Pure Mathematics
Vol. 10  No. 03 ( 2020 ), Article ID: 34554 , 8 pages
10.12677/PM.2020.103027

Tetrapartite Entanglement of an Open Quantum System in Accelerated Frames

Meng Shi*, Haimei Zhong

Mathematics Institute, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong

Received: Feb. 22nd, 2020; accepted: Mar. 10th, 2020; published: Mar. 17th, 2020

ABSTRACT

In this paper, we mainly study the entanglement of tetrapartite GHZ quantum states in an open environment in a noninertial system, and explore the entanglement changes when the three observers accelerate, and when the system A and system AB contact with the environment. Then we explore the entanglement changes of four observers when they all accelerate, only when the system A contacts the environment.

Keywords:Entanglement, GHZ-State, Phase Damping

在非惯性系下开放环境中的四体纠缠

史萌*,钟海梅

华南理工大学数学学院,广东 广州

收稿日期:2020年2月22日;录用日期:2020年3月10日;发布日期:2020年3月17日

摘 要

本文主要研究了四体GHZ量子态在开放环境中非惯性系下的纠缠变化,探究了当三个观察者加速时,系统A和系统AB与环境接触时,纠缠的变化情况。接着探究了当四个观察者加速时,只有系统A与环境接触时,它们的纠缠变化情况。

关键词 :纠缠,GHZ态,相位阻尼

Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

在量子计算和量子信息中,纠缠是一个很重要的概念 [1] [2] [3]。近些年来随着对量子信息科学和相对论的进一步研究,人们开始研究在非惯性系下的多体态的物理特征。量子系统的纠缠不可避免的受到外界环境的影响,所以人们研究了二体或者三体量子态在环境下的纠缠变化 [4],也得到了一些纠缠的变化特征。

本文主要研究了四体GHZ量子态在开放环境中非惯性系下的纠缠变化,探究了当三个观察者加速时,系统A和系统AB与环境接触时,纠缠的变化情况。接着探究了当四个观察者加速时,只有系统A与环境接触时,它们的纠缠变化情况。最后比较了当只有系统A与环境接触时,当有三个观察者和四个观察者时,它们的纠缠变化情况。

2. 基本概念与知识

在非惯性系下,Rindler坐标适合描述一类具有均匀加速的观察者,而另一个保持惯性系的观察者可以用Minkowski坐标描述。我们利用单模近似模型,将Minkowski空间的真空态 | 0 和单粒子态 | 1 转化为Rindler空间的粒子态的张量积的形式,通过变换运算符,可以得到下列运算关系 [5]:

| 0 M = cos r | 0 | 0 + sin r | 1 | 1 (1)

| 1 M = | 1 | 0 (2)

其中 cos r = ( e 2 π w c / a + 1 ) 1 / 2 ,式子中的 a , r 分别代表加速观察者的加速度和加速参数,w代表对应的频率。另一方面加速观察者是在Rindler区域一,与Rindler区域二是不相联系的,对不相关的区域二求迹,可以得到所需要的四体态。

接下来介绍计算纠缠的测量方法。对于一个多体系统 ρ α β γ ,我们常用的测量是负度 [6],它的定义如下:

N α β = ρ α β Τ α 1 (3)

N α ( β γ ) = ρ α β γ Τ α 1 (4)

另一方面,对于一个矩阵M, λ i ( ) 是它的所有负的特征值,有下面的公式:

M 1 = 2 | λ i ( ) |

所以等式(3)和(4)可以改写如下形式:

N α β = 2 | λ α β ( ) | i

N α ( β γ ) = 2 | λ α ( β γ ) ( ) | i

剩余纠缠定义如下 [5]:

π α = N α ( β γ ) 2 N α β 2 N α γ 2

π β = N β ( α γ ) 2 N β γ 2 N β α 2

π γ = N γ ( α β ) 2 N γ α 2 N γ β 2

一般 π α π β π γ ,于是 π -纠缠定义为:

π α β γ = 1 3 ( π α + π β + π γ )

用类似于上述定义纠缠度的方法,我们可以把定义扩展到四个量子位,定义如下 [7]:

π α = N α ( β γ δ ) 2 N α β 2 N α γ 2 N α δ 2

π β = N β ( α γ δ ) 2 N β α 2 N β γ 2 N β δ 2

π γ = N γ ( α β δ ) 2 N γ α 2 N γ β 2 N γ δ 2

π δ = N δ ( α β γ ) 2 N δ α 2 N δ β 2 N δ γ 2

因此我们可以定义总的纠缠:

