¹伊犁师范大学数学与统计学院，新疆 伊宁

²伊犁师范大学应用数学研究所，新疆 伊宁

收稿日期：2022年7月13日；录用日期：2022年8月12日；发布日期：2022年8月22日

摘要

本文讨论了带有积分边界条件的非局部分数阶中立型发展方程

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}^q\left[x\left(t\right)-h\left(t,x\right)\right]=Ax\left(t\right)+f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in \left[0,a\right],\\ x\left(0\right)={\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)ds},\end{array}$

并通过非紧性测度估计方法，利用Sadovskii不动点定理，获得了mild解存在性的充分性条件。

关键词

分数阶中立型发展方程，非紧性测度条件，积分边界条件，Sadovskii不动点定理，存在性

Existence of Mild Solutions for a Class of Fractional Neutral Evolution Equations

Yong Zhang^1,2, Fangfang Hu^1,2*, Zhen Xin^1,2

¹School of Mathematics and Statistics, Yili Normal University, Yining Xinjiang

²Institute of Applied Mathematics, Yili Normal University, Yining Xinjiang

Received: Jul. 13^th, 2022; accepted: Aug. 12^th, 2022; published: Aug. 22^nd, 2022

ABSTRACT

In this paper, we talk the nonlocal partial order neutral type evolution equation with integral boundary conditions,

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}^q\left[x\left(t\right)-h\left(t,x\right)\right]=Ax\left(t\right)+f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in \left[0,a\right],\\ x\left(0\right)={\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)ds},\end{array}$

and obtain the adequacy conditions for the existence of mild solutions by non-compact measure estimation methods, using the Sadovskii fixed point theorem.

Keywords:Fractional Neutral Evolution Equations, Noncompactness Measure Condition, Integral Boundary Condition, Sadovskii Fixed Point, Existence

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

由于分数阶微分方程具有记忆效果，在某些问题中比整数阶微分方程能够更好地反映生活中的现象。除了在数学方面的应用外，它还在流体力学，分数控制系统与分数控制器，各种电子回路，电分析化学，生物系统的电传导等方面有广泛的应用 [1]。因此，近年来分数阶微分方程问题引起了许多学者的关注，而分数阶中立型微分方程作为一类广泛应用的微分方程，对它的研究已经屡见不鲜了 [2] - [8]。

周勇教授 [8] 运用Krasnoselskii不动点定理以及紧半群的理论，研究了下列分数阶中立型非局部问题

$\{\begin{array}{l}{D}^q\left[x\left(t\right)-h\left(t,x_t\right)\right]+Ax\left(t\right)=f\left(t,x_t\right),t\in \left(0,a\right],\\ x_0\left(\vartheta \right)+\left(g\left(x_{t_1},\cdots ,x_{t_n}\right)\right)\left(\vartheta \right)=\phi \left(\vartheta \right),\vartheta \in \left[-r,0\right],\end{array}$

mild解的存在性。其中

$x_0\left(\vartheta \right)+\left(g\left(x_{t_1},\cdots ,x_{t_n}\right)\right)\left(\vartheta \right)=\phi \left(\vartheta \right)$，$\vartheta \in \left[-r,0\right]$，

是非局部条件，函数 $\left(g\left(x_{t_1},\cdots ,x_{t_n}\right)\right)$，形如

$\left(g\left(x_{t_1},\cdots ,x_{t_n}\right)\right)\left(\vartheta \right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i{x}_{t_i}}\left(\vartheta \right)$，

$c_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 为常数。文中作者，假设 $-A$ 生成紧半群，非线性项 $f\left(t,x_t\right)$ 一致有界，中立项满足Lipschitz条件。

2017年，带积分边界条件的微分方程引起许多学者的注意 [9] [10] [11]。在文献 [12] 中作者运用逐次逼近的方法，获得了下列带积分条件的分数阶发展方程

$\{\begin{array}{l}{D}^{q}u\left(t\right)=Au\left(t\right)+f\left(t,u\left(t\right)\right),t\in J:=\left[0,a\right],\\ u\left(0\right)=H\left(u\right),\end{array}$

在实Banach空间中mild解存在的充分条件，其中非局部函数 $H:\left[0,a\right]\times {\rm X}\to {\rm X}$ 定义如下：

