一类二阶非线性微分方程解的零点存在性 The Existence of Zero-Points of Solution for a Class of Second Order Nonlinear Differential Equation

doi:10.12677/AAM.2019.87146

Advances in Applied Mathematics
Vol. 08 No. 07 ( 2019 ), Article ID: 31438 , 11 pages
10.12677/AAM.2019.87146

The Existence of Zero-Points of Solution for a Class of Second Order Nonlinear Differential Equation

Liqin Lin, Keqing Zhong, Yubin Liu^*

●How to Cite this Article

School of Mathematics and Big Data, Huizhou University, Huizhou Guangdong

Received: July 4^th, 2019; accepted: July 19^th, 2019; published: July 26^th, 2019

ABSTRACT

In the present paper, we investigate a class of second order differential equation. By establishing several inequalities, some new conditions on the existence of zero-points of solution for the equation are obtained. Several examples are given to illustrate the effectiveness of the obtained conditions.

Keywords:The Second Order Nonlinear Differential Equation, Zero-Points, Solution

一类二阶非线性微分方程解的零点存在性

林丽琴，钟可晴，刘玉彬^*

惠州学院数学与大数据学院，广东惠州

收稿日期：2019年7月4日；录用日期：2019年7月19日；发布日期：2019年7月26日

摘要

本文研究了一类二阶非线性微分方程。通过建立几个微分不等式，建立了方程解的零点存在的若干新条件，并通过实例说明定理的有效性。

关键词 :二阶非线性微分方程，零点，解

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

微分方程解的零点分布是研究微分方程解的性态的一个重要课题,也是微分方程振动理论的基础。1836年，Sturm C. F.针对二阶微分方程建立了解的零点比较定理 [1] ，并把相关理论推广到其它类型的微分方程和差分方程。1910年，Mauro Picone通过证明一个恒等式——Picone恒等式，进一步推广了Sturm零点比较定理 [2] 。自此，利用类似思想，通过建立新的Picone型恒等式或不等式，Sturm零点比较定理得以更进一步的推广，用以讨论各类更复杂的二阶微分方程的解或解的导函数的零点分布 [3] - [8] 。如陈丽纯，庄容坤研究了方程

${(p (t) Ψ (y) k (y^{'}))}^{'} + r (t) k (y^{'}) + q (t) f (y) = 0$ (1.1)

解的零点存在性。郑镇汉，李亚兰研究了方程

${(p (y^{'}))}^{'} + r (t) y^{'} + q (t) y = f (t, y, y^{'})$ (1.2)

解的零点存在性。

受上述研究工作的启发，本文考虑方程

${(p (t) ϕ (y) k (y^{'}))}^{'} + r (t) k (y^{'}) + q (t) y = f (t, y, y^{'}) ，$ (1.3)

其中 $p \in C^{1} ([0, 1]; R_{+})$ ， $r \in C ([0, 1]; R)$ ， $q \in C ([0, 1]; R_{+})$ ， $f \in C ([0, 1] \times R \times R; R)$ ， $k, ϕ \in C^{1} (R; R)$ 。通过建立几个微分不等式，建立非线性方程(1.3)解的零点存在的几个新的充分条件，并通过例子说明所得结果的有效性。

2. 几个不等式

为了证明主要结果，本节先证明几个微分不等式。往下总假设以下条件成立：

(A1) $0 < C_{1} \leq ϕ (y) \leq C_{2}, y \in R$ ；

(A2) $k^{2} (y) \leq C_{3} y k (y), y \in R$ 。

引理1 设 $y (t)$ 是方程(1.3)的非平凡解， $x (t) \in C^{1} ([0, 1]; R)$ ，若 $y (t) \neq 0, t \in [0, 1]$ ，则成立下面的微分不等式：

$\begin{matrix} {(- \frac{x^{2} p ϕ (y) k (y^{'})}{y})}^{'} \geq {(\sqrt{\frac{p ϕ (y)}{C_{3}}} \frac{x k (y^{'})}{y} + \sqrt{\frac{C_{3}}{p ϕ (y)}} \frac{r (t) x}{2} - \sqrt{C_{3} p ϕ (y)} x^{'})}^{2} \\ - \frac{C_{3}}{4 C_{2} p} {[2 C_{2} p x^{'} - r (t) x]}^{2} \\ + \frac{1}{4 C_{2} C_{1} p} (4 C_{2} C_{1} p q + C_{3} (C_{1} - C_{2}) r^{2}) x^{2} - \frac{f (t, y, y^{'}) x^{2}}{y} . \end{matrix}$ (2.1)

