 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 51-55 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31009 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Solvability of a Class of Nonlinear Fourth-Order Three-Point Boundary Value Problems* Yupeng Li College of Science, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing Email: youxiang201@163.com Received: Dec. 1st, 2012; revised: Dec. 16th, 2012; accepted: Dec. 26th, 2012 Abstract: The existence of solutions and positive solutions for a class of fourth-order three-point boundary value problems is investigated in this paper. Employing the Green function of a third-order three-point boundary value problem, the equivalent integral equation system is established, and some sufficient condi- tions of existence of solutions and positive solutions are obtained for this class of fourth-order three point boundary val u e pro ble ms. Keywords: Fourth-Order Ordinary Differential Equation; Three-Point Boundary Value Problem; Solution and Positive Solu tion; Fixed Point Theorem 一类非线性四阶三点边值问题的可解性* 李玉朋 南京航空航天大学理学院，南京 Email: youxiang201@163.com 收稿日期：2012 年12 月1日；修回日期：2012 年12 月16 日；录用日期：2012 年12 月26 日 摘 要：研究了一类四阶三点边值问题解与正解的存在性。利用一类三阶三点边值问题的 Green 函数， 建立了等价的积分方程组，得到了该类四阶三点边值问题解和正解存在的充分条件。 关键词：四阶常微分方程；三点边值问题；解和正解；不动点定理 1. 引言 本文研究下列非线性四阶三点边值问题的解和正解的存在性： 4,,0,0 1, 0,0,0,1,0 1 ytftytytt yAy By Cyy . (p) 始终假定 :0,1 f RR R 或 :0,1 f RR R 连续，其中 0,R 。 在 0, 1C中取范数 01 max ,0,1 t yytyC 。我们称 y 是问题(P)的一个正解，如果 y 是问题(P)的解，并 且 。 0,01yt t 四阶常微分方程边值问题是熟知的刻画弹性梁状态的数学模型，在弹性力学和工程物理中有广泛的应用。 本文将在较一般的情况下研究问题(P)，不要求非线性项 f 有界，同时允许边界条件是非齐次的。 2. 预备知识 *资助信息：国家自然科学基金(编号 11172125)。 Copyright © 2013 Hanspub 51  李玉朋 一类非线性四阶三点边值问题的可解性 设1 时，设 2 1 21 C ttC tB ,C 。易知： 0,0B 1 11 C . 计算可知： 当01 1, 1或 时， 01 1 maxmax,, 22 t C tBBC C B ； 当0 1, 1或 时， 01 11 maxmax ,, 222 1 t CC tB CBB 。 记 01 max ,max t A t 。 引理[1,2] 设1 ，则三阶三点边值问题 0, 0,1, 000,1, 0 yt t yyy y 1. 的Green 函数 22 22 22 2 211, min, 11, , 1 ,21 21, , 1, max,. tsst sst tts ts Gts ts stsst ts ts , 是 0,1 0,1上的连续函数。 当1 1 时， 0,Gts gs ,1,10,1ts，其中 11 1 g ss s ，并且当 0,1 ,Gts gs ,,ts ， ，其中 2 2min 1,1 21 。 由计算可知： 1 2或 时，1, 1 2 1 0 01 11 max, d41 6 tGts s ； 当 当 时， 2 1, 1 3 2 2 1 3 0 01 1 11 max, dmax, 416 12 1 tGts s 。 记 1 0 01 max, d t M Gts s 。 3. 主要结果与证明 定理 2.1 设1, :0,1 f RR R 。如果存在 11 1, m mk mm 和 ，使得 0d 1 010 1 max,,: 01,,1 f t yytymdykmdMkmkd 则问题(P)至少有一个解 40, 1yC ，满足 Copyright © 2013 Hanspub 52  李玉朋 一类非线性四阶三点边值问题的可解性 y mdy kmd 证明 考察赋予范数 1 ,max,yxy kx 的Banach 空间 0,1 0,1CC。 