Advances in Applied Mathematics
Vol. 12  No. 05 ( 2023 ), Article ID: 65213 , 5 pages
10.12677/AAM.2023.125217

函数 k ( u ) = | s i n u | + a 所确定的Wulff形

周小静,蓝一涵

贵州师范大学数学科学学院,贵州 贵阳

收稿日期:2023年4月11日;录用日期:2023年5月6日;发布日期:2023年5月12日

摘要

凸体是积分几何和凸几何分析的重要内容,Wulff形作为一类特殊凸体,具有一定研究价值。利用凸体的支持函数与函数性质,研究函数 k ( u ) = | s i n u | + a 所确定的Wulff形,给出Wulff形的周长和面积的计算公式。

关键词

支持函数,正连续函数,Wulff形

Wulff Shape Determined by the Function k ( u ) = | s i n u | + a

Xiaojing Zhou, Yihan Lan

Department of Mathematical Sciences, Guizhou Normal University, Guiyang Guizhou

Received: Apr. 11th, 2023; accepted: May 6th, 2023; published: May 12th, 2023

ABSTRACT

Convex body is an important part of integral geometry and convex geometry analysis. As a special convex body, Wulff shape has certain research value. By using the support functions of convex bodies and function properties, this paper discusses the Wulff shape determined by the function k ( u ) = | s i n u | + a , given the formula for calculating the perimeter and area of the Wulff shape.

Keywords:Support Function, Positive Continuous Function, Wulff Shape

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言与主要结果

积分几何和凸几何分析研究领域涉及广泛,在计算机软件和力学等方面也有广泛应用,凸体是积分几何和凸几何分析学科中的重要研究对象,Wulff形作为特殊凸体值得我们进一步研究。

R n n ( n 2 ) 维欧氏平面, S n 1 R n 中单位球面, S 1 R 2 中单位圆周。设K R 2 中点集,如果对任意两点 x , y K 0 λ 1 ,都有 λ x + ( 1 λ ) y K ,则称K为凸集。具有非空内点的紧凸集称为凸体。

K R 2 中的凸体,由文献 [1] 得出其支持函数 h K ( u ) 的定义为:

h K ( u ) = sup { p : G ( p , u ) K } ,

其中p是平面直角坐标系 x O y 原点o到直线 G ( p , u ) 的距离,uox轴与过原点又垂直于G的射线的夹角,且直线 G ( p , u ) 的广义法式方程为:

G ( p , u ) : x cos u + y sin u p = 0 ,

其中 ( x , y ) 是直线 G ( p , u ) 上点的坐标。

给出二维欧氏平面 R 2 上一个单参数直线族

{ C α } : F ( x , y , α ) = 0 , (1)

其中 α 是参数。当 α 的值变化时,得到族中不同的直线 C α ,并且假定函数 F ( x , y , α ) 具有一阶与二阶连续偏导数,则有直线族 { C α } 的包络C满足方程组

{ F ( x , y , α ) = 0 , F α ( x , y , α ) = 0. (2)

关于包络更详细的定义,参见文献 [2] 。

引理1 设曲线C由参数方程

x = x ( t ) , y = y ( t ) , t [ α , β ]

给出,在 [ α , β ] y ( t ) 连续, x ( t ) 连续可微且 x ( t ) 0 (对于 y ( t ) 连续可微且 y ( t ) 0 的情形可类似地讨论)。记 a = x ( α ) , b = x ( β ) ( a < b b < a ),则由曲线C及直线 x = a , x = b x轴所围成的图形,其面积计算公式为

A = α β | y ( t ) x ( t ) | d t . (3)

假设函数 k t ( u ) = k ( t , u ) : I × S n 1 ( 0 , ) 是严格正连续函数,区间 I R ,则对给定的 t I ,称

K t = u S n 1 { x R n : x u k ( t , u ) }

是关于函数 k t ( u ) 的Wulff形,且Wulff形是凸体 [3] 。

关于Wulff形的研究已有一些成果。Yi Jun He [4] 借助高斯映射等刻画了Wulff形的新特征;Ai-Jun Li [5] 研究了Wulff形及其极线的截面和投影的体积不等式;Huhe Han [6] 研究了Wulff形和某类凸积分。本文研究对象与其他不同的是选定了一类严格正的特殊连续函数,研究对应Wulff形的形状、周长和面积等。