证明直接求导，并结合 ${(p ϕ (y) k (y^{'}))}^{'} = f (t, y, y^{'}) - r (t) k (y^{'}) - q (t) y$ 及条件(A1)和(A2)得：

证毕。

引理2 设 $y (t)$ 是方程(1.3)的非平凡解， $x (t) \in C^{1} ([0, 1]; R)$ ，若 $y (t) \neq 0, t \in [0, 1]$ ，则成立下面的微分不等式：

${(- \frac{x^{2} p ϕ (y) k (y^{'})}{y})}^{'} \geq q x^{2} + \frac{p ϕ (y)}{C_{3}} {(C_{3} x^{'} - \frac{x k (y^{'})}{y})}^{2} - C_{2} C_{3} p {x^{'}}^{2} + \frac{r k (y^{'}) - f (t, y, y^{'})}{y} x^{2} .$ (2.2)

证明由引理1的证明及条件(A1)和(A2)得：

$\begin{array}{l} {(- \frac{x^{2} p ϕ (y) k (y^{'})}{y})}^{'} \\ \geq q x^{2} + \frac{r k (y^{'}) x^{2}}{y} - \frac{2 x x^{'} p ϕ (y) k (y^{'})}{y} + \frac{x^{2} p ϕ (y) k^{2} (y^{'})}{C_{3} y^{2}} - \frac{f (t, y, y^{'}) x^{2}}{y} \\ = q x^{2} + \frac{p ϕ (y)}{C_{3}} {(C_{3} x^{'} - \frac{x k (y^{'})}{y})}^{2} + \frac{r k (y^{'}) x^{2}}{y} - C_{3} p ϕ (y) {x^{'}}^{2} - \frac{f (t, y, y^{'}) x^{2}}{y} \\ \geq q x^{2} + \frac{p ϕ (y)}{C_{3}} {(C_{3} x^{'} - \frac{x k (y^{'})}{y})}^{2} - C_{2} C_{3} p {x^{'}}^{2} + \frac{r k (y^{'}) - f (t, y, y^{'})}{y} x^{2} . \end{array}$

证毕。

引理3 设 $y (t)$ 是方程(1.3)的非平凡解， $x (t) \in C^{1} ([0, 1]; R)$ ，若 $y (t) \neq 0, t \in [0, 1]$ ，则成立微分不等式：

$\begin{matrix} {(- x^{2} W (t))}^{'} \geq C_{2} C_{3} p (t) Φ (t) {(\frac{W (t)}{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)} x - x^{'} - \frac{1}{2} \bar{R} (t) x)}^{2} \\ - C_{2} C_{3} p (t) Φ (t) {(x^{'} + \frac{1}{2} \bar{R} (t) x)}^{2} + Q (t) x^{2} - \frac{f (t, y, y^{'})}{y} Φ (t) x^{2} . \end{matrix}$ (2.3)

其中 $Φ (t), R (t) \in C^{1} ((0, + \infty); R)$ ， $W (t) = Φ (t) p (t) [\frac{ϕ (t) k (y^{'})}{y} + R (t)]$ ， $\bar{R} (t) = \frac{2 R (t)}{C_{2} C_{3}} + \frac{Φ^{'} (t)}{Φ (t)} - \frac{r (t)}{C_{2} p (t)}$ ， $Q (t) = Φ (t) [q (t) - \frac{C_{3} (C_{2} - C_{1})}{4 C_{1} C_{2}} \frac{r^{2} (t)}{p (t)} - \frac{r (t)}{C_{2}} R (t) + \frac{p (t)}{C_{2} C_{3}} R^{2} (t) - {(p (t) R (t))}^{'}]$ 。

证明由 ${(p ϕ (y) k (y^{'}))}^{'} = f (t, y, y^{'}) - r (t) k (y^{'}) - q (t) y$ 及条件(A1)和(A2)得：

