 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 72-80 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.31012 Published Online January 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Initial Boundary Value Problem for a Class of Nonlinear Evolution Systems* Lijuan Ding, Liming Xiao# School of Computer Science, Guangdong Polytechnic Normal University, Guangzhou Email: xlmwhj@21cn.com Received: Oct. 25th, 2012; revised: Nov. 11th, 2012; accepted: Nov. 26th, 2012 Abstract: In this paper, we study the initial boundary value problem for a class of fourth order nonlinear wave equations the existence and uniqueness of global strong solution for the problem are obtained by means of the Galerkin method. Keywords: Nonlinear Evolution Equations; Initial Value Problem; Global Strong Solution 一类非线性发展方程组的初边值问题* 丁立娟，肖黎明# 广东技术师范学院计算机科学学院，广州 Email: xlmwhj@21cn.com 收稿日期：2012 年10 月25 日；修回日期：2012 年11 月11 日；录用日期：2012 年11 月26 日 摘 要：本文研究了一类四阶非线性波动方程组的初边值问题，用Glerkin 方法证明了其整体强解的存 在性和唯一性。 关键词：非线性波动方程组；初边值问题；整体强解 1. 引言 有三种因素影响弹性杆内波的传播：非线性，色散及耗散。非线性使波前变陡甚至破裂；色散与耗散可减 小波前斜率，制止波发生破裂，产生最终的稳态。 文[1]研究了在上述三种因素的影响下的细长弹性杆中纵向应变波的传播问题。提出并讨论了如下一类四阶 拟线性波动方程 n tt xx xxt xxttx x uu uuau (1) 其中 为任意实数， 和均为材料常数，0aa n0a 表示杆由软非线性材料(例如 多数 金属)构成； 表示杆 由硬非线性材料(例如橡胶、聚合物和少数金属)构成。文[1]在近似情况下，将(1)化为广义的KdV-Burgers方程， 讨论了在单纯色散、单纯耗散效应下，软硬两种非线性材料的应变孤波，但对(1)没有进行任何讨论。文[2]研究 了一类四阶非线性发展方程 0a tt xxxxt xxtt uu uufu 的第一初边值问题 *资助信息：国家自然科学基金(NO. 11201086)资助。 #通讯作者。 Copyright © 2013 Hanspub 72  丁立娟 等 一类非线性发展方程组的初边值问题 0 ,0 ,uxux 1 ,0 , t ux ux01x, 01 ,, xx uxt uxt 0. 此方程描述了单个粘弹性杆的纵振动问题，这里外力密度为依赖于位移的情形。但还未见有人研究方程组 的情况。 本文考虑如下一类非线性发展方程组 01,0 ttxx xxt xxttt x tT uu uufu (1.1) 的第一初边值问题 0 ,0 , x xuu 1 ,0 , t x xuu0x1, (1.2) 01 ,, xx xt xt . 0uu (1.3) 其中 表示零矢量， 0 T 12 ,,,, N xtu uuuu , T 12 ,,, tttNt ff ffuu uu, T 00102 0 ,,, N xuxux uxu, T 11112 1 ,,, N x uxuxu xu (这里“T”表示转置)。 本文所考虑的方程组(1.1)是多条粘弹性杆耦合在一起的振动情形，此方程组可看成线性粘弹性杆受依赖于 速度的外力 f 作用下纵向形变波的传播模型方程。无 论从理论上还是从 实际上比文[2]所讨论的单个 方程更复杂 。 