> 1 1 )。

情况1.2:当时, q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) = 2 x + 1 3 y

情况1.2.1:当 q 1 = 2 时, 2 β 1 1 = 2 x + 1 q y ,可得 m = 2 a ( a 2 ), q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 = 0 , t 1 = 0 ),故 x = s 1 + a 2 y = t 1

情况1.2.2:当 q 1 = q 时, q β 1 1 ( q 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得 m = q b ( b 2 ), q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 1 , t 1 = 0 ),故 x = s 1 1 y = t 1 + b 1

情况2:t = 2当 t = 2 时, q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) q 2 β 2 1 ( q 2 1 ) = 2 x + 1 q y

情况2.1:当 β 1 = β 2 = 1 时,有 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得 m = q 1 q 2 q 1 = 2 s 1 3 t 1 + 1 q 2 = 2 s 2 3 t 2 + 1 ( s 1 0 , t 1 0 ; s 2 1 , t 2 0 ),故 x = s 1 + s 2 1 y = t 1 + t 2

情况2.2:当 β 1 2 β 2 = 1 时,有 q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) = 2 x + 1 q y

情况2.2.1:当 q 1 = 2 ( q 2 5 ,且为质数)时, 2 β 1 1 ( q 2 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得 m = 2 a q 2 ( a 2 ), q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 = 0 , t 1 = 0 ), q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ( s 2 1 , t 2 0 ),故 x = s 1 + s 2 + a 2 y = t 1 + t 2

情况2.2.2:当 q 1 = q 时,( q 5 ,且为质数) q β 1 1 ( q 1 ) ( q 2 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得 m = q b q 2 ( b 2 ), q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 0 , t 1 = 0 ), q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 (),故 x = s 1 + s 2 1 y = t 1 + t 2 + b 1

情况2.3:当 β 1 = 1 β 2 2 时,有 ( q 1 1 ) q 2 β 2 1 ( q 2 1 ) = 2 x + 1 q y ,此时必定有 q 2 = q ,则有 m = q 1 q b ( b 2 ), q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 0 , t 1 = 0 ), q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ( s 2 2 , t 2 0 ),故 x = s 1 + s 2 1 y = t 1 + t 2 + b 1

情况2.4:当 β 1 2 β 2 2 时,有 q 1 β 1 1 q 2 β 2 1 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) = 2 x + 1 q y

q 1 = 2 q 2 = q 时, 2 β 1 1 q β 2 1 ( q 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得 m = 2 a q b ( a 2 , b 2 ), 2 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 = 0 , t 1 = 0 ), q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ( s 2 2 , t 2 = 0 ),故 x = s 1 + s 2 + a 2 y = t 1 + t 2 + b 1

情况3:t = 3当t = 3时, q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) q 2 β 2 1 ( q 2 1 ) = 2 x + 1 q y

情况3.1:当 β 1 = β 2 = β 3 = 1 时,有 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) ( q 3 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得 m = q 1 q 2 q 3 q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 0 , t 1 0 ), q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 q 3 = 2 s 3 q t 3 + 1 ( s i 1 , t i 0 ) i 2 时,必有 s 2 q 2 q 3 ,故 x = s 1 + s 2 + s 3 1 y = t 1 + t 2 + t 3

情况3.2:当 β 2 = β 3 = 1 时,有 q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) ( q 3 1 ) = 2 x + 1 q y

情况3.2.1:当 q 1 = 2 时, 2 β 1 1 ( q 2 1 ) ( q 3 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得 m = 2 a q 2 q 3 ( a 2 )。

2 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 = 0 , t 1 = 0 ), q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 q 3 = 2 s 3 q t 3 + 1 ( s i 1 , t i 0 ), i 2 t = 0 时,必有 s 2 q 2 q 3 ,故 x = s 1 + s 2 + s 3 + a 2 y = t 1 + t 2 + t 3

情况3.2.2:当 q 1 = q 时,( q 5 ,且为质数) q β 1 1 ( q 1 ) ( q 2 1 ) ( q 3 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得 m = q b q 2 q 3 ( b 2 ), q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 1 , t 1 = 0 )当 t = 0 时,必有 s 2 q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 q 3 = 2 s 3 q t 3 + 1 ( s i 1 , t i 0 ), i 2 q 1 q 2 q 3 ,故 x = s 1 + s 2 + s 3 1 y = t 1 + t 2 + t 3 + b 1

情况3.3:当 β 1 = 1 β 2 2 β 3 = 1 时,有 ,可得 m = q 1 q b q 3 ( b 2 ), q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 1 , t 1 = 0 ), q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ( s 2 2 , t 2 = 0 ), q 3 = 2 s 3 q t 3 + 1 ( s 2 2 , t 2 0 )且,故 x = s 1 + s 2 + s 3 1 y = t 1 + t 2 + t 3 + b 1

