PSL(2,2n)与单纯3-(2n + 1,2ld + 1,λ)设计(l为奇数，d|(2n - 1)且d ≥ 3) PSL(2,2n) and Simple 3-(2n + 1,2ld + 1,λ) Designs Where l Is Odd, d|(2n - 1) and d ≥ 3

doi:10.12677/PM.2019.94071

Pure Mathematics
Vol. 09 No. 04 ( 2019 ), Article ID: 31026 , 6 pages
10.12677/PM.2019.94071

PSL(2,2ⁿ) and Simple 3-(2ⁿ + 1,2ld + 1,λ) Designs Where l Is Odd, d|(2ⁿ − 1) and d ≥ 3

Lele Wei, Weixia Li^*

●How to Cite this Article

School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao Shandong

Received: Jun. 4^th, 2019; accepted: Jun. 14^th, 2019; published: Jun. 27^th, 2019

ABSTRACT

Let $X = G F (q) \cup {\infty}$ be the projective line. Let l be an odd integer. The integer d satisfies $d | (2^{n} - 1)$ and d ≥ 3. In this paper, we determined the parameter set of simple 3-designs from PSL(2,2ⁿ) with block size 2ld + 1 where the stabilizer of the initial block contains order d element of PSL(2,2ⁿ) and calculated the number of the orbits which form the simple 3-design with that parameter set. By using the orbits of PSL(2,2ⁿ) on the X, the results show that the number of the orbits is $\frac{1}{2 l} \prod_{i = 1}^{2 l - 1} \frac{2^{n} - 1 - i d}{d}$ which forms the simple $3 - (2^{n} + 1, 2 l d + 1, 2 l (2 l d - 1) (2 l d + 1))$ design.

Keywords:Simple t-Designs, Projective Special Linear Group, Automorphism Group

PSL(2,2ⁿ)与单纯3-(2ⁿ+ 1,2ld + 1,λ)设计(l为奇数，d|(2ⁿ − 1)且d ≥ 3)

魏乐乐，李伟霞^*

青岛大学数学与统计学院，山东青岛

收稿日期：2019年6月4日；录用日期：2019年6月14日；发布日期：2019年6月27日

摘要

令 $X = G F (q) \cup {\infty}$ 是射影直线。设l为奇数，d为满足 $d | (2^{n} - 1)$ 且d ≥ 3的正整数。本文确定了以PSL(2,2ⁿ)为自同构群，区组长度为2ld + 1，初始区组的稳定子群中含有d阶元的单纯3-设计的参数，并计算了构成这一参数的轨道的条数。利用PSL(2,2ⁿ)在X上作用的轨道，得到如下结论：这类单纯3-设计的参数为 $3 - (2^{n} + 1, 2 l d + 1, 2 l (2 l d - 1) (2 l d + 1))$ ，构成这一设计的轨道的条数为 $\frac{1}{2 l} \prod_{i = 1}^{2 l - 1} \frac{2^{n} - 1 - i d}{d}$ 。

关键词 :单纯t-设计，射影特殊线性群，自同构群

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

1.1. 研究背景

参数为 $t - (v, k, λ)$ 的一个设计，简称t-设计，定义为符合以下条件的一对符号 $(X, B)$ ：

1) X是一个v-集合；

2) $B$ 是X的一组k-子集；

3) X的任意给定的t-子集都恰好含于 $B$ 的 $λ$ 个成员之中。

X的元素称为点， $B$ 的成员称为区组。若一个 $t - (v, k, λ)$ 设计不包含重复的区组，则称这个设计为单纯的。在本文中我们只考虑单纯t-设计。

令 $G \leq s y m (X)$ ，则对于任意的 $g \in G$ ，， $S^{g} = {x^{g} : x \in S}$ 。 $S^{G} = {S^{g} : g \in G}$ 称为S的轨道， $G_{S} = {g \in G : S^{g} = S}$ 称为S的稳定子群，且 $| G | = | S^{G} | | G_{S} |$ 。 $(X, B)$ 的一个自同构是指具有下述性质的X的置换g：如果 $B \in B$ ，则 $B^{g} \in B$ 。G是 $(X, B)$ 的自同构群当且仅当区组集 $B$ 是G作用下X的k-子集的轨道的并。

