ABSTRACT

This paper investigates a class of univalent close-to-convex harmonic mappings, which is the generalization of analytic functions whose derivatives have positive real parts. We discuss the following properties of functions in this class: deviation theorem, the radius of convexity, close-to-convexity of partial sums, extremal functions, and we also study the subclass of functions with initial zero coefficients.

Keywords:Univalent Harmonic Mapping, Deviation Theorem, Radius of Convexity, Partial Sum, Extremal Function

一类单叶接近凸调和映射

乔金静^*，翟小雨

河北大学数学与信息科学学院，河北 保定

收稿日期：2019年8月19日；录用日期：2019年9月9日；发布日期：2019年9月16日

摘 要

作为导数实部大于零的解析函数类的推广，本文介绍了一类单叶接近凸调和映射，讨论了此类映射的如下性质：偏差定理、凸半径、部分和的接近凸性、极值函数，且也研究了幂级数展开式中除首项外前有限项系数为零的子类。

关键词 :单叶调和映射，偏差定理，凸半径，部分和，极值函数

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1. 预备知识

设 $H_0$ 是单位圆盘 $D=\left\{z\in ℂ:\left|z\right|<1\right\}$ 上的复值调和映射 $f=h+\bar{g}$ 组成的函数类，其中h和g是D上的解析函数，分别称为f的解析部分和反解析部分， $h\left(0\right)=g\left(0\right)=0$，$h^{\prime }\left(0\right)=1$。h和g有级数表示

$h\left(z\right)=z+{\displaystyle \underset{n=2}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n{z}^n},g\left(z\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{b}_n{z}^n},z\in D.$

调和映射 $f=h+\bar{g}\in H_0$ 的Jacobian矩阵为 $J_f\left(z\right)={\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|}^2-{\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|}^2$。如果对任意 $z\in D$，都有 $J_f\left(z\right)>0$，则称f在D中是保向的 [1] 。由Lewy [2] 的结果，可得 $J_f\left(z\right)>0$ 是f局部单叶并且保向的一个充分必要条件。而 $f\in H_0$ 在D中保向当且仅当 $g^{\prime }\left(z\right)=\omega \left(z\right)h^{\prime }\left(z\right)$，其中 $\omega$ 在D中解析，且 $\left|\omega \left(z\right)\right|<1$。

称函数 $\omega$ 为f的解析伸缩。

条件 $\mathrm{Re}{f}^{\prime }\left(z\right)>0$ 是凸区域上的解析函数f单叶的充分条件，参见( [3] 定理2.16)。对满足条件 $\mathrm{Re}{f}^{\prime }\left(z\right)>0$ 的函数f的最早的研究是Alexander的论文 [4] 。Alexander证明了：如果f在D中是解析的且 $f^{\prime }$ 将D映射到边界为一条通过原点的直线的半平面，那么f就是单叶的。Noshiro ( [5] , p. 151)和Warschawski ( [6] , p. 312)分别证明了 $\mathrm{Re}{f}^{\prime }\left(z\right)>0$ 是f在任意凸区域内单叶性的一个充分条件。事实上满足条件 $\mathrm{Re}{f}^{\prime }\left(z\right)>0$ 的函数是接近凸的( [3] , p. 46)。

令R表示D中满足条件 $\mathrm{Re}{f}^{\prime }\left(z\right)>0$ 的解析函数类，且满足规范化条件 $f\left(0\right)=0$ 和 $f^{\prime }\left(0\right)=1$。由Noshiro和Warschawski的结果，R中的每一个函数都是单叶的 [4] 。在文献 [7] 中，作者研究了函数类

$\Re =\left\{f\left(z\right)=z+{\displaystyle {\sum }_{n=2}^{\infty }{a}_n{z}^n}:对某一个{\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right],\mathrm{Re}{\text{e}}^{i{\theta }_0}{f}^{\prime }\left(z\right)>0,z\in D\right\}.$