情况3.4:当 β 1 = β 2 = 1 β 3 2 时,有 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) q 3 β 3 1 ( q 3 1 ) = 2 x + 1 q y

q 3 = q ,可得 m = q 1 q 2 q b ( a 2 , b 2 ), q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 1 , t 1 = 0 ), q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ( s 2 2 , t 2 = 0 ), q 3 = 2 s 3 q t 3 + 1 ( s 2 2 , t 2 = 0 )且 q 1 q 2 q 3 ,故 x = s 1 + s 2 + s 3 1 y = t 1 + t 2 + t 3 + b 1

情况3.5:当 β 1 2 β 2 2 β 3 = 1 时,有 q 1 β 1 1 q 2 β 2 1 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) ( q 3 1 ) = 2 x + 1 q y

q 1 = 2 q 2 = q ( q 5 ,且为质数)时, 2 β 1 1 q β 2 1 ( q 1 ) ( q 3 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得, m = 2 a q b q 3 ( a 2 , b 2 ), 2 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 = 0 , t 1 = 0 ), q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ( s 2 1 , t 2 = 0 )当 t = 0 时,必有 s 2 q 3 = 2 s 3 q t 3 + 1 ( s 2 1 , t 2 0 )当 t = 0 时,必有 s 2 q 2 q 3 ,故 x = s 1 + s 2 + s 3 + a 2 y = t 1 + t 2 + t 3 + b 1

情况4: t 4 时, i = 1 t q i β i 1 ( q i 1 ) = 2 x + 1 q y

情况4.1:当 β i = 1 ( i N + )时,有 i = 1 t ( q i 1 ) = 2 x + 1 q y 可得 m = i = 1 t q i q i = 2 s i q t i + 1 ( s i 0 , t i 0 ),故 x = i = 1 t s i 1 y = i = 1 t t i

情况4.2:当 β 1 2 β i = 1 ( i 2 , i N + )时,有 q 1 β 1 1 i = 2 t ( q i 1 ) = 2 x + 1 q y

情况4.2.1:当 q 1 = 2 q i = q i ( q i 5 且为质数, i 2 )时, 2 β 1 1 i = 2 t ( q i 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得 m = 2 a i = 2 t q i q i = 2 s i 3 t i + 1 ( s i 1 , t i 0 ),故 x = i = 2 t s i + a 2 y = i = 2 t t i

情况4.2.2:当 q 1 = q ( q i 5 且为质数, i 2 )时, q β 1 1 i = 1 t ( q i 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得 m = q b i = 2 t q i q i = 2 s i 3 t i + 1 ( s i 1 , t i 0 ),当 t = 0 时, s 2 ,故 x = i = 2 t s i 1 y = i = 2 t t i + b 1

情况4.3:当 β j 2 β 1 = = β j 1 = β j + 1 = = 1 ( j 2 , i N + )时,有 q j β 1 1 i = 1 t ( q i 1 ) = 2 x + 1 q y

q j = q ( q i 7 且为质数, i 3 )时, q β 1 1 i = 1 t ( q i 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得 m = q b i = 2 t q i q i = 2 s i 3 t i + 1 ( s i 1 , t i 0 ),当 t = 0 时, s 2 ,故 x = i = 2 t s i 1 y = i = 2 t t i + b 1

情况4.4:当 β 1 2 β 2 2 β i = 1 ( i 3 , i N + )时,有 q 1 β 1 1 q 2 β 2 1 i = 1 t ( q i 1 ) = 2 x + 1 q y

情况4.4.1:当 q 1 = 2 q 2 = q q i = q i ( q i 7 且为质数, i 3 )时, 2 β 1 q β 2 1 i = 1 t ( q i 1 ) = 2 x + 1 q y ,可得 m = 2 a q b i = 3 t q i q i = 2 s i 3 t i + 1 ( s i 0 , t i 0 ),故 x = i = 1 t s i + a 2 y = i = 1 t t i + b 1 。其中 s = 1 t = 0 不能同时取。

3.2. 情况B

由于当 q = 3 时,必有 p = 2 ,与定理1相同,故下面讨论 p 2 q 3 时的情况

p 2 q 3 时, p , q 5 φ 2 ( m ) = p x q y ,则

q 1 β 1 1 q 2 β 2 1 q t β t 1 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) ( q t 1 ) = 2 p x q y (3.2)

情况1:t = 1:当 t = 1 时, q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) = 2 p x q y

情况1.1:当 β 1 = 1 时, m = q 1 q 1 = 2 p s 1 q t 1 + 1 ( s 1 1 , t 1 0 ),故 x = s 1 y = t 1 (当 t = 0 时, s 2 s 1 时, t 1 )。