π 4 = 1 4 ( π α + π β + π γ + π δ )

由于开放的量子系统总是处在复杂的环境中,本文所涉及的环境是:相位阻尼环境,在这里的子系统分别只与自己的环境相互作用,与其他子系统不相互交流。相位阻尼环境有如下形式:

E 0 i = ( 1 0 0 1 P i ) , E 1 i = ( 0 0 0 P i )

其中i是从1到N的整数,也表示第i个系统的相位阻尼算符, p i 是一个与时间有关的参数。另外系统与环境之间的相互作用可以写成下列关系式:

L ( ρ ) = u v E u 1 E v N ρ E u 1 Τ E v N Τ (5)

其中 ρ 是量子系统没有与环境接触就出之前所处的状态, L ( ρ ) 是与环境作用后的系统的状态。

3. 四体GHZ态与相位阻尼环境作用只有三个观察者加速

我们将考虑由Alice,Bob,Charlie 和Daniel四个观察者共享的四体GHZ态,定义如下:

| G H Z = 1 2 [ | 0 A 0 B 0 C 0 D + | 1 A 1 B 1 C 1 D ]

其中GHZ态的下标 A , B , C , D 分别代表四个观察者。当只有Bob,Charlie和Daniel这三个观察者都以相同的加速参数r加速时,我们运用式子(1)和(2),并通过对区域二分别求偏迹,可以得到下面量子态:

ρ A B C D = 1 2 [ cos 6 r | 0000 0000 | + cos 4 r sin 2 r | 0001 0001 | + cos 4 r sin 2 r | 0010 0010 | + cos 2 r sin 4 r | 0011 0011 | + cos 4 r sin 2 r | 0100 0100 | + cos 2 r sin 4 r | 0101 0101 | + cos 2 r sin 4 r | 0110 0110 | + sin 6 r | 0111 0111 | + cos 3 r | 1111 0000 | + cos 3 r | 0000 1111 | + | 1111 1111 | ]

接下来量子态 ρ A B 1 C 1 D 1 中只有A系统与相位阻尼环境相接触,运用式子(5),可以得到与环境作用后的态,再通过分别对四个子系统求部分转置,可以得到下列矩阵:

ρ A B C D Τ B 1 = 1 2 [ cos 6 r | 0000 0000 | + cos 4 r sin 2 r | 0001 0001 | + cos 4 r sin 2 r | 0010 0010 | + cos 2 r sin 4 r | 0011 0011 | + cos 4 r sin 2 r | 0100 0100 | + cos 2 r sin 4 r | 0101 0101 | + cos 2 r sin 4 r | 0110 0110 | + sin 6 r | 0111 0111 | + | 1111 1111 | + 1 p cos 3 r | 0100 1011 | + 1 p cos 3 r | 1011 0100 | ]

ρ A B C D Τ C 1 = 1 2 [ cos 6 r | 0000 0000 | + cos 4 r sin 2 r | 0001 0001 | + cos 4 r sin 2 r | 0010 0010 | + cos 2 r sin 4 r | 0011 0011 | + cos 4 r sin 2 r | 0100 0100 | + cos 2 r sin 4 r | 0101 0101 | + cos 2 r sin 4 r | 0110 0110 | + sin 6 r | 0111 0111 | + | 1111 1111 | + 1 p cos 3 r | 0010 1101 | + 1 p cos 3 r | 1101 0010 | ]

ρ A B C D Τ D 1 = 1 2 [ cos 6 r | 0000 0000 | + cos 4 r sin 2 r | 0001 0001 | + cos 4 r sin 2 r | 0010 0010 | + cos 2 r sin 4 r | 0011 0011 | + cos 4 r sin 2 r | 0100 0100 | + cos 2 r sin 4 r | 0101 0101 | + cos 2 r sin 4 r | 0110 0110 | + sin 6 r | 0111 0111 | + | 1111 1111 | + 1 p cos 3 r | 0001 1110 | + 1 p cos 3 r | 1110 0001 | ]

经过一些计算,我们可以得到:

N A ( B C D ) = 2 × ( 3 4 cos 4 r 3 4 cos 2 r 1 4 cos 6 r + 1 4 1 4 ( 15 cos 4 r 6 cos 2 r 4 p cos 6 r 16 cos 6 r + 15 cos 8 r 6 cos 10 r + cos 12 r + 1 ) 1 2 )

N B ( A C D ) = 2 × ( 1 4 cos 4 r 1 4 cos 3 r × ( cos 2 r 4 p 2 cos 4 r + cos 6 r + 4 ) 1 2 1 4 cos 6 r )

