青岛大学，山东 青岛

收稿日期：2021年10月10日；录用日期：2021年11月15日；发布日期：2021年11月22日

摘要

设 $\mathbb{K}$ 是有理数域 $\mathbb{Q}$ 的二次代数扩张， $a_{\mathbb{K}}\left(n\right)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的理想计数函数，本文利用Selberg-Delange方法给出 $a_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l$ 在短区间 $n\in \left[x,x+y\right]$ 上的均值估计如下： ${\displaystyle \underset{x<n\le x+y}{\sum }{a}_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l}=y{\left(logx\right)}^{2^{l-1}-1}\left\{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{{\lambda }_k\left(l\right)}{{\left(logx\right)}^k}}+O\left(R_N\left(x,y\right)\right)\right\}$，对于 $x^{1-{\left(\frac{2^l}{3}+2\right)}^{-1}}\le y\le x$ 一致成立， $R_N\left(x,y\right)=\frac{y}{x}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{N+1}{\sum }}\frac{k\left|{\lambda }_{k-1}\left(l\right)\right|}{{\left(logx\right)}^k}}+\frac{{\left(c_{1}N+1\right)}^{N+1}}{x^{\frac{c}{4}}}+M{\left(\frac{c_{2}N+1}{logx}\right)}^{N+1}$，其中 $c,c_1,c_2$ 均为与 $\mathcal{l}$ 有关的常数。

关键词

理想计数函数，Selberg-Delange方法，二次域，短区间，均值估计

Mean Value Estimation of Ideal Counting Function in Short Interval over Quadratic Algebraic Extension Field

Shuangshuang Zhu

Qingdao University, Qingdao Shandong

Received: Oct. 10^th, 2021; accepted: Nov. 15^th, 2021; published: Nov. 22^nd, 2021

ABSTRACT

Let $\mathbb{K}$ be a quadratic algebraic extension of $\mathbb{Q}$,$a_{\mathbb{K}}\left(n\right)$ is an ideal counting function on $\mathbb{K}$. In this paper, we use the Selberg-Delange method to give the mean estimation of $a_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l$ in a short interval as follows: ${\displaystyle \underset{x<n\le x+y}{\sum }{a}_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l}=y{\left(logx\right)}^{2^{l-1}-1}\left\{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{{\lambda }_k\left(l\right)}{{\left(logx\right)}^k}}+O\left(R_N\left(x,y\right)\right)\right\}$, It is consistent for $x^{1-{\left(\frac{2^l}{3}+2\right)}^{-1}}\le y\le x$. $R_N\left(x,y\right)=\frac{y}{x}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{N+1}{\sum }}\frac{k\left|{\lambda }_{k-1}\left(l\right)\right|}{{\left(logx\right)}^k}}+\frac{{\left(c_{1}N+1\right)}^{N+1}}{x^{\frac{c}{4}}}+M{\left(\frac{c_{2}N+1}{logx}\right)}^{N+1}$, where $c,c_1,c_2$ are constants related to $\mathcal{l}$.

Keywords:Ideal Counting Function, Selberg DeLange Method, Quadratic Domain, Short Interval, Mean Estimation

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

设 $\mathbb{K}$ 是有理数域 $\mathbb{Q}$ 的d次Galois扩张，其上定义Dedkind zeta函数如下

${\zeta }_{\mathbb{K}}\left(s\right)={\displaystyle \underset{\mathcal{A}}{\sum }\frac{1}{\mathfrak{N}{\left(\mathcal{A}\right)}^s}}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_{\mathbb{K}}\left(n\right)}{n^s}}$，( $\Re s>1$ )，

其中 $a_{\mathbb{K}}\left(n\right)$ 是理想计数函数，即代数整数环 $\mathcal{R}$ 中范数为n的非零整理想个数； $\mathfrak{N}\left(\mathcal{A}\right)$ 为非零整理想 $\mathcal{A}$ 的范数。

基于算术函数取值分布往往不均匀的特点，数论学家们通常研究算术函数的均值分布问题。对于理想计数函数 $a_{\mathbb{K}}\left(n\right)$，1927年，Landau [1] 证明了对有理数域 $\mathbb{Q}$ 的d次代数扩张 $\mathbb{K}$，$d\ge 2$，有

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{a}_{\mathbb{K}}}\left(n\right)=cx+O\left(x^{1-\frac{2}{d+1}+\epsilon }\right)$，

其中c是 ${\zeta }_{\mathbb{K}}\left(s\right)$ 在简单极点 $s=1$ 处的留数， $\epsilon >0$ 是任意小的常数。