情况1.2:当 β 1 2 时, q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) = 2 p x q y 。通过分析易知 q 1 2 ,则 q 1 = p 或者 q 1 = q

情况1.2.1:当 q 1 = p 时, p β 1 1 ( p 1 ) = 2 p x q y ,可得 p = 3 m = 3 a ( a 2 ),此时只有在 a = 2 下有解。

p = 2 p s 1 q t 1 + 1 ( s 1 = 0 , t 1 = 0 ),故 x = s 1 y = t 1

情况1.2.2:当 q 1 = q 时, q β 1 1 ( q 1 ) = 2 p x q y ,可得 m = q b ( b 2 ), q = 2 p s 1 q t 1 + 1 ( s 1 0 , t 1 = 0 ),故 x = s 1 y = t 1 + b 1

情况2:t = 2当 t = 2 时, q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) q 2 β 2 1 ( q 2 1 ) = 2 p x q y

情况2.1:当 β 1 = β 2 = 1 时,有 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) = 2 p x q y ,由于 q 1 2 ,易知 2 | ( q 1 1 ) 2 | ( q 2 1 ) 方程不成立,无解。

情况2.2:当 β 1 2 β 2 = 1 时,有 q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) = 2 p x q y ,无解。

情况2.3:当 β 1 = 1 β 2 2 时,有 ( q 1 1 ) q 2 β 2 1 ( q 2 1 ) = 2 x + 1 q y ,无解。

情况2.4:当 β 1 2 β 2 2 时,有 q 1 β 1 1 q 2 β 2 1 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) = 2 x + 1 q y ,无解。

情况3:t ≥ 3当 t 3 时, i = 1 t q i β i 1 ( q 1 1 ) = 2 p x q y ,无解。

于是定理2得证。

4. 方程 φ 2 ( m ) = p 1 α 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v 的解

本节将在前面两个定理的基础上,延申到更加一般的情况:即 φ 2 ( m ) = p 1 α 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v (令 p 1 p 2 p v 且均为质数),由分析知,必有 p 1 = 2 。则 φ 2 ( m ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v ( α 1 1 )。由 m = q 1 β 1 q 2 β 2 q t β t ,其中 q 1 < q 2 < < q t 且均为质数,则可得,

q 1 β 1 1 q 2 β 2 1 q t β t 1 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) ( q t 1 ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v (4.1)

其中必有 t v ,因为当 t > v 时,方程(4.1)无解。

4.1. 情况1

t = 1 时, q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v (令 p q )

情况1.1.1:当 β 1 = 1 时,由 q 1 1 = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v ,可得 m = q 1 q 1 = 2 s 1 1 p 2 s 2 1 p 3 s 3 1 p v s v 1 + 1 (其中 s v i 0 ), i = [ 1 , t ] α 1 = s 1 1 1 α j = s v i j = [ 2 , t ]

情况1.1.2:当 β 1 2 时,由 q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v ,易知 q 1 = p u u [ 2 , t ] ,可得 m = q 1 b 1 q 1 = 2 s 1 1 p 2 s 2 1 p 3 s 3 1 p v s v 1 + 1 s u 1 (其中 s 1 1 1 ,且不包含 p u 这一素数), α 1 = s 1 1 1 α j = s j 1 j = [ 2 , t ] α u = s u 1 + b 1 1 ( s u 1 = 0 ) s u 1 之后也为0。

4.2. 情况2

t = 2 时, q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) q 2 β 2 1 ( q 1 1 ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v (令 p q )

情况2.1.1:当 β 1 = 1 时,由 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v ,可得 m = q 1 q 2 q 1 = 2 s 1 1 p 2 s 2 1 p 3 s 3 1 p v s v 1 + 1 q 2 = 2 s 1 2 p 2 s 2 2 p 3 s 3 2 p v s v 2 + 1 α 1 = s 1 1 + s 1 2 1 α j = s 2 1 + s 2 2 j = [ 2 , t ]

情况2.1.2:当 β 1 2 β 2 = 1 时,有 q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) ( q 2 1 ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v ,当 q 1 = p u 时, u [ 2 , t ] ,可得 m = q 1 b 1 q 2 ( b 1 2 ), q 1 = 2 s 1 1 p 2 s 2 1 p 3 s 3 1 p v s v 1 + 1 q 2 = 2 s 1 2 p 2 s 2 2 p 3 s 3 2 p v s v 2 + 1 α 1 = s 1 1 + s 1 2 1 α j = s j 1 + s j 2 ,其中 j = [ 2 , t ] α u = s u 1 + b 1 1 ( s u 1 = 0 ) s u 1 之后也为0。