$H\left(u\right)={\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s}$，

其中X是实Banach空间， $g:\left[0,a\right]\times {\rm X}\to {\rm X}$ 是一个给定的函数，满足某些假设条件。

受以上工作的启发，在本文中，研究了实Banach空间中如下带非局部积分边界条件的分数阶中立型发展方程

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}^q\left[x\left(t\right)-h\left(t,x\right)\right]=Ax\left(t\right)+f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in \left[0,a\right],\\ x\left(0\right)={\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},\end{array}$ (I)

mild解存在性。 ${}^{C}D{}^q$ 是 $q\left(0<q\le 1\right)$ 阶Caputo型分数阶导数； $A:D\left(A\right)\subset {\rm X}\to {\rm X}$ 是X中一致有界的等度连续半群 $\left\{T\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 的无穷小生成元，即 $\exists M\ge 1$，使得对 $t\ge 0$，有 $\Vert T\left(t\right)\Vert \le M$，$g,f:I\times {\rm X}\to {\rm X}$ 是给定的函数，需要满足下面给出的假设条件。

对于非局部问题的讨论一般要求 $-A$ 生成紧半群或解析半群，非线性函数 $f,g$ 一致有界且满足Lipschitz条件。但是，在 $t=0$ 处，半群 $T\left(t\right)$ 的紧性只有在有限维空间成。因此，本文运用非紧性测度估计技术，只假设非线性函数 $f,g$ 满足线性增长条件和非紧性测度条件，以非紧性测度条件代替紧半群条件，中立项函数满足Lipschitz条件，线性增长条件及非紧性测度条件。通过证明解算子是凝聚算子，运用Sadovskii不动点定理，获得了带有积分条件的非局部分数阶中立型发展方程mild解的存在性，推广了已有文献中的结论。在第二部分作者给出了一些为了证明主要结果所需的定义和引理，在第三部分给出了主要结果及其证明。

2. 预备知识

设 $I:=\left[0,a\right]$，又设空间X按范数 $\Vert \cdot \Vert$ 构成实Banach空间， $C\left(I,{\rm X}\right)$ 为定义于I取值于X的连续函数之集，按范数

${\Vert x\Vert }_C=\underset{t\in I}{\sup }\Vert x\left(t\right)\Vert$

构成Banach空间。本文记N为正整数集。

下面介绍分数阶微积分的概念：

定义2.1 [1] 区间I上的函数f的 $q>0$ 阶分数阶积分定义为

$I^{q}f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(q\right)}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{f\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{q-1}}\text{d}s}$，$t>0$，

其中 $\Gamma (\cdot )$ 是Gamma函数。

定义2.2 [1] 区间I上的函数f的 $q\in \left[n-1,n\right]$ 阶Riemann-Liouville型分数阶导数定义为

${}^{L}D{}^{q}f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-q\right)}\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{t}^n}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{f\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{q+1-n}}\text{d}s}$，$t>0$，

其中 $n=\left[q\right]$ 表示大于或者等于q的最小整数。

定义2.3 [1] 区间I上的函数f的 $q\in \left[n-1,n\right]$ 阶Caputo型分数阶导数定义为

${}^{C}D{}^{q}f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-q\right)}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{f^{\left(n\right)}\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{q+1-n}}\text{d}s}=I_t^{n-q}{f}^{\left(n\right)}\left(t\right)$，$t>0$，

其中 $n=\left[q\right]$。

注2.1：1) Riemann-Liouville型分数阶导数和Caputo型分数阶导数有下列关系：

${}^{C}D{}^{q}f\left(t\right)={}^{L}D{}^q\left(f\left(t\right)-{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{t^k}{k!}{f}^{\left(k\right)}\left(0\right)}\right)$。

2) 常数的Caputo型导数为0。

3) 如果f是X中的抽象函数，则定义2.1，2.2，2.3中的积分为Bochner意义下的积分。

根据文献 [8] 引理3.1中的证明方法可得下列引理：

引理2.1 [4] 如果函数 $x\in C\left(I,{\rm X}\right)$ 满足下列积分方程

$x\left(t\right)=S_q\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+h\left(t,x\left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}}{T}_q\left(t-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s$，$t\in I$，