令q为素数幂， $X = G F (q) \cup {\infty}$ 为射影直线。对任意的 $a, b, c, d \in G F (q)$ ，定义 $a / 0 = \infty$ ，， $\infty + a = a + \infty = \infty$ ， $(a \infty + b) / (c \infty + d) = a / c$ 。所有行列式为非零平方元的线性分式的集合构成线性分式群 $L F (2, q)$ ，它同构于 $P S L (2, q)$ 。即

$L F (2, q) = {f {| f : X \to X, x}^{f} = \frac{a x + b}{c x + d}, a d - b c 为非零平方元}$ .

设 $q = p^{n}$ ，其中p为素数。利用 $P S L (2, q)$ 为设计的自同构群来研究t-设计是一个可行的方法。特别的，文献 [1] 已完整解决了以 $P S L (2, q)$ 为自同构群，区组长度为k的3-设计的存在性问题，其中 $k \equiv 0, 1 (\mod p)$ 。文献 [2] [3] [4] [5] 完整讨论了以 $P S L (2, 2^{n})$ 为自同构群，区组长度为k ( $4 \leq k \leq 8$ )的单纯3-设计的存在性问题。文献 [6] [7] 介绍了以 $P S L (2, 2^{n})$ 为自同构群，区组长度为d和的单纯3-设计的有关结果，这里 $d | (2^{n} - 1)$ 。文献 [8] - [13] 找到了一些 $t \geq 4$ 时的t-设计存在的例子。

注意到当 $q = 2^{n}$ 时，对于任意的区组长度k总满足 $k \equiv 0, 1 (\mod 2)$ 。又 $P S L (2, 2^{n}) = P G L (2, 2^{n})$ 在X上的作用是精确3重传递的，故任意不相交的k-子集的轨道的并可构成单纯 $3 - (2^{n} + 1, k, λ)$ 设计，其中 $λ$ 为正整数。

本文只考虑 $q = 2^{n}$ 的情形。用表示 $P S L (2, 2^{n})$ ，用表示射影直线。总假设l为奇数，d为满足 $d | (2^{n} - 1)$ 且 $d \geq 3$ 的整数。利用 $P S L (2, 2^{n})$ 在X上作用的轨道，确定了以 $P S L (2, 2^{n})$ 为自同构群，区组长度为 $2 l d + 1$ ，初始区组的稳定子群中含有d阶元的单纯3-设计的参数，并计算了满足这一参数的轨道的条数。得到了如下结果：

定理：令B为 $G$ 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 $2 l d + 1$ -子集，则 $(X, B^{G})$ 构成一个 $3 - (2^{n} + 1, 2 l d + 1, 2 l (2 l d - 1) (2 l d + 1))$ 设计。构成这一设计的轨道的条数为 $\frac{1}{2 l} \prod_{i = 1}^{2 l - 1} \frac{2^{n} - 1 - i d}{d}$ 。

1.2. 预备知识

引理1 [14] ：设 $g \in G$ ，g的阶为h且 $h > 1$ ，则g有a个不动点和 $b = (2^{n} + 1 - a) / h$ 个h圈。其中当 $h = 2$ 时， $a = 1$ ；当 $h | (2^{n} - 1)$ 时， $a = 2$ ；当 $h | (2^{n} + 1)$ 时， $a = 0$ 。

注：由引理1易知若B为X的一个k-子集， $g \in G_{B}$ 当且仅当B由g的q个h圈和r个不动点构成，其中 $k = h q + r$ ， $0 \leq r < h$ 。