1993年，Nowak [2] 改进了Landau的结果，证明了对于扩张次数 $d\ge 3$ 的代数数域 $\mathbb{K}$，有

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{a}_{\mathbb{K}}\left(n\right)}=cx+\{\begin{array}{l}O\left(x^{1-\frac{2}{d}+\frac{8}{d\left(5d+2\right)}}\cdot {\left(\log x\right)}^{\frac{10}{5d+2}}\right),3\le d\le 6,\\ O\left(x^{1-\frac{2}{d}+\frac{3}{2d^2}}\cdot {\left(\log x\right)}^{\frac{2}{d}}\right),d\ge 7.\end{array}$

2010年，Lv和Wang [3] 给出算术函数 $a_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l$ 在d次代数扩域 $\mathbb{K}$ 上的长区间均值估计

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{a}_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l}=x{P}_l\left(\log x\right)+O\left(x^{1-\frac{3}{d^l+6}+\epsilon }\right)$，$l\ge 2$，

其中 $P_l\left(\log x\right)$ 是关于 $\log x$ 的 $d^{l-1}-1$ 次多项式。

当 $\mathbb{K}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的二次代数扩张时，2015年，Zhai [4] 利用解析的方法，给出

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{a}_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^2}=B_{0}x\log x+B_{1}x+O\left(x^{\frac{1}{2}}{\left(\log x\right)}^3\right)$，

其中 $B_0=\frac{6}{{\pi }^2}{L}^2\left(1,{\chi }_{d\left(K\right)}\right)\underset{p|d\left(K\right)}{\Pi }\frac{p}{p+1}$，$d\left(K\right)$ 是代数扩域 $\mathbb{K}$ 的判别式， ${\chi }_{d\left(K\right)}$ 是模 $d\left(K\right)$ 的非主实特征。

本文中，我们利用Selberg-Delange方法，将二次代数扩域上 $a_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l$ 在长区间上的均值估计结果推广到了短区间，得到以下定理：

设 $\mathbb{K}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的二次代数扩张， $a_{\mathbb{K}}\left(n\right)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的理想计数函数，则

${\displaystyle \underset{x<n\le x+y}{\sum }{a}_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l}=y{\left(\log x\right)}^{2^{l-1}-1}\left\{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{{\lambda }_k\left(l\right)}{{\left(\log x\right)}^k}}+O\left(R_N\left(x,y\right)\right)\right\}$

对于 $x^{1-{\left(\frac{2^l}{3}+\frac{5}{12}\right)}^{-1}}\le y\le x$ 一致成立， ${\lambda }_k\left(l\right)$ 见(2.2)，

$R_N\left(x,y\right)=\frac{y}{x}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{N+1}{\sum }}\frac{k\left|{\lambda }_{k-1}\left(l\right)\right|}{{\left(\log x\right)}^k}}+\frac{{\left(c_{1}N+1\right)}^{N+1}}{x^{\frac{c}{4}}}+M{\left(\frac{c_{2}N+1}{\log x}\right)}^{N+1}$，

其中 $c,c_1,c_2$ 均为与 $\mathcal{l}$ 有关的常数。

2. 准备工作

为叙述方便，首先我们固定一些记号：

$\varsigma \left(s\right)$ 是Riemann zeta函数，其中 $s=\sigma +it$。

$L\left(s,\chi \right)$ 是Dirichlet L-函数。

$\Gamma \left(s\right)$ 是 Gamma函数。

$\epsilon$ 是任意小的正常数。

$\alpha >0,\delta \ge 0,A\ge 0,B>0,C>0,M>0$ 是常数。

为证明上述定理，我们引入一类特殊的Dirichlet级数：

设算术函数 $f:\mathbb{N}\to ℂ$，其Dirichlet级数

$F\left(s\right):={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}f\left(n\right)n^{-s}}$。

如果 $F\left(s\right)$ 满足以下性质，则称 $F\left(s\right)$ 具有性质 $\mathcal{P}\left(B,C,\alpha ,\delta ,A,M\right)$。

(a) 对任意 $\epsilon >0$，有

$\left|f\left(n\right)\right|{\ll }_{\epsilon }M{n}^{\epsilon }，\left(n\ge 1\right)$。

其中 $M\ge 1$ 为常数。

(b) 存在 $\alpha >0$，满足

${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|f\left(n\right)\right|n^{-\sigma }}\le M{\left(\sigma -1\right)}^{-\alpha }，\left(\sigma >1\right)$。

(c) Dirichlet级数 $F\left(s\right)$ 有表达式：

$F\left(s\right)=\zeta {\left(s\right)}^{z}L{\left(s,\chi \right)}^{\omega }G(\; s\; )$

对 $\left|z\right|\le B,\left|\omega \right|\le C$ 一致成立， $G\left(s\right)$ 在 $\Re s\ge {\sigma }_0$ 上是全纯的且在该区域内满足上界估计

$\left|G\left(s\right)\right|\le M{\left(\left|t+1\right|\right)}^{\max \left\{\delta \left(1-\sigma \right),0\right\}}{\log }^A\left(\left|t\right|+3\right)$

