和 。那么对于正整数 ,那么 为j模 的 -分圆陪集有:
(1) 和 。
(2) 。
证明:(1) 如果 ,那么 。这就说明 。又因为,所以 。另外,
.
因此, 。
(2) 这个证明类似于 [13] 中引理3.12的证明。
引理3.2
(1) 令q是一个素数方幂且 ,其中a是奇整数,。如果C是一个在 上,长度为 的η-constacyclic码,并且其定义集合为 ,其中 和 ,那么 。
(2) 令q是一个素数方幂且 ,其中a是奇整数, 。如果C是一个在 上,长度为 的η-constacyclic码,并且其定义集合为 ,其中 和 ,那么 。
证明:我们只证明第一部分,第二部分的证明是类似的。我们假设 和 ,根据引理2.3,我们只需要证明。利用反证法,假设存在 ,使得 。那么只有以下两种情况。
情况1: 。
那么我们有
.
因为 ,所以
.
令 ,则
.
等式左边
,
令 ,从而 。因此我们有
.
如果 ,那么 ,与已知矛盾。
如果 ,那么 ,也与已知矛盾。
情况2: 。
那么我们有
.
因为 ,所以
.
令 ,则
.
等式左边
,
令 ,从而 。因此我们有
.
如果 ,那么 ,与已知矛盾。
如果 ,那么 ,也与已知矛盾。
所以假设不成立,故 。即原命题得证。
定理3.3:
(1) 令q是一个素数方幂且 ,其中a是奇整数, 。那么存在一个参数为 的q元的量子MDS码,其中 且d为偶数。
(2) 令q是一个素数方幂且 ,其中a是奇整数, 。那么存在一个参数为 的q元的量子MDS码,其中且d为偶数。
证明 由引理3.1可知,除了 和 ,其余的 -分圆陪集都含有两个元素,再根据引理3.2,定理2.3,定理2.2和定理2.1易证得该定理。
推论3.4 ( [13] 中定理7)
(1) 令q是一个素数方幂且 ,那么存在一个参数为 的q元的量子MDS码,其中 且d为偶数。
(2) 令q是一个素数方幂且 ,那么存在一个参数为 的q元的量子MDS码,其中 且d为偶数。
基金项目
广州市对外科技合作项目:小弧形表面缺陷自动检测技术和系统(编号201704030062)。
文章引用
黄 娜,唐西林. 基于Constacyclic码构造的一类新的量子MDS码
A Class of New Quantum MDS Codes from Constacyclic Codes[J]. 理论数学, 2018, 08(06): 644-649. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86086
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