ABSTRACT

In this paper, based on intuitionistic fuzzy numbers, the non-subordinate degree and hesitation degree are used to describe the fuzzy uncertainty of things. The uncertain yield, risk value and turnover rate of fuzzy portfolios are represented by intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers. According to the expectation value definition of intuitionistic trapezoidal fuzzy number, the fuzzy uncertain return rate, risk value and turnover rate are defuzzified. Based on the idea of Yager entropy to spread risk, an intuitive trapezoidal fuzzy number portfolio model based on Yager entropy is established. Finally, an example is given to illustrate the validity of the model.

Keywords:Fuzzy Uncertainty, Intuitionistic Fuzzy Number, Yager Entropy, Fuzzy Portfolio

基于Yager熵的直觉梯形模糊数投资组合模型及实证

孙坤杰

广西大学，数学与信息科学学院，广西 南宁

收稿日期：2019年5月10日；录用日期：2019年5月23日；发布日期：2019年5月30日

摘 要

本文基于直觉模糊数采用非隶属度和犹豫度刻画事物的模糊不确定性，对模糊投资组合的不确定收益率、风险值、换手率等均用直觉梯形模糊数来表示，并根据直觉梯形模糊数的期望值定义，对模糊不确定收益率、风险值、换手率进行去模糊化，利用Yager熵分散风险的思想，建立基于Yager熵的直觉梯形模糊数投资组合模型。最后，通过实例分析说明模型的有效性。

关键词 :模糊不确定性，直觉模糊数，Yager熵，模糊投资组合

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1. 引言

模糊集概念考虑隶属度这一个参数来刻画事物的模糊不确定性。1986年，Atanassov [1] 给出直觉模糊集的概念，对模糊集进行扩充与延伸，增加非隶属函数和犹豫度函数新的属性参数，更灵活的反映模糊客观实际。后来很多专家对直觉模糊环境下的决策问题进行了大量研究。Li等 [2] 构造线性规划模型给出了基于直觉模糊集的多准则决策问题的解决方法。Shu等 [3] 给出了直觉三角模糊数的定义，并将其对故障树分析进行应用。万树平和董九英 [4] 对直觉梯形模糊数的期望值进行了定义，专家的评价信息利用直觉梯形模糊数来表达，为多属性决策问题提供了一种新的方法。在投资组合中，分散风险也是投资者关心的一个问题。周荣喜等 [5] 引入Yager熵对资金分配进行约束达到分散风险的目的，考虑三角模糊数，建立基于模糊熵–Yager熵的三角模糊投资组合模型。本文基于直觉梯形模糊数的隶属、非隶属、犹豫度函数围成区域的横坐标定义的期望值，对证券的不确定收益率、风险值、换手率进行去模糊化，利用Yager熵分散风险的思想，建立基于Yager熵的直觉梯形模糊数投资组合模型，最后运用Lingo软件进行求解。

2. 直觉梯形模糊数和熵的相关知识

2.1. 直觉梯形模糊数及相关定义

定义2.1 [6] ：设有一非空集合 $X$，称 $\tilde{B}=\left\{\langle x,u\left(x\right)\rangle |x\in X\right\}$ 为模糊集，其中 $u\left(x\right)$ 是 $\tilde{B}$ 的隶属函数， $u:X\to \left[0,1\right],x\mapsto u\left(x\right)$，$u\left(x\right)$ 表示 $X$ 中元素 $x$ 属于 $\tilde{B}$ 的隶属度。

定义2.2 [1] ：设 $X$ 是一个集合，且 $X\ne \varphi$，则称 $\tilde{A}=\left\{\langle x,u\left(x\right),v\left(x\right)\rangle |x\in X\right\}$ 为 $X$ 上的直觉模糊集，其中 $u\left(x\right),v\left(x\right)\left(0\le u\left(x\right)\le 1,0\le v\left(x\right)\le 1\right)$ 分别为 $X$ 中的元素 $x$ 属于 $\tilde{A}$ 的隶属度和非隶属度，记 $\text{π}\left(x\right)=1-u\left(x\right)-v\left(x\right),\left(0\le \text{π}\left(x\right)\le 1\right)$ 为 $x$ 属于 $\tilde{A}$ 的犹豫度或不确定度。

