中国石化胜利油田分公司石油工程技术研究院，山东 东营

收稿日期：2022年8月23日；录用日期：2022年9月20日；发布日期：2022年9月28日

摘要

孔洞是岩石等地质材料中典型的天然缺陷，对岩体承载力和裂纹扩展具有重要影响。通过实验和数值模拟研究了包含单个圆孔或多个不同直径圆孔的特制混凝土圆盘试样中的裂纹扩展过程。圆盘试样是由硅酸盐水泥、细砂和水混合制备而成。首先对含单孔圆盘试样的承载力进行了实测分析；接着对含单孔和多孔圆盘试样的裂纹扩展模式进行了实验研究，分析了裂纹的起裂及贯通过程，再现了孔洞缺陷对裂缝扩展模式的影响；最后，通过改进的高阶位移不连续方法进行含孔洞圆盘试样的劈裂过程数值模拟，进一步揭示了孔洞缺陷对应力集中和裂纹扩展的主导作用，数值结果与物理实验结果吻合较好。

关键词

含孔洞圆盘试样，实验研究，数值模拟，裂纹扩展

Experimental and Numerical Study on Fracture Propagation in Pre-Holed Disc Specimens (PHDS)

Bo Huang

Research Institute of Petroleum Engineering, Shengli Oil Field, SINOPEC, Dongying Shandong

Received: Aug. 23^rd, 2022; accepted: Sep. 20^th, 2022; published: Sep. 28^th, 2022

ABSTRACT

The hole is a typical natural defect in rock and other geological materials, which has an important influence on bearing capacity and crack propagation of rock mass. The crack propagation process in a special concrete disk specimen containing a single circular hole or several circular holes with different diameters is studied by experiments and numerical simulations. The disc sample is prepared by mixing portland cement, fine sand and water. Firstly, the bearing capacity of disk specimens with a single hole is measured and analyzed. Then, the crack propagation mode of single-hole and porous disk specimens is studied experimentally, the crack initiation and penetration process are analyzed, and the influence of hole defects on crack propagation mode is reproduced. Finally, the improved high-order displacement discontinuity method is used to simulate the splitting process of disk specimens with holes, which further reveals the leading role of hole defects in stress concentration and crack propagation. The numerical results are in good agreement with the physical experimental results.

Keywords:Pre-Holed Disc Specimens, Experimental Study, Numerical Simulation, Crack Propagation

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

天然岩石和混凝土中预先存在的裂缝和孔隙可能会降低其机械性能和强度 [1]。岩石和类岩石材料(混凝土)的力学行为受到缺陷和软夹杂物的微观力学行为的影响。研究各种岩石和类岩石样品的裂纹扩展过程是大多数地质力学项目的一项关键任务。因此，重要的是要清楚地了解在各种加载条件下预开裂的类岩石材料(或带有圆柱形孔的特制混凝土样品，这些孔会诱导一些预先存在的裂纹)中的裂纹扩展和裂纹聚结现象。更具体地说，预先存在的孔及其几何形状被认为是控制脆性材料强度非常重要的结构，由于孔周围的局部应力集中，可能会诱发一些拉伸裂纹并导致材料的脆性破坏 [2] [3]。

通过实验和数值模拟方法，对脆性岩石破坏的机制进行研究 [4] - [13]，确定测量岩石和类岩石材料抗拉强度最合适的实验之一是巴西圆盘试验。圆盘样本中心可能包含预先存在的裂纹或孔洞。样本含有裂纹或孔洞非常适合研究岩石等脆性固体的裂纹萌生、传播路径和裂纹聚结 [2] [3] [14] - [21]。该测试程序广泛应用于在压缩线载荷下的预开裂或预开孔和完整圆盘试样的断裂过程，以及对各种脆性材料(如岩石和混凝土)拉伸强度、断裂韧性和混合模式的测量 [22] - [31]。在巴西圆盘试样中，由于岩石和类岩石材料(混凝土)的抗拉强度低，试样的裂纹扩展和破坏过程发生速度极快。尽管包含预裂纹或孔洞的圆盘试样预计会分裂成两半，但相比于加载条件和试样尺寸，由于其内部的不连续性，可能会发生其他破裂模式。