显然R是 $\Re$ 的子类。文献 [7] 主要讨论了 $\Re$ 中函数的如下性质：偏差定理，凸半径，部分和的接近凸性，极值函数，幂级数展开式中除首项外前有限项系数为零的子类。本论的目的是把文献 [7] 中的结果推广到调和映射。

函数类 $\Re$ 到调和映射的一个自然的推广是类

$H:=\left\{f=h+\bar{g}\in H_0:对某个{\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right],\mathrm{Re}{\text{e}}^{i{\theta }_0}{h}^{\prime }\left(z\right)>\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|,z\in D\right\}.$

如果 $f=h+\bar{g}\in H$，即存在 ${\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right]$，使得 $\mathrm{Re}{\text{e}}^{i{\theta }_0}{h}^{\prime }\left(z\right)>\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|$，则称 ${\theta }_0$ 为f对应的旋转角。如果 $f=h+\bar{g}\in H$，显然有 $h\in \Re$ 并且对每一个 $\theta \in \left[0,2\text{π}\right]\in D$，$h+{\text{e}}^{i\left(\theta -{\theta }_0\right)}g\in \Re$。利用上述性质，本文讨论H

中映射的如下性质：偏差定理，凸半径，部分和的接近凸性，极值函数，幂级数展开式中除首项外前有限项系数为零的子类。

2. 偏差定理

定理2.1 如果 $f\left(z\right)=h\left(z\right)+\overline{g\left(z\right)}=z+{\displaystyle {\sum }_{n=2}^{\infty }{a}_n{z}^n}+{\displaystyle {\sum }_{n=2}^{\infty }\overline{b_n}}{\bar{z}}^n\in H$，且对应的旋转角为 ${\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right]$，那么

$\left|a_n\right|+\left|b_n\right|\le \frac{2}{n}\cos {\theta }_0,n=2,3,\cdots ,$

$\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|+\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|\le \cos {\theta }_0\frac{1+\left|z\right|}{1-\left|z\right|}+\left|\sin {\theta }_0\right|,$

$\mathrm{Re}{\text{e}}^{i{\theta }_0}{h}^{\prime }\left(z\right)\ge \cos {\theta }_0\frac{1-\left|z\right|}{1+\left|z\right|}+\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|,$

$\left|\left|h\left(z\right)\right|-\left|g\left(z\right)\right|\right|\le \left|h\left(z\right)\right|+\left|g\left(z\right)\right|\le \cos {\theta }_0\left[-\left|z\right|-2\log \left(1-\left|z\right|\right)\right]+\left|\sin {\theta }_0\right|\left|z\right|,$

$\left|\left|h\left(z\right)\right|-\left|g\left(z\right)\right|\right|\ge \cos {\theta }_0\left[-\left|z\right|+2\log \left(1+\left|z\right|\right)\right].$ (1)

证明：因为 $f=h+\bar{g}\in H$，且对应的旋转角 ${\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right]$，即在D中 $\mathrm{Re}{\text{e}}^{i{\theta }_0}{h}^{\prime }\left(z\right)>\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|$，这等价于对每一个 $\theta \in \left[0,2\text{π}\right]$ 有 $\mathrm{Re}\left({\text{e}}^{i{\theta }_0}{h}^{\prime }\left(z\right)+{\text{e}}^{i\theta }{g}^{\prime }\left(z\right)\right)>0$，也就是 $\mathrm{Re}{\text{e}}^{i{\theta }_0}\left(h^{\prime }\left(z\right)+{\text{e}}^{i\left(\theta -{\theta }_0\right)}{g}^{\prime }\left(z\right)\right)>0$。由文献 [7] 中的定理1.1，有

$\left|a_n+{\text{e}}^{i\left(\theta -{\theta }_0\right)}{b}_n\right|\le \frac{2}{n}\cos {\theta }_0,n=2,3,\cdots ,$