$\begin{array}{l} W^{'} (t) = \frac{Φ^{'} (t)}{Φ (t)} W (t) + Φ (t) [{(\frac{p (t) ϕ (y) k (y^{'})}{y})}^{'} + {(p (t) R (t))}^{'}] \\ = \frac{Φ^{'} (t)}{Φ (t)} W (t) + Φ (t) [\frac{f (t, y, y^{'}) - r (t) k (y^{'}) - q (t) y}{y} - \frac{p (t) ϕ (y) k (y^{'}) y^{'}}{y^{2}} + {(p (t) R (t))}^{'}] \\ \leq \frac{Φ^{'} (t)}{Φ (t)} W (t) + Φ (t) [\frac{f (t, y, y^{'})}{y} - \frac{r (t) k (y^{'})}{y} - q (t) - \frac{p (t) ϕ (y) k^{2} (y^{'})}{C_{3} y^{2}} + {(p (t) R (t))}^{'}] \\ = \frac{Φ^{'} (t)}{Φ (t)} W (t) + Φ (t) {- q (t) + {(p (t) R (t))}^{'} + \frac{f (t, y, y^{'})}{y} \\ - \frac{1}{ϕ (y)} [\frac{r (t) ϕ (y) k (y^{'})}{y} + \frac{p (t)}{C_{3}} {(\frac{ϕ (y) k (y^{'})}{y})}^{2}]} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{Φ^{'} (t)}{Φ (t)} W (t) + Φ (t) {- q (t) + \frac{C_{3} (C_{2} - C_{1})}{4 C_{1} C_{2}} \frac{r^{2} (t)}{p (t)} + \frac{r (t)}{C_{2}} R (t) - \frac{p (t)}{C_{2} C_{3}} R^{2} (t) \\ + {(p (t) R (t))}^{'} + (\frac{2 R (t)}{C_{2} C_{3} Φ (t)} - \frac{r (t)}{C_{2} Φ (t) p (t)}) W (t) - \frac{W^{2} (t)}{C_{2} C_{3} Φ^{2} (t) p (t)} + \frac{f (t, y, y^{'})}{y}} \\ = \frac{Φ^{'} (t)}{Φ (t)} W (t) - Φ (t) [q (t) - \frac{C_{3} (C_{2} - C_{1})}{4 C_{1} C_{2}} \frac{r^{2} (t)}{p (t)} - \frac{r (t)}{C_{2}} R (t) + \frac{p (t)}{C_{2} C_{3}} R^{2} (t) - {(p (t) R (t))}^{'}] \\ + (\frac{2 R (t)}{C_{2} C_{3}} - \frac{r (t)}{C_{2} p (t)}) W (t) - \frac{W^{2} (t)}{C_{2} C_{3} Φ (t) p (t)} + \frac{f (t, y, y^{'})}{y} Φ (t) \\ = - Φ (t) [q (t) - \frac{C_{3} (C_{2} - C_{1})}{4 C_{1} C_{2}} \frac{r^{2} (t)}{p (t)} - \frac{r (t)}{C_{2}} R (t) + \frac{p (t)}{C_{2} C_{3}} R^{2} (t) - {(p (t) R (t))}^{'}] \\ + (\frac{2 R (t)}{C_{2} C_{3}} + \frac{Φ^{'} (t)}{Φ (t)} - \frac{r (t)}{C_{2} p (t)}) W (t) - \frac{W^{2} (t)}{C_{2} C_{3} Φ (t) p (t)} + \frac{f (t, y, y^{'})}{y} Φ (t) \\ = - Q (t) + \bar{R} (t) W (t) - \frac{W^{2} (t)}{C_{2} C_{3} Φ (t) p (t)} + \frac{f (t, y, y^{'})}{y} Φ (t) . \end{array}$