定义2.3 [7] ：设 $\tilde{R}$ 是一直觉梯形模糊数，且 $\tilde{R}\in R$，其隶属函数为

$u\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{x-a}{b-a}u,a\le x<b\\ u,b\le x<c\\ \frac{d-x}{d-c}u,c\le x<d\\ 0,其他\end{array}$

非隶属函数为

$v\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{b-x+v\left(x-a_1\right)}{b-a_1},a_1\le x<b\\ v,b\le x<c\\ \frac{x-c+v\left(d_1-x\right)}{d_1-c},c\le x<d_1\\ 0,其他\end{array}$

记 $\tilde{R}=\langle \left(\left[a,b,c,d\right];u\right),\left(\left[a_1,b,c,d_1\right);v\right)\rangle$ 为直觉梯形模糊数，其中 $0\le u\le 1,0\le v\le 1$，$0\le u+v\le 1,a,b,c,d,a_1,d_1\in R$。

相对于梯形模糊数，直觉梯形模糊数增加了非隶属度函数和犹豫度函数。其中，非隶属函数表示元素 $x$ 不属于 $\left[a_1,b,c,d_1\right]$ 的程度，犹豫度函数表示不确定元素 $x$ 是否属于 $\left[a,b,c,d\right]$ 的程度。当 $b=c$ 时，直觉梯形模糊数就退化为直觉三角模糊数。一般地，在直觉梯形模糊数 $\tilde{R}$ 中如果有 $\left[a,b,c,d\right]=\left[a_1,b,c,d_1\right]$，则记 $\tilde{R}=\left(\left[a,b,c,d\right];u,v\right)$。以下无特殊说明均为此类直觉梯形模糊数。

2.2. 直觉梯形模糊数期望值和决策指标标准化

定义2.4 [4] ：设直觉梯形模糊数 $\tilde{R}=\left(\left[a,b,c,d\right];u,v\right)$ 的隶属、非隶属、犹豫度函数所包含的区域重心坐标为 $P_1\left(x_l,y_l\right),P_2\left(x_f,y_f\right),P_3\left(x_d,y_d\right)$，则 $\tilde{R}$ 的期望值 $E\left(\tilde{R}\right)$ 为

$E\left(\tilde{R}\right)=\left(x_l+x_f+x_d\right)/3$ (1)

利用数学分析微积分知识二重积分 [8] 密度分布为 $\rho \left(x,y\right)$ 的平面薄板D的质心坐标是

$\bar{x}=\frac{{\displaystyle \underset{D}{\iint }x\rho \left(x,y\right)\text{d}\sigma }}{{\displaystyle \underset{D}{\iint }\rho \left(x,y\right)\text{d}\sigma }},\bar{y}=\frac{{\displaystyle \underset{D}{\iint }y\rho \left(x,y\right)\text{d}\sigma }}{{\displaystyle \underset{D}{\iint }\rho \left(x,y\right)\text{d}\sigma }}$

当平面薄板D的密度均匀时，即 $\rho$ 是常数时，则有

$\bar{x}=\frac{1}{\Delta D}{\displaystyle \underset{D}{\iint }x}\text{d}\sigma ,\bar{y}=\frac{1}{\Delta D}{\displaystyle \underset{D}{\iint }y}\text{d}\sigma$