引理2 [14] ： $G$ 的一个非平凡子群必为下列之一：

1)阶初等Abel群，其中 $h \leq n$ ；

2) d阶循环群，其中 $d | (2^{n} \mp 1)$ ；

3) 二面体群 $D_{2 d}$ ，其中 $d | (2^{n} \mp 1)$ ；

4) $2^{h}$ 阶的初等Abel群和d阶循环群的半直积，其中 $d | (2^{n} - 1)$ ；

5) $P S L (2, 2^{k})$ ，其中 $k | n$ ；

6) 交错群 $A_{4}$ 。

引理3 [6] ：类型(4)的子群不可能是2d阶的。

引理4 [14] ：所有二面体群 $D_{2 d}$ 在 $G$ 中共轭。

以下总假设 $d | (2^{n} - 1)$ 且 $d \geq 3$ ， $α$ 为 $G F^{*} (2^{n})$ 中的一个d阶元， $x^{f_{1}} = α x$ ， $x^{f_{2}} = \frac{1}{x}$ ， $G = 〈 f_{1}, f_{2} 〉$ ，m为任意正整数，l为任意奇数。

引理5 [6] ： $G = 〈 f_{1}, f_{2} 〉$ 为一个二面体群 $D_{2 d}$ 。

引理6 [7] ：若S为一个 $d + 1$ -子集，则无二面体群 $D_{2 d}$ 包含在 $G_{S}$ 中。

由引理6易得下面的推论。

推论1：若S为一个 $m d + 1$ -子集，则无二面体群 $D_{2 d}$ 包含在 $G_{S}$ 中。

证明：若存在一个二面体群 $D_{2 d} \subseteq �_{S}$ ，由引理4及引理5知存在 $g \in G$ ，使得 $g^{- 1} D_{2 d} g = G \subseteq G_{S^{g}}$ 。由引理1知 $S^{g}$ 由 $f_{1}$ 的m个d圈和1个不动点构成，则 $S^{g}$ 中恰包含0和 $\infty$ 中的一个元素。又因为 $f_{2} \in G \subseteq G_{S^{g}}$ ，由此推得若 $0 \in S^{g}$ 必有 $\infty \in S^{g}$ ，产生矛盾。证毕。

引理7 [6] ：若S为X的k-子集，则 $(X, S^{G})$ 是一个单纯 $3 - (2^{n} + 1, k, λ)$ 设计，其中 $λ = \frac{k (k - 1) (k - 2)}{| G_{S} |}$ 。

2 定理的证明

引理8：令B为 $G$ 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 $2 l d + 1$ -子集，则 $(X, B^{G})$ 构成一个 $3 - (2^{n} + 1, 2 l d + 1, 2 l (2 l d - 1) (2 l d + 1))$ 设计。

证明：由于 $G_{B}$ 中有d阶元，由引理2知 $G_{B}$ 不为类型(1)。由推论1知 $G_{B}$ 不为类型(3)。进一步的 $G_{B}$ 不为类型(5)，否则存在一个二面体群 $D_{2 d}$ 包含在 $G_{B}$ 中，与推论1矛盾。又类型(6)是类型(4)的一种情形，综上述 $G_{B}$ 只能为类型(2)或类型(4)的子群。可设 $| G_{B} | = 2^{h} d$ ，其中h为非负整数。由引理7知 $λ = \frac{(2 l d + 1) 2 l d (2 l d - 1)}{2^{h} d}$ 为整数，又l是奇数，故 $h = 0$ 或1。再由引理3知 $h = 0$ 。故 $(X, B^{G})$ 构成一个 $3 - (2^{n} + 1, 2 l d + 1, 2 l (2 l d - 1) (2 l d + 1))$ 设计。

推论2：令S为X的 $2 l d + 1$ -子集，若 $G_{S}$ 中有d阶元，则 $G_{S}$ 为d阶循环群。

引理9：设S是X的 $m d + 1$ -子集，若 $G_{S}$ 中有d阶元，则轨道 $S^{G}$ 中包含形如 ${1, α, \dots, α^{d - 1}, β_{1}, β_{1} α, \dots, β_{1} α^{d - 1}, \dots, β_{m - 1}, β_{m - 1} α, \dots, β_{m - 1} α^{d - 1}, \infty}$ 的区组。其中 $α$ 为 $G F^{*} (2^{n})$ 中的一个d阶元， $β_{i} \in G F^{*} (2^{n})$ （ $i = 1, 2, \dots, m - 1$ ）。