因此，

$\begin{array}{l} {[- x^{2} W (t)]}^{'} \\ \geq - 2 x x^{'} W (t) - x^{2} (- Q (t) + \bar{R} (t) W (t) - \frac{W^{2} (t)}{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)} + \frac{f (t, y, y^{'})}{y} Φ (t)) \\ = {(\frac{W (t)}{\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)}} x)}^{2} - 2 \frac{W (t) x}{\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)}} \sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)} x^{'} \\ - 2 \frac{W (t) x}{\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)}} \frac{\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)}}{2} \bar{R} (t) x + {(\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)} x^{'})}^{2} \\ - {(\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)} x^{'})}^{2} + {(\frac{\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)}}{2} \bar{R} (t) x)}^{2} - {(\frac{\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)}}{2} \bar{R} (t) x)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} + 2 (\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)} x^{'}) (\frac{\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)}}{2} \bar{R} (t) x) \\ - 2 (\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)} x^{'}) (\frac{\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)}}{2} \bar{R} (t) x) + Q (t) x^{2} - \frac{f (t, y, y^{'})}{y} Φ (t) x^{2} \\ = {(\frac{W (t)}{\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)}} x - \sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)} x^{'} - \frac{\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)}}{2} \bar{R} (t) x)}^{2} \\ - {(\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)} x^{'} + \frac{\sqrt{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)}}{2} \bar{R} (t) x)}^{2} \\ + Q (t) x^{2} - \frac{f (t, y, y^{'})}{y} Φ (t) x^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = C_{2} C_{3} p (t) Φ (t) {(\frac{W (t)}{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)} x - x^{'} - \frac{1}{2} \bar{R} (t) x)}^{2} \\ - C_{2} C_{3} p (t) Φ (t) {(x^{'} + \frac{1}{2} \bar{R} (t) x)}^{2} + Q (t) x^{2} - \frac{f (t, y, y^{'})}{y} Φ (t) x^{2} . \end{array}$

证毕。

3. 主要结果

本节利用上节得到的不等式建立几个零点存在定理。

定理1 设 $y (t)$ 是方程(1.3)的非平凡解，若存在 $x (t) \in C^{1} ([0, 1]; R)$ ，使得 $x (0) = x (1) = 0$ ； $\frac{f (t, u, v)}{u} \leq 0 (u \neq 0)$ ，且

$\int_{0}^{1} {[4 C_{2} C_{1} p (t) q (t) + C_{3} (C_{1} - C_{2}) r^{2} (t)] x^{2} - C_{3} C_{1} {[2 C_{2} p (t) x^{'} - r (t) x]}^{2}} d t > 0,$

则 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 上至少有一个零点。

证明假设 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 上没有零点，即 $y (t) \neq 0, t \in [0, 1]$ ，则不等式(2.1)成立。对(2.1)式的两边从0到1积分得

$\begin{array}{l} \int_{0}^{1} {[- \frac{x^{2} p (t) ϕ (y) k (y^{'})}{y}]}^{'} d t \\ \geq \int_{0}^{1} {{[\sqrt{\frac{p (t) ϕ (y)}{C_{3}}} \frac{k (y^{'}) x}{y} + \sqrt{\frac{C_{3}}{p (t) ϕ (y)}} \frac{r (t) x}{2} - \sqrt{C_{3} p (t) ϕ (y)} x^{'}]}^{2} \\ - \frac{C_{3}}{4 C_{2} p (t)} [2 C_{2} p (t) x^{'} - r (t) x] + \frac{1}{4 C_{2} C_{1} p (t)} [4 C_{2} C_{1} p (t) q (t) \\ + C_{3} (C_{1} - C_{2}) r^{2} (t)] x^{2} - \frac{f (t, y, y^{'}) x^{2}}{y}} d t . \end{array}$

由 $x (0) = x (1) = 0$ ，有

$\int_{0}^{1} {[- \frac{x^{2} p (t) ϕ (y) k (y^{'})}{y}]}^{'} d t = {[- \frac{x^{2} p (t) ϕ (y) k (y^{'})}{y}]}_{0}^{1} = 0.$

于是

$\int_{0}^{1} {[4 C_{2} C_{1} p (t) q (t) + C_{3} (C_{1} - C_{2}) r^{2} (t)] x^{2} - C_{3} C_{1} {[2 C_{2} p (t) x^{'} - r (t) x]}^{2}} d t \leq 0,$