这里 $\Delta D$ 为平面薄板D的面积。

隶属函数重心横坐标：

$\begin{array}{c}{x}_l=\frac{1}{\Delta D}{\displaystyle \underset{D}{\iint }x\text{d}\sigma }=\frac{1}{\Delta D}{\displaystyle {\int }_0^u\text{d}u\left(x\right)}{\displaystyle {\int }_{\frac{\left(b-a\right)}{u}u\left(x\right)+a}^{d-\frac{\left(d-c\right)}{u}u\left(x\right)}x\text{d}x}=\frac{1}{\Delta D}{\displaystyle {\int }_0^u\text{d}u\left(x\right)}\left({\frac{1}{2}{x}^2|}_{\frac{\left(b-a\right)}{u}u\left(x\right)+a}^{d-\frac{\left(d-c\right)}{u}u\left(x\right)}\right)\\ =\frac{1}{2\Delta D}{\displaystyle {\int }_0^u\left(d-a-\frac{\left(d-c+b-a\right)u\left(x\right)}{u}\right)}\left(d+a+\frac{\left(b-a-d+c\right)u\left(x\right)}{u}\right)\text{d}u\left(x\right)\\ =\frac{1}{2\Delta D}[{\left(d^2-a^2\right)u\left(x\right)|}_0^u+\frac{1}{2}{u}^2\left(x\right){\frac{\left(d-a\right)\left(b-a-d+c\right)}{u}|}_0^u\\ -\frac{1}{2}{u}^2\left(x\right){\frac{\left(d+a\right)\left(d-c+b-a\right)}{u}|}_0^u-{\frac{u^3\left(x\right)}{3u^2}\left(d-c+b-a\right)\left(b-a-d+c\right)|}_0^u]\\ =\frac{1}{2\Delta D}\left[\left(d^2-a^2\right)u+\left(dc+a^2-d^2-ab\right)u-\frac{1}{3}u\left(a^2+b^2-c^2-d^2+2dc-2ab\right)\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{1}{u\left(c+d-b-a\right)}\left(\frac{1}{3}{c}^2+\frac{1}{3}{d}^2-\frac{1}{3}{a}^2-\frac{1}{3}{b}^2+\frac{1}{3}dc-\frac{1}{3}ab\right)u\\ =\frac{c^2+d^2-a^2-b^2+dc-ab}{3\left(c+d-b-a\right)}\end{array}$ (2)

同理可以计算得出，非隶属函数重心横坐标：

$x_f=\frac{-v\left(a^2+b^2+ab-c^2-d^2-dc\right)-2a^2+b^2+ab-c^2+2d^2-cd}{3v\left(c+d-a-b\right)+3\left(b+d-a-c\right)}$ (3)

犹豫度函数重心横坐标：

$x_d=\frac{c^2+d^2-a^2-b^2+dc-ab}{3\left(c+d-b-a\right)}$ (4)

指标体系中各指标有不同量纲，这就给综合评价带来很多不便，将不同量纲的指标，通过适当变换，化为无量纲的标准化指标，就是决策指标的标准化 [9] 。决策指标根据指标变化方向分为效益型指标(正向)和成本型指标(逆向)，效益型指标越大越优，成本型指标越小越优。对于多属性群决策问题来说，比较常见的属性类型有效益型和成本型两种类型。物理量纲不同对决策结果会有一定的影响，为了消除这一因素的影响，利用极差变换法对其进行标准化处理 [9] ：

对于效益型准则：

$y_{ij}=\frac{x_{ij}-\underset{1\le i\le m}{\min }{x}_{ij}}{\underset{1\le i\le m}{\max }{x}_{ij}-\underset{1\le i\le m}{\min }{x}_{ij}}\left(1\le i\le m,1\le j\le n\right)$ (5)

对于成本型准则：

$y_{ij}=\frac{\underset{1\le i\le m}{\max }{x}_{ij}-x_{ij}}{\underset{1\le i\le m}{\max }{x}_{ij}-\underset{1\le i\le m}{\min }{x}_{ij}}\left(1\le i\le m,1\le j\le n\right)$ (6)

通过对成本型指标进行标准化处理，把极小型指标变成极大型指标，越大越好。

2.3. 熵的相关概念

1995年，Yager [10] 引入加权平均算子(OWA)的概念，并由OWA算子推导出熵的度量。Yager定义加权平均算子为： $F:R^n\to R$ 且加权向量为

$W=\left[\begin{array}{l}{\omega }_1\\ {\omega }_2\\ ⋮\\ {\omega }_n\end{array}\right]$

其中， $0\le {\omega }_i\le 1,{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_i}=1$，而

$F\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)={\displaystyle \underset{i}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_i}{b}_i$ (7)

其中， $b_i$ 代表 $a_i$ 中第 $i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 大的值。

OWA算子有以下几个性质：

1) 当 ${\omega }_1=1$ 时， $F\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)=\underset{i}{\max }\left[a_i\right]$。

2) 当 ${\omega }_n=1$ 时， $F\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)=\underset{i}{\min }\left[a_i\right]$。

3) 当 $a_i=a$ 时， $F\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)=a$。

这也是OWA算子的幂等性。

扩展OWA算子概念：

${\omega }_i=g_i\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)$

加入BADD-OWA权重 ${\omega }_i=\frac{b_i^{\alpha }}{{\displaystyle {\sum }_i{b}_i^{\alpha }}},\alpha \ge 1$，将BADD-OWA权重代入公式(7)得