定义 $a_{\mathbb{K}}\left(n\right)$ 对应的Dirichlet级数

$F\left(s\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l}{n^s}}$，

下面将证明 $F\left(s\right)$ 满足以上三条性质：

1963年，Chandrasekharan和Narasimhan [5] 证明了 $a_{\mathbb{K}}\left(n\right)$ 是乘性函数，且

$a_{\mathbb{K}}\left(n\right)\ll d{\left(n\right)}^{d-1}$，

其中 $d\left(n\right)$ 是经典除数函数，指数 $d=\left[\mathbb{K}:\mathbb{Q}\right]$。又因为 $d\left(n\right)\ll n^{\epsilon }$，因此

$a_{\mathbb{K}}\left(n\right)\ll n^{\epsilon }$。

故 $a_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l\ll n^l{}^{\epsilon }\ll n^{\epsilon }$。(a)得证。

引理2.1设 $l\ge 2$ 为整数， $\mathbb{K}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的d次伽罗瓦扩张且

$F\left(s\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l}{n^s}}$，

则

$F\left(s\right)={\varsigma }_{\mathbb{K}}{\left(s\right)}^{d^{l-1}}{U}_l\left(s\right)$，

$U_l\left(s\right)$ 是与l有关的Dirichlet级数且在 $\Re s\ge \frac{1}{2}$ 时绝对收敛。

证明：参见 [6] 中Lemma1。

在二次代数扩域上，有 ${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(s\right)=\varsigma \left(s\right)L\left(s,\chi \right)$，故二次代数扩域上有

$F\left(s\right)={\varsigma }_{\mathbb{K}}{\left(s\right)}^{2^{l-1}}{U}_l\left(s\right)=\varsigma {\left(s\right)}^{2^{l-1}}L{\left(s,\chi \right)}^{2^{l-1}}{U}_l\left(s\right)$。

(c)得证。

根据引理2.1，有 $F\left(s\right)=\varsigma {\left(s\right)}^{2^{l-1}}L{\left(s,\chi \right)}^{2^{l-1}}{U}_l\left(s\right)$，易知 $F\left(s\right)$ 在 $\Re s>1$ 时收敛。

故存在 $\alpha =1$，满足

${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l\right|n^{-\sigma }}\le M{\left(\sigma -1\right)}^{-1}$。

(b)得证。综上理想计数函数 $a_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l$ 对应的Dirichlet级数满足 $\mathcal{P}\left(B,C,\alpha ,\delta ,A,M\right)$ 型。

下面进一步研究理想计数函数 $a_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l$ 对应的Dirichlet级数 $F\left(s\right)$ 的解析性质。

因 ${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(s\right)$ 以 $s=1$ 为极点，构造函数

$Z\left(s;l\right):={\left\{\left(s-1\right){\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(s\right)\right\}}^{{\text{2}}^{\text{l}-1}}$，

易知 $Z\left(s;l\right)$ 在区域 $\left|s-1\right|<1-\hat{\beta }$ 内为全纯函数，记 $Z\left(s;l\right)$ 在 $s=1$ 点的泰勒展开式如下：

$Z\left(s;l\right)={\displaystyle \underset{j\ge 0}{\sum }\frac{{\gamma }_j\left(l\right)}{j!}}{\left(s-1\right)}^j$，

其中 ${\gamma }_j\left(l\right)$ 是与l有关的整函数且满足对于任意 $A>0$，任意 $\epsilon >0$，

$\frac{{\gamma }_j\left(l\right)}{j!}{\ll }_{A,\epsilon }{\left(\frac{1}{1-\hat{\beta }}+\epsilon \right)}^j,\left(j\ge 0,\left|z\right|\le A\right)$。

在 $G\left(s;l\right)$ 的全纯区域，设 $G^k\left(s;l\right):=\frac{{\partial }^k}{\partial s^k}G\left(s;l\right)$，

${\lambda }_k\left(l\right):=\frac{1}{\Gamma \left(2^{l-1}-k\right)}{\displaystyle \underset{h+j=k}{\sum }\frac{1}{h!j!}{G}^h\left(1;l\right){\gamma }_j(\; l\; )}$

易知 $G\left(s;l\right)Z\left(s;l\right)$ 在 $\left|s-1\right|<\frac{1}{2}\left(1-\hat{\beta }\right)$ 内是全纯的，且有

$\left|G\left(s;l\right)Z\left(s;l\right)\right|\ll M$ (2.1)

将 $G\left(s;l\right)Z\left(s;l\right)$ 在 $s=1$ 点做泰勒展开：

$G\left(s;l\right)Z\left(s;l\right)=F\left(s\right){\left(s-1\right)}^{-2^{l-1}}={\displaystyle \underset{k\ge 0}{\sum }{\mu }_{k,l}}{\left(s-1\right)}^k$