与条件矛盾，故 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 上至少有一个零点。

推论1 设 $y (t)$ 是方程(1.3)的非平凡解，若存在 $x (t) \in C^{1} ([0, 1]; R)$ ，使得 $x (0) = x (1) = 0$ ； $\frac{f (t, u, v)}{u} \leq 0 (u \neq 0)$ ；又

$[4 C_{2} C_{1} p (t) q (t) + C_{3} (C_{1} - C_{2}) r^{2} (t)] x^{2} \geq C_{3} C_{1} {[2 C_{2} p (t) x^{'} - r (t) x]}^{2}$ ， $t \in [0, 1]$ ，

且等号在[0,1]的任意闭子区间上不恒成立，则 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 上至少有一个零点。

定理2 设 $y (t)$ 是方程(1.3)的非平凡解，若存在 $x (t) \in C^{1} ([0, 1]; R)$ ，使得 $x (0) = x (1) = 0$ ；

$\frac{r (t) k (v) - f (t, u, v)}{u} \geq 0 (u \neq 0)$ ；且

$\int_{0}^{1} [q (t) x^{2} - C_{2} C_{3} p (t) {x^{'}}^{2}] d t > 0.$

则 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 上至少有一个零点。

证明假设 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 上没有零点，即 $y (t) \neq 0, t \in [0, 1]$ ，则不等式(2.2)成立。对(2.2)式的两边从0到1积分得

$\begin{matrix} \int_{0}^{1} {(- \frac{x^{2} p (t) ϕ (y) k (y^{'})}{y})}^{'} d t \geq \int_{0}^{1} \frac{p (t) ϕ (y)}{C_{3}} {(C_{3} x^{'} - \frac{k (y^{'})}{y} x)}^{2} d t \\ + \int_{0}^{1} [q (t) x^{2} - C_{2} C_{3} p (t) {x^{'}}^{2}] d t \\ + \int_{0}^{1} \frac{r (t) k (y^{'}) - f (t, y, y^{'})}{y} x^{2} d t . \end{matrix}$

由 $x (0) = x (1) = 0$ ，有

$\int_{0}^{1} {(- \frac{x^{2} p (t) ϕ (y) k (y^{'})}{y})}^{'} d t = {(- \frac{x^{2} p (t) ϕ (y) k (y^{'})}{y})}_{0}^{1} = 0.$

于是

$\int_{0}^{1} [q (t) x^{2} - C_{2} C_{3} p (t) {x^{'}}^{2}] d t \leq 0,$

与条件矛盾，故 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 上至少有一个零点。

推论2 设 $y (t)$ 是方程(1.3)的非平凡解，若存在 $x (t) \in C^{1} ([0, 1]; R)$ ，使得 $x (0) = x (1) = 0$ ， $\frac{r (t) k (v) - f (t, u, v)}{u} \geq 0 (\forall u \neq 0)$ ，又 $q (t) x^{2} \geq p (t) C_{2} C_{3} {x^{'}}^{2}$ ， $t \in [0, 1]$ ，且等号在[0,1]的任意闭子区间上不恒成立，则 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 上至少有一个零点。

定理3 设 $y (t)$ 是方程(1.3)的非平凡解，若存在 $x (t) \in C^{1} ([0, 1]; R)$ ，使得 $x (0) = x (1) = 0$ ；

$\frac{f (t, u, v)}{u} \leq 0 (u \neq 0)$ ，且

$\int_{0}^{1} [Q (t) x^{2} - C_{2} C_{3} p (t) Φ (t) {(x^{'} + \frac{1}{2} x \bar{R} (t))}^{2}] d t > 0,$

则 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 上至少有一个零点。

证明假设 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 上没有零点，即 $y (t) \neq 0, t \in [0, 1]$ ，则不等式(2.3)成立。对(2.3)式的两边从0到1积分得

$\begin{matrix} \int_{0}^{1} {[- x^{2} W (t)]}^{'} d t \geq \int_{0}^{1} C_{2} C_{3} p (t) Φ (t) {(\frac{W (t)}{C_{2} C_{3} p (t) Φ (t)} x - x^{'} - \frac{1}{2} \bar{R} (t) x)}^{2} d t \\ + \int_{0}^{1} [Q (t) x^{2} - C_{2} C_{3} p (t) Φ (t) {(x^{'} + \frac{1}{2} \bar{R} (t) x)}^{2}] d t - \int_{0}^{1} \frac{f (t, y, y^{'})}{y} Φ (t) x^{2} d t . \end{matrix}$