首先对 Galerkin 方法加以介绍： 1) 在一个可分的函数空间中取一组基，本文是取负 Laplace 算子的特征函数作为一组基，这样作先验估计 更方便。 2) 构造原问题近似解并建立Galerkin 逼近格式，该逼近格式一般是关于近似解的非线性常微分方程组。 3) 对近似解及其关于空间变量，关于时间变量的导数作出相应的先验估计。 4) 在近似解相应先验估计的基础上，由列紧性原理取弱极限可得原问题的整体强解。 假设满足：，及 Jacobi 矩阵f f00 1 Cf f u半有界，即 满足 00, n cR 0 ,c f u,. (1.4) 记 2 2 0,1 ,,d,,, L x uvuvuuu 0 ,,d0 tttT uv uv, 2 2,, Luuu 1 2 2 1 , N i i u u 本文用 Galerkin 方法研究问题(1.1)~(1.3)整体强解的存在性与唯一性。 2. 先验估计 设 1, 2, jj 为问题 jjj x x ， 01 jj 0 的特征函数，则 j x 在 中构成正 交完备系， 2 L 1 0 H j jxC 且 x 的线性组合在 1 0 H 中稠， j x 在中的闭线性扩张为 (见[3])，对初值作假设 2 H 21 0 HH 21 00 ,xH H u 21 10 .xH H u 设问题(1.1)~(1.3)的近似解为 Copyright © 2013 Hanspub 73  丁立娟 等 一类非线性发展方程组的初边值问题 1 11 ,, ,0, ,0 1, 2,,1, 2,, m mi mimijj j mm mimij jmitmij j jj uuxtat x uxau xb miN 由Galerkin 方法，该近似解应满足如下非线性常微分方程组的初值问题 ,, ,,, mitt smixx smixxt smixxtt si mts uu uuf u, (2.1) 0 ,0,, 1,2,,;1,2,, misis uxux iNs m (2.2) 1 ,0,, 1,2,,;1,2, mits i s uxux iNs m . (2.3) 由 及 21 00 xH Hu 21 10 ,xH Hu初值应这样选取，使在 , mij mij ab 0, x u 1 x u各自所在的空 间里分别有 01 ,0, ,0. mmt xxxxmuuu u 引理 1：设 ，条件(1.4 )成立并选取初值 使得当时， 1 00 ,xHu 1 10 xHu, mij mij ab m ,0 m x u在 中强收敛于 1 0 H ,0 0, mt x xuu 在 中强收敛于 1 0 H 1 x u。则对任一及(2.1)~(2.3)的任意解0T , m x tu均 有估计： 222 2 222 2 1, mmxmtmxt LLLL E uuu u 2 2 20. mxt LEt uT 式中 及以下诸引理中的 12 ,EE 1,2,, 5 i Ei均为与 m无关的正常数。 证明：方程(2.1)两边同乘 得 , mis at ,, ,,, mitt missmixxmissmixxt missmixxtt missimtmiss uatuatuatuat fat u, , 对s从1到m求和得 11 111 ,, ,,, mm mmm mittmis smixx mis smixxtmis smixxttmis simtmis s ss sss uatuatuatuatfat u 即 ,, ,,,, mitt mitmixx mitmixxt mitmixxtt mitimtmit uu uuuu uufu u 再对 i从1到N求和得 ,, ,, (), mtt mtmxxmtmxxt mtmxxtt mtmtmt uu uu uu uufuu, 两边加上 ，分部积分可得 , mmt uu d,, ,,2,2,2, dm mmtmtmx mxmxtmxtmxt mxtmtmtmmt t uuuuuuuuuufu uuu . (2.4) 由 0 ,, ,,, mt mt mtmtmtmtmt mtmt mt mt c 01 0u fu fuufufuu uu u u (2.5) 22 22 2, mmtmmt LL uu uu, (2.6) 将(2.5)、(2.6 )代入(2.4)可得 Copyright © 2013 Hanspub 74  丁立娟 等 一类非线性发展方程组的初边值问题 22 22 11 1 d,, ,,2, dmmmt mtmxmxmxt mxtmxt mxtmmtm LL MM M t uuu uuuuuuuuuu为与无关正常数 ， 对满足的任意 