Modern Physics
Vol.08 No.03(2018), Article ID:25096,7 pages
10.12677/MP.2018.83016

The Orthogonality of 4-Vector Velocity and 4-Vector Force and Its Applications in Teaching

Huaiyang Cui

Department of Physics, Beihang University, Beijing

Received: May 3rd, 2018; accepted: May 21st, 2018; published: May 28th, 2018

ABSTRACT

According to the orthogonality of 4-vector velocity and 4-vector force, the Coulomb force between two charged particles is expressed in terms of relativistic 4-vectors, from which the relativistic Lorentz force is derived, and Maxwell equations are discussed in detail; it was pointed out that these derivations form a new method for analyzing the Maxwell equations. In the teaching of electromagnetics and electrodynamics, the orthogonality of 4-vector velocity and 4-vector force provides useful insights into the relationship of the relativity and the Maxwell equations.

Keywords:4-Vector Force, Orthogonality, Lorentz Force

四维速度与四维力的正交性 及其在教学中的应用

崔怀洋

北京航空航天大学物理系,北京

收稿日期:2018年5月3日;录用日期:2018年5月21日;发布日期:2018年5月28日

摘 要

根据四维速度与四维力的正交性,推导出了四维空间中库仑力的相对论表达式,由此推导出了相对论Lorentz力,并详细讨论它与Maxwell方程组的关系;本文指出这些推导形成了一种分析Maxwell方程组的新方法。在电磁学和电动力学教学中,如果从四维速度与四维力正交性出发,能够更好地理解相对论与Maxwell方程组之间的关系。

关键词 :四维力,正交性,Lorentz力

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1. 引言

在相对论中,一个粒子的四维速度u与它受到的四维力f之间具有正交性 [1]

f μ u μ = 0 (1)

这里下标 μ = 1 , 2 , 3 , 4 ,重复的下标代表求和(爱因斯坦求和约定)。这个正交性是由于四维速度的模 | u | 是一个常量所致,即

u μ u μ = c 2 or | u | = i c (2)

任何力都不能改变四维速度的模 | u | 而只能改变四维速度的方向 [2] [3] 。

一个粒子的四维速度u与它受到的四维力f正交,那么在电磁学和电动力学中这个粒子的经典速度矢量 v 与它受到的经典力 矢量是否会正交或垂直?那么,从相对论四维空间变换到我们比较熟悉的三维空间, ( u , f ) ( v , f ) ,力的方向是如何变换的呢?这些问题没有一个简单的答案,也没有文献专门讨论这个问题。所以,本文有必要详细讨论四维空间中力的方向问题。

2. 四维空间中力的方向

在相对论四维空间 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = i c t ) 中,考虑两个带电粒子q和 q ,它们之间的电磁相互作用四维力为f;这两个粒子的位置在x和 x ,它们的四维速度为u和 u ,用m代表粒子q的质量。显然,粒子q是在粒子 q 产生的电场 E 和磁场 B 中运动。如图1所示,注意,图中用欧几里得矢量垂直表示了四维空间 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = i c t ) 的矢量正交,以显示正交的直观性。

在四维力f在R和 u 构成的平面内,我们假定可以把四维力f的表达式写成

f = C R + D u (3)

R和 u 是我们选择的两个基矢,如图1所示,要求 R u = 0 是为了后面讨论的方便,并且定义 r = | R | 。C和D是相对于这两个基矢的展开系数。使用四维速度u与四维力f的正交性,我们有

u f = C ( u R ) + D ( u u ) = 0 (4)

消去系数C,方程(3)变成

f = D ( u R ) [ ( u u ) R + ( u R ) u ] (5)

这样,四维速度u与四维力f的正交性就决定了四维力f的方向。四维力f方向的单位矢量 f 0

Figure 1. The particle positions, the orthogonality of 4-vector velocity and 4-vector force in the four dimensional space-time

图1. 四维空间中的两个粒子的相对位置,四维速度与四维力正交(图中用“垂直”来代表“正交”)

f 0 = 1 c 2 r [ ( u u ) R + ( u R ) u ] (6)