考虑到在自然条件下或工程结构的设计和性能阶段可能发生不同状况 [19] - [31]，研究人员进行了各种实验、分析和数值工作，以研究岩石和混凝土等脆性固体的复杂行为。例如Al-Shayea [31] 通过实验，研究在混合模式I/II载荷下，具有不同裂纹倾角的脆性石灰石巴西圆盘(CSCBD)标本，中央笔直的裂纹传播路径；还研究了围压和温度对岩石样品裂纹起裂和扩展的影响，并将实验结果与裂纹起裂角的理论预测进行了比较。

Sammis和Ashby [4] 对包含相同尺寸的单个孔或不同直径的孔排列的板状试样进行了一组单轴压缩试验，以研究扩展裂纹与试样表面之间的相互作用。Mellor和Hawkes [14] 通过测试研究了径向压缩下环形试样的裂纹萌生和扩展行为，针对脆性材料中裂纹扩展的模拟已经开发了各种数值方法，例如有限元法(FEM)、边界元法(BEM)和离散元法(DEM) [32]。Tang和Hudson [12] 用数值方法，通过二维有限元代码(RFPA2D代码)对大量数值模拟进行建模，研究了包含具有不同尺寸的单个孔和具有不同直径和排列方式的孔试样裂纹扩展模式。

在经典断裂力学标准中：1) 最大切向应力(σ–准则) [33]，2) 最大能量释放率(G–准则) [34] 和3) 最小能量密度准则(S–准则) [35]，σ–准则已被更有效地用于研究脆性固体(如岩石和混凝土)的裂纹扩展过程。在某些情况下，这些标准的修改形式(例如，Shen和Stephansson [36] 提出的F标准(一种修改的能量释放率标准))也用于裂纹分析。目前已经开发了多种计算机代码，例如：FROCK代码 [8]、岩石破坏过程分析(RFPA2D)代码 [12] [32]、2D粒子流代码(PFC2D) [12] [13]，并用于模拟脆性材料的断裂机制。

在实验和数值上对包含单个厚圆柱孔或多孔的类岩石材料圆盘试样中的裂纹扩展机制进行研究。圆盘试样由硅酸盐水泥、细砂和水制成，并在岩石力学实验室的径向压缩测试设备中进行测试。测量了含有不同尺寸厚圆柱孔圆盘试样的断裂载荷和诱导侧向应力分布。通过试件和桥区(含多孔试件的两个孔之间的区域)，研究了裂纹的扩展和聚结机制。然后通过改进的高阶位移不连续方法对这些试样进行数值模拟，并基于线弹性断裂力学(LEFM)原理，通过计算试样内圆柱孔周围产生的拉伸裂纹模式I和模式II的应力强度因子(SIF)，研究裂纹的扩展与聚合。

比较实验和数值结果，二者获得的裂纹扩展和裂纹合并路径之间存在非常好的一致性，反过来验证了当前裂纹分析的准确性和适用性。因此，所提出的数值模拟在分析中具有必要的灵活性，以便可以很容易地对岩石和混凝土等脆性物质的断裂力学问题展开研究。

2. 含孔洞圆盘试样基本力学参数标定

在目前的研究中，一些圆盘试样是在岩石力学实验室中由类岩石材料(特别制备的混凝土)制成的。这些制备的圆盘标本包含不同尺寸的单孔或多个孔。然后，进行试样测试以获得断裂应力，并可视化预钻孔类岩石试样中的裂纹扩展和裂纹聚合路径。

2.1. 含孔洞圆盘状试样基本参数

该类岩石圆盘试样直径100 mm，厚度为30 mm，由C425硅酸盐水泥、细沙和水混合而成。这些类岩石(混凝土)试样的力学性能是在插入孔之前，通过对岩石力学实验室中的一些样本进行测试获得的。本分析中使用的重要力学性能有：抗压强度， ${\sigma }_c=28\text{MPa}$ ；杨氏模量， $E=15\text{GPa}$，巴西抗拉强度， ${\sigma }_t=3.81\text{MPa}$ ；泊松比， $v=0.21$。

预钻孔试样的几何形状和加载条件如图1所示。对含有不同内外半径比孔的类岩石试样进行环试验，即r/R = 0、0.12、0.17、0.2、0.3、0.37、0.47、0.65。这些圆柱形孔是通过在模具中插入一个薄钢环轴向创建的(在铸造试样之前)。在测试过程中，均匀施加单轴压应力 $\sigma$，加载速率恒定(0.5 MPa/s)。