由 $x (0) = x (1) = 0$ ，有

$\int_{0}^{1} {[- x^{2} W (t)]}^{'} = {[- x^{2} W (t)]}_{0}^{1} = 0.$

于是

$\int_{0}^{1} [Q (t) x^{2} - C_{2} C_{3} p (t) Φ (t) {(x^{'} + \frac{1}{2} \bar{R} (t) x)}^{2}] d t \leq 0,$

与条件矛盾，故 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 上至少有一个零点。

推论3 设 $y (t)$ 是方程(1.3)的非平凡解，若存在 $x (t) \in C^{1} ([0, 1]; R)$ ，使得 $x (0) = x (1) = 0$ ； $\frac{f (t, u, v)}{u} \leq 0 (u \neq 0)$ ；又在 $[0, 1]$ 上，

$Q_{2} (t) x^{2} \geq C_{2} C_{3} p (t) Φ (t) {(x^{'} + \frac{1}{2} x r_{2} (t))}^{2},$

但不恒相等，则 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 上至少有一个零点。

4. 实例

例1 考虑方程：

${[(1 + \sin^{2} π t) \frac{y^{'}}{1 + α {y^{'}}^{2}}]}^{'} + 4 π \sin π t \cos π t \frac{y^{'}}{1 + α {y^{'}}^{2}} + q (t) y + t^{2} y {y^{'}}^{2} = 0$ (4.1)

其中 $y \in R$ ， $t \in [0, 1]$ ， $α \geq 0$ 为常数， $q \in C ([0, 1]; [0, + \infty))$ ，满足 $q (t) > \frac{4 π^{2}}{\sin^{2} π t}, t \in (0, 1)$ 。

记 $p (t) = 1 + \sin^{2} π t$ ， $ϕ (y) = 1$ ， $k (v) = \frac{v}{1 + α v^{2}}$ ， $r (t) = 4 π \sin π t \cos π t$ ， $f (t, u, v) = - t^{2} u v^{2}$ ，则 $f \in C ([0, 1] \times R \times R; R)$ ， $p \in C^{1} ([0, 1]; R_{+})$ ， $r \in C ([0, 1]; R)$ ， $k, ϕ \in C^{1} (R; R)$ ，且

$\frac{f (t, u, v)}{u} = - t^{2} v^{2} \leq 0 (u \neq 0) .$

取 $C_{1} = C_{2} = C_{3} = 1$ ，则条件(A1)、(A2)满足。取 $x (t) = \sin^{2} π t$ ，则 $x (0) = x (1) = 0$ 。

对 $t \in [0, 1]$ ，有

$\begin{array}{l} [4 C_{2} C_{1} p (t) q (t) + C_{3} (C_{1} - C_{2}) r^{2} (t)] x^{2} - C_{3} C_{1} {[2 C_{2} p (t) x^{'} - r (t) x]}^{2} \\ = 4 q (t) (1 + \sin^{2} π t) \sin^{4} π t - {[4 π (1 + \sin^{2} π t) \sin π t \cos π t - 4 π \sin π t \cos π t \sin^{2} π t]}^{2} \\ = 4 \sin^{2} π t [q (t) (1 + \sin^{2} π t) \sin^{2} π t - 4 π^{2} \cos^{2} π t] \\ \geq 4 \sin^{2} π t [q (t) \sin^{2} π t - 4 π^{2}] \geq 0, \end{array}$

且等号当且仅当 $t = 0, 1$ 时成立。由推论1知，方程(4.1)的非平凡解 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 至少有一个零点。

例2 考虑以下方程：

${(\frac{2 + \cos^{2} π t}{1 + \cos^{2} π t} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 + y^{2}} \cdot \frac{{y^{'}}^{2}}{1 + α {y^{'}}^{2}})}^{'} + \frac{t^{2} {y^{'}}^{2}}{1 + α {y^{'}}^{2}} + q (t) y + \frac{y^{3} - t^{2} {y^{'}}^{2}}{1 + α {y^{'}}^{2}} = 0$ (4.2)