设四维速度u与 u 之间的夹角为 α ,很容易验算如下:

f 0 = 1 c 2 r [ ( | u | | u | cosh α ) R + ( | u | | R | sinh α ) u ] (7)

f 0 f 0 = cosh 2 α + sinh 2 α = 1 (8)

知道了四维力f方向的单位矢量,那么这两个粒子之间的电磁相互作用的四维力f的一般表达式为

f = | f | f 0 = | f | 1 c 2 r [ ( u u ) R + ( u R ) u ] (9)

3. 四维空间中库仑力的方向

现在具体讨论这两个粒子之间的库仑力,假设库仑力的大小就是四维力f的模

| f | = k q q r 2 (10)

那么,四维空间中库仑力的表达式为

f = | f | f 0 = k q q c 2 r 3 [ ( u u ) R + ( u R ) u ] = q [ ( u k q u c 2 r 3 ) R + ( u k q R c 2 r 3 ) u ] (11)

f μ = q [ ( u ν k q u ν c 2 r 3 ) R μ + ( u ν k q R ν c 2 r 3 ) u μ ] (12)

利用电动力学中的一个常用公式

x μ ( 1 r ) = R μ r 3 (13)

方程(12)可以写成

(14)

根据电动力学中的常用书写格式,把方程(14)的四维库仑力f的公式整理成为

f μ = q F μ ν u ν ; F μ ν = A ν x μ A μ x ν ; A μ = k q u μ c 2 r (15)

这样我们就对四维库仑力f有了一个熟悉而又直观的认识:A是粒子 q 产生的四维电磁矢势;四维库仑力与相对论Lorentz力 f μ = q F μ ν u ν 在形式上保持一致;在四维空间中可以从库仑力推导出相对论的Lorentz力。

4. 四维空间中的Maxwell方程组

就这两个粒子而言,我们在选择基矢R的时候,要求 R u = 0 ,即它们正交,并且定义 r = | R | 。如图1所示,我们有

u μ R μ = 0 (16)

所以

A μ x μ = k q u μ c 2 x μ ( 1 r ) = k q u μ c 2 ( R μ r 3 ) = 0 (17)

我们知道,方程(17)就是Lorentz规范条件(Lorentz gauge condition)。而我们又知道数学公式

(18)

这样,我们就计算出

F μ ν x v = x ν A ν x μ x ν A μ x ν = x ν A μ x ν = k q u μ c 2 x ν x ν ( 1 r ) = k q u μ c 2 4 π δ ( r ) (19)

这里定义 J μ = q u μ δ ( r ) 作为粒子 q 的电流密度矢量,也就是说

F μ ν x ν = μ 0 J μ (20)

把方程(15)中的 F μ ν 代入下式,交换下标并求和,就得到

(21)

方程(20)和方程(21)构成了Maxwell方程组。

把上面讨论的两个粒子模型应用到连续介质中去。如图2所示,粒子q是在附近电路产生的电场 E 和磁场 B 中运动。作用在粒子q上的四维电磁矢势A包含电路中所有载流子的贡献,它们是线性叠加的,有

Figure 2. The electromagnetic 4-vector potential near a circuit where the Maxwell equations hold

图2. 一个电路在其附近产生四维电磁矢势,而Maxwell方程组仍然成立

A μ = i k q u i μ c 2 r i (22)

那么,在这个电路附近,使用方程(22),Maxwell方程组仍然成立

F μ ν x ν = μ 0 J μ (23)

F μ ν x λ + F ν λ x μ + F λ μ x ν = 0 (24)

在这一小节,我们证明了,四维速度u与四维力f的正交性与Maxwell方程组之间存在内在联系。可见,四维力方向涉及到电磁场理论的全局,在确定四维力方向的时候绝对不能出错。这是一种分析Maxwell方程组的新方法。

5. 教学应用:四维空间中的Lienard-Wiechert势

从Maxwell方程组我们知道,在图1中的两个粒子之间,电磁相互作用从粒子 q 传播到粒子q需要一个延迟时间 Δ t ,我们把两个粒子的模型重新画在图3中。

图3中,这个延迟时间 Δ t ,对应着从 u 与R相交点出发沿R方向到达q点的距离,图3中上边的那段虚线指示这段距离,这段距离通过下式计算出

r = c Δ t (25)