情况2.1.3:当 β 1 2 β 2 2 时,由 q 1 β 1 1 ( q 1 1 ) q 2 β 2 1 ( q 2 1 ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v ,易知 q 1 = p u 1 , q 2 = p u 2 ,可得 m = q 1 b 1 q 2 b 2 q 1 = 2 s 1 1 p 2 s 2 1 p 3 s 3 1 p v s v 1 + 1 q 2 = 2 s 1 2 p 2 s 2 2 p 3 s 3 2 p v s v 2 + 1 α 1 = s 1 1 + s 1 2 1 α j = s j 1 + s j 2 j = [ 2 , t ] α u 1 = s u 1 + b 1 1 ( s u 1 = 0 ) s u 1 之后也为0, α u 2 = s u 2 + b 2 1 ( s u 1 = 0 ) s u 2 之后也为0。

4.3. 情况3

t 3 时, i = 1 t q i β i 1 ( q i 1 ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v

情况3.1.1:当 β 1 = 1 时,由 i = 1 t ( q i 1 ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v ,可得 m = q 1 q 2 q t q i = 2 s i 1 p 2 s i 1 p 3 s i 1 p v s i 1 + 1 α 1 = i = 1 t s i 1 1 α j = j = 1 v s j 1 j = [ 2 , t ]

情况2.1.2:当 β 1 2 β 2 = β 3 = = β t = 1 时,有 q 1 β 1 1 i = 1 t ( q 1 1 ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v ,当 q 1 = p u 时, u [ 2 , t ] ,可得 m = q 1 b 1 q 2 q t ( b 1 2 ), q i = 2 s i 1 p 2 s i 1 p 3 s i 1 p v s i 1 + 1 α 1 = i = 1 t s i 1 1 α j = j = 1 v s j 1 j = [ 2 , t ] α u = s u 1 + b 1 1 ( s u 1 = 0 ), s u 1 之后也为0。

情况2.1.3:当 β 1 2 β 2 2 β 3 = β 4 = = β t = 1 时,由 q 1 β 1 1 q 2 β 2 1 i = 1 t ( q 1 1 ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v ,易知 q 1 = p u 1 q 2 = p u 2 ,可得 m = q 1 b 1 q 2 b 2 q 3 q t ( b 1 2 , b 2 2 ), q i = 2 s i 1 p 2 s i 1 p 3 s i 1 p v s i 1 + 1 α 1 = i = 1 t s i 1 1 α j = s j 1 + s j 2 j = [ 2 , t ] α u 1 = s u 1 + b 1 1 ( s u 1 = 0 ) s u 1 之后也为0。 α u 2 = s u 2 + b 2 1 ( s u 1 = 0 ) s u 2 之后也为0。

情况2.1.4:当 β 1 2 β 2 2 β 3 2 β 4 = β 5 = = β t = 1 时,由 q 1 β 1 1 q 2 β 2 1 q 3 β 3 1 i = 1 t ( q 1 1 ) = 2 α 1 + 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p v α v ,易知 q 1 = p u 1 , q 2 = p u 2 , q 3 = p u 3 ,可得 m = q 1 b 1 q 2 b 2 q 3 b 3 q t ( b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 ), q i = 2 s i 1 p 2 s i 1 p 3 s i 1 p v s i 1 + 1 α 1 = i = 1 t s i 1 1 α j = s j 1 + s j 2 j = [ 2 , t ] α u 1 = s u 1 + b 1 1 ( s u 1 = 0 ), s u 1 之后也为0。 α u 2 = s u 2 + b 2 1 ( s u 1 = 0 ), s u 2 之后也为0。

α u 3 = s u 3 + b 3 1 ( s u 1 = 0 ) s u 2 之后也为0。

由此可得,当 β i 2 时, m = q 1 b 1 q 2 b 2 q 3 b 3 q t b t

将以上讨论概括为以下两个情况:

情况1: t = v ,当 q t = p v ( v = t + 1 )时, α 1 = β 1 2 q 1 = 2 α i = β i ( i = [ 2 , v ] ),且 q i = 2 a i + 1 ( a i 0 )。

情况2: t > v ,必有 q t > p v q j = p j j = [ 1 , u ] ,其中 u < v ,则 β u + 1 , β u + 2 , , β v = 1 ,且 q i = 2 s i 1 p 2 s i 1 p 3 s i 1 p v s i 1 + 1 i = [ u + 1 , v ]

于是定理3得证。

致谢

作者衷心感谢阿坝师范学院杨仕椿教授的悉心指导与无私教诲!

基金项目

全国大学生创新训练项目(201810646012),阿坝师范学院教学科研项目(201805087, 20170203, 20171510, 20171515)。

文章引用

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