Pure Mathematics
Vol.
12
No.
06
(
2022
), Article ID:
52829
,
5
pages
10.12677/PM.2022.126107
Julia集为Cantor集的一族有理函数
孙霞
云南开放大学公共基础教学部,云南 昆明
收稿日期:2022年5月11日;录用日期:2022年6月16日;发布日期:2022年6月23日
![](http://html.hanspub.org/file/8-1251584x1_hanspub.png?20220627091217785)
摘要
参数空间的研究是复解析动力系统研究的一个重要部分,著名的Mandelbrot集是含有单参数的多项式 (c为复常数)的参数空间,它是一个复杂的分形图。人们猜测,对同样含有单参数的函数族,应该也有像M集一样复杂的参数空间。为此,我们研究了含有单参数的二次有理函数族 ( 为复常数)。运用复解析动力系统中临界点与Fatou分支的关系,我们得到当参数 时,其Julia集为广义cantor集。此时由于该函数族的所有临界点都在Fatou集的一个吸性分支里面,所以该函数族中的函数全为双曲有理函数。
关键词
Fatou集,Julia集,Cantor集
![](http://html.hanspub.org/file/8-1251584x6_hanspub.png?20220627091217785)
A Class of Rational Functions with Cantor Julia Sets
Xia Sun
Department of Public and Basic Education, Yunnan Open University, Kunming Yunnan
Received: May 11th, 2022; accepted: Jun. 16th, 2022; published: Jun. 23rd, 2022
ABSTRACT
Parameter space is an important part of complex analytic dynamics. Mandelbrot set, which is famous in the world, is the parameter space of (c is a complex constant). And has one parameter. Many people conjecture that functions with one parameter also have the intricate parameter space as Mandelbrot set. Similarly, we study a class of rational functions with one parameter. They are ( is a complex constant). By using the relation between critical points and the component of Fatou set, we have found that they have cantor Julia sets when . Moreover, they are all hyperbolic rational functions since all critical points of them stay in an attract component of Fatou set.
Keywords:Fatou Sets, Julia Sets, Cantor Sets
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言及主要结果
在复解析动力系统的研究中,参数空间的研究是一个极其重要的方面。对二次多项式族 (c为复常数),我们考虑集合
。
此时,集合M即为著名的Mandelbrot集 [1] [2] [3]。M集有许多问题吸引着众多的数学家去进行研究,至今仍有很多问题是没有解决的,例如 的局部连通性以及 ,其中 具有吸性或超吸性周期轨道 等 [2]。
人们猜测,对含有单参数的函数族,应该也有像M集一样复杂的参数空间。对超越整函数族 ,,当参数 时,f的Julia集 , 含有cantor束;当 时, 。而对整个参数平面结构的研究,仍很不完整 [1]。
我们研究的是含有单参数的有理函数族 ( 为复常数),发现当参数沿实轴并且在 之间取值时,其Julia集 为cantor集,此时函数全为双曲有理函数。为此,我们有如下的结论:
定理 若 ,则对任意的 , 为cantor集,且 为双曲有理函数。
2. 预备知识和引理
为了证明定理,本节对有理函数动力系统的一些概念和结果进行回顾。
设 是有理函数,则R可表示为 ,这里P和Q是两个互质的多项式,记 为多项式P的次数,定义
,
称为有理函数R的度,它等于方程 的根的个数(重根记重数)。记 ,如果序
列 在 是正规的,则称 是R的正规点,R的所有正规点集称为R的Fatou集,记为 。 关于 的余集称为R的Julia集,记为 。 是开集,也称为稳定点集, 是闭集,也称为不稳定点集。 的连通分支称为Fatou分支或稳定域。
定义2.1 [3] 若g是集合X上的一个自映射, 为X的一个子集,则
1) 称E为向前不变的,如果 ;
2) 称E为向后不变的,如果 ;
3) 称E为完全不变的,如果 。
引理2.1 [3] [4] 和 都是完全不变的,即 ,。
