Pure Mathematics
Vol.
09
No.
08
(
2019
), Article ID:
32593
,
6
pages
10.12677/PM.2019.98118
Uniqueness Problem of Merpmorphic Function Concerning Difference Equation
Bingmao Deng
School of Financial Mathematics and Statics, Guangdong University of Finance, Guangzhou Guangdong
Received: Sep. 28th, 2019; accepted: Oct. 15th, 2019; published: Oct. 22nd, 2019
ABSTRACT
This paper studied the uniqueness of a finite order meromorphic solution of the difference equation sharing 0, 1, CM with meromorphic . Our results supplemented and improved the result due to Cui and Chen in 2017.
Keywords:Meromorphic Function, Share Values, Difference Equation
与差分方程相关的唯一性问题
邓炳茂
广东金融学院金融数学与统计学院,广东 广州
收稿日期:2019年9月28日;录用日期:2019年10月15日;发布日期:2019年10月22日
摘 要
本文主要研究了差分方程 的一个有穷级亚纯函数解 与 CM分担0,1, 的唯一性问题,补充并推广了崔宁,陈宗煊等人2017年的结论。
关键词 :亚纯函数,分担值,差分方程
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言及主要结果
假设读者熟悉亚纯函数Nevanlinna值分布理论的基本内容及相关标准符号(见参考文献 [1] [2] [3] )。
设 和 是定义在整个复平面上的亚纯函数,a是一个有穷复数。如果 与 有相同的零点(计重数),则称 与 CM分担a。如果 与 有相同的极点(计重数),则称 与 CM分担 。(本中的亚纯函数均指定义在整个复平面上的亚纯函数)。
1929年,Nevanlinna [4] 证明了著名的五值唯一性定理。
定理1. 设 和 是两个非常数亚纯函数, 是五个相互判别的复数。若 与 CM分担 ,则 。
亚纯函数的唯一性理论是复分析的一个重要研究部分,随着这一理论的发展,亚纯函数唯一性理论现在也日趋完善,并获得许多有趣的研究成果(见参考文献 [5] [6] )。近年来,随着差分形式对数导数引理的成功建立,涉及差分与差分方程的唯一性问题成为热点研究课题 [7] [8]。
2017年,崔宁、陈宗煊 [9] 研究了一类差分方程解f与一个亚纯函数g CM分担三个值的唯一性问题,他们证明了如下定理。
定理2. 设 是非零多项式,并且满足 。设 差分方程
(1.1)
的有穷级超越亚纯解。如果亚纯函数 与 CM分担0,1, ,那么下列情形之一必发生:
(I) ;
(II) ;
(III) 存在一个多项式 和一个常数 满足 ,使得 与 ,其中 , 为常数。
注意到定理2中的条件 ,自然会问:(1) 当 时,是否仍有相关结论?(2) 结论(II)中 ,是否能确定出 与 的具体形式?
对于问题(1),当 ,(1.1)式可改写成
(1.2)
其中 是一个非零有理函数。
本文研究了以上问题,并获得了以下结论。
定理3. 设 是非零有理函数。设 差分方程(1.2)的有穷级超越亚纯解。如果亚纯函数 与 CM分担0,1, ,则有 。
另外,针对问题(2),结合定理3,本文考虑了定理2去掉 这一条件的情形。
定理4. 设 是非零多项式。设 差分方程(1.1)的有穷级超越亚纯解。如果亚纯函数 与 CM分担0,1, ,那么下列情形之一必发生:
(1) ;
(2) ,。其中 ,。
(3) 存在一个多项式 和一个常数 满足 ,使得 与 ,其中 , 为常数。
例1. 设 ,。则 是 的一个有穷级整函数解。显然 与 CM分担0,1, 。这表明定理情形二是存在的。
注:定理4证明了定理2中的条件 是可去掉的,并进一步讨论了定理2中情形2具体解的形式。
2. 一些引理
引理2.1 ( [10] )设 是一个有穷级亚纯函数,c是非零常数,则有
。
引理2.2 ( [2] ) 设 是亚纯函数, 是整函数,并且满足:
(1) ;
(2) 对任意的, 时,均有
,,,
其中 是对数测度有穷的集合.
