ABSTRACT

Using variational methods, we obtain that the nonexistence of radial solutions to some Chern-Simons-Schrödinger equations with radial symmetric potentials and special nonlinearities when the parameter λ is positive.

Keywords:Chern-Simons-Schrödinger Equations, Radial Solutions, The Nonexistence

一类陈–西蒙斯–薛定谔方程
径向对称解的非存在性结论

董奎良，张  灿，张志永，谢  俊，朱康力，万优艳

江汉大学数学与计算机科学学院数学系，武汉

Email: wanyouyan@jhun.edu.cn

收稿日期：2014年7月12日；修回日期：2014年8月9日；录用日期：2014年8月17日

摘  要

通过变分法研究得到：当参数λ大于零时，一类带正的径向对称的位势和特殊非线性项的陈–西蒙斯–薛定谔方程不存在非平凡的径向对称解。

关键词

陈–西蒙斯–薛定谔方程，径向对称解，非存在性

1. 引言

在对高温超导电性、分数量子霍尔效应和Aharovnov-Bohm扩散等负离子量子物理的研究中，我们常常需要研究陈–西蒙斯–薛定谔方程和方程组，参见[1] -[4] 。在文献[5] [6] 中，作者通过拟设和库仑规范条件，将陈–西蒙斯–薛定谔方程转化为下列带非局部项的椭圆型薛定谔方程

(1)

其中。

当非线性项时，其中，文献[5] [6] 中作者用变分法研究得到(1)径向对称基态解的存在性，非存在性和多解的存在性。

本文我们主要研究下列陈–西蒙斯–薛定谔方程

(2)

其中满足下列条件：

(V1)；

(V2)。

当是正的径向对称的位势且(2)右边非线性项g(u)是渐近线性的情形时，文献[7] 中作者证明了方程(2)解和多解的存在性，并且得到当λ充分大时，(2)不存在非平凡的径向对称解。

定义1：如果u(x)满足方程(2)并且，则称其为方程(2)的径向对称的解；如果进一步假设则称其为非平凡的，否则称为平凡的。

本文考虑是正的径向对称的位势且非线性项这种情形。很明显，此时g(u)在无穷远处不是渐近线性的、不是超线性的，也不是次线性的，但有。受[7] 和[8] 中方法的启发，本文的主要结论如下。

定理1：假设满足(V1)和(V2)且，那么对所有的方程(2)没有非平凡的径向对称解。

2. 预备知识

表示径向对称的Sobolev空间，其范数定义为：

.

上述范数与下列范数是等价的：

.

我们定义能量泛函，

其中。

类似于[7] 中性质2.3，我们可以得到下述引理。

引理1：假设满足(V1)和(V2)且，则能量泛函在中是连续可微的并且它的临界点u是(2)的弱解。此外，假设u是的一个临界点，则，即(2)的弱解也是它的经典解。

下面我们来回忆[7] 中一个重要不等式，我们在对主要定理的证明中会用到它。

引理2：如果，那么我们有

.

3. 定理1的证明

假设是(2)的一个解。由引理1，可将(2)式两边同时乘以u并且分部积分得：

因为，所以

(3)

由(3)和引理2，选取，我们有

因此，当时，。故当时，(2)没有非平凡的径向对称解。

致  谢

本文受江汉大学2014年度大学生创新训练项目资助，作者在此表示衷心感谢！

基金项目

江汉大学2014年度大学生创新训练项目2014yb189。

参考文献 (References)