$\left|h^{\prime }\left(z\right)+{\text{e}}^{i\left(\theta -{\theta }_0\right)}{g}^{\prime }\left(z\right)\right|\le \cos {\theta }_0\frac{1+\left|z\right|}{1-\left|z\right|}+\left|\sin {\theta }_0\right|,$

$\mathrm{Re}{\text{e}}^{i{\theta }_0}\left(h^{\prime }\left(z\right)+{\text{e}}^{i\left(\theta -{\theta }_0\right)}{g}^{\prime }\left(z\right)\right)>\cos {\theta }_0\frac{1-\left|z\right|}{1+\left|z\right|},$

$\left|h\left(z\right)+{\text{e}}^{i\left(\theta -{\theta }_0\right)}g\left(z\right)\right|\le \cos {\theta }_0\left[-\left|z\right|-2\log \left(1-\left|z\right|\right)\right]+\left|\sin {\theta }_0\right|\left|z\right|,$

$\left|h\left(z\right)+{\text{e}}^{i\left(\theta -{\theta }_0\right)}g\left(z\right)\right|\ge \cos {\theta }_0\left[-\left|z\right|+2\log \left(1+\left|z\right|\right)\right].$

因此

$\left|a_n\right|+\left|b_n\right|\le \frac{2}{n}\cos {\theta }_0,n=2,3,\cdots ,$

$\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|+\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|\le \cos {\theta }_0\frac{1+\left|z\right|}{1-\left|z\right|}+\left|\sin {\theta }_0\right|,$

$\mathrm{Re}{\text{e}}^{i{\theta }_0}{h}^{\prime }\left(z\right)\ge \cos {\theta }_0\frac{1-\left|z\right|}{1+\left|z\right|}+\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|,$

$\left|\left|h\left(z\right)\right|-\left|g\left(z\right)\right|\right|\le \left|h\left(z\right)\right|+\left|g\left(z\right)\right|\le \cos {\theta }_0\left[-\left|z\right|-2\log \left(1-\left|z\right|\right)\right]+\left|\sin {\theta }_0\right|\left|z\right|,$

$\left|\left|h\left(z\right)\right|-\left|g\left(z\right)\right|\right|\ge \cos {\theta }_0\left[-\left|z\right|+2\log \left(1-\left|z\right|\right)\right].$

通过考虑函数 $f_0\left(z\right)=-z-2\log \left(1-z\right)=z+{\displaystyle {\sum }_{n=2}^{\infty }\left(\frac{2}{n}\right)z^n}\in H$，可知定理中的所有估计都是强的。

下面的结果利用估计(1)得到。

推论2.1 调和映射 $f=h+\bar{g}\in H$ 将单位圆盘D映到包含圆盘的区域上，其中 ${\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right]$ 是f对应的旋转角。

3. 凸半径

本节首先介绍一个引理，这个引理为( [1] , p. 38)中的定理。

引理3.1 设 $f=h+\bar{g}$ 在D中调和并且局部单叶。那么f是单叶的并且它的象域是凸的当且仅当对每一个 $\alpha \left(0\le \alpha <2\text{π}\right)$，解析函数是单叶的，并且它的象域在水平方向是凸的。

定理3.1 调和映射 $f=h+\bar{g}\in H$，将 $\left|z\right|<\sqrt{2}-1$ 映到一个凸区域上。

证明：假设 $f=h+\bar{g}\in H$，且对应的旋转角 ${\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right]$。设 $f_{\theta }\left(z\right)=h\left(z\right)+{\text{e}}^{i\theta }g\left(z\right)$，这里 $\theta \in \left[0,2\text{π}\right]$。 显然有 $f_{\theta }\in \Re$。由( [7] 定理2.1)， $f_{\theta }\left(z\right)$ 将 $\left|z\right|<\sqrt{2}-1$ 映射到一个凸区域上。 $f_{\theta }\left(\left(\sqrt{2}-1\right)z\right)$ 是D上的凸函数，由引理3.1， $f\left(\left(\sqrt{2}-1\right)z\right)$ 是D上的凸调和映射，即调和映射f将 $\left|z\right|<\sqrt{2}-1$ 映到一个凸区域上。