则称x是问题(I)的mild解，其中

$S_q\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\xi }_q\left(\theta \right)T\left(t^q\theta \right)\text{d}\theta }$ ；

$T_q\left(t\right)=q{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\theta {\xi }_q\left(\theta \right)T}\left(t^q\theta \right)\text{d}\theta$ ； ${\xi }_q\left(\theta \right)=\frac{1}{q}{\theta }^{-1-\frac{1}{q}}{\varpi }_q\left({\theta }^{-\frac{1}{q}}\right)\ge 0$ ；

${\varpi }_q\left(\theta \right)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(-1\right)}^{n-1}{\theta }^{-qn-1}}\frac{\Gamma \left(nq+1\right)}{n!}\sin \left(n\pi q\right)$，$\theta \in \left(0,\infty \right)$，

这里 ${\xi }_q$ 是定义在 $\left(0,\infty \right)$ 上的单边概率密度函数，且 ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\xi }_q}\left(\theta \right)\text{d}\theta =1$，$\theta \in \left(0,\infty \right)$。

定义算子 $F_q:{\rm X}\to {\rm X}$，如下：

$F_q\left(x\left(t\right)\right)=S_q\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+h\left(t,x\left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$，

则问题(I)的mild解就等价于算子 $F_q$ 的不动点。

引理2.2 [11] 对任意给定的 $t\ge 0$，$S_q\left(t\right)$，$T_q\left(t\right)$ 为有界线性算子，即对 $\forall x\in {\rm X}$，有

$\Vert S_q\left(t\right)x\Vert \le M\Vert x\Vert$，$\Vert T_q\left(t\right)x\Vert \le \frac{qM}{\Gamma \left(1+q\right)}\Vert x\Vert$，

其中 $\Vert T\left(t\right)\Vert \le M$，$\forall t\ge 0$。

引理2.3 [8] 算子簇 ${\left\{S_q\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$，${\left\{T_q\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 强连续，即对 $\forall x\in {\rm X}$ 且 $0\le t^{\prime }<t^{″}\le a$，当 $t^{\prime }\to t^{″}$ 时，有

$\Vert S_q\left(t^{″}\right)x-S_q\left(t^{\prime }\right)x\Vert \to 0$，$\Vert T_q\left(t^{″}\right)x-T_q\left(t^{\prime }\right)x\Vert \to 0$。

下面我们给出一些关于非紧性测度的概念和结论，这些结论将在后续证明中用到。设X是Banach空间， $D\subset {\rm X}$ 是非空有界集。令

$\beta \left(D\right)=\inf \left\{\mu >0|D={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{D}_i},d\left(D_i\right)\le \mu \right\}$，

其中 $d\left(D_i\right)$ 表示 $D_i$ 的直径。则称 $\beta \left(D\right)$ 为X中D的Kuratowski非紧性测度。显然，

$0\le \beta \left(D\right)<+\infty$，

${\beta }_C\left(D\right)$ 表示 $C\left(I,{\rm X}\right)$ 中D的Kuratowski非紧性测度。

引理2.4 [13] 设X为Banach空间， $D_1,D_2\subset {\rm X}$，则有

(i) $\beta \left(D_1\right)=0$ 当且仅当 $D_1$ 是相对紧集；

(ii) 若 $D_1\subset D_2$，则 $\beta \left(D_1\right)\le \beta \left(D_2\right)$ ；

(iii) $\beta \left(D_1+D_2\right)\le \beta \left(D_1\right)+\beta \left(D_2\right)$。

更多关于Kuratowski非紧性测度估计的知识，可参见文献 [13]。

引理2.5 [13] 设X为Banach空间，若 $D\subset C\left(I,{\rm X}\right)$ 为有界且等度连续集，则 $\beta \left(D\left(t\right)\right)$ 在I上连续，且

${\beta }_C\left(D\right)=\underset{t\in I}{\max }\beta \left(D\left(t\right)\right)=\beta \left(D\left(I\right)\right)$。