图1. 含有单个圆柱孔的类岩石试件径向压缩示意图

2.2. 含孔洞圆盘状试样断裂载荷

通过对包含不同尺寸平行圆柱孔的圆盘试样断裂载荷分析，研究脆性材料的力学行为。图2描述了PHDS的归一化断裂载荷变化。预钻孔圆盘试样的破坏载荷由完整试样(无孔圆盘试样)的平均破坏载荷归一化获得。完整试样的平均破坏载荷约为18 KN。很明显，预钻孔的类岩石圆盘试样的强度低于无孔的试样(完整圆盘试样)。因此，带孔圆盘试样的归一化断裂载荷通常小于1，因为预先存在的孔可能会降低试样的最终强度(图2)。在预钻孔试样中，裂纹扩展过程不同阶段的断裂载荷在r/R = 0到0.7时减小。

图2. 岩石样试样的归一化破坏载荷与不同r/R比

2.3. 含孔洞圆盘状试样沿加载直径的应力分布

在加载直径与孔的交点处垂直于加载直径的临界拉伸应力可以表示为 [12]：

${\sigma }_x=-\omega \frac{F}{\pi RB}$ (1)

其中， ${\sigma }_x$ 是以MPa表示的初始横向(水平)应力分布，F是以牛顿为单位的失效压缩载荷，B是以mm为单位的圆盘厚度(长度)， $\omega$ 是无量纲系数，取决于试样几何形状和实验条件可定义为 [12]：

$\omega =\left[6+38{\left(r/R\right)}^2\right]/\pi$ (2)

从等式(1)中可以看出，诱导侧向应力 ${\sigma }_x$ 的分布受试件几何形状的影响，例如内半径 (r)、外半径(R)。在解析解中，圆盘的厚度(B)对于诱发侧向应力的分布至关重要。厚度值假定为30 mm，考虑到不同的r/R 比，测试环试样的 $\omega$ 变化如图3所示。如图所示， $\omega$ 随着r/R比的增加而单调增加。

图4描述了单环试样归一化侧向应力的变化。在这些试样中，预钻孔圆盘试样的侧向应力通过完整试样(不含孔的试样)的平均侧向应力进行归一化。完整试样的平均侧向应力约为7.29 MPa。因此，r/R = 0的归一化侧向应力大于其他r/R比率的归一化侧向应力。当r/R = 0到0.37时，裂纹扩展过程不同阶段的水平应力逐渐减小，但随着r/R = 0.47到0.65逐渐增加，如图4所示。

图3. 无量纲系数 $\omega$ 在不同内外半径比下的变化

图4. 不同内外半径比环形圆盘试样的归一化侧向应力

3. 含孔洞圆盘试样的裂纹扩展过程

岩石类圆盘试样的实验研究是在两种情况下完成的：1) 含有单个圆柱孔的试样；2) 含有多孔的试样。

3.1. 含单孔圆盘试样的裂纹扩展

通过实验研究不同r/R比的环形圆盘试样的裂纹萌生和裂纹扩展机理。研究发现，径向裂纹在内部孔周围萌生并扩展，裂纹开始延伸，产生翼形裂纹并继续在平行于最大压应力方向延伸(如图5(a)~(c)所示)。如图显示了单孔试样的断裂过程以及圆柱孔尺寸(即r/R = 0.12、0.17、0.2)对最终裂纹扩展过程的影响。在这些情况下，裂纹可以从内孔开始扩展，主要以拉伸裂纹的形式向加载方向扩展，最后在试样表面附近形成楔形，环形试样断裂成两半。

当内孔尺寸显著增加时，例如：对于图5(d)所示的情况(对于r/R = 0.3)，次生裂纹在一个边缘(左或右边缘)开始并水平向中心孔的表面延伸。在这种情况下，在内孔的壁上产生了两个以上的拉伸裂缝。最后，如图5(e)~(g)所示，即当r/R = 0.37、r/R = 0.47、r/R = 0.65时，中心孔的作用越来越占优势，对称裂纹在中心孔周围产生并向环壁延伸(即2个垂直裂缝和2个水平裂缝)。2条水平裂纹是由于中心孔(C点和D点)侧壁的应力集中(拉应力)而产生的，如图5(e)~(g)。

图5. 不同r/R比下径向压缩下单孔圆柱试样起裂模式实验测试：(a) r/R = 0.12, (b) r/R = 0.17, (c) r/ R = 0.2, (d) r/R = 0.3和(e) r/R = 0.37, (f) r/R = 0.47, (g) r/R = 0.65