其中

${\mu }_{k,l}:=\frac{1}{k!}{\displaystyle \underset{h+j=k}{\sum }\left(\begin{array}{l}k\\ j\end{array}\right)G^h\left(1;l\right){\gamma }_j\left(l\right)}=\Gamma \left(2^{l-1}-k\right){\lambda }_k\left(l\right)$，$\left(k\in \mathbb{N}\right)$ (2.2)

3. 预备引理

引理3.1 (Perron公式)

设级数 $F\left(s\right)={\displaystyle \underset{n\ge 1}{\sum }\left|a_n\right|}\cdot n^{-s}$ 在 $\sigma >1$ 上绝对收敛， $\left|a\left(n\right)\right|\le A\left(n\right)$，$A\left(n\right)>0$ 且单调不减，满足关系式

${\displaystyle \underset{n\ge 1}{\sum }\left|a\left(n\right)\right|}\cdot n^{-\sigma }=O\left({\left(\sigma -1\right)}^{-\alpha }\right)$，

对于 $1\le b\le b_0$，$T\ge 2$，$x=N+\frac{1}{2}$，存在 $\alpha >0$，对于 $\sigma \to 1^{+}$，有以下公式

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{a}_n}=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{b-it}^{b+it}F\left(s\right)\frac{x^s}{s}\text{d}s}+O\left(\frac{x^b}{T{\left(b-1\right)}^{\alpha }}\right)+O\left(\frac{xA\left(2x\right)\ln x}{T}\right)$。

证明：参见Selberg [7] 中p. 334~336。

引理3.2

设 $\mathbb{K}$ 是数域 $\mathbb{Q}$ 的d次代数扩张，有 ${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(s\right)$ 在带形区域内的上界估计如下：

${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(\sigma +it\right)\ll {\left(1+\left|t\right|\right)}^{\frac{d}{3}\left(1-\sigma \right)+\epsilon }$，$\frac{1}{2}\le \sigma \le 1+\epsilon$。

证明：参见Heath-Brown [8]。

引理3.3

记代数扩域 $\mathbb{K}$ 的判别式为 $d_{\mathbb{K}}$，若 $d_{\mathbb{K}}$ 足够大， ${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(s\right)$ 有非零区域：

$\sigma \ge 1-{\sigma }_0\left(t\right)$，${\sigma }_0\left(t\right)=\frac{1}{12.55\log d_{\mathbb{K}}+9.69\left(\log \left|t\right|\right)r+3.03r+58.63}$，$\left|t\right|\ge 1$，

并且 ${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(s\right)$ 在区域

$\sigma \ge 1-\frac{1}{12.74\log d\left(K\right)}$，$\left|t\right|\le 1$

内最多有一个零点，如果该零点存在则一定为简单实零点，定义其为 ${\beta }_0$。

引理3.4

通常情况下，我们用 $N\left(\sigma ,T\right)$ 和 $N_{\chi }\left(\sigma ,T\right)$ 来表示 $\zeta \left(s\right)$ 和 $L\left(s,\chi \right)$ 在区域 $\Re s\ge \sigma$，$\left|\Im s\right|\le T$ 上的零点个数，存在常数 $\psi$ 和 $\eta$，满足

$N\left(\sigma ,T\right)\ll T^{\psi \left(1-\sigma \right)}{\left(\log T\right)}^{\eta }$，$N_{\chi }\left(\sigma ,T\right)\ll T^{\psi \left(1-\sigma \right)}{\left(\log T\right)}^{\eta }$，

Huxley [9] 证明了 $\psi =\frac{5}{12},\eta =9$。

引理3.5 (Hankel围道)

对每个正参数r，移除 $s=-r$ 的圆环加上起点为 $1-r$ 辐角分别为 $\pi$ 和 $-\pi$ 的双重射线构成Hankel围道，记为H。对于任意复数z，有

$\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{H\left(X\right)}{s}^{-z}}{\text{e}}^s\text{d}s=\frac{1}{\Gamma \left(z\right)}+O\left({47}^{\left|z\right|}\Gamma \left(1+\left|z\right|\right){\text{e}}^{-\frac{X}{2}}\right)$。

证明：参见 [10] 中184页定理2。

4. 定理的证明

根据引理3.1，令 $a_n=a_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l$，$A\left(n\right)\equiv 1$，$b=1+\frac{2}{\log x}$，$\alpha =1$，可得

${\displaystyle \underset{x<n\le x+y}{\sum }{a}_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l}=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{b-iT}^{b+iT}F\left(s\right)\frac{{\left(x+y\right)}^s-x^s}{s}\text{d}s}+O\left(\frac{x^{1+\epsilon }}{T}\right)$。

取 $100\le T\le x$ 且满足当 $0<\sigma <1$ 时， ${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(\sigma +iT\right)\ne 0$。