引理2.6 [14] 设X为Banach空间， $D=\left\{x_n\right\}\subset C\left(I,{\rm X}\right)$ 为可列集，若存在 $\varphi \in L^1\left(I\right)$，使得 $\Vert x_n\left(t\right)\Vert \le \varphi \left(t\right)$，a.e.， $t\in I$，$n=1,2,\cdots$，则 $\beta \left(D\left(t\right)\right)$ 在I上Lebesgue可积，且

$\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_I{x}_n\left(t\right)\text{d}t|n\in {\rm N}}\right\}\right)\le 2{\displaystyle {\int }_I\beta \left(D\left(t\right)\right)\text{d}t}$。

引理2.7 [15] 设X是Banach空间， $D\subset {\rm X}$ 有界，则存在可列集 $D_0\subset D$，使得

$\beta \left(D\right)\le 2\beta \left(D_0\right)$。

定义2.4 [16] 设X是Banach空间， $A:D\left(A\right)\subset {\rm X}\to {\rm X}$ 连续，如果对任意 $S\subset {\rm X}$ 有界集，满足下列不等式

$\beta \left(A\left(S\right)\right)<\beta \left(S\right)$，

则称F是凝聚映射。

引理2.8 [17] (Sadovskii定理)设X为Banach空间， $D\subset {\rm X}$ 为有界凸闭集， $A:D\to D$ 为凝聚映射，则A在D中至少有一个不动点。

下面我们应用Sadovskii不动点定理证明算子 $F_q$ 存在不动点，为了证明主要结论，我们给出下列假设：

(P₁) 函数 $g:I\times {\rm X}\to {\rm X}$ 是连续函数，且对 $\forall t\in I$，$x\in {\rm X}$，存在非负连续函数 $n\in C\left(I,{\rm X}\right)$，使得

$\Vert g\left(t,x\right)\Vert \le n\left(t\right)\Vert x\Vert$。

(P₂) 函数 $f:I\times {\rm X}\to {\rm X}$ 是连续函数，且对 $\forall t\in I$，$x\in {\rm X}$，存在非负连续函数 $m\in C\left(I,{\rm X}\right)$，使得

$\Vert f\left(t,x\right)\Vert \le m\left(t\right)\Vert x\Vert$。

(P₃) 函数 $h:I\times {\rm X}\to {\rm X}$ 是连续函数，满足Lipschitz条件，即对 $\forall t_1,t_2\in I$，$x,y\in {\rm X}$，存在常数 $L>0$，使得

$\Vert h\left(t_1,x\right)-h\left(t_2,y\right)\Vert \le L\left(\left|t_1-t_2\right|+\Vert x-y\Vert \right)$，

且存在非负连续函数 $p\in C\left(I,{\rm X}\right)$，满足

$\Vert h\left(t,x\right)\Vert \le p\left(t\right)\Vert x\Vert$。

注2.2：由文献 [13] 可知，中立项函数如果满足Lipschitz条件，则有下列成立

$\beta \left(h\left(t,D\right)\right)\le L\beta \left(D\right)$。

问题(2)中的给定函数f，h，g，除了要满足上面的线性增长条件以外，还满足下列非紧性测度条件：

(P₄)对 $\forall t\in I$，$D\subset {\rm X}$ 为有界集，存在常数 $L_1>0$，$L_2>0$，满足

$2\left(2aM{L}_2+L+\frac{2M{L}_1{a}^q}{\Gamma \left(1+q\right)}\right)<1$， (2.1)

使得

$\beta \left(f\left(t,D\right)\right)\le L_1\beta \left(D\right)$，

$\beta \left(g\left(t,D\right)\right)\le L_2\beta \left(D\right)$。

3. 主要结果及其证明

设R是一个充分大的常数，在空间 $C\left(I,{\rm X}\right)$ 中，取

${{\rm K}}_R=\left\{x\in C\left(I,{\rm X}\right)|{\Vert x\Vert }_C\le R\right\}$。

定理3.1如果条件(P₁)-(P₄)成立，且下列条件满足

$aM{\Vert n\Vert }_C+{\Vert p\Vert }_C+\frac{M{a}^q{\Vert m\Vert }_C}{\Gamma \left(1+q\right)}<1$， (3.1)

