Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 164-167 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2012.23026 Published Online July 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm) The Degrees of Characters for Finite Groups* π Yueming Zhang, Ping Jin School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan Email: jinping@sxu.edu.cn Received: May 3rd, 2012; revised: May 21st, 2012; accepted: May 27th, 2012 Abstract: Let G be a finite group, N a subgroup of G and an irreducible complex character of G. Write ππ 1 to denote the set of prime divisors of 1 . The present paper gives a sufficient condition to guarantee that every irreducible constituent of N has π degree, which generalizes the corresponding Dolfi’s theorem. Some applications are given. Keywords: Irreducible Character; Degree; Subnormal Subgroup π 有限群特征标的π 次数* 张月明,靳 平 山西大学数学科学学院,太原 Email: jinping@sxu.edu.cn 收稿日期:2012 年5月3日;修回日期:2012年5月21日;录用日期:2012年5月27 日 摘 要:设G为任意有限群,N为G的子群, 是G的一个不可约复特征标。记 为 ππ 1 1 的素因子集合。本文给出了 N 的每个不可约分量均有π 次数的一个条件,推广了 Dolfi 的相关定理, 并给出了若干应用。 关键词:不可约特征标;π次数;次正规子群 1. 引言 设G为任意有限群,为 G的一个不可约复特征标。给定 G的一个子群 N,则 Irr G 在N上的限制 N 可表为 11 N rr kk 其中 i 均为 N的不可约特征标,称为 N 的不可约分量,诸 均为正整数。有限群表示论和特征标理论的一个 重要问题是:如何控制这些不可约分量 i k i 的次数 1 i ,特别是探讨诸 1 i 和 1 之间可能存在的整除关系。 具体讲,何时每个 能整除 1 i 1 ?或一般地,是否 1 i 的每个素因子均可整除 ? 1 当N为G的正规子群时,著名的 Clifford 定理(见[1]中定理 6.2)断言 N 的诸不可约分量 i 的次数均相等, 此时显然有整除 。然 而 ,当N在G中不正规时,则上述整除关系一般不成立。例如,Isaacs在文献[2] 中构造了一个可解群 G,其阶 1 i 1 3 235G 3 ,存在一个 5次不可约特征标 Irr G 和一个 24 阶子群NG , 使得 = N ,其中 满足 ,IrrN 12 及 13 ,由此表明 1 和 1 的每个素因子,均不能整除 。 1 *资助信息:国家自然科学基金资助(11171194)。 Copyright © 2012 Hanspub 164 张月明, 靳平 有限群特征标的 π 次数 本文研究的主要问题是:给定不可约特征标 Irr G 及子群 NG ,任取 在 Irr G 的下方,即 为 N 的一个不可约分量,探讨何时 的每个素因子均可整除 1 1 。 方便起见,我们记 ππ 1 为 1 的所有素因子集合,则本文所探讨的问题可等价地表述为:何时 N 的 每个不可约分量 都具有 π 次数,亦即 为一个 1 π 数(指的是 1 的每个素因子均在集合 中,从而整除π 1 )。 该问题与群G的结构有关。沿此方向的最新结果是Dolfi 于2002 年证明的下述结论(见文献[3]中定理 B),其中表示群 G的最大正规 子群,而 π π OG π π OG表示最小的正规子群K使得 GK为群,即π π GO G 为群 G的最大 商群。 π Dolfi定理:设 G为有限群, ,NG Irr G 且 ππ 1 。如果存在一个子群 ,满足下述三个 条件: LG 1) ,即N是L的一个次正规子群; N L 2) π:OGLL 为 数; π 3) π :NN OG亦为 数。 π 则 N 的每个不可约分量 都具有 次数。 π 需要指出的是,在上述 Dolfi定理中,如果能证明 L 的不可约分量均有π 次数,由于 N是L的次正规子 群,使用 Clifford 定理,则不难推出此时 N 的不可约分量亦有π 次数。但该结论一般不成立,即一般而言 Dolfi 定理不能保证 L 的每个不可约分量均有 次数。例如,考虑可解群π4 GS ,取 3 LS 且 ,再取1N Irr G 使得 ,则 1 3 π3。此时容易验证 Dolfi 定理的条件均成立,但 L ,其中 ,IrrL 满足 ,故 11,1 2 没有次数。再考虑单群 Gπ5 A ,取 4 AL 且1N ,则 存 在满足 Irr G 14 , 此时 ,并且 Dolfi 定理的条件也成立,但 π2L ,其 中 rL,Ir 满足 ,表 明 111, 3 亦 没有 次数。 π 本文主要结果是得到了上述Dolfi 定理的一个推广,进一步建立了不可约特征标的 次数问题与群的ππ 结构之间的密切联系。 定理 1:设G为有限群, 且NG Irr G 。令 ππ 1 。如果存在G的三个子群 满足下述 四个条件: ,, ,LKM 1) ,NL M G , K LM且 K M; 2) :NN M为 数; π 3) : M ML为 数; π 4) : M NK N 为π 数。 则 N 的每个不可约分量均有 次数。 Irr N π 在定理 1中,取 π M OG, π π K OG OG,我们将证明该定理即可推出上述 Dolfi 定理,故为后者 的一个推广。 作为定理 1的一个应用,我们将证明当子群N充分大时,例如,当 N包含了 G的特征子群 时,则特征标的 次数极好控制。 