对于函数 $f_0\left(z\right)=-z-2\log \left(1-z\right)\in H$，有

$z{f^{″}}_0\left(z\right)/{f^{″}}_0\left(z\right)+1=\left(1+2z-z^2\right)/\left(1-z^2\right)$，

式子右端当 $z=1-\sqrt{2}$ 是为0。因此，这个函数不会把比 $\left|z\right|<\sqrt{2}-1$ 大的一个圆盘 $\left|z\right|<r$ 映到一个凸区域上。

4. 部分和的接近凸性

定理4.1 设调和映射 $f\left(z\right)=h\left(z\right)+\overline{g\left(z\right)}=z+{\displaystyle {\sum }_{n=2}^{\infty }{a}_n{z}^n+{\displaystyle {\sum }_{n=2}^{\infty }\overline{b_n}{\bar{z}}^n}\in H}$，

$f_n\left(z\right)=h_n\left(z\right)+\overline{g_n\left(z\right)}=z+{\displaystyle {\sum }_{k=2}^n{a}_k{z}^k}+{\displaystyle {\sum }_{k=2}^n\overline{b_k}{\bar{z}}^k}$，那么 $f_n\left(z\right)$ 在 $\left|z\right|<\frac{1}{2}$ 中是接近凸的，其中 $n=2,3,\cdots$。这个结果是强的。

证明：假设 $f=h+\bar{g}\in H$，且对应的旋转角 ${\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right]$，那么对每一个 $\theta$，

$f_{\theta }\left(z\right)=h\left(z\right)+{\text{e}}^{i\left(\theta -{\theta }_0\right)}g\left(z\right)\in \Re$。

由( [7] 定理3.1)，可得在 $\left|z\right|<\frac{1}{2}$ 中有 $\mathrm{Re}\left({\text{e}}^{i{\theta }_0}{h^{\prime }}_n\left(z\right)+{\text{e}}^{i\theta }{g^{\prime }}_n\left(z\right)\right)>0$，这就蕴含了

$\mathrm{Re}{\text{e}}^{i{\theta }_0}{h^{\prime }}_n\left(z\right)>\left|{g^{\prime }}_n\left(z\right)\right|,$

所以 $f_n$ 在 $\left|z\right|<\frac{1}{2}$ 中就是接近凸的。

5. 极值性质

设 ${\theta }_0=\left[0,2\text{π}\right]$，$H_{{\theta }_0}=\left\{f\in H:\mathrm{Re}{\text{e}}^{i{\theta }_0}{h}^{\prime }\left(z\right)>\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|\right\}$。

定理5.1 设 $0<r<1$ 且 ${\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right]$。 $\left|z\right|<r$ 在 $H_{{\theta }_0}$ 中函数的象域面积的最大值由解析函数 $f_0\left(z\right)=-z-2\log \left(1-z\right)$ 取得。

证明：假设 $f=h+\bar{g}\in H$ 且 $0<r<1$，那么 $h\in \Re$。设 $A_r\left(f\right)$ ( $A_r\left(f\right)$ , $A_r\left(f_0\right)$ )分别是 $\left|z\right|<r$ 在f (或h，或 $f_0$ )下的象。由( [7] 定理5.1)的证明，我们有

$\begin{array}{c}{A}_r\left(f\right)={\displaystyle {\iint }_D{J}_f\left(z\right)\text{d}x\text{d}y}={\displaystyle {\iint }_D\left({\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|}^2-{\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\right)\text{d}x\text{d}y}\\ \le {\displaystyle {\iint }_D{\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\text{d}x\text{d}y}=A_r\left(h\right)\le A_r\left(f_{{\theta }_0}\right)\le A_r\left(f_0\right).\end{array}$