根据留数定理，可将积分线段 $\left[b-iT,b+iT\right]$ 转化为连接两端点的任意路径。这里选择关于实轴对称的路径，记为围道 $\mathcal{l}$。它由以下五部分组成：

第一部分由两条水平线段 $\left[\frac{1}{2}+\epsilon +iT,b+iT\right]$，$\left[\frac{1}{2}+\epsilon -iT,b-iT\right]$ 构成。记为 ${\mathcal{l}}_1$ 和 ${\mathcal{l}}_6$。

在二次代数扩域上 ${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(s\right)$ 可能存在实零点，如果实零点存在不妨记为 ${\beta }_0$，此时我们选取以下围道将实零点绕出，记为围道第二部分：该围道路径的上半部分由包围点 $s={\beta }_0$ 且半径为 $r=\frac{1}{\log x}$ 的圆弧与连接 $\left({\beta }_0-\frac{1}{\log x},t\right)$ 到 $\left(\frac{1}{2}+\epsilon ,t\right)\left(t\to 0\right)$ 的线段组成，记为 ${\mathcal{l}}_3$，关于实轴对称的下半部分记为 ${\mathcal{l}}_4$。

第三部分由Hankel围道构成，围道上半部分路径由包围 $s=1$ 且半径为 $r=\frac{1}{\log x}$ 的圆弧与连接 $\left(1-r,\pm it\right)$ 到 $\left(\tilde{\beta },\pm it\right)$ $\left(t\to 0\right)$ 的线段组成。记第三部分围道为 $\Gamma$，其中

$\tilde{\beta }=\{\begin{array}{l}{\beta }_0+r_1,{\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(s\right)有实零点,\\ \frac{1}{2}+\epsilon ,{\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(s\right)没有实零点.\end{array}$ (4.1)

第四部分将 ${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(s\right)$ 的非显然零点圈出。记非显然零点 $\rho =\beta +i\gamma$，$\beta >\frac{1}{2}+\epsilon$，$0<\left|\gamma \right|<T$，我们选取贴近直线段 $s=\sigma +i\gamma$ 的矩形将非显然零点全部圈出，同时要保证围道 $\mathcal{l}$ 的封闭性，记这部分围道为 ${\mathcal{l}}_{\rho }$。

第五部分由两条被切断的竖直线段构成，这两条竖直线段分别为 $\left[\frac{1}{2}+\epsilon ,\frac{1}{2}+\epsilon +iT\right]$，$\left[\frac{1}{2}+\epsilon ,\frac{1}{2}+\epsilon -iT\right]$，其中切断部分是为了保证围道的封闭性，记该部分围道上半部分为 ${\mathcal{l}}_2$，下半部分

为 ${\mathcal{l}}_5$，则

${\displaystyle \underset{x<n\le x+y}{\sum }{a}_{\mathbb{K}}{\left(n\right)}^l}=I+I_1+I_2+I_3+I_4+I_5+I_6+I_{\rho }+O\left(\frac{x^{1+\epsilon }}{T}\right)$ (4.2)

此处

$I=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }F\left(s\right)\frac{{\left(x+y\right)}^s-x^s}{s}\text{d}s}$ (4.3)

$I_{\rho }=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_{\rho }}F\left(s\right)\frac{{\left(x+y\right)}^s-x^s}{s}\text{d}s}$

$I_j=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{l_j}F\left(s\right)\frac{{\left(x+y\right)}^s-x^s}{s}\text{d}s}$

A. I的估计：

取 $0<c<\frac{1}{10}\left(1-\hat{\beta }\right)$ 为常数。根据(2.1)， $G\left(s;l\right)Z\left(s;l\right)$ 在区域 $\left|s-1\right|\le c$ 内是全纯函数， ${\mu }_{k,l}$ 定义如(2.2)，由Cauchy公式，

${\mu }_{k,l}=\frac{{\left(G\left(1,l\right)Z\left(1,l\right)\right)}^{\left(k\right)}}{k!}=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|s-1\right|=c}\frac{G\left(s,l\right)Z\left(s,l\right)}{{\left(s-1\right)}^{k+1}}\text{d}s}$，

利用绝对值不等式，

${\mu }_{k,l}\ll \frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|s-1\right|=c}\left|\frac{G\left(s,l\right)Z\left(s,l\right)}{{\left(s-1\right)}^{k+1}}\right|}\left|\text{d}s\right|\ll \frac{M}{2\pi c^{k+1}}{\displaystyle {\oint }_{\left|s-1\right|=c}\left|\text{d}s\right|}=M{c}^{-k}$。

因此

$G\left(s,l\right)Z\left(s,l\right)={\displaystyle \underset{0\le k\le N}{\sum }{\mu }_{k,l}{M}_k\left(x,y\right)+O\left(M{\left(\left|s-1\right|/c\right)}^{N+1}\right)}$。

