Pure Mathematics
Vol.05 No.02(2015), Article ID:14956,4
pages
10.12677/PM.2015.52012
New Theorem for the Distributive Lattices
Youxue Xu
Zhanjiang TV University, Zhanjiang Guangdong
Email: 529568449@qq.com
Received: Mar. 5th, 2015; accepted: Mar. 14th, 2015; published: Mar. 19th, 2015
Copyright © 2015 by author and Hans Publishers Inc.
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ABSTRACT
This paper discusses the operational properties of generated ideals and generated dual ideals. Then an example is given to point out that the conclusion of a proposition on P10 reference [1] is wrong. Two equivalent conditions for the distributive lattices are given.
Keywords:Distributive Lattice, Generated Ideal, Generated Dual Ideal
分配格的新定理
徐幼学
湛江广播电视大学,广东 湛江
Email: 529568449@qq.com
收稿日期:2015年3月5日;录用日期:2015年3月14日;发布日期:2015年3月19日
摘 要
首先讨论了格的子集生成幻和生成对偶幻的运算性质。然后给出一个反例,指出[1] 中一定理有误,并由此获得分配格的两个等价条件。
关键词 :分配格,生成幻,生成对偶幻
1. 生成幻及生成对偶幻的运算性质
本文用表示集合的并(交),用表示格中元的并(交)。
定义1:若格L的子集X满足下述性质:
若,则
则X对于原来的、运算构成一个格,称之为L的子格,特别地,子格J闭于下时,即若,则,有时,称为L的幻,幻的对偶叫作对偶幻(即闭于上的子格)。
定义2:格L的子集X的生成幻和生成对偶幻分别定义为L的包含X的最小幻和最小对偶幻,并分别用和表示。
设X,Y是格L的子集,记
命题1:设L是格,X和Y是L的非空子集,那么
(1)是幻。
(2)。
(3)是对偶幻。
(4)。
证:仅证(3)、(4)两式,(1)、(2)是(3)、(4)的对偶
(3) 设,有,,使,由于,闭于上知,,,故,。
反之,设,则,,从而,。
往证是对偶幻,设则,。由,是子格易知,,故是子格。又设,,由,及,闭于上知,,,从而,故是对偶幻。
(4) 我们只要证:
(a) 设,则或,不妨设,则对任意,有。
由闭于上知,,从而,。
(b) 显然。
(c) 设,则有,,使,
故
(d) 设,有,或,
故
证毕。
命题2:设L是格,X,Y是L的非空子集,则:
(1)。
(2)。
且上述包含关系均可不取等号。
证:(1)显然,由命题1知是幻,故。
(2)是(1)的对偶。
例1:设为菱形格,如图1,令,则
,
故。
对偶地。
命题3:设L是含有o,I的格,X,Y是L的非空子集,则
(1)。
(2)。
且上述包含关系均可不取等号。
证:(1) 设,不妨设,因,故。。
(2)是(1)的对偶。
例2:设是四元格,如图2,令,,则
,
故。
对偶地,。
2. 分配格的两个等价条件
[1] 中P10指出:在格L中,由它的子集X,Y生成的幻的并(交),易知是由,所作全体生成的幻*。
注*:由X生成的幻以J(X)表之,乃是L的含(含于)J(X)及J(Y)的最小(最大)幻,易证:
(1)的含的最小幻。
(2)的含的最小幻。
我们指出:[1] 中就是本文中的,而(1)式右边=,命题1已证得(1)式成立。而[1] 中的就是本文中的,由命题1知,因此[1] 中的和本文定义的是一致的,但(2)式右边,于是(2)式为
Figure 1. Diamond lattice
图1. L菱形格
Figure 2. Four elements of lattice
图2. L四元格
这与例1是矛盾的。
我们注意到例1是一个非分配格的例子,对于分配格,我们有如下定理:
定理:格L是分配格的充要条件是
(3)
或
(4)
其中X,Y是格L的任意非空子集。
证:仅证(3)式,(4)是(3)的对偶。
必要性,设L是分配格,我们只要证
由命题1知,。设,则,。从而存在,,;。使,,于是
由闭于下知,,,即。
充分性,设在格L内(3)式恒成立,往证L是分配格,即对任意,要证
令,,则
比较与中最大元得
证毕。
基金项目
湛江市科技计划项目(编号:2013A01003)。
文章引用
徐幼学, (2015) 分配格的新定理
New Theorem for the Distributive Lattices. 理论数学,02,80-84. doi: 10.12677/PM.2015.52012
参考文献 (References)
- 1. 中山 正 (1964) 格论. 董克诚译. 上海科学技术出版社, 上海.