3.2. 含多孔圆盘试样的裂纹扩展

考虑到在其中心部分具有多个平行圆柱孔的圆盘试样，实验表明裂纹扩展和裂纹合并现象可能同时发生，因为在测试过程中，多个预先存在的孔由于拉伸和/或剪切裂纹的扩展而结合，如图6所示。实验表明，拉伸裂纹是瞬间萌生的。桥梁区域(两个预先存在的孔之间的区域)拉伸裂缝的发展和合并可能是导致预钻孔的类岩石圆盘试样破坏的主要原因。图6(a)~(e)显示了本研究中进行的一些实验，其中包含多个圆柱形孔的类岩石试样在岩石力学实验室中径向压缩载荷下的测试。

图6. 多圆柱孔圆盘试样在径向压缩下的开裂模式实验测试

如图6(a)~(e)所示，这些孔以不同的图案排列，并从试样的顶部和底部径向压缩加载试样。可以观察到，对于图6(a)所示的情况(三个垂直排列的孔)，裂纹首先从孔区开始朝向下扩展，试样可能会因裂缝聚结而失效。对于图6(b)所示的情况(三个对角排列的孔)，裂纹仅从位于试样中心线的孔处向下方扩展，并且从位于外线的其他孔处可能不会发生扩展。对于图6(c)所示的情况((5个孔)排列均匀)，裂纹仅从位于试样中心线附近的孔向下方扩展，从孔中扩展的裂纹相互融合。同样在桥梁区域，位于压缩载荷外部其他远程孔可能不会发生扩展(孔大小与距离保持不变)。在有六个孔的试样中，裂纹从位于试样中心线左侧的中心孔表面起裂，然后裂纹在尖端相互合并(图6(d))，但对于图6(e)有四个孔，裂纹可能先从中心孔的左侧或右侧起裂，然后试样可能会在源自两个孔中的任何一个的裂纹扩展路径的方向上失效。

4. 含孔洞圆盘试裂纹扩展的数值模拟

间接边界元法的位移不连续性，在二维弹性体中沿每个边界元实现位移不连续性(一种基于位移不连续性的间接边界元法版本，称为高阶位移不连续性方法(HDDM)，它是一种特殊的，最初由Chen和Wong [37] 提出的双边界元法(DBEM)版本)用于模拟在压缩下的预钻孔圆盘试样 [38] - [43]。结果表明，高阶位移不连续方法给出了正常位移不连续(裂纹裂尖和孔洞附近的张开位移)和剪切位移不连续性(裂纹滑动位移)的准确结果。基于这些不连续性使用线性弹性断裂力学(LEFM)原理，可以应用脆性固体裂纹分析模式I和模式II的应力强度因子(SIF) [44]。当特殊裂纹尖端单元可用于解释类岩石材料的预钻孔圆盘试样中裂纹尖端和孔附近的应力和位移场的奇异性时，该方法非常准确。

4.1. 高阶位移不连续法的数值模拟

通过使用高阶位移不连续(DD)法来解决被视为弹性体的预孔圆盘试样(PHDS)，可以更准确地实现沿边界的位移不连续问题。

在PHDS的高阶位移不连续建模中，一个立方DD单元( $D_k\left(\epsilon \right)$ )被分成四个相等的子单元，每个子单元包含一个中心节点，节点DD对其进行数值评估。开口位移不连续点 $D_y$ 和滑动位移不连续点 $D_x$ 可以表示为 [41]：

$D_k\left(\epsilon \right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}{\prod }_i\left(\epsilon \right)D_k^i},k=x,y$ (3)

其中 $D_K^1$ (i.e. $D_x^1$ 和 $D_y^1$ ), $D_K^2$ (i.e. $D_x^2$ 和 $D_y^2$ ), $D_K^3$ (i.e. $D_x^3$ 和 $D_y^3$ )和 $D_K^4$ (i.e. $D_x^4$ 和 $D_y^4$ )是三次节点位移不连续点，

$\begin{array}{l}{\prod }_1\left(\epsilon \right)=-\left(3a_1^3-a_1^2\epsilon -3a_1{\epsilon }^2+{\epsilon }^3\right)/\left(48a_1^3\right)\\ {\prod }_2\left(\epsilon \right)=\left(9a_1^3-9a_1^2\epsilon -a_1{\epsilon }^2+{\epsilon }^3\right)/\left(16a_1^3\right)\\ {\prod }_3\left(\epsilon \right)=\left(9a_1^3+9a_1^2\epsilon -a_1{\epsilon }^2+{\epsilon }^3\right)/\left(16a_1^3\right)\\ {\prod }_4\left(\epsilon \right)=-\left(3a_1^3+a_1^2\epsilon -3a_1{\epsilon }^2-{\epsilon }^3\right)/\left(48a_1^3\right)\end{array}$ (4)