πππ π :OGOOG π 定理 2:设 G为任意有限群, ,任取NG Irr G ,令 ππ 1 。如果 ,则 ππ OG N N 的每个 不可约分量 均具有 次数。 π 在上述定理 2中,即使 ,一般也不能断言 ππ 1OG 1 总能整除 1 。我们引用 Dolfi 在文献[3]中给出 的例子 2,其中 6 25G, 满足 Irr G 110 ,此时 2, 5π,并且 π1OG ,更有 ππ 1OG 。但 G 有子群 N,其阶 2 25N,并且 N 存在一个不可约分量 ,使得 14 ,从而 不能整除。 1 1 如无特别说明,本文所使用的群论和特征标理论的符号和术语都是标准的,例如,可参考[1]。 Copyright © 2012 Hanspub 165 张月明, 靳平 有限群特征标的 π 次数 2. 预备 我们首先需要关于次正规子群的特征标次数的一个整除关系。 引理 1:设 G为有限群,SG果。如 Irr G 且为S 的一个不可约分量,则 1 整,并 SIrr 除 1 , 1 整除并且 :S 1G。 证明:因为 S是G的次正规子群,按定义,存在子群列 12 r SS SS G , 我们将对r做归纳法。当 时,即,结论显然成立。以下设 ,令1rSG1r1r NS ,则 N是G的正规子群。 注意到 ,并且 SNG Irr S在 Irr G的下方,故存在某个 Irr N既在 的上方,同时又在 的下 方。根据 Clifford 定理(见文献[1]中的定理6.3),则 1 整除 1 ,再由[1]中的定理 11.29,则 1 可整除 :GN 1 。又因为 ,根据归纳假设,则S N 1 可整除 1 ,并 且 1 整除 :1 NS 。最后,综合上述 整除关系即得所证结论。证毕。 其次,在定理 1的证明中,我们需借助Dolfi 的另一个主要结果。 引理 2:设 G为有限群, Irr G ,NLG , K L 。如果 1, ::1GLNN K , 则 N 的每个不可约分量 的次数 1 均可整除 1 。 证明:即文献[3]中定理 A的特例,从其结论中 N 所有不可约分量的共轭性显然可推出相应的特征标次数 的整除性。证毕。 3. 主要结果及证明 本节将给出引言中提及的定理 1和定理 2的证明。 定理 1的证明:按条件 1),从N是L的次正规子群,可知 M N也是 M L的次正规子群,即 M NMLM 。设为 Irr N Irr G 在N上限制 N 的任意一个不可约分量,在 的下方选取一个 不可约特征标 Irr M N ,则 显然也在 的下方,即特征标的内积,0 MN 。注意到 M NMG , 故存在某个不可约特征标 Irr M ,使得 既在 的下方,同时又在 的上方。 根据条件1),从 M G 可知 M NN。使用引理 1,则 1 整除 1 ,并且 整除 1 :1NM N 。 但条件 2)给出 :NN M为 数,据此推出 π 1 为π 数当且仅当 π 1 为 数。 类似地,从条件 M G 和引理 1,可知 1 整除 1 ,故从 1 为π 数的条件,推出 亦为 1 π 数, 即 也有 次数。 π 仍按条件1),由 K LM且 ,得KM K LM,故有商群 M LK,我们令 π KO ML K,即 H K为该商群的最大正规π 子群。因为 M N在商群 M LK中的像为 H M NKKM NM NKMNKN, 并且条件4)断言 : M NK N为数,再从条件1)中的 可知πN L M N也是 M L的次正规子群,所以 M NKK为 M LK的一个次正规的π 子群,据此导出 M NH 。进而,由 M NM L 及 H ML,可知 M N也是 H的一个次正规子群。 根据第一段关于特征标的选取,即 Irr M N 在 Irr M 的下方,故存在某个不可约特征标 Irr H ,使得 既在 的上方,同时又在 的下方。因为 H在 M L中正规,而也在 M中正规(由条 件(1)),并且 KH : M ML为π 数,根据引理2,则从 1 为π 数可推出 1 亦为 数。 π 最后,从 M NH 及引理 1,可知 1 整除 1 ,故 1 亦为 π 数。按第二段的说明,此时 1 也 Copyright © 2012 Hanspub 166 张月明, 靳平 有限群特征标的 π 次数 Copyright © 2012 Hanspub 167 是 数。证毕。 π 现在说明从本文定理 1可推出Dolfi 定理。事实上,假设 Dolfi 定理的条件成立,即 π:OGLL 和 π均为 数,则从记号和 π π OG π OG的含义不难得出下述两个基本性质: :NN OG 1) 设H为G的子群,如果 :GH为π 数,则 π OG H; 2) 如果 N是G的正规子群,则 ππ ONOG N。 据此即可证明:当 ππ π :OGOGLOGLL:为π 数时,我们有 ππ ππ OG OGOOGL . 令 π ππ , M OGK OGOG,则 K MG且KL 。再从 π π ONOGNM N N :NM N为数,我们有 π可知 ππ M NKNMNNOG NOGNNM 为 群,所以π: M NK N 亦为数,表明定理 1中的四个条件均满足,故定理 1推广了Dolfi 定理。 π 最后,使用本文定理 1即可证明定理 2。 定理 2的证明:令 ππππ , M OGKOMOG ,则 K MG,并且按定义,则 :GM为π 数而 : M K为 数。又因为 π NMNNMM GM, 故:NM N亦为数。同理,我们有 π M NKN MNKKMK , 故: M NK N为 数。但已知,所以π ππ OG N K MNM ,表明 : M MN亦为 数。最后, 在定理 1中取 ,可知其所有的条件均满足,故所证结论成立。证毕。 π LN 4. 致谢 本文作者衷心感谢国家自然科学基金(11171194)的资 助。 参考文献 (References) [1] I. M. Isaacs. Character theory of finite groups. New York: Academic Press, 1994. [2] I. M. Isaacs. Constituents of restricted and induced characters in odd order groups. Journal of Algebra, 1995, 178(3): 991-1001. [3] S. Dolfi. A note on character restrictions. Communications in Algebra, 2002, 30(7): 3429-3434. |