其中 $y \in R$ ， $t \in [0, 1]$ ， $α \geq 0$ 为常数。 $q \in C ([0, 1]; [0, + \infty))$ ，满足 $q (t) > \frac{3 π^{2}}{\sin^{2} π t}, t \in (0, 1)$ 。

记 $p (t) = \frac{2 + \cos^{2} π t}{1 + \cos^{2} π t}$ ， $ϕ (y) = \frac{1 + y^{2}}{2 + y^{2}}$ ， $k (v) = \frac{v^{2}}{1 + α v^{2}}$ ， $r (t) = t^{2}$ ， $f (t, u, v) = - \frac{u^{3} - t^{2} v^{2}}{1 + a v^{2}}$ ，则 $f \in C ([0, 1] \times R \times R; R)$ ， $p \in C^{1} ([0, 1]; R_{+})$ ， $r \in C ([0, 1]; R)$ ， $k, ϕ \in C^{1} (R; R)$ ，且 $\frac{1}{2} \leq ϕ (y) = \frac{1 + y^{2}}{2 + y^{2}} \leq 1$ ， $\frac{r (t) k (v) - f (t, u, v)}{u} = \frac{u^{2}}{1 + α v^{2}} \geq 0 (u \neq 0)$ 。

取 $C_{1} = \frac{1}{2}, C_{2} = C_{3} = 1$ ，则条件(A1)、(A2)满足。取 $x (t) = \sin π t$ ，则 $x (0) = x (1) = 0$ ，且

$\begin{array}{l} q (t) x^{2} - p (t) C_{2} C_{3} {x^{'}}^{2} \\ = q (t) \sin^{2} π t - (\frac{2 + \cos^{2} π t}{1 + \cos^{2} π t}) π^{2} \cos^{2} π t \\ \geq q (t) \sin^{2} π t - 3 π^{2} \geq 0 \end{array}$

且等号当且仅当 $t = 0, 1$ 时成立，由推论2知，方程(4.2)的非平凡解 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 至少有一个零点。

例3 考虑方程：

${[(1 + \sin^{2} π t) \frac{y^{'}}{1 + α {y^{'}}^{2}}]}^{'} - 2π \sin π t \cos π t \frac{y^{'}}{1 + α {y^{'}}^{2}} + q (t) y + t^{2} y {y^{'}}^{2} = 0,$ (4.3)

其中 $y \in R$ ， $t \in [0, 1]$ ， $α \geq 0$ 为常数， $q \in C ([0, 1]; [0, + \infty))$ ，满足

$q (t) \geq π^{2} (4 + \cot^{2} π t), t \in (0, 1) .$

记 $p (t) = 1 + \sin^{2} π t$ ， $ϕ (y) = 1$ ， $k (v) = \frac{v}{1 + α v^{2}}$ ， $r (t) = - 2 π \sin π t \cos π t$ ， $f (t, u, v) = - t^{2} u v$ ，则 $f \in C ([0, 1] \times R \times R; R)$ ， $p \in C^{1} ([0, 1]; R_{+})$ ， $r \in C ([0, 1]; R)$ ， $k, ϕ \in C^{1} (R; R)$ ，且

$\frac{f (t, u, v)}{u} = - t^{2} v^{2} \leq 0, u \neq 0.$

取 $C_{1} = C_{2} = C_{3} = 1$ ，则条件(A1)、(A2)成立。取 $x (t) = \sin π t$ ，则 $x (0) = x (1) = 0$ 。

取 $R (t) = - \frac{1}{t}, Φ (t) = t^{2}$ ，则

$\begin{matrix} Q (t) = Φ (t) [q (t) - \frac{C_{3} (C_{2} - C_{1})}{4 C_{1} C_{2}} \frac{r^{2} (t)}{p (t)} - \frac{r (t)}{C_{2}} R (t) + \frac{p (t)}{C_{2} C_{3}} R^{2} (t) - {(p (t) R (t))}^{'}] \\ \geq t^{2} [π^{2} (4 + \cot^{2} π t) - \frac{2π \sin π t \cos π t}{t} + \frac{1 + \sin^{2} π t}{t^{2}} - {(\frac{1 + \sin^{2} π t}{- t})}^{'}] \\ = t^{2} π^{2} (4 + \cot^{2} π t) \end{matrix}$