则 。
引理2.3 ( [9] )设是有穷级亚纯函数, 是亚纯函数。如果 与 CM分担0,1, ,则 也是有穷级亚纯函数,并且 。
3. 定理3的证明
由 与 CM分担0,1, ,结合引理2.3可得,存在多项式 ,,使得下式成立:
,。 (3.1)
若,从(3.1)式,易得 。以下讨论 的情形。
由(3.1)式,以及 ,可解得
。 (3.2)
将(3.2)式代入(1.2)式,可得
。 (3.3)
其中 ,,,,。
以下分四种情形讨论。
情形1. 。则(3.3)式可改写成
, (3.4)
其中
对任意的 ,显然有 。因此,由(3.4)式及引理2.2可得 ,从而有 ,这与R是非零有理函数相矛盾。
情形2. 。则(3.3)式可改写成
, (3.5)
其中
对任意的 ,显然有 。因此,由(3.5)式及引理2.2可得 ,从而有 ,这与R是非零有理函数相矛盾。
情形3. 。分四种子情形讨论。
情形3.1. 。则(3.3)式可改写为
。 (3.6)
其中 ,,,,,,,,,。显然,对任意的 ,,均有 。因此,由引理2.2可得, ,从而有 ,这与R是非零有理函数相矛盾。
情形3.2. 。令 ,则 ,因此(3.3)式可改写成
, (3.7)
其中 ,。显然,对任意的 ,均有 。由引理2.2可得, 。
由 ,显然 ,可得 。
情形3.2.1. 。则显然 ,由 结合引理2.2,易得 ,且 ,即得 。将此式代入 ,可得
。 (3.8)
由 ,R是有理函数,以及引理2.2,可得 ,这与R是非零有理函数相矛盾。
情形3.2.2. 。则显然有 ,则由 结合引理2.2,易得 ,即 ,从而有 ,这与假设 ,矛盾。
情形3.2.3. 。则显然 ,以及 。当 时,由 结合引理2.2,可得 ,矛盾。因此 。令 ,则 。由引理2.2,可得 ,矛盾。
情形3.2.4. 。则显 。即 , 是一次多项式,结合 ,不妨设, ,其中 , 是常数。此式代入(3.2)式,可得
。
再将上式代入(1.2)式并化简,可得
。
结合引理2.2,可得 ,从而 ,或者 ,矛盾。
情形3.3. 。则令 ,从而(3.3)式可改写成
, (3.9)
其中 ,,,。显然,对任意的 ,,由引理2.2可得 ,这与R是非零有理函数相矛盾.
情形3.4. 。则令 ,从而(3.3)式可改写成
, (3.10)
其中 ,,,。显然,对任意的 ,,由引理2.2可得 ,这与R是非零有理函数相矛盾。
情形4. 。则由(3.2)式知, 为常数,这与 是超越亚纯函数相矛盾。
综上所述,定理3得证。
4. 定理4的证明
定理3说明定理2对于条件“ ”,必有 ,即且当“”时,定理2中的第二、三种情形不会出现。而当“ ”时,定理2中的第二种情形是在“ , ”这一条件下获得的(见 [9] 第19页)。而当 ,代入(3.2)式可得
。 (4.1)
将(4.1)式代入(1.1)式,可得
。 (4.2)
由(4.2)式,结合引理2.2,可得 ,且 。由于 ,, 是非零多项式,可得 是常数,即得 ,由 ,可得, 。因此,定理2中的第二种情形,可进一步确定为:存在 ,其中 ,使得 ,。并且方程(1.1)的系数满足 ,且有 。
综合以上讨论,结合定理2,定理3,可得定理4。
基金项目
国家自然科学基金青年资助项目(11901119,11701188);广东教育厅科研项目(2017KTECX130)。
文章引用
邓炳茂. 与差分方程相关的唯一性问题
Uniqueness Problem of Merpmorphic Function Concerning Difference Equation[J]. 理论数学, 2019, 09(08): 916-921. https://doi.org/10.12677/PM.2019.98118
参考文献
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