$F\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{b}_i^{\alpha +1}}}{{\displaystyle {\sum }_i{b}_i^{\alpha }}}=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{a}_i^{\alpha +1}}}{{\displaystyle {\sum }_i{a}_i^{\alpha }}},\alpha \ge 1$ (8)

假设 $a_i$ 是概率分布P的元素，且 $a_i=P_i,{\displaystyle \sum P_i}=1,0\le P_i\le 1$，则

$F_{\alpha }\left(P\right)=F_{\alpha }\left(P_1,P_2,\cdots ,P_n\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{P}_i^{\alpha +1}}}{{\displaystyle {\sum }_i{P}_i^{\alpha }}},\alpha \ge 1$ (9)

i) 当 $\alpha =1$ 时， $F_1\left(P\right)={\displaystyle \sum P_i^2}$ (10)

ii) 当 $\alpha \to \infty$ 时， $F_{\infty }\left(P\right)=\underset{i}{\max }\left[P_i\right]$ (11)

因为 $F_{\alpha }\left(P\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{P}_i^{\alpha +1}}}{{\displaystyle {\sum }_i{P}_i{}^{\alpha }}}=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\left(P_i/P^{*}\right)}^{\alpha }{P}_i}}{{\displaystyle {\sum }_i{\left(P_i/P^{*}\right)}^{\alpha }}}$，其中， $P^{*}=\underset{i}{\text{max}}{P}_i,P_i<P^{*},{\left(P_i/P^{*}\right)}^{\alpha }=1$，

所以 $F_{\alpha }\left(P\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i.s.t}{P}_i=P^{*}}}{{\displaystyle {\sum }_{i.s.t.\left(1\right),}{P}_i=P^{*}}}\left(P_i\right)=P^{*}=\underset{i}{\max }{P}_i$。

当 $P_i=\frac{1}{n}$ 时，代入公式(9)，得 $F_{\alpha }\left(P\right)=\frac{{{\displaystyle {\sum }_i\left(P_i\right)}}^{\alpha +1}}{{{\displaystyle {\sum }_i\left(P_i\right)}}^{\alpha }}=\frac{1}{n}$。

利用拉格朗日乘数法，可以知道当 $P_i=\frac{1}{n}$ 时， $F_{\alpha }\left(P\right)$ 取得最小值。

由BADD-OWA的性质得到熵的度量公式：

$H_{\alpha }\left(P\right)=1-F_{\alpha }\left(P\right)$ (12)

① 当 $\alpha =1$ 时，代入公式(12)和(10)，得 $H_1\left(P\right)=1-{\displaystyle \underset{i}{\sum }{P}_i^2}$，也即 $H_1\left(P\right)=1-{\displaystyle \sum P_i^2}={\displaystyle \sum P_i}\left(1-P_i\right)$。

② 当 $\alpha =\infty$ 时，代入公式(12)和(11)，得 $H_{\infty }\left(P\right)=1-\underset{i}{\max }\left[P_i\right]$，也即 $H_{\infty }\left(P\right)=1-\underset{i}{\max }\left[P_i\right]=\underset{i}{\min }\left[{\bar{P}}_i\right]$。

考虑一个函数 $Q\left(P\right)$，它度量概率分布 $P$ 在 $n$ 维空间中与向量 $\left[1/n\right]$ 的距离。在某种意义上，这个距离可以被看作是与概率分布相关的确定性的度量。将 $Q\left(P\right)$ 作为负熵的度量。

首先假设使用欧几里得度量熵：

$Q\left(P\right)=D\left(P,\left[\frac{1}{n}\right]\right)={\left({{\displaystyle \underset{i}{\sum }\left(p_i-\frac{1}{n}\right)}}^2\right)}^{1/2}$

考虑

$R\left(P\right)={\displaystyle \underset{i}{\sum }{\left(p_i-\frac{1}{n}\right)}^2}={\displaystyle \underset{i}{\sum }\left(p_i^2-\frac{2}{n}{p}_i+\frac{1}{n^2}\right)}={\displaystyle \underset{i}{\sum }{p}_i^2-\frac{2}{n}{\displaystyle \underset{i}{\sum }{p}_i}+\frac{1}{n}}$

其中 ${\displaystyle \sum P_i=1},P_i\ge 0$，所以 $R\left(P\right)={\displaystyle \underset{i}{\sum }{p}_i^2-\frac{2}{n}+\frac{1}{n}}={\displaystyle \sum p_i^2}-\frac{1}{n}$。