t，从 0到t积分得 0tT 22 22 10 ,,,,2,,0 ,,0,0 ,,0 ,0 ,,0,0 ,,0d mmmt mtmxmxmxt mxtmxt mxtmmmtmt t mx mxmxt mxtmmt LL xxx x xxx xMt uuuuuuuuuuuuuu uuu uuu， 由已知条件得当 时， m 0011001 1 ,0 ,,0,0 ,,0,0 ,,0,0,,0 ,, ,, m mmtmtmx mxmxtmxt xx xx xxx xxxxx xxxxxxxx uuu uuuuu uuuuuuuu ， 22 22 21 0 2 ,, ,,2,t mmmt mtmxmxmxt mxtmxt mxtmmt LL m d M Mt M uu uuuuuuuuuu u 为与无关正常数 ， 由Gronwall 不等式即得 222 2 222 2 1, mmxmtmxt LLLL E uuuu 2 2 2mxt LE u 引理证毕! 由Sobolev 嵌入定理得 推论： cons 0, mttT u cons 0, mt ttT u 引理 2：设引理 1的条件成立，并且 21 00 xH H u， 21 10 xH H u，选取 使得 当 时， , mij mij ab m ,0 m x u在 中强收敛于 20 H 1 H 0 x u， ,0 mt x u在 21 0 HH 中强收敛于 1 x u， 则对问题(2.1)~(2.3)的解 , m x tu均有估计 22 22 3mxx mxxt LL E uu 。 证明：方程(2.1)两边同乘 , smis at ,, ,,, mitts missmixxs missmixxts missmixxtts missimts miss uatuatuatuat fat u, 对s从1到m求和得 11 11 1 ,, ,, ,, mm mm mitts missmixxs missmixxts missmixxtts miss ss ss m imtsmiss s u at uat uatuat fat u 11 11 1 ,, ,, ,, mm mm mittmissmixxmis smixxtmissmixxttmis s ss ss m imtmis s s uat uat uat uat fat u 即 ,, ,,, mitt mixxtmixx mixxtmixxt mixxtmixxtt mixxtimtmixxt uu uuuu uufu u, 对i从1到N求和得 ,, ,,, mtt mxxtmxxmxxtmxxt mxxtmxxtt mxxtmtmxxt uu uuuu uufuu, 分部积分得 Copyright © 2013 Hanspub 75  丁立娟 等 一类非线性发展方程组的初边值问题 d,, ,2,2, dmxt mxtmxxmxxmxxt mxxtmxxt mxxtmtmxxt t uuuuuuuufu u, 0 ,, mt mtmxxtmxt mxtmxt mxt mt c fu fuuuuu u u ,, 0 d,, ,2,, dmxt mxtmxxmxxmxxt mxxtmxxt mxxtmxt mxt c t uuuuuuuuuu . 关于 t从0到t积分得 0tT 00 ,,,2,,0 ,,0,0 ,,0 ,0,,0,d , mxt mxtmxx mxxmxxt mxxtmxxt mxxtmxtmxtmxxmxx t mxxtmxxtmxt mxt xx xx xxc t uuuuuuuuuuuu uu uu 由已知条件得当 时， m 11001 1 ,0 ,,0,0 ,,0,0 ,,0 ,, ,, mxt mxtmxx mxxmxxt mxxt x xxxxxxx xx xxxxx x xxxxx x uuuuu u uuuuu u 因此 ,0 ,,0,0 ,,0,0 ,,0 mxt mxtmxx mxxmxxt mxxt xxxxx xuuuuu u 能用一与 m无关的正常数界住，由 Gronwall 不等式知 22 22 3. mxx mxxt LL E uu 引理证毕！ 