> 1 1 )。

${q}_{\text{1}}=\text{2}$${q}_{\text{2}}=q$ 时， ${\text{2}}^{{\beta }_{\text{1}}-\text{1}}\cdot {q}^{{\beta }_{2}-1}\cdot \left(q-1\right)={2}^{x+1}\cdot {q}^{y}$，可得 $m={\text{2}}^{a}{q}^{b}$ ( $a\ge \text{2},b\ge \text{2}$ )， $2={2}^{{s}_{1}}\cdot {q}^{{t}_{1}}+1$ ( ${s}_{\text{1}}=0,{t}_{\text{1}}=0$ )， ${q}_{\text{2}}={2}^{{s}_{\text{2}}}{q}^{{t}_{\text{2}}}+1$ ( ${s}_{2}\ge \text{2},{t}_{2}=0$ )，故 $x={s}_{\text{1}}+{s}_{\text{2}}+a-\text{2}$$y={t}_{\text{1}}+{t}_{\text{2}}+b-\text{1}$

$2={2}^{{s}_{1}}\cdot {q}^{{t}_{1}}+1$ ( ${s}_{\text{1}}=0,{t}_{\text{1}}=0$ )， ${q}_{\text{2}}={2}^{{s}_{\text{2}}}{q}^{{t}_{\text{2}}}+1$${q}_{3}={2}^{{s}_{3}}{q}^{{t}_{\text{3}}}+1$ ( ${s}_{i}\ge \text{1},{t}_{i}\ge 0$ )， $i\ge 2$$t=0$ 时，必有 $s\ge 2$${q}_{\text{2}}\le {q}_{\text{3}}$，故 $x={s}_{1}+{s}_{2}+{s}_{\text{3}}+a-\text{2}$$y={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{\text{3}}$

${q}_{\text{3}}=q$，可得 $m={q}_{\text{1}}{q}_{\text{2}}{q}^{b}$ ( $a\ge \text{2},b\ge \text{2}$ )， ${q}_{1}={2}^{{s}_{1}}{q}^{{t}_{1}}+1$ ( ${s}_{\text{1}}\ge \text{1},{t}_{\text{1}}=0$ )， ${q}_{\text{2}}={2}^{{s}_{\text{2}}}{q}^{{t}_{\text{2}}}+1$ ( ${s}_{2}\ge \text{2},{t}_{2}=0$ )， ${q}_{3}={2}^{{s}_{3}}{q}^{{t}_{\text{3}}}+1$ ( ${s}_{2}\ge \text{2},{t}_{2}=0$ )且 ${q}_{\text{1}}\le {q}_{\text{2}}\le {q}_{\text{3}}$，故 $x={s}_{\text{1}}+{s}_{\text{2}}+{s}_{\text{3}}-\text{1}$$y={t}_{\text{1}}+{t}_{\text{2}}+{t}_{\text{3}}+b-\text{1}$

${q}_{\text{1}}=\text{2}$${q}_{\text{2}}=q$ ( $q\ge \text{5}$，且为质数)时， ${2}^{{\beta }_{1}-1}\cdot {q}^{{\beta }_{2}-1}\cdot \left(q-1\right)\cdot \left({q}_{3}-1\right)={2}^{x+1}\cdot {q}^{y}$，可得， $m={\text{2}}^{a}{q}^{b}{q}_{\text{3}}$ ( $a\ge \text{2},b\ge \text{2}$ )， $2={2}^{{s}_{1}}\cdot {q}^{{t}_{1}}+1$ ( ${s}_{\text{1}}=0,{t}_{\text{1}}=0$ )， ${q}_{\text{2}}={2}^{{s}_{\text{2}}}{q}^{{t}_{\text{2}}}+1$ ( ${s}_{2}\ge \text{1},{t}_{2}=0$ )当 $t=0$ 时，必有 $s\ge 2$${q}_{3}={2}^{{s}_{3}}{q}^{{t}_{\text{3}}}+1$ ( ${s}_{2}\ge 1,{t}_{2}\ge 0$ )当 $t=0$ 时，必有 $s\ge \text{2}$${q}_{\text{2}}\le {q}_{\text{3}}$，故 $x={s}_{1}+{s}_{2}+{s}_{\text{3}}+a-\text{2}$$y={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{\text{3}}+b-\text{1}$