定理证毕。

6. 幂级数展开式中除首项外前有限项系数为零的调和映射

定理6.1 设 $f\left(z\right)=h\left(z\right)+\overline{g\left(z\right)}=z+{\displaystyle {\sum }_{k=n}^{\infty }{a}_k{z}^k}+{\displaystyle {\sum }_{k=n}^{\infty }\overline{b_k}{\bar{z}}^k}\in H$，且对应的旋转角 ${\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right]$，那么

$\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|+\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|\le \cos {\theta }_0\frac{1+{\left|z\right|}^{k-1}}{1-{\left|z\right|}^{k-1}}+\left|\sin {\theta }_0\right|,$

$\mathrm{Re}{\text{e}}^{i{\theta }_0}{h}^{\prime }\left(z\right)\ge \cos {\theta }_0\frac{1-{\left|z\right|}^{k-1}}{1+{\left|z\right|}^{k-1}}+\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|,$

$\left|h\left(z\right)\right|+\left|g\left(z\right)\right|\le {\displaystyle {\int }_0^{\left|z\right|}\left(\cos {\theta }_0\frac{1+t^{k-1}}{1-t^{k-1}}+\left|\sin {\theta }_0\right|\right)\text{d}t}$ (2)

$\left|\left|h\left(z\right)\right|-\left|g\left(z\right)\right|\right|\ge {\displaystyle {\int }_0^{\left|z\right|}\cos {\theta }_0\frac{1-t^{k-1}}{1+t^{k-1}}\text{d}t}.$ (3)

证明：假设 $f=h+\bar{g}\in H$，且对应的旋转角 ${\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right]$，那么对于任意的 $\theta$，$\mathrm{Re}{\text{e}}^{i{\theta }_0}\left(h^{\prime }\left(z\right)+{\text{e}}^{i\left(\theta -{\theta }_0\right)}{g}^{\prime }\left(z\right)\right)>0$。由( [7] 定理5.1)，定理得证。

应用定理6.1，对H中满足 $a_2=b_2=0$ 的调和映射，从(2)和(3)可得

$\cos {\theta }_0\left[-\left|z\right|+2\arctan \left|z\right|\right]\le \left|f\left(z\right)\right|\le \cos {\theta }_0\left[-\left|z\right|+\log \left(1+\left|z\right|\right)/\left(1-\left|z\right|\right)\right]+\left|\sin {\theta }_0\right|\left|z\right|.$

由上式的下确界可得如下结果。

推论6.1 如果 $f=h+\bar{g}\in H$，对应的旋转角 ${\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right]$，且满足 $h^{″}\left(0\right)=g^{″}\left(0\right)=0$，那么其象域覆盖圆盘 $\left|\omega \right|<\left(\text{π}/2-1\right)\cos {\theta }_0$。

下面这个结果是定理5.1和( [7] 定理5.2)的推广。

定理6.2 设 $0<r<1$ 和 ${\theta }_0\in \left[0,2\text{π}\right]$。 $\left|z\right|<r$ 在 $H_{{\theta }_0}$ 中函数映射下的象域的面积最大值由 $f_0\left(z\right)$ 取到。函数 $f_{k,{\theta }_0}\left(z\right)={\text{e}}^{-i{\theta }_0}\left\{{\displaystyle {\int }_0^z\left[\left(\left(1+{\sigma }^{k-1}\right)/\left(1-{\sigma }^{k-1}\right)\right)\cos {\theta }_0+i\sin {\theta }_0\right]\text{d}\sigma }\right\}$ 取到 $\left|z\right|=r$ 在 $H_{{\theta }_0}$ 中函数的映射下象的长

度的最大值。

基金项目

本论文由河北省自然科学基金(No. A2018201033)支持。

文章引用

乔金静,翟小雨. 一类单叶接近凸调和映射
A Class of Univalent Close-to-Convex Harmonic Mapping[J]. 理论数学, 2019, 09(07): 813-817. https://doi.org/10.12677/PM.2019.97107

参考文献