引理10：若 $(X, Γ)$ 是一个 $3 - (2^{n} + 1, m d + 1, m (m d - 1) (m d + 1))$ 设计，则轨道 $Γ$ 中包含m个形如 ${1, α, \dots, α^{d - 1}, β_{1}, β_{1} α, \dots, β_{1} α^{d - 1}, \dots, β_{m - 1}, β_{m - 1} α, \dots, β_{m - 1} α^{d - 1}, \infty}$ 的区组。其中 $α$ 为 $G F^{*} (2^{n})$ 中的一个d阶元， $β_{i} \in G F^{*} (2^{n})$ ( $i = 1, 2, \dots, m - 1$ )。

证明：设S为轨道 $Γ$ 中的一个区组。由引理7得 $| G_{S} | = d$ ，即d阶循环群。由引理9可设

$S = {1, α, \dots, α^{d - 1}, β_{1}, β_{1} α, \dots, β_{1} α^{d - 1}, \dots, β_{m - 1}, β_{m - 1} α, \dots, β_{m - 1} α^{d - 1}, \infty}$ .

若

$S^{'} = {1, α, \dots, α^{d - 1}, {β^{'}}_{1}, {β^{'}}_{1} α, \dots, {β^{'}}_{1} α^{d - 1}, \dots, {β^{'}}_{m - 1}, {β^{'}}_{m - 1} α, \dots, {β^{'}}_{m - 1} α^{d - 1}, \infty}$

与S位于同一条轨道，则存在 $G$ 中的一个线性分式 $f^{'}$ ，使得 $S^{f^{'}} = S^{'}$ 。设 $x^{f^{'}} = \frac{a x + b}{c x + d}$ ， $x^{f_{1}} = α x$ 。由于 $| G_{S} | = | G_{S^{'}} | = d$ 且 $f_{1} \in G_{S^{'}} \cap G_{S}$ ，从而 $G_{S} = G_{S^{'}} = 〈 f_{1} 〉$ 。又 $G_{S^{'}} = {f^{'}}^{- 1} G_{S} f^{'}$ ，由此可得 $f^{'} G_{S} = G_{S} f^{'}$ 。即 ${f^{'}, f^{'} f_{1}, \dots, f^{'} f_{1}^{d - 1}} = {f^{'}, f_{1} f^{'}, \dots, f_{1}^{d - 1} f^{'}}$ 。对于 $1 \leq i \leq d - 1$ ，若 $f^{'} f_{1} = f_{1}^{i} f^{'}$ ，则对任意的 $x \in X$ ，有 $x^{f^{'} f_{1}} = x^{f_{1}^{i} f^{'}}$ 。即

$\frac{a α x + b α}{c x + d} = \frac{a α^{i} x + b}{c α^{i} x + d}$ .

由上述等式知存在 $u \in G F^{*} (2^{n})$ ，使得

$[\begin{matrix} a α & b α \\ c & d \end{matrix}] = u [\begin{matrix} a α^{i} & b \\ c α^{i} & d \end{matrix}]$ .

故只能 $u = 1$ ， $b = c = 0$ 且 $i = 1$ 。即 $f^{'} f_{1} = f_{1} f^{'}$ 。可令 $x^{f^{'}} = r x$ ，其中 $r = \frac{a}{d}$ 。因此

$S^{'} = S^{f^{'}} = {r, r α, \dots, r α^{d - 1}, r β_{1}, r β_{1} α, \dots, r β_{1} α^{d - 1}, \dots, r β_{m - 1}, r β_{m - 1} α, \dots, r β_{m - 1} α^{d - 1}, \infty}$ .