是使用 $a_1=a_2=a_3=a_4$ 的三次函数。一个立方体单元有4个节点，它们是它的四个子单元的中心，如图7所示。

图7. 高阶位移不连续性变化三次形函数

三次情况下的势函数 $f\left(x,y\right)$ 和 $g\left(x,y\right)$ 可以从以下位置找到：

$\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=\frac{-1}{4\pi \left(1-v\right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}{D}_x^i{F}_i\left(I_0,I_1,I_2\right)}\\ g\left(x,y\right)=\frac{-1}{4\pi \left(1-v\right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}{D}_y^i{F}_i\left(I_0,I_1,I_2\right)}\end{array}$ (5)

其中公共函数F_i，定义为

$F_i\left(I_0,I_1,I_2,I_3\right)={\displaystyle \int {\prod }_i}\left(\epsilon \right)\ln {\left[\left(x-\epsilon \right)+y^2\right]}^{\frac{1}{2}}\text{d}\epsilon ,i=1,2,3,4$ (6)

其中积分 $I_0,I_1,I_2,I_3$ 表示如下

$\begin{array}{l}{I}_0\left(x,y\right)={\displaystyle \int \ln {\left[{\left(x-\epsilon \right)}^2+y^2\right]}^{\frac{1}{2}}\text{d}\epsilon }\\ I_1\left(x,y\right)={\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}\epsilon \ln {\left[{\left(x-\epsilon \right)}^2+y^2\right]}^{\frac{1}{2}}\text{d}\epsilon }\\ I_2\left(x,y\right)={\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}{\epsilon }^2\ln {\left[{\left(x-\epsilon \right)}^2+y^2\right]}^{\frac{1}{2}}}\text{d}\epsilon \\ I_3\left(x,y\right)={\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}{\epsilon }^3\ln {\left[{\left(x-\epsilon \right)}^2+y^2\right]}^{\frac{1}{2}}\text{d}\epsilon }\end{array}$ (7)

由于孔附近应力和位移的奇异性可能会降低其精度，因此使用特殊的裂纹尖端单元来提高裂纹尖端附近DD的精度 [45]。如图8所示，三个节点的DD变化可以使用包含三个节点(或具有三个特殊裂纹尖端子单元)的特殊裂纹尖端单元来表示。

$D_k\left(\epsilon \right)=\left[{\Gamma }_{C1}\left(\epsilon \right)\right]D_k^1\left(a\right)+\left[{\Gamma }_{C2}\left(\epsilon \right)\right]D_k^2\left(a\right)+\left[{\Gamma }_{C3}\left(\epsilon \right)\right]D_k^3\left(a\right),k=x,y$ (8)

其中，裂纹尖端单元的长度为 $a_1=a_2=a_3$。因此，考虑具有三个相等子单元( $a_1=a_2=a_3$ )的裂纹尖端单元，可以得到形函数 ${\Gamma }_{C1},{\Gamma }_{C2}$ 和 ${\Gamma }_{C3}$ 为

$\begin{array}{l}{\Gamma }_{C1}\left(\epsilon \right)=\frac{15{\epsilon }^{\frac{1}{2}}}{8a_1^{\frac{1}{2}}}-\frac{{\epsilon }^{\frac{3}{2}}}{a_1^{\frac{3}{2}}}+\frac{{\epsilon }^{\frac{5}{2}}}{8a_1^{\frac{5}{2}}},\\ {\Gamma }_{C2}\left(\epsilon \right)=\frac{-5{\epsilon }^{\frac{1}{2}}}{8a_1{}_1^{\frac{1}{2}}}+\frac{3{\epsilon }^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{3}{a}_1^{\frac{3}{2}}}-\frac{{\epsilon }^{\frac{5}{2}}}{4\sqrt{3}{a}_1^{\frac{5}{2}}},\\ {\Gamma }_{C3}\left(\epsilon \right)=\frac{3{\epsilon }^{\frac{1}{2}}}{8\sqrt{5}{a}_1^{\frac{1}{2}}}-\frac{{\epsilon }^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{5}{a}_1^{\frac{3}{2}}}+\frac{{\delta }^{\frac{5}{2}}}{8\sqrt{5}{a}_1^{\frac{5}{2}}}\end{array}$ (9)