则问题(I)在 ${{\rm K}}_R$ 上至少有一个mild解。

证明：对 $\forall x\in {{\rm K}}_R$，由假设条件(P₁)-(P₃)及引理2.1，2.2，有

$\begin{array}{c}\Vert \left(F_{q}x\right)\left(t\right)\Vert =\Vert S_q\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s+h\left(t,x\left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}}\Vert \\ \le \Vert S_q\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s\Vert +\Vert h\left(t,x\left(t\right)\right)\Vert +\Vert {\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert }\\ \le aM{\Vert n\Vert }_C{\Vert x\Vert }_C+{\Vert p\Vert }_C{\Vert x\Vert }_C+\frac{M{a}^q}{\Gamma \left(1+q\right)}{\Vert m\Vert }_C{\Vert x\Vert }_C\\ =\left(aM{\Vert n\Vert }_C+{\Vert p\Vert }_C+\frac{M{a}^q{\Vert m\Vert }_C}{\Gamma \left(1+q\right)}\right){\Vert x\Vert }_C\end{array}$

由(3.1)式可知， $\Vert \left(F_{q}x\right)\left(t\right)\Vert \le R$。故 $F_q$ 映 ${{\rm K}}_R$ 到自身。

接下来证明 $F_q\left({{\rm K}}_R\right)$ 在 $C\left(I\right)$ 中是等度连续集。由上面 ${{\rm K}}_R$ 的定义可知， ${{\rm K}}_R\subset C\left(I\right)$ 是有界集。对 $\forall t_1,t_2\in I$，$t_1<t_2$，$x\in {{\rm K}}_R$，有

$\begin{array}{l}\Vert F_q\left(x\left(t_1\right)\right)-F_q\left(x\left(t_2\right)\right)\Vert \\ \le \Vert \left[S_q\left(t_1\right)-S_q\left(t_2\right)\right]{\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert +\Vert h\left(t_1,x\left(t_1\right)\right)-h\left(t_2,x\left(t_2\right)\right)\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}{\left(t_1-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t_1-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_0^{t_2}{\left(t_2-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t_2-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \end{array}$

$\begin{array}{l}\le \Vert \left[S_q\left(t_1\right)-S_q\left(t_2\right)\right]{\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert +\Vert h\left(t_1,x\left(t_1\right)\right)-h\left(t_2,x\left(t_2\right)\right)\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}{\left(t_1-s\right)}^{q-1}\left[T_q\left(t_1-s\right)-T_q\left(t_2-s\right)\right]f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{\left(t_2-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t_2-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}\left[{\left(t_1-s\right)}^{q-1}-{\left(t_2-s\right)}^{q-1}\right]T_q\left(t_2-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ =S_1+S_2+S_3+S_4\end{array}$

其中

$S_1=\Vert \left[S_q\left(t_1\right)-S_q\left(t_2\right)\right]{\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert +\Vert h\left(t_1,x\left(t_1\right)\right)-h\left(t_2,x\left(t_2\right)\right)\Vert$，

$S_2=\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}{\left(t_1-s\right)}^{q-1}\left[T_q\left(t_1-s\right)-T_q\left(t_2-s\right)\right]f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert$，

$S_3=\Vert {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{\left(t_2-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t_2-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert$，

$S_4=\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}\left[{\left(t_1-s\right)}^{q-1}-{\left(t_2-s\right)}^{q-1}\right]T_q\left(t_2-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert$。

因为

$\begin{array}{c}{S}_1=\Vert \left[S_q\left(t_1\right)-S_q\left(t_2\right)\right]{\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert +\Vert h\left(t_1,x\left(t_1\right)\right)-h\left(t_2,x\left(t_2\right)\right)\Vert \\ \le \Vert \left[S_q\left(t_1\right)-S_q\left(t_2\right)\right]\Vert a{\Vert n\Vert }_C{\Vert x\Vert }_C+L\left(\left|t_1-t_2\right|+\Vert x\left(t_1\right)-x\left(t_2\right)\Vert \right)\end{array}$，

$\begin{array}{c}{S}_2=\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}{\left(t_1-s\right)}^{q-1}\left[T_q\left(t_1-s\right)-T_q\left(t_2-s\right)\right]f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ \le \Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}{s}^{q-1}\left[T_q\left(s\right)-T_q\left(t_2-t_1+s\right)\right]f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \end{array}$，

