Pure Mathematics
Vol.06 No.03(2016), Article ID:17539,5 pages
10.12677/PM.2016.63027

On the Equitable Presentation for a Quantum Deformed Algebra

Jiaqi Chen, Lixia Ye*

Department of Mathematics, Zhejiang International Studies University, Hangzhou Zhejiang

Received: Apr. 27th, 2016; accepted: May 10th, 2016; published: May 13th, 2016

Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.

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ABSTRACT

Basing on the quantum group, we define a quantum deformed algebra in this paper. Moreover, we construct its equitable presentation.

Keywords:Quantum Deformed Algebra, Hopf Algebra, Equitable Presentation

一类量子形变代数的等价表示

陈佳琦,叶丽霞*

浙江外国语学院数学系,浙江 杭州

收稿日期:2016年4月27日;录用日期:2016年5月10日;发布日期:2016年5月13日

摘 要

对量子群进行推广,构造了一类量子形变代数,并对它的等价表示进行了研究。

关键词 :量子形变代数,Hopf代数,等价表示

1. 引言

Hopf代数和量子群在几何和物理学中有广泛应用,而有限维单李代数的量子包络代数是一类特殊的Hopf代数,是研究一般量子代数的基础。继文 [1] 对的等价表示进行研究之后,已有不少学者 [2] - [5] 对进行了推广。文 [2] 引进了量子代数,并对其一些相关理论进行了研究。2000年,王顶国等 [3] 研究了量子群的Hopf代数结构和有限维表示,并进一步得到量子群的有限维表示 [4] 。2008年,潘艳 [5] 对量子群的等价表示进行了研究。基于以上研究方法,可将量子包络代数再次推广,构造量子代数,并讨论其等价表示。

2.的定义及等价表示

为复数域,不是单位根,是一个正整数。文 [6] 对有限维半单李代数,定义了一类弱量子代数,并构造了其弱Hopf代数结构。当时,可类似地定义一类弱量子代数

定义1设是一个正整数,代数是由生成子生成,并满足以下关系式:

(1)

, (2)

, (3)

其中。 (4)

是一个正偶数时,是一个弱Hopf代数 [6] ,故在对应双代数结构下也构成一个弱Hopf代数。需要说明的是,当时,同构于。为了不失一般性,下文假设,即都不可逆。

类似于文 [6] 的定理2.2,由定义1易证得性质1成立。

性质1在代数中,都成立。

定义2代数是由生成的,且满足以下关系式:

, (5)

, (6)

,(7)

。 (8)

由定义2可得到以下性质2。

性质2 在代数中,,且都成立。

引理1 在代数中,如下关系式成立:

, (9)

。 (10)

证 由等式可得,等式两边同时左乘得,

如此继续可得,

由性质2可知,故

可得,等式两边同时左乘得,

如此继续可得,

则等式(9)得证。同理,由等式(8)可证等式(10)成立。

定理1,其中同构映射满足

的逆映射满足

证 先证明为代数同态映射,即要证保持定义中的关系式。

由性质2可知,由(7)可知,于是

同理可证

下证保持等式(4)成立,由(6)式得,由引理1得,故

因此的C-代数满同态。下证是互逆映射。

可知,

反之,由可知,

因此的同构映射,于是代数

定理1中的代数可称为的等价表示,其中的等价生成子。

基金项目

浙江省教育厅科研项目(Y201327644);高等学校访问学者专业发展项目(FX2014082)。

文章引用

陈佳琦,叶丽霞. 一类量子形变代数的等价表示
On the Equitable Presentation for a Quantum Deformed Algebra[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 177-181. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63027

参考文献 (References)

  1. 1. Ito, T., Terwilliger, P. and Weng, C.-W. (2006) The Quantum Algebra and Its Equitable Presentation. Journal of Algebra, 298, 284-301. http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2005.07.038

  2. 2. Smith, S.P. (1990) A Class of Algebras Similar to the Enveloping Algebra of sl(2). Transactions on AMS, 322, 285- 314.

  3. 3. Ji, Q.Z. and Wang, D.G. (2000) Finite-Dimensional Representations of Quantum Groups . East-West Math., 2, 201-213.

  4. 4. Wang, D.G. and Ji, Q.Z. (2002) Finite-Dimensional Representations of Quantum Group . Communications in Alge-bra, 30, 2191-2211.

  5. 5. 潘艳. 量子群 的等价实现[D]: [硕士学位论文]. 扬州: 扬州大学, 2008.

  6. 6. 叶丽霞, 吴志祥. 弱量子代数 的弱Hopf代数结构[J]. 高校应用数学学报, 2007, 22(3): 363-370.

  7. NOTES

    *通讯作者。

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