${q}_{j}=q$ ( ${q}_{i}\ge \text{7}$ 且为质数， $i\ge \text{3}$ )时， ${q}^{{\beta }_{\text{1}}-1}\cdot \underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}\left({q}_{i}-1\right)={2}^{x+1}\cdot {q}^{y}$，可得 $m={q}^{b}\underset{i=2}{\overset{t}{\prod }}{q}_{i}$${q}_{i}={2}^{{s}_{i}}{3}^{{t}_{i}}+1$ ( ${s}_{i}\ge \text{1},{t}_{i}\ge 0$ )，当 $t=0$ 时， $s\ge 2$，故 $x=\underset{i=\text{2}}{\overset{t}{\sum }}{s}_{i}-1$$y=\underset{i=2}{\overset{t}{\sum }}{t}_{i}+b-1$

3.2. 情况B

$p\ne 2$$q\ne 3$ 时， $p,q\ge \text{5}$${\phi }_{2}\left(m\right)={p}^{x}{q}^{y}$，则

${q}_{1}^{{\beta }_{1}-1}\cdot {q}_{2}^{{\beta }_{2}-1}\cdots {q}_{t}^{{\beta }_{t}-1}\cdot \left({q}_{1}-1\right)\cdot \left({q}_{2}-1\right)\cdots \left({q}_{t}-1\right)=2\cdot {p}^{x}\cdot {q}^{y}$ (3.2)

$p=2\cdot {p}^{{s}_{1}}\cdot {q}^{{t}_{1}}+1$ ( ${s}_{\text{1}}=0,{t}_{\text{1}}=0$ )，故 $x={s}_{\text{1}}$$y={t}_{1}$

4. 方程 ${\phi }_{2}\left(m\right)={p}_{1}^{{\alpha }_{1}}\cdot {p}_{2}^{{\alpha }_{2}}\cdot {p}_{3}^{{\alpha }_{3}}\cdot \cdot \cdot {p}_{v}^{{\alpha }_{v}}$ 的解

${q}_{1}^{{\beta }_{1}-1}\cdot {q}_{2}^{{\beta }_{2}-1}\cdot \cdot \cdot {q}_{t}^{{\beta }_{t}-1}\cdot \left({q}_{1}-1\right)\cdot \left({q}_{2}-1\right)\cdot \cdot \cdot \left({q}_{t}-1\right)={2}^{{\alpha }_{1}+1}\cdot {p}_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot {p}_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot {p}_{v}^{{\alpha }_{v}}$ (4.1)

4.1. 情况1

$t=\text{1}$ 时， ${q}_{1}^{{\beta }_{\text{1}}-1}\cdot \left({q}_{1}-1\right)={2}^{{\alpha }_{1}+1}\cdot {p}_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot {p}_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot {p}_{v}^{{\alpha }_{v}}$ (令 $p\le q$ )

4.2. 情况2

$t=\text{2}$ 时， ${q}_{1}^{{\beta }_{1}-1}\cdot \left({q}_{1}-1\right)\cdot {q}_{2}^{{\beta }_{2}-1}\cdot \left({q}_{1}-1\right)={2}^{{\alpha }_{1}+1}\cdot {p}_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot {p}_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot {p}_{v}^{{\alpha }_{v}}$ (令 $p\le q$ )

4.3. 情况3

$t\ge \text{3}$ 时， $\underset{i=1}{\overset{t}{\prod }}{q}_{i}{}^{{\beta }_{i}-1}\cdot \left({q}_{i}-1\right)={2}^{{\alpha }_{1}+1}\cdot {p}_{\text{2}}^{{\alpha }_{\text{2}}}\cdot {p}_{\text{3}}^{{\alpha }_{\text{3}}}\cdot \cdot \cdot {p}_{v}^{{\alpha }_{v}}$

${\alpha }_{u\text{3}}={s}_{{u}_{\text{3}}}+{b}_{\text{3}}-1$ ( ${s}_{{u}_{1}}=0$ ) ${s}_{{u}_{\text{2}}}$ 之后也为0。

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