代入(4.3)，有

$I={\displaystyle \underset{0\le k\le N}{\sum }{\mu }_{k,l}}{M}_k\left(x,y\right)+O\left(M{c}^{-N}{E}_N\left(x,y\right)\right)$ (4.4)

其中

$M_k\left(x,y\right):=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }{\left(s-1\right)}^{k-2^{l-1}}}\frac{{\left(x+y\right)}^s-x^s}{s}\text{d}s$，

$E_N\left(x,y\right):={\displaystyle {\int }_{\Gamma }\left|{\left(s-1\right)}^{N+1-2^{l-1}}\frac{{\left(x+y\right)}^s-x^s}{s}\right|}\left|\text{d}s\right|$。

下面估计 $M_k\left(x,y\right)$ ：

根据公式

$\frac{{\left(x+y\right)}^s-x^s}{s}={\displaystyle {\int }_x^{x+y}{t}^{s-1}}\text{d}t$，

$M_k\left(x,y\right)={\displaystyle {\int }_x^{x+y}\left(\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }{\left(s-1\right)}^{k-2^{l-1}}{t}^{s-1}}\text{d}s\right)\text{d}t}$。

做变量替换 $\omega =\left(s-1\right)\log t$，则 $t^{s-1}={\text{e}}^{\left(s-1\right)\log t}={\text{e}}^{\omega }$，根据引理3.5，

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }{\left(s-1\right)}^{k-2^{l-1}}{t}^{s-1}}\text{d}s=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{H\left(\frac{c}{2}\log t\right)}{\text{e}}^{\omega }}{\omega }^{k-2^{l-1}}{\left(\log t\right)}^{2^{l-1}-k}\frac{1}{\log t}\text{d}\omega \\ ={\left(\log t\right)}^{2^{l-1}-k-1}\left\{\frac{1}{\Gamma \left(2^{l-1}-k\right)}+O\left({47}^{\left|2^{l-1}-k\right|}\Gamma \left(1+\left|2^{l-1}-k\right|\right){\text{e}}^{-\frac{1}{2}\cdot \frac{c}{2}\log t}\right)\right\}\\ ={\left(\log t\right)}^{2^{l-1}-1-k}\left\{\frac{1}{\Gamma \left(2^{l-1}-k\right)}+O\left({\left(c_{1}k+1\right)}^k{t}^{-\frac{c}{4}}\right)\right\}\end{array}$

其中 $c_1$ 是与l有关的常数。故

$M_k\left(x,y\right)={\displaystyle {\int }_x^{x+y}{\left(\log t\right)}^{2^{l-1}-1-k}\left\{\frac{1}{\Gamma \left(2^{l-1}-k\right)}+O\left({\left(c_{1}k+1\right)}^k{t}^{-\frac{c}{4}}\right)\right\}\text{d}t}$ (4.5)

作变量替换 $t^{\prime }=t-x$，则

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_x^{x+y}{\left(\log t\right)}^{2^{l-1}-k-1}}\text{d}t={\displaystyle {\int }_0^y{\log }^{2^{l-1}-k-1}\left(x+t^{\prime }\right)\text{d}{t}^{\prime }}\\ ={\displaystyle {\int }_0^y{\log }^{2^{l-1}-k-1}\left(x+t\right)\text{d}t}\\ ={\displaystyle {\int }_0^y{\log }^{2^{l-1}-k-1}\left(\frac{x+t}{x}\cdot x\right)\text{d}t}\end{array}$ (4.6)

进一步利用 $\log \left(1+x\right)$ 的泰勒展开，

$\begin{array}{c}\log {\left(\frac{x+t}{x}\cdot x\right)}^{2^{l-1}-k-1}={\left(\log \left(1+\frac{t}{x}\right)x\right)}^{2^{l-1}-1-k}={\left(\log \left(1+\frac{t}{x}\right)+\log x\right)}^{2^{l-1}-1-k}\\ ={\left(\frac{t}{x}-\frac{1}{2}{\left(\frac{t}{x}\right)}^2+O\left(\frac{t^2}{x^2}\right)+\log x\right)}^{2^{l-1}-1-k}\end{array}$ (4.7)

对(4.7)作幂级数展开并代入(4.6)做积分，得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_x^{x+y}{\left(\log t\right)}^{2^{l-1}-k-1}}\text{d}t=\log x^{2^{l-1}-k-1}y+\frac{\log x^{2^{l-1}-k-2}}{x}{\displaystyle {\int }_0^{y}t}\text{d}t+\frac{\log x^{2^{l-1}-k-3}}{x^2}{\displaystyle {\int }_0^y{t}^2}\text{d}t+\cdots \\ =y{\left(\log x\right)}^{2^{l-1}-1-k}\left\{1+O\left(\frac{\left(k+1\right)y}{x\log x}\right)\right\}\end{array}$ (4.8)