N C ( A B D ) = 2 × ( 1 4 cos 4 r 1 4 cos 3 r × ( cos 2 r 4 p 2 cos 4 r + cos 6 r + 4 ) 1 2 1 4 cos 6 r )

N D ( A B C ) = 2 × ( 1 4 cos 4 r 1 4 cos 3 r × ( cos 2 r 4 p 2 cos 4 r + cos 6 r + 4 ) 1 2 1 4 cos 6 r )

N i j = 0 , i , j = A , B , C 1 , D , i j

π 4 = 1 4 ( N A ( B C D ) 2 + 3 N B ( A C D ) 2 ) , 4 = N A ( B C D ) 2 × N B ( A C D ) 6 4

从下面的图1中我们可以看出,只有系统A与环境接触,对于加速参数r分别取三个特殊值,随着退化参数p增大, π 4 都是减少的,最后都是减少到0,没有纠缠。对于相同的退化参数p,加速参数r越大,相应的纠缠度就越小。 4 的变化趋势如图2所示,它随着加速参数r和退化参数p也是逐步减少。类似上面的的算法,我们假设系统A和BI都与相同的相位阻尼环境相接触,通过计算得到:

N B ( A C D ) = N C ( A B D ) = N D ( A B C ) = 2 × ( 1 4 cos 4 r 1 4 cos 6 r 1 4 ( cos 3 r × ( cos 2 r 8 p 2 cos 4 r + cos 6 r + 4 p 2 + 4 ) 1 2 ) )

Figure 1. Curve: as a function of the acceleration p for the phase damping environment

图1. 对于相位阻尼环境,纠缠随退化参数变化的情况

Figure 2. Curve: Π 4 as a function of the acceleration p for the phase damping environment

图2. 对于相位阻尼环境,纠缠随退化参数变化的情况

由于其他的纠缠公式比较复杂,所以没有写出来, π 4 图3所示,它也是随着退化参数减少到0,从图中可以看出加速参数最大的, π 4 最先减少到0。

接下来当 r = p i / 4 ,两种情况的 π 4 的变化情况如图4所示,黑色曲线表示只有系统A与环境接触的情况,蓝色曲线表示系统AB与相同环境接触时的情况,从图中可以看出当 p = 0 ,两种情况刚开始纠缠度是一样的,随着p的增大,与环境接触的系统越多,也就是当系统AB都与环境接触,纠缠程度下降的越快,当p接近0.85时, π 4 减少到0。

Figure 3. Curve: as a function of the acceleration p for the phase damping environment

图3. 对于相位阻尼环境,纠缠随退化参数变化的情况

Figure 4. Curve: π 4 as a function of the acceleration p for the phase damping environment

图4. 对于相位阻尼环境,纠缠随退化参数变化的情况

4. 四体GHZ态与相位阻尼环境作用四个观察者都加速

当四个观察者Alice,Bob,Charlie和Daniel都加速时,加速参数分别是 r A , r B , r C , r D ,GHZ态变成下列形式:

| Φ A B C D = 1 2 [ cos r A cos r B cos r C cos r D | 00000000 + cos r A cos r B cos r C sin r D | 00000011 + cos r A cos r B sin r c cos r D | 00001100 + cos r A cos r B sin r c sin r D | 00001111 + cos r A sin r B cos r c cos r D | 00110000 + cos r A sin r B cos r C sin r D | 00110011 + cos r A sin r B sin r C cos r D | 00111100 + cos r A sin r B sin r C sin r D | 00111111

+ sin r A cos r B cos r c cos r D | 11000000 + sin r A cos r B cos r C sin r D | 11000011 + sin r A cos r B sin r C cos r D | 11001100 + sin r A cos r B sin r C sin r D | 11001111 + sin r A sin r B cos r C cos r D | 11110000 + sin r A sin r B cos r C sin r D | 11110011 + sin r A sin r B sin r C cos r D | 11111100 + sin r A sin r B sin r C sin r D | 11111111 + | 10101010 ]

为了方便计算,我们让 r A = r B = r C = r D = r ,仅仅只让系统A与相位阻尼环境作用,其他的系统不与环境接触,通过运用等式(5),再对区域二求偏迹后,得到下列式子:

ρ A B C D = 1 2 [ cos 8 r | 0000 0000 | + 1 p cos 4 r | 0000 1111 | + cos 6 r sin 2 r | 0001 0001 | + cos 6 r sin 2 r | 0010 0010 | + cos 4 r sin 4 r | 0011 0011 | + cos 6 r sin 2 r | 0100 0100 | + cos 4 r sin 4 r | 0101 0101 | + cos 4 r sin 4 r | 0110 0110 | + cos 2 r sin 6 r | 0111 0111 | + cos 6 r sin 2 r | 1000 1000 |

+ sin 4 r cos 4 r | 1001 1001 | + sin 4 r cos 4 r | 1010 1010 | + sin 6 r cos 2 r | 1011 1011 | + sin 4 r cos 4 r | 1100 1100 | + sin 6 r cos 2 r | 1101 1101 | + sin 6 r cos 2 r | 1110 1110 | + 1 p cos 4 r | 1111 0000 | + ( sin 8 r + 1 ) | 1111 1111 | ]

再通过分别对系统 A , B , C , D 求偏转置,得到它们的矩阵,再通过一些计算可以得到:

N A ( B C D ) = N B ( A C D ) = N C ( A B D ) = N D ( A B C ) = 2 × ( 1 4 cos 2 r 1 4 ( 3 × cos 4 r ) + cos 6 r 1 2 cos 8 r cos 2 r × ( 17 × cos 4 r 6 × cos 2 r 4 × p × cos 4 r 12 × cos 6 r + 4 × cos 8 r + 1 ) 1 2 × 1 4 )

Figure 5. Curve: π 4 as a function of the acceleration p,r for the phase damping environment

图5. 对于相位阻尼环境,纠缠随退化参数变化的情况

Figure 6. Curve: Π 4 asa function of the acceleration p for the phase damping environment

图6. 对于相位阻尼环境,纠缠随退化参数变化的情况

这四个纠缠度量的数都是相等的,所以通过计算发现二体纠缠都为0,也即:

N i j = 0 , i , j = A , B , C 1 , D , i j

π 4 = Π 4 = N A ( B C D ) 2

图形如图5所示,纠缠度随着参数 p , r 逐渐减少到0,纠缠完全被破坏。

对于GHZ态,接下来我们讨论当仅仅只有系统A与环境接触时,有三个观察者加速时和全部都加速时,它们的加速参数都是 r = p i / 6 ,纠缠度情况变化如图6所示。从图中可以看到当 p = 0 ,只有三个观察者加速时,初始总纠缠度大于0.35,而当全部观察者都加速时,初始总纠缠数接近0.25。随着加速参数的逐渐增大, Π 4 几乎同时逐渐减少到0。我们可以看出环境对纠缠度的影响是大于加速度的。

文章引用

史 萌,钟海梅. 在非惯性系下开放环境中的四体纠缠
Tetrapartite Entanglement of an Open Quantum System in Accelerated Frames[J]. 理论数学, 2020, 10(03): 201-208. https://doi.org/10.12677/PM.2020.103027

参考文献

  1. 1. Bouwmeester, D., Ekert, A.K. and Zeilinger, A. (2013) The Physics of Quantum Information: Quantum Cryptography, Quantum Teleportation, Quantum Computation. Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 34, 331-334. https://doi.org/10.1016/S1355-2198(03)00012-1

  2. 2. Peres, A. and Terno, D.R. (2004) Quantum Information and Relativity Theory. Review of Modern Physics, 76, 93-123. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.76.93

  3. 3. Takagi, S. (1986) Vacuum Noise and Stress Induced by Uniform Acceleration: Hawking-Unruh Effect in Rindler Manifold of Arbitrary Dimension. Progress of Theoretical Physics Supplement, 88, 1-142. https://doi.org/10.1143/PTPS.88.1

  4. 4. Zhang, W. and Jing, J. (2011) Multipartite Entanglement for Open System in Noninertial Frames. arXiv:quant-ph/1103.4903 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.83.022314

  5. 5. Wang, J. and Jing, J. (2011) Multipartite Entanglement of Fermionic Systems in Noninertial Frames. Physical Review A, 83, 334-344. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.83.022314

  6. 6. Vidal, G. and Werner, R.F. (2002) A Computable Measure of Entanglement. Physical Review A, 65, Article ID: 032314. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.65.032314

  7. 7. Li, Y., Liu, C., Wang, Q., Zhang, H. and Hu, L. (2016) Tetrapartite Entanglement of Fermionic Systems in Noninertial Frames. Optik-International Journal for Light and Electron Optics, 127, 9788-9797. https://doi.org/10.1016/j.ijleo.2016.07.069

  8. NOTES

    *第一作者。

期刊菜单