引理 3：在引理 2的条件下有 22 22 4. mtt mxtt LL E uu 证明：对方程(2.1)两端对 t求导得 d ,, ,,, d mittt smixxt smixxtt smixttt si mts uu uuf t u, (2.7) 两端同乘 得 mis at d ,,,,, d mittt missmixxtmissmixxttmissmixxtttmissimtmiss uatuatuatuatfat t u, 对s从1到m求和得 11 111 d ,, ,,, d mm mmm mitttmis smixxtmis smixxttmis smixxtttmis simtmis s ss sss uatuatuatuatf at t u, 即 d ,, ,,, d mittt mittmixxt mittmixxtt mittmixxttt mittimtmitt uu uu uu uufu t u, 对i从1到N作和得 d ,, ,,, d mttt mttmxxt mttmxxttmttmxxttt mttmtmtt f t uu uu uu uuuu, 即 Copyright © 2013 Hanspub 76  丁立娟 等 一类非线性发展方程组的初边值问题 ,, ,,, mt mttt mttmxxt mttmxxtt mttmxxttt mttmtt mtt mt f u uu uu uu uuuu u, 分部积分有 22 22 22 22 1d ,, 2d mt mtt mxt mxttmxttmttmtt LL LLmt t fu uuu uuu u 即 22 22 22 22 0 d22 ,2, d mt mttmxtmxttmxttmtt mttmtt mtt LL LLmt c t fu u uuuuuuu u 0tT, 两边从 0到t积分得 22 22 22 22 22 22 2 22 2 00 ,, ,2, ,0,0,02,d , mtt mxt mxttmxtt LL LL t mtt mxt mxttmtt LL LL xt xtxtxt x xxcxt uuuu uuuut (2.8) 当,m 22 22 1 ,0 , mxt x LL xx uu 2 2 ,0 mxt L x u能用一与 m无关的正常数界住。 下面证明 22 2 ,0 ,0 mtt mxtt LL xx uu 2 也能用一与 m无关的正常数界住。 方程组(2.1)两边同乘 , mis at 得 ,, ,,, mitt missmixxmissmixxt missmixxtt missimtmiss uatuatuatuat fat u, , 对s从1到m求和得 11 111 ,, ,,, mm mmm mitt missmixxmissmixxt mis smixxtt mis simtmis s ss sss uatuatuatuatfat u 即 ,, ,,, mitt mittmixxmittmixxt mittmixxtt mittimtmitt uu uuuu uufu u, 再对 i从1到N求和得 ,, ,,, mtt mttmxxmttmxxt mttmxxtt mttmtmtt uu uuuu uufuu, 分部积分得 ,, ,,, mtt mttmxx mttmxxt mttmxtt mxttmtmtt uu uuuuuufuu, 即 ,, ,,,,,, ,,, , ,, ,, mttmttmxttmxttmxx mttmxxt mtt mt mtt x txtxtxtxtxtxtxt xt xt uuuuuuuu fu u 令 得 0t ,0, ,0,0,,0,0, ,0,0, ,0 ,0 ,,0 , mttmtt mxttmxttmxxmtt mxxtmtt mt mtt xxxxxxxx xx uuu uuuuu fu u 即 Copyright © 2013 Hanspub 77  丁立娟 等 一类非线性发展方程组的初边值问题 222 22 22 ,0,0,0,0,0,0 , mttmxttmxx mxxtmtmtt LL LLL xx xxfxx uuu uu u 2 L (2.9) 由已知条件当 ,m 222 01 ,0 ,0, mxxmxxtxx xx LLL xx xx uu uu 2 L 22 ,0 ,0 mxx mxxt L xx uu L 能用一与 m无关的正常数界住。又当 ,m ,0 mt x u在 中强收 21 0 HH 敛于 1 x u，而 为的子集，由 Sobolev 嵌入定理，当 0, 1 1 R,m ,0 mt x u在 中一致收敛于 1 x u，由 当 时， 1 Cm f 22 1 ,0 . mt LL fx fx uu 因此 2 ,0 mt L fx u能用一与 m无关的正常数界住。由(2.9)知 22 22 ,0,0 mtt mxtt LL xxCCm uu 为与无关正常数 ， 由(2.8)和Gronwall 不等式得 22 22 44 . mtt mxtt LL EE m 为与 无关的正常数uu 引理证毕! 