又 $S^{'} = {1, α, \dots, α^{d - 1}, {β^{'}}_{1}, {β^{'}}_{1} α, \dots, {β^{'}}_{1} α^{d - 1}, \dots, {β^{'}}_{m - 1}, {β^{'}}_{m - 1} α, \dots, {β^{'}}_{m - 1} α^{d - 1}, \infty}$ ，令 $H = 〈 α 〉$ ，从而 $r \in H$ 或 $r \in {β^{'}}_{j} H$ ，其中 $1 \leq j \leq m - 1$ 。下分两种情况讨论：

1) 若 $r \in H$ ，从而 $S^{'} = S$ 。

2) 若 $r \in {β^{'}}_{1} H$ ，不失一般性，可令 $r \in {β^{'}}_{1} H$ ，从而

$S^{'} = {{β^{'}}_{1}, {β^{'}}_{1} α, \dots, {β^{'}}_{1} α^{d - 1}, {β^{'}}_{1} β_{1}, {β^{'}}_{1} β_{1} α, \dots, {β^{'}}_{1} β_{1} α^{d - 1}, \dots, {β^{'}}_{1} β_{m - 1}, {β^{'}}_{1} β_{m - 1} α, \dots, {β^{'}}_{1} β_{m - 1} α^{d - 1}, \infty}$ .

故对于 1 ≤ k ≤ m−1，必存在 ${β^{'}}_{1} β_{k} \in H$ 。即

$S^{'} = {β_{k}^{- 1}, β_{k}^{- 1} α \dots β_{k}^{- 1} α^{d - 1}, β_{k}^{- 1} β_{1}, β_{k}^{- 1} β_{1} α, \dots, β_{k}^{- 1} β_{1} α^{d - 1}, \dots, β_{k}^{- 1} β_{m - 1}, β_{k}^{- 1} β_{m - 1} α, \dots, β_{k}^{- 1} β_{m - 1} α^{d - 1}, \infty}$ .

令 $x^{g_{k}} = β_{k}^{- 1} x$ Math_207#，其中 $β_{0} = 1$ ，则上述 $S^{'} = S^{g_{k}}$ 。综上述若 $S^{'} \in S^{G}$ 当且仅当 $S^{'} = S^{g_{k}}$ Math_212#。

下证 $S, S^{g_{1}}, S^{g_{2}}, \dots, S^{g_{m - 1}}$ 互不相同。由此说明 $Γ$ 中包含m个形如 ${1, α, \dots, α^{d - 1}, β_{1}, β_{1} α, \dots, β_{1} α^{d - 1}, \dots, β_{m - 1}, β_{m - 1} α, \dots, β_{m - 1} α^{d - 1}, \infty}$ 的区组。对于任意的 $0 \leq s, t \leq m - 1$ ，若 $S^{g_{s}} = S^{g_{t}}$ ，则 $g_{s} g_{t}^{- 1} \in G_{S} = 〈 f_{1} 〉$ ，即 $β_{s}^{- 1} β_{t} \in H$ 。从而 $β_{s}^{- 1} β_{t} {1, α, \dots, α^{d - 1}} = {1, α, \dots, α^{d - 1}}$ ，即

${β_{t}, β_{t} α, \dots, β_{t} α^{d - 1}} = {β_{s}, β_{s} α, \dots, β_{s} α^{d - 1}}$ .

这是不可能的。

引理11：构成 $3 - (2^{n} + 1, 2 l d + 1, 2 l (2 l d - 1) (2 l d + 1))$ 设计的轨道的条数为 $\frac{1}{2 l} \prod_{i = 1}^{2 l - 1} \frac{2^{n} - 1 - i d}{d}$ 。

证明：设l为奇数， $α$ 为 $G F^{*} (2^{n})$ 中的一个d阶元， $β_{i} \in G F^{*} (2^{n})$ ( $i = 1, 2, \dots, 2 l - 1$ )。令 $B = {S | S = {1, α, \dots, α^{d - 1}, β_{1}, β_{1} α, \dots, β_{1} α^{d - 1}, \dots, β_{2 l - 1}, β_{2 l - 1} α, \dots, β_{2 l - 1} α^{d - 1}, \infty}}$ ，易得 $B$ 中元素的个数为。再由引理10可得构成 $3 - (2^{n} + 1, 2 l d + 1, 2 l (2 l d - 1) (2 l d + 1))$ 设计的轨道条数为 $\frac{1}{2 l} \prod_{i = 1}^{2 l - 1} \frac{2^{n} - 1 - i d}{d}$ 。