因函数 k t ( u ) 中的t对此处的研究无影响,于是记函数 k t ( u ) k ( u ) ,记Wulff形 K t K,其面积记为 S K ,周长记为 L K

R 2 上,函数 k ( u ) : S 1 ( 0 , ) 。取 k ( u ) = | sin u | + a ,实数 a > 0 ,显然 k ( u ) 是严格正的连续函数,所以由它可以确定一个Wulff形。本文研究了函数 k ( u ) = | sin u | + a 所确定的Wulff形的相关问题,得到如下主要结果:

定理1 若函数 k ( u ) = | sin u | + a ,且实数 a > 0 ,则该函数所确定的Wulff形是操场域,它的两段圆弧分别以点 ( 0 , 1 ) 和点 ( 0 , 1 ) 为圆心,以a为半径。

2. 定理的证明

定理1的证明 给定函数 k ( u ) = | sin u | + a ( a > 0 ) ,因为它在定义域区间 u [ 0 , 2 π ] 上不可导,所以不能直接在 [ 0 , 2 π ] 上通过求导来讨论,又因为不可导的点只有 u = π ,于是可将定义域分为 u [ 0 , π ] u [ π , 2 π ] 两个部分进行考虑。

在区间 u [ 0 , π ] 上, | sin u | = sin u ,根据直线 G ( k ( u ) , u ) 的方程是 x cos u + y sin u k ( u ) = 0 ,得到直线族 { C u } 的方程为:

{ C u } : x cos u + y sin u sin u a = 0 ,

其中 u [ 0 , π ] 是参数。代入方程组(2) { F ( x , y , u ) = 0 , F u ( x , y , u ) = 0 ,

{ x cos u + y sin u sin u a = 0 , x sin u + y cos u cos u = 0 , (4)

根据上式解得

x = a cos u , y = a sin u + 1 ,

进而有

x 2 + ( y 1 ) 2 = a 2 ,

它表示以 ( 0 , 1 ) 为圆心,以a为半径的圆,此圆上的点并不都是Wulff形边界上的点,因为还要考虑

u [ 0 , π ] 这一限制。在区间 [ 0 , π ] 上,当 u = 0 时, x = a y = 1 ;当 u = π 2 时, x = 0 y = 1 + a ;当 u = π

时, x = a y = 1 ,Wulff形边界的轨迹是连续的,当u从0到 π 变化时,满足(4)式的点刚好是以 ( 0 , 1 ) 为圆心,以a为半径的圆的上半圆弧,它参与构成Wulff形的边界。

同理考虑区间 u [ π , 2 π ] ,因为 | sin u | = sin u ,又根据直线 G ( k ( u ) , u ) 的方程是 x cos u + y sin u k ( u ) = 0 ,得到直线族 { C u } 的方程为:

{ C u } : x cos u + y sin u + sin u a = 0 ,

其中 u [ π , 2 π ] 是参数。代入方程组(2) { F ( x , y , u ) = 0 , F u ( x , y , u ) = 0 ,

{ x cos u + y sin u + sin u a = 0 , x sin u + y cos u + cos u = 0 , (5)