结合(4.5)，(4.8)，得

$M_k\left(x,y\right)=y{\left(\log x\right)}^{2^{l-1}-1-k}\left\{\frac{1}{\Gamma \left(2^{l-1}-k\right)}+O\left(\frac{\left(k+1\right)y}{\Gamma \left(2^{l-1}-k\right)x\log x}+\frac{{\left(c_{1}k+1\right)}^k}{x^{\frac{c}{4}}}\right)\right\}$ (4.9)

下面将估计 $E_N\left(x,y\right)$ ：

$E_N\left(x,y\right)\ll {\displaystyle {\int }_{\tilde{\beta }}^{1-\frac{1}{\log x}}{\left(1-\sigma \right)}^{N+1-2^{l-1}}{x}^{\sigma -1}y\text{d}\sigma }+{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_0}\left|{\left(s-1\right)}^{N+1-2^{l-1}}\frac{{\left(x+y\right)}^s-x^s}{s}\right|}\left|\text{d}s\right|$，

其中 $\tilde{\beta }$ 的定义见(4.1)， ${\Gamma }_0$ 表示Hankel围道的圆周部分，在 ${\Gamma }_0$ 上有 $r=\frac{1}{\log x}$，$s-1={\text{e}}^{i\theta }\frac{1}{\log x}$，$\theta \in \left(-\pi ,\pi \right)$，$\sigma -1=\frac{1}{\log x}\cos \theta$，

$x^{\sigma -1}=x^{\frac{\cos \theta }{\log x}}={\text{e}}^{\frac{\cos \theta }{\log x}\log x}={\text{e}}^{\cos \theta }$。

且有

$\left|\text{d}s\right|=\left|\text{d}\left({\text{e}}^{i\theta }\frac{1}{\log x}+1\right)\right|=\left|i{\text{e}}^{i\theta }\frac{1}{\log x}\text{d}\theta \right|=\frac{1}{\log x}\text{d}\theta$，

$\left|\frac{{\left(x+y\right)}^s-x^s}{s}\right|=\left|{\displaystyle {\int }_x^{x+y}{t}^{s-1}}\text{d}t\right|\ll {\displaystyle {\int }_x^{x+y}\left|t^{s-1}\right|\text{d}t}\ll y{x}^{\sigma -1}$，

因此

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_0}\left|{\left(s-1\right)}^{N+1-2^{l-1}}\frac{{\left(x+y\right)}^s-x^s}{s}\right|}\left|\text{d}s\right|\ll y{x}^{\sigma -1}{\displaystyle {\int }_{{\Gamma }_0}\left|{\left(s-1\right)}^{N+1-2^{l-1}}\right|}\left|\text{d}s\right|\\ \ll y{x}^{\frac{1}{\log x}\cos \theta }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\left|{\left(\frac{1}{\log x}{\text{e}}^{i\theta }\right)}^{N+1-2^{l-1}}\right|}\frac{1}{\log x}\text{d}\theta \\ \ll \frac{y}{{\left(\log x\right)}^{N+2-2^{l-1}}}\end{array}$ (4.10)

令 $1-\sigma =t$，

${\displaystyle {\int }_{\tilde{\beta }}^{1-\frac{1}{\log x}}{\left(1-\sigma \right)}^{N+1-2^{l-1}}}{x}^{\sigma -1}y\text{d}\sigma =-{\displaystyle {\int }_{1-\tilde{\beta }}^{\frac{1}{\log x}}{t}^{N+1-2^{l-1}}}{x}^{-t}y\text{d}t$ (4.11)

令 $t=\frac{u}{\log x}$，$1-\tilde{\beta }<1-\frac{1}{2}$，得

$\ll \frac{y}{{\left(\log x\right)}^{N+2-2^{l-1}}}{\displaystyle {\int }_1^{\infty }{u}^{N+1-2^{l-1}}}{\text{e}}^{-u}\text{d}u$

$\begin{array}{l}\ll \frac{y}{{\left(\log x\right)}^{N+2-2^{l-1}}}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{u}^{N+1-2^{l-1}}}{\text{e}}^{-u}\text{d}u\\ =\frac{y}{{\left(\log x\right)}^{N+2-2^{l-1}}}\Gamma \left(N+2-2^{l-1}\right)\end{array}$

由Stirling公式，

$\ll \frac{y}{{\left(\log x\right)}^{N+2-2^{l-1}}}{\left(c_{1}N+1\right)}^{N+1}$ (4.12)

结合(4.10)，(4.12) 可得：

$E_N\left(x,y\right)\ll y{\left(\log x\right)}^{2^{l-1}-1}{\left(\frac{c_{1}N+1}{\log x}\right)}^{N+1}$ (4.13)