设 ,0 1 x tyt t 。则问题(P)等价于微分方程组 , 01, ,, 0 0,0,0,1 yt xtt xt ftytxt yAxBxCx x 该微分方程组又等价于积分方程组 0 1 0 d ,,, t ytAxs s d x ttGtsfsysxs s , d 设 ，其中 12 ,,,TyxTyxT yx 10 1 20 ,d ,,,, t Tyx Axss TyxtGyxfsysxs s 则上述积分方程组等价于不动点方程 ,,Tyx yx ,0,10yx CC,1 由Arzela-Ascoli 定理[7]易知 12 , :0,10,10,1TT CCC均是全连续的。由此 : 0,10,10,1TC CC 0,1C也是全连续的。 设 ,0,10,1:, md VyxCCyxm d。显然md V 是一个包含 0,0 的有界凸闭集。 ,则 ,md yx V , y mdxkmd 。由定理 2.1 条件我们知 1 ,,1, 01 f t y tx tMkmkdt 100 01 01 1 ,maxdmaxd tt tt m TyxAxs sxsskmdmdkm 20 01 01 ,maxmax ,,,d1 t tt TyxtGtsfs ysxsskmkdkmd 由此知 1 12 ,max ,,,TyxTyxkT yxmd 。 因此： 。 :md md TV V 根据 Schauder 不动点定理[6]，存在 ,md yx V ，使得 ,,Tyx yx 。于是 y 是问题(P)的一个解 20, 1yC ，且满足 y kmd ,ymd ，显然 40, 1yC 。 定理 2.2 设1 1 ， :0,1 f RR R ， 且0, 0, 0ABC 10 22 CCB 。若存在 11 1, m mk mm 和 ，使得 0d 1 010 1 max,,:01,0,01 f t yytymdykmdMkmkd 则问题(P)至少有一个非负非减解 40, 1yC ，满足 Copyright © 2013 Hanspub 53  李玉朋 一类非线性四阶三点边值问题的可解性 y mdy kmd 此外，如果 ，则 22 2 0ABC y 是正解；若 0ABC ，且存 在 ，使得 ,0,00f ，则 ，当 0yt ,1t 。 证明 由1 1 ， 10,0 1 1 C tt 以及 00B ， 1 10 22 CBC 得， t 在 0,1 上是非负的凹函数。因此。 0,0 1tt 构造辅助函数 0101 001 01 101 01 ,,, ,, ,,0, ,, ,, ,0,, ,, ,0,0, ,R. f ty yyyRR f tyy yRR ftyy f tyyyRR f tyyR 则 :0,1 f RR R 连续，并且 01 01 1 010 1 max,,:01, , max,,:01,0,01. ftyyt mdymdkmdykmd f ty ytymdykmdMkmkd 根据定理 2.1，边值问题 4,,0,0 1, 0,0,0,1 ,0 ytftytytt yAy ByCyy 1 ，满足 , y mdykmd 有一个解 y 01t，并且对于 ， 0d t y tA ys s d s 1 0,,,yt yGtsfsysys 结合 1 1 ， ，， 0t ,0Gts ,0,10,ts1 0 。以及 得，于是 ,,ftyt yt 0 0yt 解 是非减的且。所以。再由 yt 0yA 0,0 1yt t f 的定义，对于01t ， ,, ,,ftyt ytftyt yt . 因此 y 是问题(P)的一个非负非减解。并且 0d t y tA ys s d s 1 0,,,ytt Gtsfsysys 如果 ，则。如果0A 0,0 1yt At 22 0BC ，则 t 不恒为零，于是 0 。由于 是 t 0,1 上 的非负凹函数，于是 n ,10,0tt mi 1t yt t [5]。因此 yt 是 0,1 上非负严格增函数，则 。 0yt Copyright © 2013 Hanspub 54  李玉朋 一类非线性四阶三点边值问题的可解性 Copyright © 2013 Hanspub 55 若，则 恒为零。又因为存在0ABC t ，使得 ,0,00f ，可知零函数不是问题(P)的解[3]。则0y， 并且 0y[4]。根据引理知 当 ,, ,ts ; gstG 01 max, . t g sGt s 于是对于 ,t ，有 11 00 1 0 01 ,,, d,, max ,, ,d0 t yt Gtsfsysyssgsfsysyss Gts fsysyssy d 所以 yt 在, 上非负严格增函数，则 0, ,1yt t 。 4. 应用举例 例 考察边值问题 43 1 01 e 5 1 01,01,00,123 yt yt ytytt yy yyy 此处 1 3 01 01 1 :0,1,, ,e 5 y fRRRftyyyy 。 相应条件中 1 2,,1, 0 3AB C ，则由预备知识可得 5 1, 12 M 。取1 8,, 1 3 mk d ，则 9 , 3,md kmd 0101 91251 max,,: 01,09,03e 553 ftyytyy 3 . 满足 9, 3yy 。 根据定理 2.2，该边值问题存在一个正解 y 5. 致谢 作者感谢导师陈芳启教授的悉心指导和热情鼓励以及国家自然科学基金的资助。 参考文献 (References) [1] L. 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