引理 4：在引理 2的条件下有估计 2 2 5mxxtt LE u。 证明：方程(2.1)两边同乘 得 smis at ,, ,,, mitts missmixxs missmixxts missmixxtts missimts miss uat uat uat uatfat u, 再对 s从1到m求和得 11 11 1 ,, ,, ,, mm mm mitts missmixxs missmixxts missmixxttsmiss ss ss m imtsmiss s u at uat uatuat fat u 即 ,, ,,, mitt mixxttmixx mixxttmixxt mixxttmixxtt mixxttimtmixxtt uu uu uu uufu u, 对i从1到N求和得 ,, ,,, mttmxxttmxxmxxtt mxxtmxxtt mxxttmxxttmtmxxtt uu uu uu uufuu, 即 ,,, ,, mxxtt mxxttmtt mxxttmxxmxxttmxxt mxxttmtmxxtt uuuu uu uufuu, 2222 22 2, L mxxttmtt mxx mxxtmt mxxtt LLLL L uuuufuu (2.10) 下面证明 2 0, mt L tT fu 能用一与 m和t无关的正常数界住。 由引理 1，2，3知, 0tT 2 , mtt L xt u, 2 , mxx L xt u, 2 , mxxt L xt u能用与 m和t无关的正常数界 住，又由引理 1~引理 3知, 0tT 26mt HE u(为与 m和t无关正常数)，由 Sobolev嵌入定理得 6 E0tT , 7mt CE u(为与 m和t无关正常数， 7 E C 表示在 上连续函数的全体， .C 表示在 上的最大模)。 Copyright © 2013 Hanspub 78  丁立娟 等 一类非线性发展方程组的初边值问题 由 知 1 Cf 2 mt L fu 能用一与 m和t无关的正常数界住。 由(2.10)可推出 ，0tT 2 2 55mxxtt LEE mt u为与和 无关的正常数。 引理证毕！ 定义：函数 , x tu称为问题(1.1)~(1.3)在 0,T 上的强解，若对任一 ，均有 0T i) ， 21 0 ,0,,xtLT HH u 21 0 ,0,, txtLT HH u。 ii) 对一切 2 ,0,;xtCTL 成立。 0,d0 1,2,, T ittixxixxtixxtti t uuu uftiN u iii) 0 ,0 ii uxu x于 ， 21 0 HH 1 ,0 it i ux ux于 21 01, 2,, H HiN。这里 T 00 1 0 ,,N x uxu xu， 11 1 T 1N ,, x uxu u x 。 21 00 xH Hu， 21 1 xH H 0 u定理 1：设条件(1.4)成立且 ，则问题(1.1)~(1.3)存在上述 意义下的整体强解 , x tu。 证明：由引理 1~引理 4知 , imt s f u有界，因此由常微分方程理论知方程组(2.1)~(2.3)有整体解 , mi uxt， 由引理 1~引理 4知： , m x tu， , mt x tu， , mtt x tu于空间 21 0 0, ,LTH H 中关于 m一致有界， 由列紧性原理知存在的一个子列(仍记为 )使当 时， mi umi um ,, mi i uxt uxt于 21 0 H0, ,LTH 中弱 收敛， ,,xt mit ux it t u于 120 H H0, ,LT 中弱 收敛， mitt itt uxt u ,,xt于 中弱 收敛。 20 1 0,LT,H H 而由 ,, mt x tu ,, mtt x tu , mxt x tu都于 2 22 0, ;0, ;T LTLLTL LQ 2 0, T QT 中有界可知 , mit uxt于 1T H Q 1,2,N 中有界，由 Sobolev 嵌入定理从而有子序列(仍记为 )使当 时， 于中强收敛，且于 中几乎处处收敛。由以上证明知 , mit uxt m mit uxti ,, it uxt, 2T LQ T Q 2 2 , mtmtmt Lt fu fufucons ，由[4](p. 11, 引理 1.3)，当 时，m mt t fu fu 在 2T LQ 中弱 收敛，从而在 中弱收敛于 imt fu 2T LQ it fu 1, 2,,iN。