对于 $x\ge y\ge 2$ 一致成立。

将(4.9)，(4.13)代入到(4.4)，结合(2.2)得

$I=y{\left(\log x\right)}^{2^{l-1}-1}\left\{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{{\lambda }_k\left(l\right)}{{\left(\log x\right)}^k}}+O\left(E_N^{\ast }\left(x,y\right)\right)\right\}$ (4.14)

$E_N^{\ast }\left(x,y\right)$ 的表达式如下：

$E_N^{\ast }\left(x,y\right)=\frac{y}{x}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{N+1}{\sum }}\frac{k\left|{\lambda }_{k-1}\left(l\right)\right|}{{\left(\log x\right)}^k}}+\frac{{\left(c_{1}N+1\right)}^{N+1}}{x^{\frac{c}{4}}}+M{\left(\frac{c_{2}N+1}{\log x}\right)}^{N+1}$

其中 $c,c_1,c_2$ 均为与l有关的常数。

B. $I_1$ 与 $I_6$ 的估计：

在 $I_1$ 与 $I_6$ 上有 $s=\sigma \pm iT$，其中 $\sigma \in \left(\frac{1}{2}+\epsilon ,1+\frac{2}{\log x}\right)$。

根据引理3.2，在二次代数扩域上，当 $\frac{1}{2}\le \sigma \le 1+\epsilon$ 时有

${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(\sigma +it\right)\ll {\left(1+\left|t\right|\right)}^{\frac{2}{3}\left(1-\sigma \right)+\epsilon }$，

故

$F\left(s\right)={\varsigma }_{\mathbb{K}}{\left(s\right)}^{2^{l-1}}{U}_l\left(s\right)\ll M{T}^{\frac{2^l}{3}\left(1-\sigma \right)+\epsilon }$。

因此

$\left|I_1\right|+\left|I_6\right|\ll {\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}+\epsilon }^{1+\frac{2}{\log x}}{T}^{\frac{2^l}{3}\left(1-\sigma \right)+\epsilon }}\frac{x^{\sigma }}{T}\text{d}\sigma$。

考虑 $T^{\frac{2^l}{3}}\le x$，得

$\left|I_1\right|+\left|I_6\right|\ll \frac{x^{1+\epsilon }}{T}$ (4.15)

C. $I_2$ 和 $I_5$ 的估计

对于 $s=\frac{1}{2}+\epsilon +it$，${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(\frac{1}{2}+\epsilon +it\right)\ne 0$，$0\le \left|t\right|\le T$，有

$F\left(s\right)\ll {\left(1+\left|t\right|\right)}^{\frac{2^{l-1}}{3}+\epsilon }$。

因此

$\begin{array}{c}\left|I_2\right|+\left|I_5\right|\ll {\displaystyle {\int }_0^T{\left(1+\left|t\right|\right)}^{\frac{2^{l-1}}{3}+\epsilon }}\frac{x^{\frac{1}{2}+\epsilon }}{\left|t\right|}\text{d}t\\ \ll x^{\frac{1}{2}+\epsilon }{\displaystyle {\int }_0^T{\left(1+\left|t\right|\right)}^{-1+\frac{2^{l-1}}{3}+\epsilon }}\text{d}t\\ \ll x^{\frac{1}{2}}{T}^{\frac{2^{l-1}}{3}+\epsilon }\end{array}$ (4.16)

D. $I_3$ 和 $I_4$ 的估计：

设 ${\beta }_{\text{0}}$ 是 ${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(s\right)$ 的一阶零点，有

${\varsigma }_{\mathbb{K}}\left(s\right)=\left(s-{\beta }_0\right)V\left(s\right)$，$V\left({\beta }_{\text{0}}\right)\ne 0$。

取 $\left|s-{\beta }_0\right|\le 2r_1$，$r_1=\frac{1}{\log x}$，对 $V{\left(s\right)}^{2^{l-1}}U\left(s\right)$ 在 $s={\beta }_0$ 处做泰勒展开，有

$V{\left(s\right)}^{2^{l-1}}U\left(s\right)=C\left({\beta }_0\right)+O\left(\left|s-{\beta }_0\right|\right)$，

$C\left({\beta }_0\right)$ 是与 ${\beta }_0$ 有关的常数。因此

$I_3+I_4=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{{\mathcal{l}}_3\cup {\mathcal{l}}_4}F\left(s\right)\frac{{\left(x+y\right)}^s-x^s}{s}\text{d}s}=M\left(x,y\right)+O\left(E\left(x,y\right)\right)$，

其中

$M\left(x,y\right):=\frac{C\left({\beta }_0\right)}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{{\mathcal{l}}_3\cup {\mathcal{l}}_4}{\left(s-{\beta }_0\right)}^{2^{l-1}}}\frac{{\left(x+y\right)}^s-x^s}{s}\text{d}s$，