这个延迟时间 Δ t ,也对应着从 q 出发沿 u 方向到达与R相交之点的距离,图3中左边的那段虚线指示这段距离。把 ( x ν x ν ) 投影到 u 的模 | u | = i c 方向上(注意,这个模是虚数),通过下式计算出这段距离

i c Δ t = ( u i c ) ( x x ) = 1 i c u ν ( x ν x ν ) (26)

所以,把式(26)代入式(25),我们有

r = c Δ t = 1 c u ν ( x ν x ν ) (27)

A是粒子 q 产生的四维电磁矢势,从新写成

Figure 3. The particle positions in the four dimensional space-time

图3. 四维空间中的两个粒子的相对位置

A μ = k q u μ c 2 r = k q u μ c u ν ( x ν x ν ) (28)

这就Lienard-Wiechert势,它包含了延迟时间 Δ t (retardation time)。当初我们在选定基矢R的时候要求 R u = 0 ,显然是考虑到这里的延迟时间 Δ t 机制,说明我们选择的基矢是合理的和自洽的。

6. 教学应用:从四维空间变换到我们比较熟悉的三维空间

从相对论四维空间变换到我们比较熟悉的三维空间,力的方向是如何变换的呢?我们下面给出的变换步骤可以帮助看清这一点。

第一步,四维电磁矢势A要用电场E和磁场B表示。

F μ ν = [ 0 B 3 B 2 i E 1 B 3 0 B 1 i E 2 B 2 B 1 0 i E 3 i E 1 i E 2 i E 3 0 ] (29)

第二步,这样,力就可以写成Lorentz力的形式。

f = q E + q v × B ; f 4 = q E u (30)

四维力的第四分量表示电场对粒子q做功的功率。可见,一个粒子的四维速度u与它受到的四维力f正交,并不意味着在电磁学和电动力学中这个粒子的经典速度矢量v与它受到的经典力f矢量正交或垂直。但是四维速度与四维力的正交性具有丰富的内涵,这是本文讨论的重点。

第三步,Maxwell方程组,即方程(20)和方程(21),要用电场E和磁场B表示,参见教材 [1] [4] [5] 。这样,我们就从相对论四维空间变换到我们比较熟悉的三维空间,以及得到我们比较熟悉的经典电磁学Maxwell方程组 [1] [4] [5] :

× B = μ 0 ( ρ v + ε 0 E t ) , E = ρ ε 0 × E = B t , B = 0 (31)

总之,在电磁学和电动力学教学中,如果从四维速度与四维力正交性出发,能够更好地理解相对论与Maxwell方程组之间的关系。

7. 结论

本文详细讨论四维空间中力的方向问题。根据四维速度与四维力的正交性,推导出了四维空间中库仑力的相对论表达式,由此推导出了相对论Lorentz力,并详细讨论它与Maxwell方程组的关系;本文指出这些推导形成了一种分析Maxwell方程组的新方法。在电磁学和电动力学教学中,如果从四维速度与四维力正交性出发,能够更好地理解相对论与Maxwell方程组之间的关系。

文章引用

崔怀洋. 四维速度与四维力的正交性及其在教学中的应用
The Orthogonality of 4-Vector Velocity and 4-Vector Force and Its Applications in Teaching[J]. 现代物理, 2018, 08(03): 132-138. https://doi.org/10.12677/MP.2018.83016

参考文献

  1. 1. 阚仲元. 电功力学[M]. 人民教育出版社, 1979: 222.

  2. 2. 崔怀洋. 从陈子定理看相对论力学[J]. 物理与工程, 2005, 5(15): 9-11.

  3. 3. 崔怀洋. 相对论的质心运动定理与质量亏损[J], 大学物理, 2004, 23(11): 17-18.

  4. 4. 赵凯华. 电磁学, 下册[M]. 人民教育出版社, 1978: 350.

  5. 5. Harris, E.G. (1975) Introduction to Modern Theoretical Physics. John Wiley & Sons, 257.

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