任取 si dtC 1, 2,,iN，在(2.1)两端同乘 si dt 1, 2,,,,1, 2, s Ni N 对1,2,, s N Nm 求和，关于 t在[0,T]上积分，令 取极限，由 上面弱*收敛及弱收敛结果得 m 00 11 ,d,d NN TT ittixxixxtixxttsisitsis ss uuuudt tfdt t u. s x 在 中稠，在 2 L 1 N si s s dtx 1, 2,N 2 0, ;CTL 中稠密，因此对任意 ; 2 ,0,T LxtC ，成立 00 ,,d ,,d TT itt ixxixxt ixxttit uuuuxttfxt t u 1, 2,,iN， 因此强解定义中的(i)(ii)都满足。 下面验证初始条件 。 0 ,01,2, , ii uxuxiN ,, mi i uxt uxt与 21 0 0, ,LTH H 中弱 收 敛， 与 ,, mit it uxtu xt 21 0 0, ,LTH H 中弱 收敛，因此 12 ,0,,uxtC TH0 H mi 且 21 01,2,,H iN,0,;t CTH i ux ，故当 时，m ,0 mi ux 弱收敛到 ,0 i ux 于 中，又已知当 ， 21 0 HHm x 0 ,0 mi i ux u在 120 HH 中强收敛，这样得到 。 0 ,0 1 ii u xi ,2, ,Nux 再证 , x tu满足初始条件 1 ,01,2, , it i uxux iN 21 0 H H 。当 时，由 中弱 m mit ux xt,, it t u0, ,LT 收敛， ,,uxxt mitt itt t u与 21 0 0, ,LTH H 中弱 Copyright © 2013 Hanspub 79  丁立娟 等 一类非线性发展方程组的初边值问题 Copyright © 2013 Hanspub 80 收敛， 21 0 ,0,, mit uxtC THH且 21 0 ,0,; 1,2,, it uxt CTHHiN，因此当 时弱收敛到 于m ,0 mit ux ,0 it ux 1 0 H 2 H 中，又因为当 m， 在 ,0ux 11,2, , i uxi N mit 1 0 H 2 H中强收敛，从而得到 1 ,0 1,2, it i uxux i ,N。 3. 唯一性 定理 2：若定理 1的条件满足，问题(1)~(3)的强解是唯一的。 t v 证明：设 , 为问题(1.1)~(1.3)的两个强解，令u v uv tt xx xxt xxtt fu tf ，则 满足 及 齐初始条件和齐边值条件： ,0 ,x0 , 0,1,.xtt,0 t 00 t 做内积得 两边用 , t u 0 , ,0 t tt t C ,, ,, xxt xxtt xxttt 1, tt t t v fu tt t t t fufv 分部积分得 ,, x xxt xt ,2 xt xt 0 ,2 t C ,, t d d t t t 两边同时加上 ,t 左边将其化为 , t 1d 2d ，右边将其估计为 , tt ,, t 经计算得 ,, , t tx ttt CM 无关的正常数 ， 0 d1 , , d2 2, , xxt xt t t M 为与 , xt 2 , xt t 0tT，从 0到t积分，且注意到 满足齐初始条件，得 22 2 222 d, tx xt LL L 2 2 22 2 22 222 0 12, 2 t txxtxt xt L L LL L M t 由Gronwall 不等式得 2222 222 20, txxt LLL L 0 即 uv。 定理证毕！ 4. 结论 本文讨论的四阶非线性偏微分方程组(1.1)描述了多条粘弹性杆的耦合振动问题，所用的方法是 Galerkin 方 法。首先选取负拉普拉斯算子的特征函数作为一组基，构造原问题的近似解并建立关于近似解的 Galerkin 逼近 格式，在引理 1~引理 4中对近似解作出一系列的先验估计，在先验估计的基础上通过取弱极限得到原问题的整 体强解，最后证明了整体强解的唯一性。 在常见的文献中 Galerkin 方法一般用于讨论单个方程，而本文成功地将 Galerkin 方法应用于方程组的情形。 在对方程组进行讨论时，非线性项的 Jacobi矩阵半有界这一条件很重要，本文在引理 1~引理4中对近似解作先 验估计时多次用到这一条件。 参考文献 (References) [1] 朱位秋. 弹性杆中的非线性波[J]. 固体力学学报, 1980, 1(2): 247-253. 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