定义2.2 设R为有理函数, ,称序列 为R在点 的轨道(或称为正向轨道),记为 或 ,称点集 为R在点 的逆轨道(或称为逆向轨道),记为 或 。
一类重要的轨道是周期轨道,其定义如下。
定义2.3 称 为R的周期点,如果存在正整数p使得 ,满足该式的最小的p称为 的周期,这时, 的轨道是一条有限轨道: ,称其为周期轨道或循环,p为其周期。若 ,即 ,我们称 为 的不动点。
显然,周期轨道内每一点都是周期点,都具有相同的周期p。
定义2.4 设 为R的周期点,周期为p,则称 为 的乘子,若 的轨道为 ,则 。因此,周期轨道内每一点都有相同的乘子,故 也称为周期
轨道 的乘子。若 或 ,则在 的邻域内取局部坐标 ,这时,求导运算在 的邻域内也有定义。
依据乘子 ,我们对周期点有如下分类。
定义2.5 设 是R的周期点,周期为p,乘子为 ,那么
1) 如果 ,则称 为吸引周期点;
2) 如果 ,则称 为超吸引周期点;
3) 如果 ,则称 为中性周期点,此时, ,。进一步,如果 是有理数,则称 为有理中性周期点;如果 是无理数,则称 为无理中性周期点。
上述分类对周期轨道也适合,对应地称为吸引周期轨道、超吸引周期轨道等。不动点是周期为1的周期点,关于不动点的个数,有如下结论。
引理2.2 [2] [3] [4] 若R是度 的有理函数,则R在 中有 个不动点。
在动力系统的研究中,我们不仅要准确掌握不动点,还需要明确临界点以及它的轨道。
定义2.6 如果 在z的任何邻域内都不是单叶的,则称点z为 的临界点,也即 的零点及其 的重级极点(如果有重级极点)称为 的临界点。R在临界点的值称为临界值,R的临界点的集合通常记为 , 指的是临界点的向前轨道。
引理2.3 [2] [3] [4] 度为d的有理函数R,在 中有 个临界点。
关于临界点和周期轨道,有很多重要的结论,这里,我们回顾一下临界点和吸引周期轨道的关系。
引理2.4 [2] 设 是R的吸引周期轨道,则其直接吸引域中至少包含R的一个临界点c,且 。
一个拓扑空间(或子集)称为完全不连通的,如果它的每个连通分支由单个点组成。Cantor集就是完全不连通的,其定义如下。
定义2.7 中的子集E称为是cantor集,如果E是一个非空闭的完全集且E是完全不连通的。
这里的cantor集是广义cantor集,其原型是康托的“middle-third”集,若Julia集为cantor集,则此时的Julia集像一片片叶子的碎片,它不再是连续的,而由许许多多的离散点组成。
关于Julia集何时为cantor集,我们有下面的结论。
引理2.5 [3] 设R是度 的有理函数, 为R的吸引或超吸引不动点,如果R的所有临界点均在 的直接吸性域中,则 为cantor集。
接下来,我们需要回顾动力学性质相对简单的双曲有理函数。
定义2.8 一个有理函数 ,,称为是双曲的,如果R在Julia集 上是扩张的。
引理2.6 [2] 设R是度 的有理函数,那么下列条件等价:
1) R是双曲的,即在 上是扩张的;
2) ;
3) 每个临界点的正向轨道收敛于某个吸引(或超吸引)周期轨道。
3. 定理的证明
证明:对任意的 ,由于 ,由引理2.2和引理2.3知函数 在 中有3个不动点和2个临界点,其2个临界点分别为−1和1,0为其中一个不动点,由于 ,且 ,所以0为 的吸性不动点,记 包含0的分支为 ,则 是吸性分支且 。由于 是 吸性分支,由引理2.4, 含有 的一个临界点,因为 ,所以 是 的完全不变的分支。由于 ,所以临界点 。接下来分两种情形来讨论另一临界点−1的轨迹。
1) 当参数 时,取 ,则 且 。此时, 在 中有3个
不动点分别为 和 。由于 ,所以当
时,有 ,由于 在 上没有不动点,所以 ,特别地有 ,从而 。
2) 当参数 时,取 ,则 且 ,此时, ,由引理2.2知 在 中有5个不动点分别为 ,, 和 。由于
所以 ,由于 在 上没有不动点,所以 ,同情形(1)我们也有 。由于对任意的 ,其所有的临界点都在吸引分支 中,从而由引理2.5知 为cantor集。此时,由于 ,由引理2.6得函数族中的函数均为双曲有理函数。定理证毕。
如果有理函数R是双曲的,那么在R附近的有理函数都是双曲的 [3]。在定理中,我们发现当参数沿实轴在 和 取值时,函数 都是双曲的,所以在实轴附近一个不规整的区域内,函数都是双曲有理函数,这样的区域能否拓展?具体形状如何?这将是我们后续研究的问题,进一步,我们可以考虑函数的J-稳定性以及Julia集的hausdorff维数。
基金项目
云南开放大学云南国防工业职业技术学院科学研究基金项目,项目编号:21YNOU13。
文章引用
孙 霞. Julia集为Cantor集的一族有理函数
A Class of Rational Functions with Cantor Julia Sets[J]. 理论数学, 2022, 12(06): 981-985. https://doi.org/10.12677/PM.2022.126107
参考文献
- 1. 蔡克聚, 邓小成. 复解析动力系统发展概况[J]. 数学进展, 1994(1): 1-24.
- 2. 任福尧. 复解析动力系统[M]. 上海: 复旦大学出版社, 1997.
- 3. Beardon, A.F. (1991) Iteration of Rational Function. Springer-Verlag, New York.
- 4. Steinmetz, N. (1993) Rational Iteration. Water de Gruyter, Berlin, New York.