$\bar{R} (t) = \frac{2 R (t)}{C_{2} C_{3}} + \frac{Φ^{'} (t)}{Φ (t)} - \frac{r (t)}{C_{2} p (t)} = - \frac{2}{t} + \frac{2 t}{t^{2}} - \frac{- 2 π \sin π t \cos π t}{1 + \sin^{2} π t} = \frac{2 π \sin π t \cos π t}{1 + \sin^{2} π t}$

从而对 $t \in (0, 1)$ ，

$\begin{array}{l} Q (t) x^{2} - C_{2} C_{3} p (t) Φ (t) {[x^{'} + \frac{1}{2} x \bar{R} (t)]}^{2} \\ \geq t^{2} π^{2} (4 + \cot^{2} π t) \sin^{2} π t - (1 + \sin^{2} π t) t^{2} {(π \cos π t + \frac{\sin π t}{2} \cdot \frac{2 π \sin π t \cos π t}{1 + \sin^{2} π t})}^{2} \\ = t^{2} π^{2} (4 + \cot^{2} π t) \sin^{2} π t - (1 + \sin^{2} π t) t^{2} [π^{2} \cos^{2} π t + \frac{2 π^{2} \sin^{2} π t \cos^{2} π t}{1 + \sin^{2} π t} + \frac{π^{2} \sin^{4} π t \cos^{2} π t}{{(1 + \sin^{2} π t)}^{2}}] \\ = t^{2} π^{2} \sin^{2} π t {(4 + \cot^{2} π t) - (1 + \sin^{2} π t) [\cot^{2} π t + \frac{2 \cos^{2} π t}{1 + \sin^{2} π t} + \frac{\sin^{2} π t \cos^{2} π t}{{(1 + \sin^{2} π t)}^{2}}]} \\ \geq 2 t^{2} π^{2} \sin^{2} π t {3 + \cot^{2} π t - [\cot^{2} π t + 3]} = 0 \end{array}$

而当 $t = 0, 1$ 时不等式仍成立，且等号在 $[0, 1]$ 的任意子区间上不恒成立。由推论3知，方程(4.3)的非平凡解 $y (t)$ 在 $[0, 1]$ 至少有一个零点。

致谢

感谢庄容坤教授对本文研究工作的建议和帮助！

基金项目

本文受如下基金项目资助：国家自然科学基金(No. 11601180)，广东省自然科学基金 (No. 2016A030310100)，国家级大学生创新训练项目(No. 20181057005)。

文章引用

林丽琴,钟可晴,刘玉彬. 一类二阶非线性微分方程解的零点存在性
The Existence of Zero-Points of Solution for a Class of Second Order Nonlinear Differential Equation[J]. 应用数学进展, 2019, 08(07): 1256-1266. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.87146

参考文献

1. Sturm, C. (1836) Memoirc Sur les Equations Diffcrentielles du Second Ordre. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1, 106-186.

2. Picone, M. (1910) Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, 11, 1-141.

3. Jaroš, J. and Kusano, T. (1999) A Picone-Type Identity for Second Order Half-Linear Differential Equation. Acta Mathematica Universitatis Comenianae, 1, 137-151.

4. 陈丽纯, 庄容坤. 一类二阶非线性微分方程解的零点比较定理[J]. 高校应用数学学报A辑, 2017, 32(2): 149-155.

5. 程崇高. 二阶线性齐次方程解的零点比较定理[J]. 数学杂志, 1996, 16(4): 54-57.

6. 郑镇汉, 李亚兰. 一类二阶非线性微分方程解的零点存在定理[J]. 仲恺农业技术学院学报, 2008, 21(3): 59-61.

7. 庄容坤. 二阶非线性微分方程解的导函数的零点比较定理[J]. 惠阳师专学报(自然科学版), 1992(3): 10-19.

8. Zhuang, R.K. (2003) Sturm Comparison Theorem of Solution for Second Order Nonlinear Differential Equations. Annals of Differential Equations, 3, 480-486.

NOTES

^*通讯作者。

期刊菜单