当 $P=\left[I\right]$ 时， $R\left(\left[I\right]\right)=1-\frac{1}{n}$，构建熵的度量：

$H\left(P\right)=R\left(\left[I\right]\right)-R\left(P\right)=\left(1-\frac{1}{n}\right)-\left({\displaystyle \sum p_i^2}-\frac{1}{n}\right)=1-{\displaystyle \underset{i}{\sum }{p}_i^2}.$

更一般地，考虑Minkowski距离：

$D\left(A,B\right)={\left({\displaystyle \underset{i}{\sum }{\left(a_i-b_i\right)}^z}\right)}^{1/z},z\ge 1$

负熵度量：

$Q\left(P\right)=D\left(P,\left[\frac{1}{n}\right]\right)={\left({{\displaystyle \underset{i}{\sum }\left|p_i-\frac{1}{n}\right|}}^z\right)}^{1/z}$

$Q\left(\left[I\right]\right)={\left({\left(\frac{n-1}{n}\right)}^z+\left(n-1\right){\left(\frac{1}{n}\right)}^z\right)}^{1/z}$

Yager熵的定义：

$H\left(P\right)=Q\left(I\right)-Q(P)$

第一种情况：

当 $z=1$ 时， $Q\left(P\right)={\displaystyle \sum \left|p_i-\frac{1}{n}\right|,Q\left(I\right)=2\frac{\left(n-1\right)}{n}}$，所以 $H\left(P\right)=2\frac{\left(n-1\right)}{n}-{\displaystyle \sum \left|p_i-\frac{1}{n}\right|}$。

第二种情况：

当 $\alpha \to \infty$ 时， $Q\left(P\right)=\underset{i}{\max }\left[\left(p_i-\frac{1}{n}\right)\right]=\underset{i}{\max }\left[P_i\right]-\frac{1}{n},Q\left(I\right)=1-\frac{1}{n}$，$H\left(P\right)=Q\left(I\right)-Q\left(P\right)=1-\underset{i}{\max }\left[P_i\right]$。

根据最大熵原理，当且仅当 ${\omega }_i=1/n,i=1,2,\cdots ,n$ 时，Yager熵取得最大。各投资组合的投资比例比较分散，没有集中在一支股票上，可以降低风险，所谓不把所有的鸡蛋放到同一个篮子里就是这个意思。

2009年，Wu等 [11] 给出了基于Yager熵的线性规划组合模型，对Yager熵的应用进一步拓宽了，其模型形式为：

$\begin{array}{cc}\min & {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(e_i^{+}+e_i^{-}\right)}\\ \text{s}\text{.t}\text{.}& {\omega }_i-\frac{1}{n}-e_i^{+}+e_i^{-}=0,e_i^{+}\ge 0,e_i^{-}\ge 0\\ & {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_i}=1,i=1,2,\cdots ,n,{\omega }_i\in \left[0,1\right]\end{array}$ (13)

其中 $e_i^{+}$ 和 $e_i^{-}$ 分别为 $1/n$ 的正负偏差变量，目标函数是使正负偏差变量和最小，正负偏差变量和的大小代表着对资金分配分散程度大小的约束。

3. 基于Yager熵的直觉梯形模糊数投资组合模型

证券的收益、风险、换手率往往都是一个不确定的随时变化的量都是模糊变量，考虑用直觉梯形模糊数刻画证券的收益、风险、换手率，将收益、风险、换手率作为评价指标，这其实是一个求收益、风险、换手率3个准则下最优投资组合的多属性决策问题。

考虑Yager熵约束投资比例，使得资金投资比较分散，降低集中投资在一支股票上的风险，综合考虑直觉梯形模糊数和Yager熵，将两者结合起来，建立基于Yager熵的直觉梯形模糊数投资组合模型。