$F_C\left(x,y\right)=\frac{-1}{4\pi \left(1-v\right)}{\displaystyle {\int }_{-a}^a{D}_k\left(\epsilon \right)\ln {\left[{\left(x-\epsilon \right)}^2+y^2\right]}^{\frac{1}{2}}\text{d}\epsilon }$ (10)

在等式(10)中插入常见的位移不连续函数 $D_k\left(\epsilon \right)$ (等式(8))给出：

图8. 具有三个相等子单元的特殊裂纹尖端单元

$\begin{array}{c}{F}_C\left(x,y\right)=\frac{-1}{4\pi \left(1-v\right)}\{\left[{\displaystyle {\int }_{-a}^a{\Gamma }_{C1}\left(\epsilon \right)\ln {\left[{\left(x-\epsilon \right)}^2+y^2\right]}^{\frac{1}{2}}\text{d}\epsilon }\right]D_k^1\\ +\left[{\displaystyle {\int }_{-a}^a{\Gamma }_{C2}\left(\epsilon \right)\ln {\left[{\left(x-\epsilon \right)}^2+y^2\right]}^{\frac{1}{2}}\text{d}\epsilon }\right]D_k^2\\ +\left[{\displaystyle {\int }_{-a}^a{\Gamma }_{C3}\left(\epsilon \right)\ln {\left[{\left(x-\epsilon \right)}^2+y^2\right]}^{\frac{1}{2}}\text{d}\epsilon }\right]D_k^3\}\end{array}$ (11)

在等式(11)中插入形状函数 ${\Gamma }_{C1}\left(\epsilon \right),{\Gamma }_{C2}\left(\epsilon \right)$ 和 ${\Gamma }_{C3}\left(\epsilon \right)$ 经过一些操作和重新排列后，推导出以下三个特殊积分：

$\begin{array}{l}{I}_C{}_1\left(x,y\right)={\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}{\epsilon }^{\frac{1}{2}}}\ln {\left[{\left(x-\epsilon \right)}^2+y^2\right]}^{\frac{1}{2}}\text{d}\epsilon ,\\ I_C{}_2\left(x,y\right)={\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}{\epsilon }^{\frac{3}{2}}}\ln {\left[{\left(x-\epsilon \right)}^2+y^2\right]}^{\frac{1}{2}}\text{d}\epsilon ,\\ I_C{}_3\left(x,y\right)={\displaystyle \underset{-a}{\overset{a}{\int }}{\epsilon }^{\frac{5}{2}}}\ln {\left[{\left(x-\epsilon \right)}^2+y^2\right]}^{\frac{1}{2}}\text{d}\epsilon \end{array}$ (12)

基于线性弹性断裂力学(LEFM)原理，模式I和模式II应力强度因子 $K_I$ 和 $K_{II}$ (以Mpa m^1/2表示)可以根据孔附近的最后一个特殊裂纹尖端单元获得的法向和剪切位移不连续性表示为 [46] [47]：

$K_I=\frac{\mu }{4\left(1-v\right)}{\left(\frac{2\pi }{a_1}\right)}^{\frac{1}{2}}{D}_y\left(a_1\right)$ 和 $K_{II}=\frac{\mu }{4\left(1-v\right)}{\left(\frac{2\pi }{a_1}\right)}^{\frac{1}{2}}{D}_x\left(a_1\right)$ (13)

其中 $\mu$ 是剪切模量，v是脆性材料的泊松比。

4.2. 裂纹扩展过程的数值模拟

将改进的高阶位移不连续方法应用于岩石类脆性材料(如岩石和混凝土)中的裂纹扩展和裂纹合并的数值研究，并将这些结果与图5(a)~(g)和图6(a)~(e)实验观察到的相应结果进行比较。

包含单个圆柱形孔的圆柱形试样(已在图5(a)~(g)中显示)通过所提出的高阶位移不连续方法进行数值模拟，裂纹扩展路径如图9(a)~(e)。包含多圆柱孔的五个不同试样(已显示在图6(a)~(e)中)也通过所提出的数值方法进行了模拟，结果如图10(a)~(e)。在目前的数值模拟中，Irwin (1957)提出的模式I和模式II应力强度因子(SIF)基于LEFM方法 [44]。使用Erdogan和Sih [33] 在逐步过程中给出的最大切向应力准则提供边界单元代码，以便估计径向裂纹的扩展路径 [41] [42]。这些模拟的传播路径与相应的实验结果(已在图5和图6中解释)非常一致，并在图9和图10进行比较。