根据上式解得

x = a cos u , y = 1 + a sin u ,

进而有

x 2 + ( y + 1 ) 2 = a 2 ,

它表示以 ( 0 , 1 ) 为圆心,以a为半径的圆。在讨论的区间 [ π , 2 π ] 上,当 u = π 时, x = a y = 1

u = 3 π 2 时, x = 0 y = 1 a ;当 u = 2 π 时, x = a y = 1 ,Wulff形边界的轨迹是连续的,所以只

有下半圆弧参与构成Wulff形的边界。

再考虑区间端点 u = 0 , π , 2 π 。当 u = 0 时,直线 G ( k ( 0 ) , 0 ) 的方程是 x = a ;当 u = π 时,直线 G ( k ( π ) , π ) 的方程是 x = a ;当 u = 2 π 时,直线 G ( k ( 2 π ) , 2 π ) 的方程是 x = a ,结合Wulff形的定义分析可以知道,直线 x = a 和直线 x = a 与前面得到的两个半圆弧构成的闭合凸体就是函数 k ( u ) = | sin u | + a 所确定的Wulff形,是一个操场域,它的两段圆弧分别以点 ( 0 , 1 ) 和点 ( 0 , 1 ) 为圆心,以a为半径。

推论1 若函数 k ( u ) = | sin u | + a ( a > 0 ) K k ( u ) 所确定的Wulff形,则K的周长 L K = 2 a π + 4 K的面积 S K = a 2 π + 4 a

证明 因为函数 k ( u ) = | sin u | + a ( a > 0 ) 所确定的Wulff形是由两个半圆和一个矩形组成的操场域,所以通过简单计算容易得到它的面积 S K = a 2 π + 4 a ,周长 L K = 2 a π + 4

此外,也可以应用公式(3)计算函数 k ( u ) = | sin u | + a 所确定的Wulff形的面积,有

S K = 0 π | a 2 sin 2 u + a sin u | d u + π 2 π | a 2 sin 2 u a sin u | d u = 2 ( π a 2 2 + 2 a ) = π a 2 + 4 a .

具体取函数 k ( u ) = | sin u | + 3 得到图1如下,在函数 k ( u ) = | sin u | + a 中将参数a取为其他值,得到图2如下:

图1中所示Wulff形的面积为:

S K = 3 2 × π + 4 × 3 = 12 + 9 π .

Figure 1. The Wulff shape determined by the function k ( u ) = | sin u | + 3

图1. 函数 k ( u ) = | sin u | + 3 所确定的Wulff形

Figure 2. The Wulff shape determined by the function k ( u ) = | sin u | + a ( a = 1 , 3 , 4 , 5 )

图2. 函数 k ( u ) = | sin u | + a ( a = 1 , 3 , 4 , 5 ) 所确定的Wulff形

关于函数 k ( u ) = a | sin b u | + c 所确定的Wulff形是后续的研究内容。基于上述结论,可研究函数 k ( u ) = | cos u | + a ( a > 0 ) 所确定的Wulff形及其相关性质。

文章引用

周小静,蓝一涵. 函数k(u)=▏sinu▏+a所确定的Wulff形
Wulff Shape Determined by the Function k(u)=▏sinu▏+a[J]. 应用数学进展, 2023, 12(05): 2138-2142. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.125217

参考文献

  1. 1. 任德麟. 积分几何引论[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1998.

  2. 2. 梅向明, 黄敬之. 微分几何[M]. 北京: 高等教育出版社, 2019.

  3. 3. Böröczky, K.J., Lutwak, E., Yang, D. and Zhang, G.Y. (2012) The Log-Brunn-Minkowski Inequality. Advances in Mathematics, 231, 1974-1997. https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.07.015

  4. 4. He, Y.J. and Li, H.Z. (2008) Integral Formula of Minkowski Type and New Characterization of the Wulff Shape. Acta Mathematica Sinica (English Series), 24, 697-704. https://doi.org/10.1007/s10114-007-7116-6

  5. 5. Li, A.J., Huang, Q.Z. and Xi, D.M. (2017) Volume Inequalities for Sections and Projections of Wulff Shapes and Their Polars. Advances in Applied Mathematics, 91, 76-97. https://doi.org/10.1016/j.aam.2017.05.010

  6. 6. Han, H.H. and Nishimura, T. (2017) Strictly Convex Wulff Shapes and C1 Convex Integrands. Proceedings of the American Mathematical Society, 145, 3997-4008. https://doi.org/10.1090/proc/13510

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