假设投资者计划将资产分配在 $n$ 个风险资产之间，其投资资产的投资比例为

$x=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right),$

其中 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i}=1,x_i$ 表示投资资产 $i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 的投资分配比例。对于直觉梯形模糊数多属性决策问题，此时有3个决策准则证券的收益率 $f_1$、证券的风险值 $f_2$、证券的流动性 $f_3$，将这3个决策准则作为评价指标，各指标均用直觉梯形模糊数表示，有 $n$ 个备选方案。其中， $W=\left({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3\right),{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{3}{\sum }}{\omega }_j=1}$ 是指标权重向量， $\tilde{R}={\left({\tilde{R}}_{ij}\right)}_{n\times 3}$ 是方案集 $N$ 在证券的收益率、风险值、流动性3个决策下的直觉梯形模糊评价矩阵。投资组合方案 $n$ 在3个评价指标下的属性值为 ${\tilde{R}}_{ij}=\left(\left[m_{ij}^1,m_{ij}^2,m_{ij}^3,m_{ij}^4\right];u_j,v_j\right)\left(i=1,2,\cdots ,n;j=1,2,3\right)$，且 $m_{ij}^1\le m_{ij}^2\le m_{ij}^3\le m_{ij}^4,0\le u_j\le 1,$ $0\le v_j\le 1,0\le u_j+v_j\le 1$。

根据极差变换法效益型准则、成本型准则公式对 $\tilde{R}$ 进行标准化处理，其中将收益率 ${\tilde{R}}_{i1}$ 和流动性 ${\tilde{R}}_{i2}$ 代入效益型准则公式(5)进行标准化，而对风险 ${\tilde{R}}_{i3}$ 代入成本型准则公式(6)式进行标准化。

${{\tilde{R}}^{\prime }}_{i1}=\left(\left[\frac{m_{i1}^1-\min m_{i1}^1}{\max m_{i1}^4-\min m_{i1}^1},\frac{m_{i1}^2-\min m_{i1}^1}{\max m_{i1}^4-\min m_{i1}^1},\frac{m_{i1}^3-\min m_{i1}^1}{\max m_{i1}^4-\min m_{i1}^1},\frac{m_{i1}^4-\min m_{i1}^1}{\max m_{i1}^4-\min m_{i1}^1}\right];u_1,v_1\right)$

${{\tilde{R}}^{\prime }}_{i2}=\left(\left[\frac{\max m_{i2}^4-m_{i2}^4}{\max m_{i2}^4-\min m_{i2}^1},\frac{\max m_{i2}^4-m_{i2}^3}{\max m_{i2}^4-\min m_{i2}^1},\frac{\max m_{i2}^4-m_{i2}^2}{\max m_{i2}^4-\min m_{i2}^1},\frac{\max m_{i2}^4-m_{i2}^1}{\max m_{i2}^4-\min m_{i2}^1}\right];u_2,v_2\right)$

${{\tilde{R}}^{\prime }}_{i3}=\left(\left[\frac{m_{i3}^1-\min m_{i3}^1}{\max m_{i3}^4-\min m_{i3}^1},\frac{m_{i3}^2-\min m_{i3}^1}{\max m_{i3}^4-\min m_{i3}^1},\frac{m_{i3}^3-\min m_{i3}^1}{\max m_{i3}^4-\min m_{i3}^1},\frac{m_{i3}^4-\min m_{i3}^1}{\max m_{i3}^4-\min m_{i3}^1}\right];u_3,v_3\right)$

标准化后的矩阵为 ${\tilde{R}}^{\prime }=\left({{\tilde{R}}^{\prime }}_{i1},{{\tilde{R}}^{\prime }}_{i2},{{\tilde{R}}^{\prime }}_{i3}\right)$，其中 ${{\tilde{R}}^{\prime }}_{ij}=\left(\left[m_{ij}^{1^{\prime }},m_{ij}^{2^{\prime }},m_{ij}^{3^{\prime }},m_{ij}^{4^{\prime }}\right];u_j,v_j\right)$。

根据重心横坐标公式(2)、(3)、(4)计算 ${{\tilde{R}}^{\prime }}_{ij}\left(i=1,2,\cdots ,n;j=1,2,3\right)$ 的隶属函数、非隶属函数、犹豫度函数对应的重心横坐标，然后利用期望值公式(1)计算直觉梯形模糊数 ${{\tilde{R}}^{\prime }}_{ij}\left(i=1,2,\cdots ,n;j=1,2,3\right)$ 的期望值 $E\left({{\tilde{R}}^{\prime }}_{ij}\right)$。