$S_4=\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}\left[{\left(t_1-s\right)}^{q-1}-{\left(t_2-s\right)}^{q-1}\right]T_q\left(t_2-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \le \frac{M{\Vert m\Vert }_C{\Vert x\Vert }_C}{\Gamma \left(1+q\right)}\left(t_1^q-t_2^q\right)$。

对 $t_1=0$，$0\le t_1<t_2\le a$，$t_2-t_1\to 0$ 时，由引理2.3及假设条件可知， $S_1,S_2,S_3,S_4\to 0$。故 $F_q\left({{\rm K}}_R\right)$ 在 $C\left(I\right)$ 中等度连续。

最后证明 $F_q:{{\rm K}}_R\to {{\rm K}}_R$ 凝聚。由上面的证明可知， ${{\rm K}}_R\subset C\left(I\right)$ 是等度连续集。对 $\forall x\in {{\rm K}}_R$，由引理2.6，2.7，存在 ${{{\rm K}}^{\prime }}_R=\left\{x_n|n\in {\rm N}\right\}\subset {{\rm K}}_R$，使得

$\beta \left({{\rm K}}_R\right)\le 2\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)$。

进而，由条件(P₄)有

$\begin{array}{c}0\le \beta \left(F_q\left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\right)\\ =\beta \left(\left\{S_q\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s+h\left(t,x_n\left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t-s\right)f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in {\rm N}}}\right\}\right)\\ =\beta \left(\left\{S_q\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in {\rm N}}\right\}\right)+\beta \left(\left\{h\left(t,x_n\left(t\right)\right)|n\in {\rm N}\right\}\right)\\ +\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t-s\right)f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in {\rm N}}\right\}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\le M\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in {\rm N}}\right\}\right)+\beta \left(\left\{h\left(t,x_n\left(t\right)\right)|n\in {\rm N}\right\}\right)\\ +\frac{qM}{\Gamma \left(1+q\right)}\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in {\rm N}}\right\}\right)\\ \le 2M{\displaystyle {\int }_0^a\beta \left(g\left(s,{{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\right)\text{d}s}+\beta \left(h\left(t,{{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\right)+\frac{2qM}{\Gamma \left(1+q\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}\beta \left(f\left(s,{{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\right)\text{d}s}\\ \le 2M{L}_2{\displaystyle {\int }_0^a\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\text{d}s}+L\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)+\frac{2qM{L}_1}{\Gamma \left(1+q\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\text{d}s}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le 2aM{L}_2\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)+L\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)+\frac{2qM{L}_1{a}^q}{\Gamma \left(1+q\right)}\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\\ +\frac{qM}{\Gamma \left(1+q\right)}\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in {\rm N}}\right\}\right)\\ \le \left(2aM{L}_2+L+\frac{2M{L}_1{a}^q}{\Gamma \left(1+q\right)}\right)\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\end{array}$

所以，由引理2.5可知，

$\begin{array}{c}{\beta }_C\left(F_q\left({{\rm K}}_R\right)\right)=\underset{t\in I}{\max }\beta \left(F_q\left({{\rm K}}_R\left(t\right)\right)\right)\\ \le 2\underset{t\in I}{\max }\beta \left(F_q\left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\left(t\right)\right)\right)\\ \le 2\left(2aM{L}_2+L+\frac{2M{L}_1{a}^q}{\Gamma \left(1+q\right)}\right)\beta (\; {\rm K}\; R\; )\end{array}$

因此，由(2.1)式可知， ${\beta }_C\left(F_q\left({{\rm K}}_R\right)\right)<{\beta }_C\left({{\rm K}}_R\right)$。由定义2.4知，算子 $F_q$ 是凝聚映射。故由引理2.8可知，算子 $F_q$ 在 ${{\rm K}}_R$ 上存在不动点，该不动点是问题(I)的mild解。

基金项目

伊犁师范大学校级资助项目(2021YSYB078)。

文章引用

张 永,胡芳芳,辛 珍. 一类分数阶中立型发展方程Mild解的存在性
Existence of Mild Solutions for a Class of Fractional Neutral Evolution Equations[J]. 理论数学, 2022, 12(08): 1333-1340. https://doi.org/10.12677/PM.2022.128146

参考文献