证明：利用引理8和引理11可以得到定理。

推论3：令B为 $G$ 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 $2 l d + 1$ -子集，则对于任意的正整数t，其中 $1 \leq t \leq \frac{1}{2 l} \prod_{i = 1}^{2 l - 1} \frac{2^{n} - 1 - i d}{d}$ ，可构造出单纯 $3 - (2^{n} + 1, 2 l d + 1, 2 l (2 l d - 1) (2 l d + 1))$ 设计。

致谢

衷心感谢导师李伟霞在本文写作过程中的悉心指导！

文章引用

魏乐乐,李伟霞. PSL(2,2ⁿ)与单纯3-(2ⁿ + 1,2ld + 1,λ)设计(l为奇数，d|(2ⁿ - 1)且d ≥ 3)
PSL(2,2ⁿ) and Simple 3-(2ⁿ + 1,2ld + 1,λ) Designs Where l Is Odd, d|(2ⁿ - 1) and d ≥ 3[J]. 理论数学, 2019, 09(04): 540-545. https://doi.org/10.12677/PM.2019.94071

参考文献

1. Cameron, P.J., Maimani, H.R., Omidi, G.R. and Tayfeh-Rezaie, B. (2006) 3-Designs from . Discrete Mathematics, 306, 3063-3073.
https://doi.org/10.1016/j.disc.2005.06.041

2. Keranen, M.S. and Kreher, D.L. (2004) 3-Designs of with Block Sizes 4 and 5. Journal of Combinarorial Designs, 12, 103-111.
https://doi.org/10.1002/jcd.10068

3. Li, W. and Shen, H. (2008) Simple 3-Designs of with Block Size 6. Discrete Mathematics, 308, 3061-3072.
https://doi.org/10.1016/j.disc.2007.08.030

4. Li, W. and Shen, H. (2010) Simple 3-Designs of with Block Size 7. Journal of Combinarorial Designs, 16, 1-17.
https://doi.org/10.1002/jcd.20141

5. Gong, L.Z. and Fan, G.B. (2018) Simple 3-Designs of with Block Size 8. Utilitas Mathematica, 106, 3-9.

6. 李伟霞. 区组长度为因子的单纯3-设计[J]. 上海交通大学学报, 2007, 41(5): 845-847.

7. Li, W. and Shen, H. (2011) Simple 3-Designs with Block Sizes from Where . Journal of Combinarorial Designs, 51, 235-241.

8. Bierbrauer, J. (1993) A Family of 4-Designs with Block Size 9. Discrete Mathematics, 138, 113-117.
https://doi.org/10.1016/0012-365X(94)00192-L

9. 刘伟俊, 谭琼华, 龚罗中. 旗传递设计[J]. 江苏大学学报, 2010, 31(5): 612-615.

10. 刘伟俊, 姚蹈, 陈静. 一般射影线性群与设计[J]. 数学理论与应用, 2010, 30(1): 123-128.

11. 陈静, 陈暑波, 刘伟俊. 二维射影线性群与区传递设计[J]. 中国科学, 2010, 40(11): 1045-1054.

12. 唐剑雄, 陈静, 刘伟俊, 等. 二维射影线性群与区传递设计[J]. 数学进展, 2012, 41(5): 547-553.

13. 杨冠, 刘伟俊. 射影线性群区传递作用于设计[J]. 浙江大学学报, 2013, 40(5): 489-491.

14. Dickson, L.E. (1958) Linear Groups with an Introduction to the Galois Field Theory. Dover Publications, New York, 260-287.

NOTES

^*通讯作者。

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