图9. 径向压缩下圆柱试件(带轴向孔)裂纹扩展路径

图10. 径向压缩下多孔的圆柱形圆盘试样裂纹扩展路径和裂纹融合模拟

5. 讨论

在本研究中，已经通过实验和数值模拟研究了类岩石材料(即一种细粒混凝土)的预钻孔圆盘试样(PHDS)中的裂纹扩展路径和裂纹聚结。本研究给出的实验和数值结果相互吻合，且通过与文献 [12] 中已经引用结果的讨论将进一步提高本研究的有效性和准确性。

Tang和Hudson [12] 已经在数值上(使用有限元代码)给出了图1中考虑直径为150 mm的类岩石样本，其中包含一个圆柱形孔(即环状类岩石样本)的径向压缩加载问题的解决方案，Tang和Hudson [12] 通过RFPA^2D代码(二维有限元素代码)对不同r/R比(r/R = 0.1, 0.3, 0.5)的环形试样的裂纹扩展模式进行了数值研究。表1显示了在其模拟中使用的岩石试样的力学性能。

表1. 岩石试样的力学性能 [12]

图11展示了Tang和Hudson [12] 使用RFPA^2D模拟具有不同r/R，r/R = 0.1, 0.3, 0.5的预钻孔试样中裂纹扩展模式的数值结果。

图11. RFPA^2D模拟具有不同r/R比预钻孔试样裂纹扩展路径 [12]

在这项研究中，使用所提出的间接边界元方法对相同的问题进行了数值求解。预钻孔圆盘试样边界元模拟得到的数值结果如图12所示。相比于图11，图12中所示的裂纹扩展路径与图11中Tang和Hudson [12]

图12. 预钻孔圆盘试样裂纹扩展过程的边界元模拟(基于表1给出的力学性能)

给出的数值结果非常一致。因此，比较图11和图12中显示的结果清楚地证明了本研究的准确性，以及提出的边界元结果的有效性。边界元法本质上减少了问题维度，或者减小了网格尺寸，使问题的离散化更简单、更快，从而大大减少了计算时间。需要注意的是，在当前问题的数值分析中使用了不同的裂纹扩展增量(步长)。

6. 结论

近年来，地质材料(岩石和混凝土)等脆性固体中的裂纹扩展和裂纹聚结问题引起了广泛关注。因此，可以进一步研究岩石和类岩石材料在径向压缩下的裂纹扩展、裂纹聚结。本研究首先解释了不同尺寸的单个圆柱形孔圆盘试样中断裂载荷的影响；然后研究了初始侧向应力的分布；最后，还对一些类岩石材料的预钻孔圆盘试样(PHDS)在径向载荷下进行了测试，并使用间接边界元法高阶位移不连续性，将实验结果与通过计算得到的数值模拟结果进行了比较。

研究表明，桥区裂纹聚结现象在脆性物质中的裂纹扩展机制主要是由中心孔表面产生的拉伸径向裂纹扩展而发生的。根据实验测试所提出的间接边界元进行数值模拟得到的结果与相应的实验结果吻合较好。实验和数值模拟都说明了类岩石材料(一种细粒混凝土)试样中预先存在的多孔的聚结现象会产生拉伸裂纹并形成扩展路径。

根据目前的分析，可以得出结论，裂纹可能在孔表面附近径向起裂，应力集中可以释放，最后试样中的应力可以重新分布以达到新的平衡状态。预钻孔圆盘试样的最终断裂是由于径向诱导的拉伸裂纹的延伸扩展，该裂纹从中心孔的表面开始并朝着径向载荷方向和/或垂直于它的方向扩展(对于有更大孔试样的情况)。对于具有多个孔的试件，在径向压缩载荷作用下的断裂过程中可能同时发生裂纹扩展和裂纹合并。

文章引用

黄 波. 含孔洞圆盘试样裂纹扩展规律的物模和数模分析
Experimental and Numerical Study on Fracture Propagation in Pre-Holed Disc Specimens (PHDS)[J]. 材料科学, 2022, 12(09): 898-911. https://doi.org/10.12677/MS.2022.129101

参考文献