为了防止资金全部投在一支股票上或者资金过分集中在一种资产上，为了降低风险，合理的对资金进行分配，引入熵约束，利用Yager熵分散风险的思想，可以允许有一定的分散不能过于集中在某一两支股票上，可以允许有一定的偏差，投资比例不是简单的平均，不是简单的 $x_n=1/n$。经过标准化的风险值评价指标为极大型指标(越大越好)，兼顾收益和风险综合考虑这两个方面，假设投资者可以接受的投资比例上限为 $u_0$，投资者主观意愿上对收益的满意程度权重为 $\alpha$，对风险的接受满意程度权重为 $1-\alpha$，综合考虑以收益尽可能大和风险尽可能小为目标函数，建立如下基于Yager熵的直觉梯形模糊数投资组合模型：

$\begin{array}{l}\max \alpha {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}E\left({{\tilde{R}}^{\prime }}_{i1}\right)}{x}_i+\left(1-\alpha \right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}E\left({{\tilde{R}}^{\prime }}_{i2}\right)}{x}_i\\ \text{s}\text{.t}\text{.}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i}=1\\ 0\le x_i\le u_0,i=1,2,\cdots ,n\\ x_i-\frac{1}{n}-e_i^{+}+e_i^{-}=0\\ 0<{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(e_i^{+}+e_i^{-}\right)}\le \theta \\ e_i^{+}\ge 0,e_i^{-}\ge 0\end{array}$ (14)

其中 $x_i$ 表示在资产 $i$ 上的投资比例，目标函数中 $E\left({{\tilde{R}}^{\prime }}_{i1}\right)$ 表示经过标准化处理的收益期望值， $E\left({{\tilde{R}}^{\prime }}_{i2}\right)$ 表示经过标准化处理的风险期望值， $e_i^{+},e_i^{-}$ 表示 $1/n$ 的正负偏差变量， $\theta$ 表示正负偏差总和上限，投资者可以根据自己分散投资的要求和承受能力不断调节 $\theta$ 值，达到分散投资风险的目的。最后，可以运用优化软件求解该模型。

4. 实证分析

选取沪深A股三个不同行业中具有代表性的股票：中国平安(601318)、贵州茅台(600519)和格力电器(000651)，这三支股票分别记为股票 $g_1$、股票 $g_2$ 和股票 $g_3$，其对应的投资比例为 $x_1,x_2,x_3$，股票收益率、风险值、流动性(用换手率刻画)分别记作 $f_1,f_2,f_3$，用 $f_1,f_2,f_3$ 作为评价指标，其中包括基于成本的评价指标 $f_2$ 和基于效益的评价指标 $f_1,f_3$。从同花顺软件上下载这3支股票近两年来(2017年1月~2019年3月)的历史周交易数据，用直觉梯形模糊数表达收益、风险和换手率，用客观模糊频数统计法 [12] 得到股票周收益率直方图，各股票周收益率、风险、换手率频数分布直方图分别如下： (图1~9)

图1. 中国平安的周收益率频数分布图

图2. 中国平安的风险频数分布图

图3. 中国平安的换手率频数分布图

图4. 贵州茅台的周收益率频数分布图

图5. 贵州茅台的风险频数分布图

图6. 贵州茅台的换手率频数分布图

图7. 格力电器的周收益率频数分布图

图8. 格力电器的风险频数分布图

图9. 格力电器的换手率频数分布图

根据客观模糊频数统计法 [12] 近似估计出中国平安的直觉梯形模糊数收益为 $\left(\left[-0.07,0,0.03,0.1\right];0.9,0.05\right)$，风险为 $\left(\left[-0.07,-0.02,0.03,0.08\right];0.9,0.05\right)$，换手率为 $\left(\left[0.005,0.025,0.035,0.065\right];0.9,0.05\right)$，同样方法可以得到贵州茅台和格力电器的模糊收益、模糊风险、模糊换手率水平，得出直觉梯形模糊矩阵 $\tilde{R}$，如下表1。

第一步：用公式对矩阵 $\tilde{R}$ 进行规范化，规范化后的矩阵为 ${\widetilde{R^{\prime }}}_{}$，规范化后得表2。

第二步：利用直觉梯形模糊数的重心横坐标公式(2)、(3)、(4)计算直觉梯形模糊数 ${\widetilde{R^{\prime }}}_{ij}$ 隶属、非隶属、犹豫度函数所包含的区域重心横坐标，如表3。

第三步：利用直觉梯形模糊数期望值定义(1)计算 ${\widetilde{R^{\prime }}}_{ij}$ 的期望值，如表4。

表1. 各股票的直觉梯形模糊数的评价值信息

表2. 规范化后的直觉梯形模糊数的评价值信息

表3. 直觉梯形模糊数隶属、非隶属、犹豫度函数重心横坐标

表4. 直觉梯形模糊数期望值

假设 $\alpha =0.6$，且投资比例上限 $u_0=0.65$ 根据模型(14)，将数据代入得到

$\begin{array}{l}\max 0.6\times \left(0.5278x_1+0.4753x_2+0.4979x_3\right)+0.4\times \left(0.5278x_1+0.5073x_2+0.5076x_3\right)\\ \text{s}\text{.t}\text{.}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{x}_i}=1\\ 0\le x_1\le 0.65\\ 0\le x_2\le 0.65\\ 0\le x_3\le 0.65\end{array}$

$\begin{array}{l}{x}_1-\frac{1}{3}-e_1^{+}+e_1^{-}=0\\ x_2-\frac{1}{3}-e_2^{+}+e_2^{-}=0\\ x_3-\frac{1}{3}-e_3^{+}+e_3^{-}=0\\ 0<{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}\left(e_i^{+}+e_i^{-}\right)}\le \theta \\ e_1^{+}\ge 0,e_2^{+}\ge 0,e_3^{+}\ge 0\end{array}$

$e_1^{-}\ge 0,e_2^{-}\ge 0,e_3^{-}\ge 0$

运用Lingo软件可求解该模型。当 $\theta$ 取不同值时，得到结果对比如下表5：

表5. 不同 $\theta$ 值下的投资比例

结果分析：由表5可以看出，最优投资组合分散投资在各支股票上。当 $\theta$ 值从0.2取到0.6时，投资者在股票2贵州茅台上的投资比例越来越低，在股票1股票3上的投资比例越来越高，越来越集中投资在股票1股票3上。当 $\theta$ 值越来越小时，即熵约束越来越强，投资股票资金比例有一定程度的分散，避免了资金分配过于集中，这就大大减少了由于资金过于集中在一支股票上带来风险的可能性。因此，投资者可以通过调节 $\theta$ 值的大小(熵约束性的强弱)，合理的调整自己的资金投资方案。

同样假设 $\alpha =0.6$，且投资比例上限 $u_0=0.65$，此时没有加入熵约束条件，模型为：

$\begin{array}{l}\max \alpha {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}E\left({{\tilde{R}}^{\prime }}_{i1}\right)}{x}_i+\left(1-\alpha \right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}E\left({{\tilde{R}}^{\prime }}_{i2}\right)}{x}_i\\ \text{s}\text{.t}\text{.}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i}=1\\ 0\le x_i\le u_0,i=1,2,\cdots ,n\end{array}$ (15)

将数据代入模型(15)得到

$\begin{array}{l}\max 0.6\times \left(0.5278x_1+0.4753x_2+0.4979x_3\right)+0.4\times \left(0.5278x_1+0.5073x_2+0.5076x_3\right)\\ \text{s}\text{.t}\text{.}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{x}_i}=1\\ 0\le x_1\le 0.65,0\le x_2\le 0.65,0\le x_3\le 0.65\end{array}$

求解该模型，得到三支股票的投资比例分别为0.65, 0, 0.35，此时投资在中国平安、格力电器两支股票上，对比加入熵约束条件模型(14)，都投资在中国平安、贵州茅台、格力电器三支股票上，且投资比例更加分散，避免了资金过于集中。对比可知，本文提出的模型更符合投资者投资的心理，降低了投资组合的风险。

5. 结语

本文利用直觉梯形模糊数表示证券的收益、风险、换手率，采用隶属函数、非隶属函数、犹豫度函数重心横坐标的期望值表达收益，加入Yager熵约束条件，使得投资比例更加分散，给出基于Yager熵的直觉梯形模糊数组合投资模型。

直觉梯形模糊数比模糊数增加考虑了非隶属函数、犹豫度函数，可以更加准确的描述客观世界的本质，对客观现实更好的刻画。

基金项目

广西研究生教育创新计划项目资助(JGY2015007)。

文章引用

孙坤杰. 基于Yager熵的直觉梯形模糊数投资组合模型及实证
Intuitionistic Trapezoidal Fuzzy Number Portfolio Model Based on Yager Entropy and Its Empirical Study[J]. 运筹与模糊学, 2019, 09(02): 189-202. https://doi.org/10.12677/ORF.2019.92022

参考文献